IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.

Átírás

1 IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.

2 A projekt címe: Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevői: KECSKEMÉTI FŐISKOLA BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM AIPA ALFÖLDI IPARFEJLESZTÉSI NONPROFIT KÖZHASZNÚ KFT. Fővállalkozó: TELVICE KFT.

3 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Írta: BOKOR JÓZSEF GÁSPÁR PÉTER SOUMELIDIS ALEXANDROS Lektorálta: SZABÓ ZOLTÁN IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II. Egyetemi tananyag 2

4 COPYRIGHT: 2-26, Dr. Bokor József, Dr. Gáspár Péter, Dr. Soumelidis Alexandros, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar LEKTORÁLTA: Dr. Szabó Zoltán Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3. (CC BY-NC-ND 3.) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN KÉSZÜLT: a Typotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4..2/A/2-/-2-8 számú, Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés című projekt keretében. KULCSSZAVAK: Newton Lagrange-modellezés; átviteli függvény; pólusok és zérusok; Laplace-transzformáció; jelkövető irányítás; zavarkompenzáció; bizonytalanság modellezése; stabilitás; érzékenység függvény; P-K struktúra; M-Delta struktúra; frekvencia függvény; robusztus stabilitás; robusztusság; PID szabályozás; pólusallokáció; állapottér-elmélet; irányíthatóság; megfigyelhetőség; modellidentifikáció; LQ irányítás, állapot-visszacsatolás; megfigyelő tervezés. ÖSSZEFOGLALÁS: A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítástechnika II. c. tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában. A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat követi. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI)-rendszerek analízisét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleírásokat tipikus bemenőjelekre. Részletesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI-rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelő tervezésre is. Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó mérnöki ismeretek megszerzésében.

5 Tartalomjegyzék. Bevezetés 7 2. Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése Alapfogalmak Modellezés fizikai elvek alapján Newton-Lagrange modellezés Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye Példák a modellezésre Modellezés állapottérben Bevezetés az állapottér elméletbe Állapottér és átviteli függvény kapcsolata Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk Állapottér transzformációk Modellezés mért jelek alapján: modell identifikáció alapjai Rendszerdinamika elemzése időtartományban Példák a rendszerdinamika időtartományi elemzésére Rendszerdinamika elemzése frekvencia tartományban Alaptagok frekvenciafüggvényei Irányíthatóság és megfigyelhetőség Stabilitás, minőségi tulajdonságok és bizonytalanságok Stabilitásvizsgálat Rendszer stabilitása Zárt rendszer stabilitása Rendszerek minőségi jellemzőinek vizsgálata Érzékenységi függvény Aszimptotikus jelkövetés Zavarkompenzálás Bizonytalanságok modellezése P-K struktúra Modell bizonytalanság vizsgálata Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

6 6 TARTALOMJEGYZÉK Nem modellezett dinamika Parametrikus bizonytalanság M- struktúra Irányítástervezés frekvencia tartományban és állapottérben Soros kompenzátor tervezése Soros kompenzátor tervezési elve Robusztusság ellenőrzése PID szabályozás tervezése Zajszűrés Referenciajel súlyozás Beavatkozó telítődése Tuningolás, hangolás Pólusallokációs módszer A módszer elve és algoritmusa Példák a pólusallokációs módszerre Lineáris kvadratikus szabályozótervezés Az LQ módszer elve és algoritmusa Példák az LQ módszerre Pólusok és zérusok Jelkövető irányítástervezés Állapot szeparálás módszere Struktúra módosítás módszere Példák a jelkövető irányításra Megfigyelőtervezés Tervezési feladat Állapotmegfigyelő tervezése Illusztrációs példák Dinamikus állapotvisszacsatolás Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

7 . fejezet Bevezetés A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítástechnika II. c. tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában. A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat követi. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI) rendszerek analizísét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleirásokat tipikus bemenőjelekre. Részletesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot-visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelőtervezésre is. Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó mérnöki ismeretek megszerzésében. Az érdeklődő hallgatóknak a következő könyvet ajánljuk még. Irodalom Bokor József és Gáspár Péter. Irányítástechnika jármudinamikai alkalmazásokkal. TypoTex Kiadó, 28. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

8 2. fejezet Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése 2.. Alapfogalmak Az irányítástechnika célja, hogy egy rendszer tulajdonságait elemezze és a rendszer viselkedését megadott szempontok szerint módosítsa. Rendszereknek általánosan az olyan absztrakt objektumokat nevezhetjük, amelyek az őt érő külső, környezetükből jövő hatásokra valamilyen válaszreakciót generálnak. Egy rendszer külső, ún. bemenő jelek, mint gerjesztések hatására válaszjeleket, ún. kimenő jeleket generál. A rendszert az 2. ábrán látható módon egy blokkal szemléltetjük, a bemenőjel u, a rendszer által generált válasz y. u(t) G y(t) 2.. ábra. Egy rendszer illusztrációja A rendszerek modellezése során különféle információkból indulunk ki, melyek forrásai elméleti és gyakorlati ismeretek, valamint feltevések lehetnek. Az egyes jelenségekről alkotott elméletek által szolgáltatott leírások, általában közönséges differenciálegyenletekkel formalizált modellek. A rendszerről megfigyelések és mérések által gyűjtött adatok összessége, az elméleti modellekben szereplő paraméterek értékének meghatározását jelenti. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

9 2.. ALAPFOGALMAK 9 A modellezésnek különféle céljai lehetnek, melyeknek a modellezés megoldásával összhangban kell állnia: a rendszerek tulajdonságainak, viselkedésének megértése (analízis), a rendszerek jövőbeli állapotának megjóslása (predikció), rendszertervezési feladatok megoldása (szintézis), rendszerek minősítése. Az elemzés célú modellezés során a fentiek szerint a rendszer viselkedésének minél pontosabb reprodukálása az irányadó. Ugyanakkor, ha a szintézis célú modellezést végzünk, akkor általában csak azok a rendszertulajdonságok érdekesek, amik az irányítási célt befolyásolják. Az alábbiakban felsoroljuk azokat a rendszerrel kapcsolatos jellemzőket amelyek teljesülését a továbbiakban feltételezzük:. Linearitás Egy lineáris rendszer működésére érvényes a szuperpozíció elve. A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszerre bemenőjelet adva a válaszfüggvény u = α u + β u 2 (2.) y = α y + β y 2. (2.2) A szuperpozíció elvéből következik, hogy lineáris matematikai modellek alakja csak a homogén, lineáris egyenlet, illetve egyenletrendszer lehet. 2. Időinvariancia Az időinvariancia fogalma azt jelenti, hogy a bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának az időpontjától. Ha a rendszer időinvariáns, akkor egy τ időponttal késleltetett impulzusra ugyanazt a válasz függvényt adja τ időbeli eltolással. 3. Kauzalitás A rendszer kauzalitása azt jelenti, hogy a generált kimenőjel egy adott időpontban nem függ a bemenőjel jövőjétől. Továbbá, ha a a kimenőjel csak a bemenőjel múltjától függ, akkor a rendszert szigorúan kauzálisnak nevezzük. Az irányítási, szabályozási feladat megfogalmazásához egy praktikus megközelítés a hatásvázlat elkészítése. Ez a következő lépésekre bontható. Az irányítási hatásvázlat általános felépítése az 2.2 ábrán látható. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

10 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Megállapítjuk, hogy mi a szabályozni kívánt jellemző, továbbá mi a szabályozási cél. Megállapítjuk, hogy milyen jelet mérhetünk a visszacsatoláshoz, amely jelnek reprezentálnia kell a szabályozni kívánt jellemzőt. Beállítunk egy alapjelet, amellyel a visszacsatolt jelet összehasonlítjuk, majd különbséget képzünk. Ezt a jelet rendelkező jelnek nevezzük. A rendelkező jelet szükség szerint átalakítjuk, erősítjük, a rendszer bemenetére mint beavatkozó jelet visszük. szabályozó szabályozott rendszer zavaró jel alapjel rendel- kező jel C(s) bemenő jel G(s) kimenő jel szabályozott jellemző 2.2. ábra. Egy rendszer illusztrációja Az elemzés és tervezés során folytonos idejű modellekkel foglalkozunk, míg a realizációs részben eredményeinket kiterjesztjük diszkrét idejű modellekre. Egy folytonos idejű modell a rendszert vagy folyamatot leíró jellemzők, független és függő változók a vizsgált idő alatt bármelyik pillanatban vehetnek fel értéket: a bemeneti és kimeneti jelei egyaránt folytonos idejű jelek. A folytonos paraméterű modellekben a változók egy adott tartományon, értékhatáron belül bármilyen értéket felvehetnek. Egy diszkrét idejű modell a jellemzők csak adott, konkrét időpillanatokban vehetnek fel értékeket. Diszkrét paraméterű modellek esetén a változók csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

11 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 2.2. Modellezés fizikai elvek alapján Newton-Lagrange modellezés A Lagrange módszer a rendszer modelljét általánosított elmozdulás és sebesség komponensekkel fogalmazza meg: d T (q, q) T (q, q) D( q) + + U(q) dt q q q q = f, (2.3) ahol T (q, q) kinetikai (mozgási) energia, U(q) potenciális (helyzeti) energia, D( q) disszipációs (csillapítás által elnyelt) energia, f külső erő. A kinetikus energia a sebességvektoron kívül a helyzetvektortól is függhet, míg a potenciális energia egyedül a helyzetvektortól függ. A kinetikus energia és a potenciális energia különbsége az úgynevezett Lagrange állapotfüggvényt adja meg: L(q, q) = T (q, q) U(q) (2.4) A Lagrange egyenlet felírható az egyes komponensekre bontott alakban is, azaz q i komponensre felírva: d T (q, q) T (q, q) D( q) + + U(q) = f i. (2.5) dt q i q i q i q i Példaként az 2.3 ábrán látható két tömegű lengőrendszer modelljét írjuk fel. A lengőrendszer komponensei: m s és m u tömegek, k t és k s rugók, valamint b s csillapítás. A rendszert w elmozdulás gerjeszti, ennek hatására a két tömeg elmozdulása q és q 2.. w. q 2. q k t m u b s m s k s 2.3. ábra. Kéttömegű lengőrendszer A megoldás első lépésében írjuk fel a Lagrange egyenlet komponenseit: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

