Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János"

Klaudia Mészáros
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János 1

2 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni tudjuk az optimális megoldást Deklaratív nyelv segítségével Elég a problémát definiálni A megoldását bízzuk a számítógépre Könnyű megoldhatatlanul bonyolult feladatot megfogalmazni 2

3 Matematikai program Változók Sokdimenziós változó Célfüggvény Sokdimenziós függvény Kényszerek Egyenletek és egyenlőtlenségek Típusok Célfüggvény lineáris, kvadratikus, nem-lineáris Fontos szempont, hogy a függvény konvex-e? Kényszerek lineáris, kvadratikus, nem-lineáris Fontos szempont, hogy a probléma tér konvex-e? Változók folytonosak vagy egészértékűek? 3

4 Matematikai programozás Konvex programozás: célfüggvény konvex függvények és a kényszerek konvex halmazt határoznak meg Lineáris Programozás: minden lineáris Szemidefinit programozás: Lineáris költségfüggvény és olyan mátrix aminek elemei lineáris függvények Kvadratikus programozás: a célfüggvény kvadratikus függvény, a kényszerek lineárisak Nemlineáris programozás: a célfüggvény és a változók lehetnek nem lineáris függvények Konvex-e? Egészértékű Lineáris programozás: minden lineáris, de a változók között van ami csak egész lehet. 4

5 Egészértékű Lineáris Program (ILP) Változók (egészek és valósak) MILP Költségfüggvény lineáris függvény Kényszerek a változók lineáris egyenletei min c T x A x b c T A x b 5

6 ILP a legrövidebb útkeresésre Változók Élekhez rendelve 1 ha az él része az útnak 0 - különben Költségfüggvény Az él költsége Kényszerek Folyam megmaradás csomópontonként s és t pont kivétel 6

7 Példa ILP a legrövidebb út problémára forrás nyelő A legrövidebb út

8 Gráf pontjai 2 x x 6 1 Mátrix formában 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5 4 x i változók binárisak Él költség Megoldás: min x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1: -1-1 = -1 2: = 0 3: = 0 4: 1 1 = 1 8

9 A Duális definíciója Primál min c T x Duál max b T y A x b y 0 x 0 A T y c Gyenge dualitás tétel c T x y T Ax y T b Erős dualitás tétel Az optimális megoldásra = c T y T A

10 Duális példa Primál Duál költség min x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1: : : : költség max π 1 π 2 π 3 π 4 x x x x x x π π 1 10

11 Duális változók értelmezése 1: π π 1 π 2 x 6 : π π 2 költség max π π 2 π 1 x 3 x 2 : π π 1 π j költség(i,j) + π i π j : a j pont a forrástól való távolsága π 1 = 0 x 4 π 3 π 4 π π 3 x 5 : π π 3 π 1 π 2 π 3 π 4 x x x x x x

12 A legrövidebb út keresése π 2 1 π 2 =1 π 2 π 4 4 költség max π 1 π 2 π 3 π 4 x π 1 =0 π 1 π 3 3 π 3 2 π 3 π 3 =2 π 4 π 4 3 π 4 =3 x x x x x Dijkstra algoritmusa arra ad módszert, hogy a duális felírás kényszereit milyen sorrendben dolgozzuk fel 12

13 Egészértékűség kényszerek Duális felírás megértése segít polinom-idejű algoritmus megtalálásában ILP-ből elhagytuk az egészértékűség kényszereket relaxált LP Kaptunk egy polinom-idejű algoritmust Ez egy speciális ILP volt, amikor a lineáris program megoldása egészértékű is egyben Általánosan ILP-re ez már nem igaz NP-nehéz ILP LP = DLP IDLP 13

14 Mikor hagyhatjuk el az egészértékűség kényszereket? Ha az LP relaxált feladat egész megoldást ad Elégséges feltétel Gabriel Cramer svájci matematikus ( ) Módszert adott lineáris egyenletrendszerek megoldására determinánsok segítségével A másik lehetőség a Gauss elimináció 14

15 Cramer szabály 2x2 mátrixra Lineáris egyenletrendszer Együttható Matrix ax+by=e cx+dy=f A a c b d e f Ha det A 0, akkor a rendszernek csak egy megoldása létezik: x det e f det b d A és y det a c det e f A

16 Példa Cramer szabályra Bemenet: 8x+5y=2 2x-4y= A a11a 22 a12 a21 a21 a22 - a a + Együttható mátrix: ( 32) (10) 42 Azaz x és y

17 ) ( x y A megoldás Bemenet: 8x+5y=2 2x-4y=-10

18 Általánosan b 0 Cramer szabály: adott egy inhomogén lineáris egyenletrendszer nemszinguláris, kvadratikus együtthatómátrixszal Ax=b ekkor a megoldás létezik és az i-ik változó értéke x i = det (Ai ) det (A) ahol A i -t úgy kapjuk, hogy az A mátrix i-ik oszlopát lecseréljük b-re. 18

19 Lineáris program Egyenlőtlenségeink a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b Segédváltozók segítségével egyenlőségé egészítjük ki c a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n - z 1 b T z 1 0 A x b z sarokpont 19

