Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?

Átírás

1 Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?adás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar szederkenyi@itk.ppke.hu PPKE-ITK, május 2. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 1 / 17

2 Mintavételezés u(t k ) u(t) y(t) y(t k ) D/A A/D discrete time S continuous time Control Algorithm Clock Computer Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 2 / 17

3 Mintavételezés nulladrendű tartóval A D/A átalakító működése u(k) t 0 t 1 t 2 t 3 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 3 / 17

4 CT-LTI rendszerek mintavételezése Adott: ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du u mintavételezése nulladrendű tartóval u(τ) = u(t k ) = u(k), t k τ < t k+1 Ekvidisztáns (periodikus) mintavételezés: t k+1 t k = h = const Kiszámítandó: a mintavételezett (diszkrét idejű) rendszer állapottér-modellje Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 4 / 17

5 Mintavételezett állapotegyenletek - 1 A folytonos idejű állapotegyenlet megoldása t x(t) = e A(t t0) x(t 0 )+ e A(t τ) Bu(τ)dτ t 0 Helyettesítés: t = t k+1 és t 0 = t k tk+1 x(t k+1 ) = e A(t k+1 t k ) x(t k )+ e A(tk+1 τ) Bu(τ)dτ t k periodikus mintavételezés és θ = τ t k, t k+1 τ = h θ x(k + 1) = e Ah x(k)+ h 0 ea(h θ) Bu(k)dθ = x(k + 1) = e Ah x(k)+e Ah h 0 e Aθ dθbu(k) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 5 / 17

6 Mintavételezett állapotegyenletek - 2 és h x(k + 1) = e Ah x(k)+e Ah e Aθ dθbu(k) h 0 Diszkrét idejű állapotegyenletek e Aθ dθ = [ A 1 e Aθ ] h 0 = A 1 (I e Ah ) x(k + 1) = e Ah x(k)+a 1 (e Ah I)Bu(k) DT-LTI állapotegyenletek mintavételezett rendszerekhez x(k + 1) = Φx(k)+Γu(k) Φ = e Ah = I + Ah+..., Γ = A 1 (e Ah I)B = (Ih+ Ah2 2! +...)B 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 6 / 17

7 DT-LTI állapottér modellek x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) adott x(0) kezdeti feltétellel és állapotegyenlet kimeneti egyenlet x(k) R n, y(k) R p, u(k) R r véges dimenziós vektorok és Φ R n n, Γ R n r, C R p n, D R p r mátrixok Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 7 / 17

8 DT állapotegyenletek megoldása x(1) = Φx(0)+Γu(0) x(2) = Φx(1)+Γu(1) = Φ 2 x(0)+φγu(0)+γu(1) x(3) = Φx(2)+Γu(2) = Φ 3 x(0)+φ 2 Γu(0)+ΦΓu(1)+Γu(2).... x(k) = Φx(k 1)+Γu(k 1) = Φ k x(0)+ k 1 j=0 Φk j 1 Γu(j) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 8 / 17

9 DT-LTI I/O rendszermodellek 1 Impulzusválasz-függvény: I/O modell SISO rendszerekhez U = [u(0) u(1)...u(n 1)] T, Y = [y(0) y(1)...y(n 1)] T Általános lineáris modell Y = HU + Y p ahol H n n-es mátrix, és Y p tartalmazza a kezdeti feltételeket. Kauzális rendszerek esetén H alsóháromszög y(k) = k h(k,j)u(j)+y p (k) j=0 ahol h(k, j) az impulzusválasz-függvény Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 9 / 17

10 DT-LTI I/O rendszermodellek 2 LTI modellek impulzusválasz-függvénye: h(k, j) = h(k j) Az állapotegyenlet megoldásából D = 0-ra: x(k) = Φx(k 1)+Γu(k 1) = Φ k x(0)+ k 1 j=0 Φk j 1 Γu(j) y(k) = Cx(k) = CΦ k x(0)+ k 1 j=0 CΦk j 1 Γu(j) { h(k) = A súlyfüggvény diszkrét idejű megfelelője. 0 k < 1 CΦ k 1 Γ k 1 Diszkrét idejű Markov paraméterek: CΦ k 1 Γ Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 10 / 17

11 Diszkrét idejű jelek f = {f(k),k = 0,1,...} skalár értékű diszkrét idejű jelek jelnormái a végtelen norma a 2-es norma f = sup f(k) k f 2 2 = k= f 2 (k) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 11 / 17

12 Eltolási operátorok Definíció: előre való eltolási operátor: q amely a következő műveletet végzi egy diszkrét idejű jellel: qf(k) = f(k + 1) (1) Definíció: hátrafelé való eltolási operátor (késleltetés): q 1 amely a következő műveletet végzi: q 1 f(k) = f(k 1) (2) q Operátor X vektortéren értelmezett. norma által indukált normája: q(x) q = sup x =1 x Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 12 / 17

13 DT-LTI I/O rendszermodellek 3 Diszkrét differenciaegyenlet modellek: SISO rendszerekhez Előrefelé vett differenciákkal y(k + n a)+a 1y(k + n a 1)+...+a na y(k) = b 0u(k + n b )+...+b nb u(k) ahol n a n b (proper). Tömörebb forma A(q)y(k) = B(q)u(k), A(q) = q na +a 1q na a na, B(q) = b 0q n b+b 1q n b b nb Hátrafelé vett differenciákkal y(k)+a 1y(k 1)+...+a na y(k n a) = b 0u(k d)+...+b nb u(k d n b ) ahol d = n a n b > 0 az időkésleltetés. Tömörebb forma A (q 1 )y(k) = B (q 1 )u(k d), A (q 1 ) = q na A(q 1 ) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 13 / 17

14 DT-LTI I/O rendszermodellek 4 Impulzusátviteli operátor A DT-LTI állapottér modellből számolva x(k + 1) = Φx(k)+Γu(k), y(k) = Cx(k)+Du(k) x(k + 1) = qx(k) = Φx(k)+Γu(k) x(k) = (qi Φ) 1 Γu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k) = [C(qI Φ) 1 Γ+D]u(k) (Φ, Γ, C, D) ÁTM-hez tartozó impulzusátviteli operátor H(s) : H(q) = C(qI Φ) 1 Γ+D Az átviteli függvény diszkrét idejű megfelelője. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 14 / 17

15 DT-LTI I/O rendszermodellek 5 Impulzusátviteli operátor: a SISO eset H(q) = C(qI Φ) 1 Γ+D = B(q) A(q), deg B(q) < deg A(q) = n ahol A(q) a Φ mátrix karakterisztikus polinomja. Kapcsolat a diszkrét differenciaegyenlettel y(k)+a 1 y(k 1)+...+a n y(k n) = b 1 u(k 1)+...+b n u(k n) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 15 / 17

16 DT-LTI rendszerek pólusai 1 folytonos idő diszkrét idő állapot egy. ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) x(kh+h) = Φx(kh)+Γu(kh) Φ = e Ah kimeneti egy. y(t) = Cx(t) y(kh) = Cx(kh) pólusok λ i (A) λ i (Φ) λ i (Φ) = e λ i(a)h Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 16 / 17

17 DT-LTI rendszerek pólusai 2 S-plane Z-plane Im s Im z 3Π h Π h Re s 1 Re z Π h 3Π h Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 17 / 17