12 2 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Kinetikus energia egy tömegre: T = 2 F q = 2 m q q = 2 m q t qt alapján ezért a rendszer két tömegére: T = 2 m s q m u q 2 2, (2.6) Potenciális energia egy tömegre: U = F = k, ezért a rendszerre: 2 2 U = k s (q q 2 ) 2 2 Disszipációs energia a rendszerre: (q 2 w) 2 + k t, (2.7) 2 ( q q 2 ) 2 D = b s. (2.8) 2 A számítási műveletek az egyes komponensekre (q és q 2 ) bontott alakban a következők: d T d T = m s q, = m u q 2, dt q dt q 2 (2.9) T T =, =, q q 2 (2.) D = b s ( q q 2 ), D = b s ( q q 2 ), q q 2 (2.) U U = k s (q q 2 ), = k s (q q 2 ) + k t (q 2 w) q q 2 (2.2) A két tömegű lengőrendszer modellje a Lagrange egyenlet alapján : m s q = b s ( q q 2 ) k s (q q 2 ), (2.3) m u q 2 = b s ( q 2 q ) k s (q 2 q ) k t (q 2 w). (2.4) Megjegyezzük, hogy a Newtoni mechanikában a rendszer modelljét erő és nyomaték egyensúlyi egyenletekkel fogalmazzuk Newton törvényeinek felhasználásával Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye Egy rendszer modelljének leírása lineáris állandó együtthatós közönséges differenciál egyenlettel történik: d n y(t) dt n dy(t) a dt du(t) b u(t) + b dt + a y(t) = d m u(t) b m, (2.5) d m t Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

13 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 3 ahol a i, i =,..., n és b j, j =,..., m együtthatók konstansok, nem függnek az időtől. Vegyük a differenciálegyenlet L - transzformáltját zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk: (s n + a n s n a s + a )Y (s) = (b m s m +... b s + b )U(s), (2.6) ahol m n. A G(s) racionális törtfüggvényt a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L - transzformáltjainak hányadosa. G(s) = Y (s) U(s) = b m s m b s + b s n + a n s n a s + a. (2.7) Az alábbiakban néhány alaptag átviteli függvényét írjuk fel. Arányos tagok: Az egyenletből hiányoznak a bemenőjel és kimenőjel differenciálhányadosai. y = Au Y = AU G = A. (2.8) Integráló tagok. Az egyenletben bemenőjel nulladik és a kimenőjel első differenciálhányadosa szerepel. T dy dt = u T sy = U G = T s (2.9) Differenciáló tagok: Az egyenletben kimenőjel nulladik és a bemenőjel első differenciálhányadosa szerepel. y = T du dt Y = T su G = T s (2.2) Tárolós tagok: Az egyenletben a kimenőjelnek annyiad rendű differenciálhányadosa szerepel, ahány energiatárolót tartalmaz a tag. Ez a tag biztosítja a rendszerben lévő további dinamikák formalizálását. Példák: dy y + T dt + T d 2 y 2 dt = Au G = A (2.2) 2 + T s + T 2 s 2 y + T dy dt = T 2 du dt G = T 2s + T s (2.22) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

14 4 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Holtidős tagok: Az egyenletben megjelenik egy tiszta T H időkésleltés. Az ún. nullatárolós holtidős (TH) tag egyenlete ahol T H a holtidő. Az eltolási tétel alapján azaz az átviteli függvény: y(t) = A H u(t T H ) (2.23) Y (s) = A H U(s)e st H, (2.24) G = A H e st H. (2.25) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

15 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN Példák a modellezésre 2.. Példa. Írjuk fel az 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. A fizikai jellemzők adatai a következők: k = Ns/m, c = 3N/m, c 2 = 2N/m.. z. y k c 2 c. u 2.4. ábra. Két rugóból és csillapítóból álló rendszer Megoldás: A c 2 rugó hatása miatt a rugó előtti z elmozdulás nem azonos a rugó mögötti y elmozdulással. Emiatt a mechanikai rendszer erőegyensúlyi egyenletének felírásához egy z elmozdulást leíró segédváltozót vezetünk be a következőképpen: Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval: c 2 (y z) = kż (2.26) c (u y) = c 2 (y z) (2.27) c 2 (Y Z) = ksz (2.28) c (U Y ) = c 2 (Y Z) (2.29) A kétismeretlenes egyenletrendszer mindegyikéből Z-t kifejezzük, majd felírjuk az U és Y közötti összefüggést: Az átviteli függvény: [ks(c + c 2 ) + c c 2 ] Y = (kc s + c c 2 )U (2.3) G = Y U = kc s + c c 2 = 3s + 6 ks(c + c 2 ) + c c 2 5s + 6 (2.3) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

16 6 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.2. Példa. Tekintsük a 2.5 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modellt, melynek adatai a következők: m = 2kg, b = N s/m, k=9n/m. m y k b u 2.5. ábra. Gépjármű felfüggesztés modellje Megoldás: A rendszer differenciálegyenlete: Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval: Az átviteli függvény: mÿ = b( u ẏ) + k(u y) (2.32) ms 2 Y = bsu bsy + ku ky (2.33) G = bs + k ms 2 + bs + k =.5s + 45 s 2 +.5s + 45 (2.34) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

17 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN Példa. Határozzuk meg az 2.6 ábrán látható áramkör u b bemenő feszültsége és u k kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. R u b i C u k 2.6. ábra. Egyszerű villamos áramkör Megoldás: Az RC kör differenciálegyenletei: u b = Ri + C u k = C t t Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: ( U b = R + sc idt (2.35) idt (2.36) ) I, (2.37) U k = I. (2.38) sc Az átviteli függvény (T = RC időállandó bevezetésével): G = U k U b = sc R + sc = + src = + st (2.39) 2.4. Példa. Határozzuk meg a 2.7 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. Megoldás: Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. Az RL kör differenciálegyenletei: u b = Ri + L di dt u k = L di dt (2.4) (2.4) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

18 8 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE R u b i L u k 2.7. ábra. Egyszerű villamos áramkör Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: Az átviteli függvény: U b = (R + Ls) I, U k = LsI. (2.42) G = U k U b = ahol T = L/R az időállandó. Ls R + Ls = s L R + s L R = st + st (2.43) 2.5. Példa. Határozzuk meg a 2.8 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. R i C u b R 2 u k 2.8. ábra. Villamos áramkör Megoldás: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

19 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 9 Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. G = U k U b = R 2 R 2 + R k (2.44) ahol R k = R /( + sr C). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét: G = R 2 R 2 + R /( + sr C) = R 2 + sr R 2 C R + R 2 + sr R 2 C = A + st + st 2 (2.45) ahol A = R 2 /(R + R 2 ), T = R C, T 2 = R R 2 C/(R + R 2 ) Példa. Határozzuk meg az 2.9 ábrán látható áramkör átviteli függvényét. R i C C 2 u b R 2 u k 2.9. ábra. Villamos áramkör Megoldás: G = U k U b = R 2 + sc 2 R 2 + sc 2 + R k (2.46) ahol R k = R /( + sr C ). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét: G = R 2 + /(sc 2 ) R 2 + /(sc 2 ) + R )/( + sr C ) = + s(t + T 2 ) + s 2 T T 2 + s(t + T 2 + T 2 ) + s 2 T T 2 (2.47) ahol T = R C, T 2 = R 2 C 2, T 2 = R C 2 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

20 2 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.3. Modellezés állapottérben Bevezetés az állapottér elméletbe A rendszer állapota egy t időpontbeli információ (olyan jelek ismerete), amelyből az u(t), t t bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden t t időpontra meghatározható. A rendszer válasza a jövőbeli, t t időpontra vonatkozó állapotokat és a kimenőjeleket jelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük. A rendszer- és irányításelméletbe a magyar származású híres tudós, Rudolf E. Kalman vezette be az általa kidolgozott LQR optimális irányítások elméletének kidolgozása kapcsán, ld. még [3, 2] Példa. Tekintsük az alábbi felfüggesztési rendszert. u erő hatására az m tömeg függőleges irányban (y) elmozdul. Írjuk fel az erő és az elmozdulás közötti kapcsolatot. Adatok: m = kg, k = 4 Ns m, c = 3 N m. u m y c k 2.. ábra. Lengőrendszer modellje Megoldás: A rendszer differenciálegyenlete: mÿ = kẏ cy + u, (2.48) ÿ = 4ẏ 3y + u. (2.49) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

21 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 2 Állapotváltozók megválasztásának egy természetes módja a következő: x = y, x 2 = ẏ. Állapotegyenletek: ẋ = ẏ = x 2 (2.5) ẋ 2 = ÿ = 4ẏ 3y + u = 4x 2 3x + u (2.5) y = x (2.52) Állapottér reprezentáció: ] [ ] [ ] [ẋ x = + ẋ x 2 y = [ ] [ ] x x 2 [ ] u (2.53) (2.54) Természetesen egy másik állapottér megválasztás is lehetséges. x = 3y, x 2 = 4ẏ. Állapotegyenletek: ẋ = 3ẏ = 3 4 x 2 (2.55) ẋ 2 = 4ÿ = 6ẏ 2y + 4u = 4x 2 4x + 4u (2.56) y = 3 x (2.57) Állapottér reprezentáció: ] [ ] [ ] [ẋ 3 x = 4 + ẋ x 2 y = [ ] [ ] x 3 x 2 [ ] u (2.58) 4 (2.59) Fentiek alapján a bemenőjelek és kimenőjel közötti kapcsolat állapottér reprezentációja többféle alakban felírható és az állapottér alakja nem egyértelmű. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