20 Lineáris program Egyenlőtlenségeink a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b Segédváltozók segítségével egyenlőséggé egészítjük ki c T a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n - z 1 b z 1 0 A E x b z sarokpont 20

21 3x3-as mátrix determinánsa A Mi lesz ennek a determinánsa? A

l i h c b k i h f e j A i h l f e k c b j x det

22 Cramer szabály 3x3 mátrixra Lineáris egyenletrendszer Együttható Matrix ax+by+cz =j dx+ey+fz =k gx+hy+iz =l Ha det A 0, akkor a rendszernek csak egy megoldása létezik: A f e c b l i h c b k i h f e j A i h l f e k c b j x det det det det det det i h g f e d c b a A l k j 1 vagy -1 egész 0, 1 vagy -1

23 LP együttható mátrix Egy bázis megoldásra a Cramer szabálya alapján Ahol A i -t úgy kapjuk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát lecseréljük b-re. x egész ha a nevező det(a)= +1 vagy -1 és a számláló pedig egész

24 Totálisan unimoduláris mátrixok Def. A mátrix TU ha minden négyzetes részmátrixának aldeterminánsa +1, -1, vagy 0. Tétel (Hoffman & Kruskal (1956)): Ha az együttható mátrix TU és b egész értékű vektor és az LP relaxált feladat megoldható, a bázismegoldása egész értékű lesz

25 Példa TU mátrixra TU mátrix minden eleme: +1,0,-1. Guass elimináció Azaz x egész

26 2. Példa TU mátrixra Ez nem TU mert 2 a determinánsa. x lehet tört is.

27 Műveletek TU mátrixokkal Egy TU mátrix TU marad, ha 1. Transzponáljuk a determináns transzponálásra invariáns 2. Egy sorát (oszlopát) -1-gyel szorozzuk a determináns 1-szeresére változik, ha a mátrix egy sorát (oszlopát) 1-gyel szorozzuk 3. Hozzáadunk egy egységvektort új sorként (oszlopként) B = 1 at 0 B Az indukció miatt B determinánsa -1,0, vagy

28 TU mátrixok Egy TU mátrix TU marad, ha 4. Egyik sorát (oszlopát) új sorként (oszlopként) hozzáadjuk Ha a megduplázott sor (oszlop) már egyszer benne volt a részmátrixban, akkor a determináns 0, egyébként a részmátrix A sorainak (oszlopainak) permutációjával előáll, így determinánsa változatlan Polinom időben eldönthető, hogy egy mátrix TU. 29

29 Illeszkedési mátrix TU Tétel: Irányított gráf A illeszkedési mátrixa TU. Biz. Legyen B egy t t négyzetes részmátrixa A-nak. Indukcióval bizonyítjuk t (t = 1 triviális). Három esetet kell vizsgálni: 1. B-ben van egy csupa nulla oszlop det(b) = B-ben van egy oszlop egy darab 1-sel. Az oszlop segítségével számoljuk ki det(b), és az índukció alapján teljesül az állítás. 3. B minden oszlopában egy darab 1-es és egy darab 1-es található. Ekkor az első sorhoz adjuk hozzá az összes többi sort, így nulla sorvektort kapnánk det(b) = 0 30

30 TU mátrix? Nem 32

31 TU mátrix? Nem 33

32 TU mátrix? Nem, mert -2 a aldeterminánsa 34

33 TU mátrix? nem Igen, mert csak 1 egyest tartalmazó oszlop és sorvektorokat adtunk nem, mert V részmátrix 35

34 Buszmegálló probléma Input P felhasználó S buszmegálló pozíció egyedi költséggel Kérdés: Hol lehetnek megállók, hogy ne legyen d-nél messzebb bármely felhasználótól 36

35 TU mátrix? Igen Consecutive 1 property 37

36 Consecutive 1 property A rész-mátix oszlopait úgy vegyük, hogy az 1 ek folyamatosak maradnak. Vonjuk ki minden oszlopból a következő oszlopot B mátrix oszlopait jelöljük B oszlopai ekkor B és B determinánsa ugyanaz B -ben minden sorban legfeljebb két nem nulla elem szerepelhet egy -1 az intervallum kezdetén és egy 1- es a végén. 38

37 Példa B B 39

38 TU mátrix? nem 40

39 Páros gráf Páros gráf illeszkedési mátrixa edges +1 vertices -1 Legfeljebb az előjele változik a determinánsnak

40 Maximális párosítás v Páros gráf illeszkedési mátrixa teljesen unimodiláris. Azaz a feladat megoldható polinom időben.

41 Maximális párosítás általános gráfban v Az LP nem TU mátrixot ad. Ezért voltak Edmond eredményei jelentősek.

42 Összefoglalás Hogyan írjunk fel egy egészértékű lineárisprogramot A duális Duális változók Mikor lehet az egészértékűség feltételt elhagyni Teljesen Unimoduláris (TU) mátrixok Hogyan ismerhető fel egy TU mátrix 44

Hasonló dokumentumok

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: 1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet