Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek"

Róbert Szekeres
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék

2 Diagnosztika - 3. p. 2/2 Tartalom 1. Előjel műveletek 2. Linearizálás skalár és vektor-értékű modellek 3. Lineáris állapottér modellek szerkezete struktúra mátrixok struktúra gráf 4. Nemlineáris állapottér modellek struktúra gráfja linearizált állapottér modell struktúra gráf 5. Egyszerű példa

3 Előjel aritmetika Diagnosztika - 3. p. 3/2

4 Diagnosztika - 3. p. 4/2 Előjel érték-készlet Univerzum: a változók és konstansok érték-készlete Általános kvalitatív: valós intervallumok fix vagy szabad végpontokkal U I = {[a l, a u ] a l, a u R, a l a u } és az alábbi határpont halmazzal L I = {a i a i a i+1, i I N } Előjel Logikai (kiterjesztett) U S = { +,, 0 ;? },? = + 0 L S = { a 1 =, a 2 = 0, a 3 = } U L = { true, false ; unknown }

5 Diagnosztika - 3. p. 5/2 Előjel algebra Az előjel univerzum feletti algebra Műveletek: a szokásos algebrai tulajdonságokkal (Kommutativitás, associativitás, distributivitás) előjel összeadás ( S ) és kivonás ( S ) előjel szorzás ( S ) és osztás összetett műveletek és függvények Az előjel műveletek specifikációja (definiciója) műveleti táblák segítségével történik.

6 Diagnosztika - 3. p. 6/2 Előjel összeadás Műveleti tábla a S b + 0? + + +?? 0 + 0???????? Tulajdonságok: növekvő bizonytalanság kommutatív

7 Diagnosztika - 3. p. 7/2 Előjel szorzás Műveleti tábla a S b + 0? + + 0? ??? 0?? Tulajdonságok: korrekció a nulla operandusoknál kommutatív

8 Állandósult állapot körüli linearizálás Diagnosztika - 3. p. 8/2

9 Diagnosztika - 3. p. 9/2 Nemlineáris állapottér modellek Mérnöki dinamikus modellek felírhatóak állapottér modell formában: dx dt = F(x, u) (allapot egy.) y = h(x, u) (kimeneti egy.) ahol F és h adott nemlineáris függvények. Megmaradási modelleknél: az állapotegyenletek a dinamikus mérlegegyenletekból származnak bemenetek és kimenetek a műszerezés függvényei (is)

10 Diagnosztika - 3. p. 10/2 Az állandósult állapot(ok) Állandósult állapot: x 0 egy adott konstans állandósult u 0 bemenetre Input-affin rendszerekre: az alábbi nemlineáris algebrai egyenlet megoldása adott u 0 -ra 0 = f(x 0 ) + g(x 0 )u 0 = F(x 0, u 0 ) ( ) y 0 = h(x 0 ) ( )-nak lehet több megoldása is, vagy egyáltalán nem lehet megoldása. Centrált változók: x = x x 0

11 Diagnosztika - 3. p. 11/2 Linearizálás Többváltozós függvények linearizálása: y = h(x 1,...,x n ), h : R n R m ỹ = J (h,x) x0 x J (h,x) ji = h j x i ahol J (h,x) a h függvény Jacobi-mátrixa és y 0 = h(x 0 ) Nemlineáris állapottér modellek: linearizáljuk a nemlineáris többváltozós függvényeket a ẋ = f(x) + g(x)u = F(x, u) y = h(x) egyenletekben az (x 0, u 0 ) állandósult állapot körül.

12 Diagnosztika - 3. p. 12/2 Linearizált állapottér modellek Input-affin eset: linearizáljuk az η = F(x, u) = f(x) + g(x)u függvényt és az y = h(x) függvényt az (x 0, u 0 ) pont körül ỹ = J (F,x) x0 x + J (F,u) x0 ũ,u 0,u 0 ( ) ỹ = J (f,x) 0 + J (g,x) 0 u 0 ) x + g(x 0 ) ũ LTI állapottér modell forma: x = Ã x + Bũ ỹ = C x + Dũ Ã = J (f,x) 0 + J (g,x) 0 u 0, B = g(x0 ), C = J (h,x), D = 0 0

13 Előjeles irányított gráf (SDG) modellek Diagnosztika - 3. p. 13/2

14 Diagnosztika - 3. p. 14/2 Állapottér modellek struktúrája Linearizált állapottér modellek egy állandósult állapot körül dx dt = Ax + Bu (a llapot egy.) y = Cx + Du (kimeneti egy.) a nemlineáris input-affin ÁT modellhez dx dt = f(x) + g(x)u (a llapot egy.) y = h(x) (kimeneti egy.) Előjeles struktúra mátrixok: [A] [A] ij = + if a ij > 0 0 if a ij = 0 if a ij < 0

15 Diagnosztika - 3. p. 15/2 Struktúra gráf Súlyozott irányított gráf S = (V, E; w) csúcshalmaz az állapot, kiment és bemenet változóknak V = X U Y X U = X Y = U Y = élek a változók közötti közvetlen hatásoknak él-súlyok a hatás előjele

16 Diagnosztika - 3. p. 16/2 A struktúra gráf előfordulási mátrixa Az O előfordulási mátrix o ij eleme o ij = 8 < : w ij ha (v i, v j ) E 0 egyebkent Az (A, B, C, D) (linearizált) LTI állapottér modellre (u, x, y) O = [B] [A] 0 [D] [C] 0 1 C A Input-affin SISO állapottér modellre» fi [A] ij = + g i u 0, [B] x j x i1 = [g i ] j» h [C] 1j =, [D] = 0 x j

17 Diagnosztika - 3. p. 17/2 Utak a struktúra gráfban Egy irányított út P = (v 1, v 2,..., v n ), v i V, e i,i+1 = (v i, v i+1 ) E a v 1 változó indirekt hatásának felel meg a v n változóra az út értéke W(P) = n 1 i=1 w(e i,i+1 ) a legrövidebb ut(ak) és az irányított körök jelentősége

18 Diagnosztika - 3. p. 18/2 Struktúrális tulajdonságok Azonos struktúrájú rendszerek osztálya: olyan állapottér modellel, amelyeknek ugyanaz a struktúra gráfja Egy rendszer rendelkezik egy adott struktúrális tulajdonsággal, ha az azonos struktúrájú rendszerek null-mértékű halmaz kivételével rendelkeznek az adott tulajdonsággal Példa: mátrixok struktúrális rangja s rank ( ) = s rank ( ) = 2

19 Diagnosztika - 3. p. 19/2 Példa: Szamovár η I v, T I h, T η o v, T κ

20 Diagnosztika - 3. p. 20/2 A szamovár állapottér modellje t h v c p dh idő [s] tartályszint [m] térfogatsebesség [m 3 /s] fajhő [Joule/kgK] ρ sűrűség [kg/m 3 ] T hőmérséklet [K] T I befolyó hőmérséklet [K] H fűtőteljesítmény [Joule/sec] A keresztmetszet [m 2 ] η I bináris bemeneti szelep [1/0] η O bináris kimeneti szelep [1/0] κ bináris kapcsoló [1/0] dt = v A η I v A η O (tomeg) dt dt = v Ah (T I T)η I + H c p ρh κ (energia)

21 Diagnosztika - 3. p. 21/2 A szamovár SDG modellje η O h + h +? η I T + T + κ

Hasonló dokumentumok

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.