22 22 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az állapotegyenlet, mint egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldása két lépésben történik. Előbb megoldjuk a homogén egyenletet, majd megkeressük az inhomogén egyenlet egy partikulártis megoldását. A homogén egyenlet alakja: az x() = x kezdeti feltétellel és megoldása: ẋ(t) = Ax(t), (2.6) x(t) = e At x, (2.6) ahol az e At mátrix-exponenciális függvényt a következőképpen értelmezzük: e At = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 2! [ Például diagonál reprezentációknál e Adt (A 3! ] d R 2 2 ) e alakja: e Adt λ t = e λ. 2t Az inhomogén egyenlet alakja: ahol x() = x egyenlet megoldása a következő: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) (2.62) x(t) = e A(t τ) bu(τ)dτ. (2.63) A fentiek alapján az elsőrendű differenciálegyenlettel leírt állapotegyenlet megoldása: x(t) = e At x + e A(t τ) bu(τ)dτ (2.64) y(t) = c T x(t). (2.65) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

23 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Példa. Határozzuk meg a ] [ ] [ ] [ẋ x = rendszer válaszát egységugrás bemenet esetén. Megoldás:. lépés A homogén rész megoldása: A példában: (si A) = ẋ 2 x 2 [ ] u (2.66) ẋ = Ax (2.67) sx(s) x() = AX(s) (2.68) adj(si A) det(si A) = X(s) = (si A) x() (2.69) [ ] s s s 2 + 3s + 2 = [ s+3 s 2 +3s+2 2 s 2 +3s+2 s 2 +3s+2 s s 2 +3s+2 ] (2.7) A homogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik: [ ] [ ] [ ] x (t) 2e = t e 2t e t e 2t x () x 2 (t) 2e t + 2e 2t e t + 2e 2t (2.7) x 2 () 2. lépés Az inhomogén rész megoldása zérus kezdeti érték feltételezésével: A példában: (si A) adj(si A) bu(s) = det(si A) b s [ ] [ ] s s = s 3 + 3s 2 + 2s = ẋ = Ax + bu (2.72) sx(s) = AX(s) + bu(s) (2.73) X(s) = (si A) bu(s) (2.74) [ ] s s 3 + 3s 2 + 2s = [ ] s 3 +3s 2 +2s s 2 +3s+2 (2.75) Az inhomogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik: [ ] [ ] x (t).5 e = t +.5e 2t x 2 (t) e t e 2t (2.76) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

24 24 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE A teljes megoldás: [ ] [ ] [ ] [ ] x (t) 2e = t e 2t e t e 2t x ().5 e x 2 (t) 2e t + 2e 2t e t + 2e 2t + t +.5e 2t x 2 () e t e 2t Ha a kezdeti értékek zérusok, azaz x () = és x 2 () = : [ ] [ ] x (t).5 e = t +.5e 2t x 2 (t) e t e 2t (2.77) (2.78) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2. ábra. x x [sec] 2.. ábra. Átmeneti függvények zérus kezdeti értékekkel Ha a kezdeti értékek egységnyiek, azaz x () = és x 2 () = : [ ] [ ] x (t).5.5e = 2t + 2e t x 2 (t) 2e t + 3e 2t (2.79) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2.2 ábra. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

25 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 25.5 x x [sec] 2.2. ábra. Átmeneti függvények nem zérus kezdeti értékek esetén Állapottér és átviteli függvény kapcsolata Általánosan egy lineáris dinamikus rendszer állapottér reprezentációját a következő alakban írhatjuk: ẋ = Ax + bu (2.8) y = c T x, (2.8) Az állapottér reprezentáció alapján a rendszer átviteli függvényét a Laplace transzformáció alkalmazásával kapjuk meg: ebből Az állapot Laplace transzformáltja: sx(s) x() = AX(s) + bu(s), (2.82) (si A)X(s) = bu(s) + x(). X(s) = (si A) bu(s) + (si A) x(), (2.83) ahol x() a kezdő állapot t = időpontban. Az x() = feltétel mellett A G(s) átviteli függvény: Y (s) = c T X(s) = c T (si A) bu(s). (2.84) G(s) = Y (s) U(s) = ct (si A) b. (2.85) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

26 26 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az átviteli függvény pólusai tehát az egyenlet gyökei. det(si A) = (2.86) 2.9. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét: [ ] [ ] 2 4 ẋ = x + u (2.87) y = [ 2 ] x (2.88) Megoldás: G = [ 2 ] [ ] [ ] s = s 2 s 2 + 2s + 4 (2.89) 2.. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét: 4 ẋ = x + u (2.9) 2 y = [ ] x (2.9) Megoldás: G = [ ] s 4 s s + 2 = s 3 + 2s (2.92) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

27 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk Irányíthatósági alak Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentáció a 2.3 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel: ẋ a 2 a a x ẋ 2 = x 2 + u (2.93) ẋ 3 x 3 y = [ ] x b 2 b b x 2 (2.94) x 3 b 2 b u ẋ ẋ 2 ẋ 3 x 3 y b a 2 a a 2.3. ábra. Az irányíthatósági alak illusztrációja Induljunk ki egy általános rendszerből, melynek átviteli függvényét az alábbi alakban fogalmaztuk meg: Y (s) = b(s) U(s), (2.95) a(s) ahol a(s) és b(s) polinomiális függvények, például b(s) = b s + b és a(s) = s 2 + a s + a. A bemenőjel Laplace transzformáltja U(s) és a kimenőjel Laplace transzformáltja Y (s) közötti kapcsolatot ekkor a következőképp írhatjuk: Y (s) = b(s)a (s)u(s). (2.96) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

28 28 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Vezessük be a ξ(s) változót az alábbi módon: Ekkor a bemenőjel és a kimenőjel Laplace transzformáltja: ξ(s) = a U(s). (2.97) Y (s) = b(s)ξ(s) = [b s + b ] ξ(s) és (2.98) U(s) = a(s)ξ(s) = [ s 2 + a s + a ] ξ(s). (2.99) Inverz Laplace transzformációval a differenciálegyenlet: y = b ξ + b ξ u = ξ + a ξ + a ξ (2.) Vezessük be a következő új változókat, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk: x = ξ, x 2 = ξ. (2.) Figyelembe véve, hogy ẋ = ξ és ẋ 2 = ξ = x, az alábbi elsőrendű differenciál egyenletekhez jutunk, melyek az állapotdinamika egyenletrendszerét alkotják: ẋ = a x a x 2 + u (2.2) ẋ 2 = x (2.3) Az állapotváltozókból a rendszer kimenőjele a következőképp kapható meg. úgynevezett megfigyelési egyenlet. Ez az y = b x + b x 2 (2.4) Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ c = A c x c + b c u (2.5) y = c T c x c (2.6) ahol A c = [ a a ] [, b c = ], c T c = [ b b ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági alak egyértelműségét. Induljunk ki az (2.5)-(2.6) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

29 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 29 függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T (si A) b = [ ] [ ] [ ] s + a b b a s [ ] [ ] [ ] s + a a b b adj s = [ ] s + a a det s [ ] [ ] [ ] s a b b s + a = s 2 + a s + a = b s + b s 2 + a s + a (2.7) Az átviteli függvény alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak egyértelműen felírható. Az A c mátrix első sorának elemei az átviteli függvény nevezőjének együtthatóiként, míg a c T c vektor elemei az átviteli függvény számlálójának együtthatóiként jelennek meg. Diagonális alak Az diagonális alakú állapottér reprezentáció a 2.4 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel: ẋ λ x r ẋ 2 = λ 2 x 2 + r 2 u (2.8) ẋ 3 λ 3 x 3 r 3 y = [ ] x c 2 c c x 2 (2.9) x 3 Tegyük fel, hogy adott egy rendszer kimenete átviteli függvényének parciális tört alakú felbontásával: Y (s) = b(s) [ a(s) U(s) = r + r ] 2 U(s), (2.) s λ s λ 2 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

30 3 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE ẋ x r c λ u ẋ 2 x 2 y r 2 c 2 λ 2 r 3 ẋ 3 λ 3 x 3 c ábra. A diagonális alak illusztrációja ahol λ, λ 2 az s 2 + a s + a = karakterisztikus egyenlet gyökei, r, r 2 pedig a λ, λ 2 gyökökhöz (a b(s)/a(s) átviteli függvény pólusaihoz) tartozó rezidumok: b s + b r = lim (s λ ) s λ (s λ )(s λ 2 ) = b λ + b λ λ 2 (2.) b s + b r 2 = lim (s λ 2 ) s λ2 (s λ )(s λ 2 ) = b λ 2 + b. λ 2 λ (2.2) Megjegyezzük, hogy ennél a felírásnál λ és λ 2 konvex pólusok is lehetnek. Vezessük be új változóként az X (s), X 2 (s) változókat, melyekre amiből az alábbi egyenletek írhatók fel: X (s) = r s λ U(s) (2.3) X 2 (s) = r 2 U(s) s λ 2 (2.4) Y (s) = X (s) + X 2 (s) (2.5) (s λ i )X i (s) = r i U(s) (2.6) sx i (s) = λ i X i (s) + r i U(s), i =, 2. (2.7) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

31 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 3 Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ d = A d x d + b d u (2.8) y = c T d x d, (2.9) ahol az (A d, b d, c T d ) jelölésben a d index az A d mátrix diagonális alakjára utal, [ λ A d = λ 2 ] [ r, b d = r 2 ], c T d = [ ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben a diagonális alak egyértelműségét. Induljunk ki az (2.8)-(2.9) kétállapotú általános leírásból. Mivel sem b d sem c d alakjára nézve nincs megkötés, ezért ezeket válasszuk meg a következőképpen: [ ] r b d =, c T d = [ ] m m 2. r 2 Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T d (si A d ) b d = [ ] [ ] [ ] s λ m m r 2 s λ 2 r 2 [ ] [ ] [ ] s λ r m m 2 adj s λ 2 r 2 = [ ] s λ det s λ 2 [ ] [ ] [ ] s λ m m 2 r 2 s λ r 2 = s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 [ ] [ ] r m m (s λ 2 ) 2 r 2 (s λ ) = s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 = (m r + m 2 r 2 )s (m r λ m 2 r 2 λ ) (2.2) s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 Az átviteli függvény alapján látható, hogy a diagonális alak felírása nem egyértelmű. Habár az átvityeli függvény nevezője alapján A d egyértelműen felírható (a pólusok sorrenjének megválasztásától eltekintve), b d és c T d elemeinek megválasztása nem egyértelmű. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

32 32 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér reprezentációját irányíthatósági alakban: G = s 2 +.5s + 45 (2.2) Megoldás: Ha az átviteli függvény számlálója, akkor az irányíthatósági állapottér reprezentációhoz az állapotváltozókat y deriváltjai csökkenő rendje szerint kell megválasztani. Válasszuk meg a két állapotot a következőképpen: Az állapotok deriváltjai: A kimenőjel: Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ ] [ ] [ẋ.5 45 x = + ẋ 2 x 2 y = [ ] [ ] x x 2 x = ẏ (2.22) x 2 = y (2.23) ẋ =.5x 45x 2 + u (2.24) ẋ 2 = x. (2.25) y = x 2. (2.26) [ ] u (2.27) (2.28) 2.2. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér reprezentációját irányíthatósági alakban. G = 2s + s 2 + 2s + 3 (2.29) Megoldás: A bemenőjel deriváltjának megjelenése miatt az előző gondolatmenet nem alkalmazható közvetlenül. Vezessünk be egy új változót: Z = s 2 + 2s + 3 U (2.3) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

33 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 33 Inverz Laplace transzformációval: z = 2ż 3z + u (2.3) Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotok deriváltjai: ẋ = z = 2x 3x 2 + u és ẋ 2 = ż = x. A kimeneti jel: y = 2ż + z = 2x + x 2. Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ẋ = ẋ 2 [ 2 3 y = [ 2 ] [ x x 2 ] [ ] x + x 2 ] [ ] u (2.32) (2.33) 2.3. Példa. Határozzuk meg a 2.5 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modelljét irányíthatósági alakban. Adatok: m = 2kg, b = N s/m, k=9n/m. Megoldás: A 2.2 példa megoldása alapján induljunk az átviteli függvény alakból: Vezessünk be egy új változót: G =.5s + 45 s 2 +.5s + 45 (2.34) Z = Inverz Laplace transzformációval: s 2 +.5s + 45 U (2.35) z =.5ż 45z + u (2.36) Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotok deriváltjai: ẋ = z =.5x 45x 2 + u és ẋ 2 = ż = x. A kimeneti jel: y =.5ż + 45z =.5x + 45x 2. Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ẋ = ẋ 2 [.5 45 y = [.5 45 ] [ x x 2 ] [ ] x + x 2 ] [ ] u (2.37) (2.38) Megjegyezzük, hogy a témával kapcsolatban további példákat találni az irodalomban [, 6]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

34 34 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Állapottér transzformációk Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egy adott x állapotvektorból egy új x állapotvektort képezünk az alábbi módon: x = T x (2.39) ahol T R n n egy n n méretű nemszinguláris transzformációs mátrix, és x R n, x R n. Ha az x állapotvektor az (A, b, c T ) állapottér reprezentációhoz tartozik, azaz Határozzuk meg az x állapotvektor ẋ = Ax + bu (2.4) y = c T x, (2.4) x = Ā x + bu (2.42) y = c T x (2.43) egyenletekben szereplő (Ā, b, c T ) mátrixokat. Mivel x = T x, ezt behelyettesítve az állapotegyenletbe kapjuk, hogy azaz Állapottér reprezentációk közötti kapcsolat T x = AT x + bu (2.44) y = c T T x, (2.45) x = T AT x + T bu (2.46) y = c T T x, (2.47) Ā = T AT, (2.48) b = T b, (2.49) c T = c T T. (2.5) Az A és Ā mátrixok közötti fenti kapcsolatot hasonlósági transzformációnak nevezzük. Egy rendszer adott dimenziós állapottér reprezentációi egymásból hasonlósági transzformációval kaphatók. Az alábbiakban három speciális állapottér reprezentációt írunk fel. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

35 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 35 Irányíthatósági alak előállítása Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentációt előállító transzformációs mátrix alakja: T c = (C n (A, b)τ(a)), (2.5) ahol n dimenziós állapottér esetén C n (A, b) az irányíthatósági mátrix: C n (A, b) = [ b Ab A 2 b..., ] és τ(a) egy n n dimenziós Toeplitz-mátrix: a n a n 2... a τ(a) = a n... a , amelynek elemei a karakterisztikus egyenlet együtthatói: det (si A) = s n + a n s n + a n 2 s n a s + a. Ekkor az irányíthatósági állapottéralak Diagonális alak előállítása A transzformációs mátrix alakja: Ā c = T c AT c, bc = T c b, c T c = c T T c. T d = (C n (A, b)τ(a)p n ), ahol P n egy n n dimenziós Vandermonde-mátrix: λ n λ n 2... λ n n... P n = λ 2 λ λ 2 n λ λ 2... λ n... A diagonális állapottér alak: Ā d = T d AT d, bd = T d b, c T d = c T T d. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

36 36 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Megfigyelhetőségi alak előállítása Az irányíthatósági alak és a megfigyelhetőségi alak felírási módja között a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens alakjai: A o = A T c, (2.52) b o = c c, (2.53) c T o = b T c, (2.54) Vizsgáljuk meg az irányíthatósági és a megfigyelhetőségi alakok ekvivalenciáját. Írjuk fel az átviteli függvényt mindkét esetben egy kétállapotú állapottér reprezentáció esetére. Az irányíthatósági alakot (2.5) és (2.5) szerint vesszük: G(s) = [ ] [ s + a b b a s ] [ ] = b s + b s 2 + a s + a (2.55) Vizsgáljuk meg a megfigyelhetőségi alakot is. Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ o = A o x o + b o u (2.56) y = c T o x o (2.57) ahol A o = [ a a ] [ b, b o = b ], c T o = [ ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági és a megfigyelhetőségi alakok ekvivalensek. Induljunk ki az (2.5)-(2.6) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

37 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 37 írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T (si A) b = [ ] [ ] [ ] s + a b a s b [ ] [ ] [ ] s + a b adj a s b = [ ] s + a det a s [ ] [ ] [ ] s b a s + a b = s 2 + a s + a = b s + b s 2 + a s + a (2.58) Az átviteli függvények alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak és a megigyelhetőségi alakok ekvivalensek Példa. Határozzuk meg az alábbi rendszer irányíthatósági alakját előállító transzformációs mátrixot. 2 4 A =, b = c T = [ ] (2.59) Megoldás Az irányíthatósági alak transzformációs mátrixa: T = (Cτ) ahol det (si A c ) = s 3 + 3s 2 + 2s + 4 C = [ b Ab A 2 b ] = 3 τ = 3 (2.6) T = (Cτ) = = (2.6) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

38 38 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az irányíthatósági alak: 2 4 A c =, b c =, c T c = [ 3 ]. (2.62) ahol A diagonális alakú állapottér reprezentációt előállító transzformációs mátrix alakja: T = (CτP) C = [ b Ab A 2 b ] a 2 a, τ = a 2, (2.63) λ 2 λ 2 2 λ 2 3 P = λ λ 2 λ 3 (2.64) és λ, λ 2, λ 3 az A mátrix sajátértékei (a rendszer pólusai) Példa. Határozzuk meg az alábbi rendszer diagonális alakját előállító transzformációs mátrixot. 6 A =, b = c T = [ ] (2.65) 6 Megoldás Az diagonális alak transzformációs mátrixa: T = (CτP) ahol det (si A c ) = s 3 + 6s 2 + s C = τ = 6 P = 2 3 (2.66) T = (CτP) = = 2 4 (2.67) A diagonális alak:.5 A d = 2, b c =, c T c = [ ]. (2.68) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

39 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Példa. Írja fel az alábbi állapottér reprezentációt megfigyelhetőségi alakban a dualitás elvének kihasználásával: [ ] [ ] 4 A =, b =, c T = [ ]. (2.69) 3 Megoldás Irányíthatósági alak: C = [ A Ab ] = [ 4 τ = [ ] (2.7) ], det(si A) = s 2 4s + 3 (2.7) T = Cτ = [ ], T = 4 [ ] 4 (2.72) A c = T AT = [ ] 4 3 b c = T b = [ ] c T c = [ 3 ] (2.73) A o = A T c = [ ] [ ] 4, b 3 o = c c =, c T o = b T c = [ ]. (2.74) 3 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

40 4 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.4. Modellezés mért jelek alapján: modell identifikáció alapjai A rendszer modelljének konstruálása a bemenőjelek és a kimenő jelek mért (mintavételezett) adatai alapján is történhet. Az eljárást modell identifikációnak nevezzük. A mért jelek közötti kapcsolat az alábbi alakban írható fel: y = G(q)u (2.75) ahol q az úgynevezett eltolás operátor, G(q) modell leírja a rendszer bemenete és kimenete közötti kapcsolatot, azaz a mintavételezett rendszer átviteli függvényét. u t G y t A D u k G(q) y k A D 2.5. ábra. Identifikálandó modell Egy zajjal terhelt lineáris időinvariáns rendszer modelljét mutatja a 2.6 ábra. A zajos rendszer modellje: y = G(q)u + e (2.76) ahol q eltolás operátor, e zaj (zavarás). A rendszeridentifikáció végrehajtása több lépésben történik. Ezekkel kapcsolatban további részleteket találni az irodalomban [8]. Bemenő és kimenő jelek mérése, mintavételezése, szűrése, feldolgozása (transzformációja). Modell struktúrájának becslése fizikai megfontolások alapján. Modell paramétereinek becslése. Modell ellenőrzése, tesztelése, validálása. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

41 2.4. MODELLEZÉS MÉRT JELEK ALAPJÁN: MODELL IDENTIFIKÁCIÓ ALAPJAI 4 u G(q) e + + y 2.6. ábra. Zajjal terhelt modell Diszkrét modell transzformálása folytonos alakra. A rendszermodell általános alakja: y(t) = G(q)u(t) + e(t) (2.77) ahol G(q) átviteli függvény és q az eltolás operátor. Például G(q) = B(q) A(q) (2.78) ahol A(q) és B(q) polinomok az eltolás operátor szerint a következő alakúak: ahol A modell ARX struktúrája A(q) = + a q + a 2 q a n q n (2.79) B(q) = b q + b 2 q b m q m (2.8) A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (2.8) B(q) = b q + b 2 q 2 (2.82) A(q) = + a q + a 2 q 2 (2.83) A modell struktúráját a kimenet korábbi kimeneteinek száma, a korábbi bemenetek száma és a bemenőjel eltolása határozza meg: y(t) + a y(t ) + a 2 y(t 2) = b u(t ) + b 2 u 2 (t 2) + e(t) (2.84) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

42 42 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE ahol a, a 2, b, b 2 a modell paraméterei. Átrendezve: y(t) = a y(t ) a 2 y(t 2)+ (2.85) + b u(t ) + b 2 u 2 (t 2) + e(t) (2.86) A modell alapján a kimenőjel t-edik értékére becslés adható: ŷ(t) = â y(t ) â 2 y(t 2) + ˆb u(t ) + ˆb 2 u(t 2) (2.87) Az előrejelzés hibája: minden t-re. Az n-edrendű ARX modell alakja: ɛ(t) = y(t) ŷ(t) (2.88) y(t) = a y(t ) a 2 y(t 2)... a n y(t n) (2.89) Vezessük be a következő jelölést: + b u(t ) + b 2 u(t 2) b n u(t n) + e(t) (2.9) φ(t) = [ y(t )... y(t n) u(t )... u(t n) ] T (2.9) θ = [ a... a n b... ] T b n (2.92) ahol φ a mért jelek, θ a paraméterek halmaza. A kimenőjel: y(t) = φ T (t)θ + e(t) (2.93) y(t + ) = φ T (t + )θ + e(t + ) (2.94)... (2.95) y(t + N) = φ T (t + N)θ + e(t + N) (2.96) A modell kompakt alakja: Y = Φθ + ɛ(n, θ) (2.97) ahol Y = [ y(t) y(t + )... y(t + N) ] T, (2.98) Φ = [ φ(t) φ(t + )... φ(t + N) ] T, (2.99) ɛ = [ e(t) e(t + )... e(t + N) ] T (2.2) θ = [ ] T a... a n b... b n (2.2) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

43 2.4. MODELLEZÉS MÉRT JELEK ALAPJÁN: MODELL IDENTIFIKÁCIÓ ALAPJAI 43 Az LS becslés azt a paramétervektort keresi, amelynél az ɛ(t) hiba négyzetösszege a legkisebb. Az LS kritériumot a következő alakban definiáljuk: J(θ) = ami skaláris szorzat alakban is felírható: N e(t, θ) 2 (2.22) t= J(θ) = ɛ(t, θ) T ɛ(t, θ) (2.23) ahol θ a paramétereket tartalmazó vektor. Az LS becslés egy optimalizáló eljárás, melynek során a paraméterbecslési eljárás eredményét a következő költségfüggvény minimalizálásával kapjuk: Az LS kritérium kifejtve: ˆθ = arg min θ J(θ) (2.24) J(θ) = ɛ T ɛ = (Y Φθ) T (Y Φθ) (2.25) A minimum parciális deriválttal számítható: = Y T Y θ T Φ T Y Y T Φθ + θ T Φ T Φθ (2.26) Az optimális megoldás: J(θ) = [ J θ i ] = 2Y T Φ + 2θ T Φ T Φ (2.27) Φ T Y = Φ T Φˆθ LS (2.28) ˆθ LS = (Φ T Φ) Φ T Y (2.29) amit az LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük. A gyakorlati alkalmazásokból ismert tény, hogy a becslési hiba az idő fügvényében egyre nagyobb értékeket vesz fel. Ezért a becslési hiba súlyozását is érdemes bevinni a kritériumba. N J(θ) = w(t)e(t, θ) 2 = ɛ(t, θ) T W ɛ(t, θ) (2.2) t= ahol w(k), illetve W súlyozó tényező. Abban a tartományban, ahol nagyra választjuk, a becslés pontosabb lesz, mint ahol kisebbre választjuk. A normálalak összefüggése a következőképpen változik. Φ T W Y = Φ T W Φˆθ W LS (2.2) ˆθ W LS = (Φ T W Φ) Φ T W Y (2.22) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

44 44 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Ezt a kifejezést a súlyozott LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük. A becsült modell validáció vizsgálatára a gyakorlatban elterjedt módszer a hiba statisztikai vizsgálata. Az identifikált modell tulajdonságait a rendszer tulajdonságaival való összehasonlítása. A vizsgálat mind idő, mind frekvenciatartományban elvégezhető Példa. Tegyük fel, hogy adott egy paramétereiben nem ismert másodfokú rendszer. A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (2.23) ahol n k = 2, A(q) = [.5.7 ] és B(q) = [ ]. Tegyük fel, hogy a 4 Input signal 3 Noise sec sec 4 Output signal sec 2.7. ábra. Mért bemenő és kimenő jelek másodfokú rendszer bemenő és kimenő jeleit T s =. sec lépésenként mérjük. A mért mintát illusztrálja a 2.7 ábra. Megoldás: A modellt s következő ARX struktúrában keressük: A(q)y = B(q)u + e (2.24) ahol B(q) = b q +b 2 q 2 és A(q) = +a q +a 2 q 2. A paraméterbecslést legkisebb négyzetes módszerrel hajtjuk végre. B(q) = [ ] (2.25) A(q) = [ ] (2.26) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

45 2.5. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE IDŐTARTOMÁNYBAN 45 4 Measured and predicted signals sec 2 Prediction error sec 2.8. ábra. Becslési hiba elemzése Kiszámítjuk az előrejelzett kimenetet és ezt a mért kimenethez hasonlítjuk. Elvégezzük a hiba kimenet (reziduál) elemzését. Hiba átlag: m =.55, szórás: σ =.98. A modell által generált jel és a mért jel illesztése az eltérés jelével együtt a 2.8 ábrán látható Rendszerdinamika elemzése időtartományban 2.. Definíció. Súlyfüggvény A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk: {, ha t =, δ(t) = (2.27), ha t. ahol δ(t)dt =. (2.28) A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t δ(τ)u(t τ)dτ. (2.29) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

46 46 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.2. Definíció. A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk: {, ha t, (t) = (2.22), ha t <. Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t (τ)u(t τ)dτ. (2.22) A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény (u(t) = δ(t)) Laplace transzformáltja: U(s) =. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = G(s). y(t) = L [G(s)] (2.222) Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény (u(t) = (t)) Laplace transzformáltja: U(s) = s. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = s G(s). y(t) = L [ s G(s) ] (2.223) Példák a rendszerdinamika időtartományi elemzésére 2.8. Példa. Tekintsük a 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapító kamrából álló rendszert. Adatok: k = Ns m, c = 3 N m, c 2 = 2 N m G = Átmeneti függvény számítása kc s + c c 2 = + 5s ks(c + c 2 ) + c c s (2.224) 3 Y = s G = + 5s s( s) (2.225) Az átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával kiszámítható és 2.9 ábra szerint felrajzolható: v = lim s + 5s + lim s s( s)est =.4 e.2t s 3 25 (s ) + 5s 25 s( s)est Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

47 2.5. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE IDŐTARTOMÁNYBAN 47 Átmeneti függvény Time [sec] 2.9. ábra. Az átmeneti függvény illusztrációja. y. u k m c 2.2. ábra. Lengőrendszer modellje 2.9. Példa. Írjuk fel a 2.2 ábrán látható tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét. Az átviteli függvény Laplace transzformációval: G = c ms 2 + ks + c = c m s 2 + k m s + c m (2.226) Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: p,2 = k ± k 2 c. Súlyfüggvény számítása 2m 4m 2 m c m w(t) = lim (s p ) s p (s p )(s p 2 ) est c m + lim (s p 2 ) s p2 (s p )(s p 2 ) est, c m = e pt p p 2 c m p p 2 e p 2t. (2.227) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

48 48 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Komplex pólusok esetén (p = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: w(t) = c m 2iβ eαt (e iβt e iβt ) = c mβ eαt sin(βt) (2.228) Kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó e φt Átmeneti függvény számítása: = cosφ + isinφ Euler összefüggést. v(t) = lim s s s + lim s p (s p ) s c m (s p )(s p 2 ) est c m (s p )(s p 2 ) est c m + lim (s p 2 ) s p2 s (s p )(s p 2 ) est c c m m = + p p 2 p (p p 2 ) ep t c m p 2 (p p 2 ) ep 2t (2.229) Komplex pólusok esetén (p = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: v(t) = = c m α 2 + β 2 + c m α 2 + β 2 c m c m 2iβ(α + iβ) eαt e iβt 2iβ(α iβ) eαt e iβt c m α 2 + β 2 eαt cosβt + c m α 2 + β 2 α β eαt sinβt. (2.23) Komplex pólusok esete: Adatok: m = kg, k = Ns, c = 3 N. Két komplex m m konjugált pólus van: a p = i és p 2 =.5.65i. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w =.88e.5t sin(.65t) (2.23) v =.3e.5t sin(.65t) e.5t cos(.65t) (2.232) Valós pólusok esete. Adatok: m = kg, k = 4 Ns, c = 3 N. Valós pólusai m m vannak: p = 3 és p 2 =. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w =.5e t.5e 3t (2.233) v =.5e t +.5e 3t (2.234) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

49 2.5. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE IDŐTARTOMÁNYBAN 49.2 Súlyfüggvény.4 Átmeneti függvény sec sec 2.2. ábra. A 2.9 példa megoldása komplex pólusok esetén.7 Súlyfüggvény Átmeneti függvény sec sec ábra. A 2.9 példa megoldása valós pólusok esetén 2.2. Példa. Tekintsük a 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapító kamrából álló rendszert, melynek átviteli függvénye G = kc s + c c 2 ks(c + c 2 ) + c c 2 (2.235) ahol c = 2 N, c m 2 = 3 N. Mekkora k csillapítás esetén lesz a rendszer időállandója m T = 2sec. Megoldás: G = kc s + c c 2 = 2ks + 6 k ks(c + c 2 ) + c c 2 5ks + 6 = s + 3 5k s + (2.236) 6 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

50 5 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az egytárolós rendszer átviteli függvénye alapján G = A alapján az időállandó: T s+ T = 5k 6 = 2 (2.237) azaz k = 2.4 Ns m. (2.238) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

51 2.6. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN Rendszerdinamika elemzése frekvencia tartományban Egy rendszer frekvencia függvényének a rendszernek szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. Itt a bemenőjel egy egységnyi u(t) = sin ωt G(iω) y(t) = A(ω)sin(ωt + φ(ω)) ábra. Frekvencia függvény illusztrációja amplitúdójú szinusz lefutású jel, amelynek körfrekvenciája ω. A kimenőjel: u = sin(ωt). (2.239) y = A(ω)sin(ωt + ϕ(ω)). (2.24) Az A(ω) függvényt amplitudó függvénynek, a bemenőjel és a kinenőjel közötti fáziseltolást jelentő ϕ(ω) függvényt pedig fázisfüggvénynek nevezzük, mindkettő a bemenőjel ω körfrekvenciájától függ. Az amplitudó függvény a G(iω) függvény abszolút értékeként kapható: a fázisfüggvény pedig G(iω) fázisfüggvényeként: Legyen egy rendszer átviteli függvénye: A(ω) = G(iω), (2.24) ϕ(ω) = arctan ImG(iω) ReG(iω). (2.242) G(s) = b s + a (2.243) A rendszer bemenete egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel ω körfrekvenciával: u(t) = sin(ωt). A L-transzformáció alkalmazásával vizsgáljuk meg a rendszer kimenőjelét. Y (s) = G(s)U(s) = b s + a ω (2.244) s 2 + ω 2 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

52 52 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Időtartományba transzformálva: bω y(t) = lim (s + a) s a (s + a)(s 2 + ω 2 ) est Elvégezve a megfelelő határértékképzéseket: y(t) = bω a 2 + ω 2 e at + bω + lim (s + iω)( s iω (s + a)(s + iω)(s iω) est bω + lim (s iω) s iω (s + a)(s + iω)(s iω) est. (2.245) bω a + iω a 2 + ω 2 2iω e iωt + bω a iω a 2 + ω 2 2iω eiωt (2.246) Megjegyzés: Egy z = a + ib komplex szám exponenciális alakja z = Ae iφ ahol A = a 2 + b 2 és φ = arctan b a. Alkalmazva az összefüggést: a + iω = a 2 + ω 2 e iϕ(ω), a iω = a 2 + ω 2 e iϕ(ω), (2.247) ahol ϕ(ω) = arctan ω a. y(t) = bω bω ( a 2 + ω 2 e at + e i[ωt ϕ(ω)] e i[ωt ϕ(ω)]) (2.248) a2 + ω 2 2iω majd felhasználva az Euler-összefüggést (e iφ e iφ = 2i sin φ): a kimenőjelre a következő adódik: y(t) = bω b a 2 + ω 2 e at + sin[ωt ϕ(ω)] (2.249) a2 + ω2 A kimenőjel első tagja a tranziens időtartamában exponenciálisan nullához tart. Az állandósult állapotot a második tag határozza meg. Az állandósult állapotra azt kapjuk, hogy y(t) = A(ω) sin(ωt ϕ(ω)), (2.25) ahol A(ω) = b a. Állandósult állapotban tehát a rendszer egy adott körfrekvenciájú 2 +ω szinuszos lefolyású 2 bemenőjelre egy szinuszos lefolyású kimenőjellel válaszol, amelynek amplitúdóját az A(ω) függvény, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást pedig a ϕ(ω) függvény méri. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

53 2.6. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN Definíció. Nyquist diagram A frekvencia függvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitudó függvényt mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó ϕ(ω) függvény segítségével, ahol az A(ω) hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge épp a ϕ(ω) szög. A frekvencia függvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist - diagramnak nevezzük Definíció. Bode diagram A frekvencia függvények egy másik ábrázolásmódja az, amikor az A(ω) (2.25) amplitúdó függvényt a log ω függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen G(iω) db = 2 log A(ω) szerepel. Ebben az esetben a ϕ(ω) (2.252) fázisfüggvényt külön diagramban, a log ω függvényében ábrázoljuk. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode - diagramjának nevezzük Alaptagok frekvenciafüggvényei Arányos tag (TP) G(iω) = A (2.253) Az arányos tag jellegörbéje egyetlen pont a Nyquist diagramon. Az amplitúdó Nyquist diagram 2 Amplitudó db Im rad/sec Fázis deg Re rad/sec ábra. TP tag frekvencia diagramjai diagramja minden frekvencián 2 log (A) értékű, azaz vízszintes egyenes, fáziseltolás szöge zérus. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

54 54 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE TP tag Nyquist diagramja: G(iω) = A + iωt (2.254) Írjuk fel az egytárolós arányos tag (TP) frekvenciafüggvényét valós és képzetes részre bontott alakban: iωt G(iω) = A ( + iωt )( iωt ) = A iωt + ω 2 T 2 A = + ω 2 T iωat (2.255) 2 + ω 2 T 2 ω = T frekvencián az abszolút érték A 2 2, a fázisszög 45 (az imaginárius rész maximális). Ezt a frekvenciát sarokkörfrekvenciának nevezzük. Írjuk fel a frekven φ(ω) db db [Im] A(ω) [rad/sec] [Re] deg [rad/sec] ábra. TP tag frekvencia diagramjai ciafüggvény amplitúdó függvényét db skálán: G(iω) db = 2 log A 2 log + iωt = 2 log A 2 log + ω 2 T 2. (2.256) Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét: { 2 log A, ha ω G(iω) 2 log (ωt ), ha ω. (2.257) Kis körfrekvenciákra a függ-vény aszimptotája a 2 log A egyenes, míg nagy körfrekvenciákra a egy olyan 2dB/dekád meredekségű egyenes, amely az ω = /T pontban metszi a 2 log A vízszintes aszimptotát. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

55 2.6. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN 55 2TP tag Nyquist diagramja: G(iω) = ( + iωt )( + iωt 2 ) = (2.258) + iωt + iωt 2 A kéttárolós arányos tag (2TP) Nyquist diagramját a két különböző időállandójú egytárolós tag Nyquist diagramjának összeszorzásával kapjuk. (Az eredő vektor abszolút értéke a két vektor abszolút értékeinek szorzata, fázisszöge a két vektor fázisszögének összege.) G(iω) = ξ > eset (valós pólusok): + iω2ξt + (iω) 2 T = (2.259) 2 + iωt + iωt 2 G(iω) db = 2 log G (iω)g 2 (iω) = 2 log G (iω) + 2 log G 2 (iω) = G (iω) db + G 2 (iω) db (2.26) φ(ω) = φ (ω) + φ 2 (ω) (2.26) A frekvenciafüggvény két egytárolós tag frekvencia függvényének szorzataként írható [Im] [Re] db db 4 Amplitudó függvény Fázis függvény Frequency [rad/sec] ábra. 2TP tag frekvencia diagramjai valós pólusok esetén fel. Mivel logaritmikus síkon a szorzásnak összeadás felel meg, a két egytárolós tag Bode diagramját összegezve kapjuk az eredő Bode diagramot. Komplex pólusok esete: ξ < eset (komplex pólusok): G(iω) db = 2 log + iω2ξt + (iω) 2 T 2 = 2 + iω2ξt + (iω) 2 T 2 = 2 ( ω 2 T 2 ) 2 + (2ξT ω) 2 db (2.262) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

56 56 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét: db, ha ω T G(iω) 2 4ξ 2 = 2log2ξ db, ha ω T 2 (2.263) (ω 4 T 4 ) = 4logωT db, ha ω. T Ha ξ >.5 a pontos görbe a közelítő egyenesek alatt fut, ha ξ <.5 a pontos görbe az egyenesek fölött halad, míg ξ =.5 esetén a pontos és a közelítő érték ω = /T -nél megegyezik. ξ < eset (komplex pólusok): A fázis görbe alakja ugyancsak a ξ-től függ:, ha ω T φ(ω) 9, ha ω (2.264) T 8, ha ω. T.5 db 4 4 Amplitudó függvény [Im].5 db Fázis függvény [Re] Frequency [rad/sec] ábra. 2TP tag frekvencia diagramjai komplex pólusok esetén A 2.28 ábra ξ változó különböző értékeinek hatását illusztrálja az amplitúdó és fázisgörbe függvényekben Példa. Tömeg, rugó és csillapító Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer frekvencia függvényét. A frekvencia függvény: G(iω) = c m(iω) 2 + k(iω) + c (2.265) Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: p,2 = k ± k 2 c. Frekvencia diagramok valós pólusok esetén: 2m 4m 2 m Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

57 2.6. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ξ 5 9 ξ ξ ábra. ξ hatása a Bode diagramra Adatok: m = kg, k = 4 Ns m, c = 3 N m. G(iω) = 3 (iω + )(iω + 3) = iω + iω + (2.266) 3 Valós pólusai vannak: p = 3 és p 2 =. Időállandók: T = és T 2 = 3. db db 4 Amplitudó függvény Fázis függvény [Im] Nyquist diagram Frequency [rad/sec] [Re] ábra. A 2.2 példa megoldása valós pólusok esetén Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén: Adatok: m = kg, k = Ns m, c = Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

58 58 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 3 N m. G(iω) = = + iω2ξt + (iω) 2 T = 2 + iω (iω)2 3 (iω i)(iω i) (2.267) Két komplex konjugált pólus van: a p =.5 ±.65i. Időállandó és a csillapítási együttható: T = 3.57s és ξ =.6s. 6 4 Amplitudó függvény Nyquist diagram db Fázis függvény [Im] db Frequency [rad/sec] [Re] 2.3. ábra. A 2.2 példa megoldása komplex pólusok esetén Integráló tag Nyquist diagramja: G(iω) = T iω = i T ω (2.268) A Nyquist diagram jelleggörbéje a negatív imaginárius tengelyre esik. ω értéken (kis frekvenciákon) jω-ból indul és a komplex számísik kezdőpontjába fut be ω értéken (nagy frekvenciákon). Integráló tag Bode diagramja: Az amplitúdó jelleggörbe: G(iω) = T iω G(iω) = 2log T ω (2.269) = 2log(T ω) (2.27) Az amplitúdó jelleggörbe 2db/dek meredekségű egyenes. Az egyenes ω = T -nél metszi a db ten-gelyt. A fázis jelleggörbe értéke minden frekvencián 9. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

59 2.6. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN 59 Nyquist diagram 2 Amplitúdó függvény db 2 Im 4 rad/sec Fázis függvény 8 deg Re rad/sec 2.3. ábra. Integráló tag frekvencia függvényei Egytárolós integráló tag frekvencia diagramja: G(iω) = T I iω A (2.27) + iωt P A Nyquist diagramot megkapjuk, ha a két tényező Nyquist jelleggörbéit összeszo- Nyquist diagram 5 Amplitudó Im db 5 2 rad/sec 2 Fázis 9 8 deg Re ábra. Egytárolós integráló tag frekvencia függvényei rozzuk. A tag frekvenciafüggvénye a két alaptag szorzatából áll, ezért az eredő Bode diagram a két tag Bode diagramjának összegeként adódik. Differenciáló tag Nyquist diagramja: G(iω) = T iω (2.272) A Nyquist diagram jelleggörbéje az imaginárius tengelyre esik. ω értéken (kis frekvenciákon) az origóból indul és ω értéken (nagy frekvenciákon) +jω-hez Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

60 6 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Nyquist diagram 4 Amplitúdó függvény db 2 Im deg 2 rad/sec Fázis függvény Re 8 rad/sec ábra. Differenciáló tag frekvencia függvényei tart. Megjegyzés: Tiszta differenciáló tag a gyakorlatban nem fordul elő (nem kauzális rendszer), a differenciáló hatás időtároló taggal együtt jelentkezik. Differenciáló tag Bode diagramja: Az amplitúdó jelleggörbe: G(iω) = T iω (2.273) G(iω) = 2logT ω (2.274) Az amplitúdó jelleggörbe 2db/dek meredekségű egyenes. Az egyenes ω = T -nél metszi a db ten-gelyt. A fázis jelleggörbe értéke minden frekvencián 9. Nyquist diagram 5 Amplitudó.8 db Im Re 5 2 rad/sec 2 Fázis deg rad/sec ábra. Egytárolós differenciáló tag frekvencia függvényei Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

61 2.6. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN 6 Egytárolós differenciáló tag frekvencia diagramja: G(iω) = T D iω A + iωt P (2.275) A Nyquist diagramból látható, hogy kis frekvenbcián az amplitúdó zérus, de ω növelésével a kimenőjel véges értékhez tart. Az ω növelésével a fáziseltolási szög 9 -tól -ig változik. Holtidős tag frekvencia diagramja: Holtidős tagoknak nevezzük azokat a tagokat, amelyek egy tiszta T H időkésleltést hoznak létre. Ez az időkésleltetés megjelenhet bármelyik alaptagban. Például a nullatárolós holtidős (TH) tag egyenlete y(t) = u(t T H ), ahol T H a holtidő. Egy t H holtidős tag frekvenciafüggvénye G H (iω) = Ae iωt H Példa. Példa: A = 2, t H = 3; G H (iω) = 2e 3ωi. Az alaptag A(ω) = 2 amplitúdójú minden frekvencián, és fázisszöge a frekvenciával lineáris: ϕ(ω) = t H ω = 3ω. Im 2 ω=2π/t H ω= 2 2 Re ábra. A 2.22 példa megoldása Megjegyezzük, hogy mind az időtartományi, mind a frekvencia tartományi elemzésekre további példákat találni az irodalomban [4, ]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

62 62 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.7. Irányíthatóság és megfigyelhetőség 2.5. Definíció. Állapot megfigyelhetőség: Adott (A, b, c T ). Mi a feltétele annak, hogy az x(t) állapotokat minden a t t időpontra meghatározhassuk a rendszer jövőbeli input és output függvényeinek ismeretében? Az O n (c T, A) mátrixot a rendszer megfigyelhetőségi mátrixának nevezzük. O n = [ c T c T A. c T A n ] T. (2.276) 2.. Tétel. Kálmán-féle rangfeltétel Egy (c T, A) pár megfigyelhető akkor és csak akkor, ha megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang { O n (c T, A) } = n. (2.277) 2.6. Definíció. Állapot irányíthatóság: Adott (A, b, c T ), és x(t) a t = t = időpontban. Mi a feltétele annak, hogy találjunk olyan u(t), t t irányítást, amely a rendszert véges T idő alatt az x() állapotból egy tetszőleges x(t ), x(t ) x() állapotba vigye? Az C n (Φ, b) mátrixot a diszkrét idejű rendszer irányíthatósági mátrixának nevezzük. C n = [ b Ab... A n b ] (2.278) 2.2. Tétel. Kálmán-féle rangfeltétel Egy (A, b) pár akkor és csak akkor irányítható, ha irányíthatósági mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang {C n (A, b)} = n. (2.279) 2.7. Definíció. Egy rendszer (Ã, b, c T ) állapottér reprezentációja minimál reprezentáció, ha együttesen irányítható és megfigyelhető, azaz { )} ( )} rang C n (Ã, b = rang {O n c T, Ã = n. (2.28) A minimál reprezentációkhoz tartozó állapotér dimenziója a legkisebb az összes olyan (A, b, c T ) állapottér reprezentációkat tekintve, amelyekre ) c T (si A) b = c (si T Ã b(s) b = a(s), (2.28) ahol b(s)/a(s) a rendszer átviteli függvénye. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

63 2.7. IRÁNYÍTHATÓSÁG ÉS MEGFIGYELHETŐSÉG Példa. Vizsgáljuk az alábbi diagonális állapottér reprezentáció megfigyelhetőségét és irányíthatóságát: ẋ = [ λ λ 2 ] [ r x + r 2 ] u, (2.282) y = [ ] x. (2.283) Megoldás A megfigyelhetőségi mátrix: [ c O 2 (c T T, A) = c T A ] [ = λ λ 2 ]. (2.284) A rangfeltételt a következőképp vizsgálhatjuk: rang { O 2 (c T, A) } = 2 akkor, ha det{o 2 (c T, A). Az adott feladatban: det { O 2 (c T, A) } = λ 2 λ, azaz a megfigyelhetőség teljesül, ha akkor és csak akkor, ha λ 2 λ. Az irányíthatósági mátrix: [ r λ C 2 (A d, b d ) = r r 2 λ 2 r 2 Az irányíthatósági mátrix rangja éppen 2 ha ]. (2.285) det {C 2 (A d, b d )} = r r 2 λ 2 r r 2 λ 2 = r r 2 (λ 2 λ ), (2.286) azaz r, r 2 és λ λ Példa. Vizsgáljuk meg az alábbi állapottér reprezentációval adott rendszer irányíthatóságát és megfigyelhetőségét. A =, b =, c T = [ ]. (2.287) 2 4 Megoldás Írjuk fel az irányíthatósági mátrixot: C 3 = [ b Ab A 2 b ] = 4 (2.288) 4 8 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

64 64 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Megfigyelhetőség ellenőrzése: Egy mátrix rangja elemi mátrixműveletekkel vizsgálható. A teljes rang vizsgálata a mátrix determinánsának kiszámításával is meghatározható: detc 3 =. A rendszer tehát irányítható. Írjuk fel a megfigyelhetőségi mátrixot: c T O 3 = c T A = (2.289) c T A 2 Mivel deto 3 = 3, ezért a rendszer megfigyelhető. Megjegyezzük, hogy a témával kapcsolatban további példákat találni az irodalomban [,, 9]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

65 3. fejezet Stabilitás, minőségi tulajdonságok és bizonytalanságok 3.. Stabilitásvizsgálat 3... Rendszer stabilitása Tekintsünk egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszert, amelynek bemenőjele u(t), t <, kimenőjele pedig y(t), t <. Adott a rendszer w(t) súlyfüggvénye, illetve ennek L-transzformáltja: G(s) = L{w(t)}. A bemenet/kimenet kapcsolatot zérus kezdeti feltétele mellett az alábbi konvolúciós integrál adja meg: y(t) = t w(t τ)u(τ)dτ (3.) Feltettük, hogy a rendszer a kezdeti időpontban nyugalmi állapotban van. Ezután feltehetjük a kérdést, hogy mi a feltétele annak, hogy ha u(t) > gerjesztés éri a rendszert, és az u(t) valamilyen tulajdonsággal rendelkezik, milyen feltételek esetén rendelkezik a kimenőjel is ugyanilyen tulajdonsággal. 3.. Tétel. Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha. A rendszer súlyfüggvénye abszolút integrálható, w(t) dt < (3.2) 2. A rendszer G(s) = L{w(t)} átviteli függvényének pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, azaz Re p i <, i, (3.3) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

66 66 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK ahol p i a G(s) pólusa. 3. A súlyfüggvény határértéke zérus, azaz lim w(t) =. (3.4) t 3.. Példa. Az inverz inga egy M tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, amelynek m tömege a rúd felső végére van redukálva. m z m M θ l mg u (erő) z (elmozdulás) 3.. ábra. Nyquist stabilitási kritérium Megoldás: A rúd Θ(s) szögelfordulása a következőképpen függ az U(s) gerjesztő erőtől: Θ(s) U(s). (3.5) s 2 g/l A inverz inga részletes modellje megtalálható például a [8] könyvben. függvény pólusai: Az átviteli p = g/l, p 2 = g/l. (3.6) A p pólus a jobboldali komplex félsíkra esik, tehát az inverz inga labilis Példa. A p paraméter milyen értékei esetén lesz stabil az alábbi állapottér reprezentáció? [ ] [ ] p ẋ = x + u (3.7) p 4 y = [ ] x (3.8) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

67 3.. STABILITÁSVIZSGÁLAT 67 Megoldás: [ ] s + p det(si A) = det = s 2 + 5s p (3.9) p s + 4 Stabil, ha mindkét pólus negatív valós értékű.. eset s,2 = 2.5 ± p 2 (3.) p = p 2 (3.) p 2 < (3.2) 5 < 9 + 4p 2 (3.3) ami mindig teljesül, azaz p bármely értékére p negatív értékű (a). eset (b) 2. eset 3.2. ábra. Nyquist stabilitási kritérium 2. eset p 2 = p 2 (3.4) p 2 < (3.5) 9 + 4p2 < 5 (3.6) A negatív valós érték feltétele, hogy 2 < p < 2 legyen. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

68 68 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK Zárt rendszer stabilitása A szabályozó tervezésénél mindig biztosítani kell, hogy akár stabilis, akár labilis a szabályozott folyamat, a zárt rendszer stabilis legyen. A zárt rendszer átviteli függvénye: G(s) = G E(s) + G H (s), (3.7) ahol G E (s) az előrevezető ág átviteli függvénye és G H (s) a hurokátviteli függvény. A zárt rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha pólusai a baloldali komplex számsíkon helyezkednek el, tehát az + G H (s) = (3.8) egyenlet p,..., p n gyökereire teljesül a Re p i <, i =,..., n feltétel, ahol n a G H (s) pólusainak száma. A G H (s) a hurokátviteli függvény pólusai alapján vizsgálhatjuk a zárt rendszer stabilitását. Pólusok és a stabilitás kapcsolata: Ha p i <, akkor a zárt rendszer stabilis Ha p i =, határeset Ha p i >, akkor a zárt rendszer labilis ahol p i a zárt rendszer pólusa. A Nyquist szabályozási kritérium a G H (iω) hurokátviteli frekvencia függvény alapján képes a zárt rendszer stabilitásáról képet adni. Rajzoljuk meg a frekvencia függvényt a < ω < tartományra. A negatív frekvenciákra a függvény a pozitív frekvenciákra ismert függvénynek a valós tengelyre vett tükörképe lesz Tétel (Nyquist kritérium). Ha a felnyitott hurok G H (iω), < ω < frekvencia függvénye a növekvő frekvenciák irányába haladva Ha nem veszi körül a pontot, akkor a rendszer stabilis Ha átmegy a ponton, akkor a rendszer a stabilitás határán van. Ha körülveszi a pontot, akkor a rendszer labilis. Ha a G H (iω) frekvencia függvény a növekvő frekvenciák irányába haladva nem veszi körül a pontot, akkor a zárt rendszer rendszer stabilis. Ha a G H (iω) frekvencia függvény épp átmegy a komplex számsík pontján, akkor a G H frekvencia függvénynek ω körfrekvencián a zárt rendszerben csillapítatlan lengések keletkeznek. Ekkor a zárt rendszer a stabilitás határán van. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

69 3.. STABILITÁSVIZSGÁLAT 69 Bode-stabilitási kritérium A stabilitás analízist a Bode diagram alapján is elvégezhetjük, ezek az ún. Bodestabilitási kritériumok. Ha -2 db/dek-dal metszi a log ω tengelyt, akkor a zárt rendszer stabilis. Ha -4 db/dek-dal metszi a log ω tengelyt, akkor a vágási frekvencián érvényes fázisszög értéke dönt a zárt rendszer stabilitásáról. Ha ϕ(ω c ) > 8, akkor a zárt rendszer stabilis, míg ha ϕ(ω c ) < 8, akkor a zárt rendszer labilis. Ha -6 db/dek-dal metszi a log ω tengelyt, akkor a zárt rendszer labilis. 5 Bode diagram (fok) (db) ω c φ t ω k κ t 27 2 (rad/sec) 3.3. ábra. Nyquist stabilitási kritérium Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

70 7 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK Fázistartalék és erősítési tartalék A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a ϕ t fázistartalék fogalmát: ϕ t = π ϕ(ω c ), Ha ϕ t >, akkor a zárt rendszer stabilis Ha ϕ t =, határeset Ha ϕ t <, akkor a zárt rendszer labilis A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a κ t erősítési tartalék fogalmát. Azt mutatja, hogy mennyivel tudjuk még növelni a statikus körerősítést, úgy, hogy épp a stabilitás határára kerüljön a rendszer. Erősítési tartalék és a stabilitás kapcsolata: Ha κ t <, akkor a zárt rendszer stabilis Ha κ t =, határeset Ha κ t >, akkor a zárt rendszer labilis Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

71 3.2. RENDSZEREK MINŐSÉGI JELLEMZŐINEK VIZSGÁLATA Rendszerek minőségi jellemzőinek vizsgálata A minôségi kritériumok vizsgálata mindig a szabályozott rendszer (zárt kör) vizsgálatával történik: A zárt rendszer átviteli függvénye: G C = G E + G H (3.9) ahol G H a hurokátviteli függvény és G E az előrevezető ág eredő átviteli függvénye. Az alábbiakban az időtartományi és frekvencia tartományi jellemzőket soroljuk fel..6 Átmeneti függvény t 2 t m s 3 (sec) ábra. Időtartományi jellemzők Időtartományi jellemzők A rendszer állandósult állapotban felvett értékét beállási értéknek nevezzük, amit y ss -sel jelölünk. A szabályozási idő (t s ) annak időtartama, amely eltelte után a rendszer kimenete a beállási értéktől 5%-nál nagyobb mértékben nem tér el. A szabályozási eltérés a megkívánt érték és az állandósult állapotbeli érték különbsége: y ss y d, túllendülési idő (t m ): a kimeneti jel maximális értékének időpontja, túllendülés mértéke (p): százalékban kifejezett viszonyszám, ami a maximális és beállási érték közötti különbség beállási értékhez való viszonyát fejezi ki: p = y max y ss y ss % Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

72 72 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK Frekvencia tartományi jellemzők rezonancia csúcs M p : az amplitúdó görbe maximális értéke, rezonancia frekvencia ω p : a rezonancia csúcshoz tartozó frekvencia érték, 2 Amplitúdó függvény M p (db) 2 B ω ω 2 (rad/sec) p 3.5. ábra. Időtartományi jellemzők A sávszélesség fogalmát a kiegészítő érzékenységi függvény segítségével a következőképp adhatjuk meg. A rendszer sávszélessége az a ω ω B frekvencia tartomány, amelyben a T (iω) kiegészítő érzékenységi függvény Bode diagramja 3 db-re csökken Érzékenységi függvény Vizsgáljuk a zárt rendszer kimenetét különböző bemenetek esetén: Y (s) = G H(s) R(s) = T (s)r(s) (3.2) D + G H (s) Y (s) = D(s) = S(s)D(s) (3.2) R + G H (s) ahol G H (s) = G(s)C(s). Bevezetjük a szabályozási körben értelmezett S érzékenységi függvényt és a T kiegészítő érzékenységi függvényt: T (s) = G H(s) + G H (s) S(s) = + G H (s) (3.22) (3.23) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

73 3.2. RENDSZEREK MINŐSÉGI JELLEMZŐINEK VIZSGÁLATA 73 d(t) r(t) e(t) u(t) C(s) G N (s) y(t) 3.6. ábra. Időtartományi jellemzők Az érzékenységi függvény azt mutatja meg, hogy a zavaró jellemző hogyan befolyásolja a zárt rendszer kimenetét. S(s) = + G H (s) (3.24) Az S(iω) érzékenységi függvény közelítő ábrázolását Bode-diagramon a felnyitott hurok G H (iω) frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el. Az érzékenységi függvény definíció szerint: S(iω) = + G H (iω) ω. (3.25) Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk: ha G S(iω) H (iω) azaz ha ω ω c G H (iω) (3.26) ha G H (iω) azaz ha ω ω c A kiegészítő érzékenységi függvény a referencia jel és a kimenő jel közötti átviteli függvény. T (s) = G H(s) + G H (s). (3.27) A T (iω) kiegészítő érzékenységi függvény közelítő ábrázolását Bode-diagramon a felnyitott hurok G H (iω) frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el. A kiegészítő érzékenység függvény definíció szerint: T (iω) = G H (iω) + G H (iω) ω, (3.28) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

74 74 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk: { ha G H (iω) T (iω) G H (iω) ha G H (iω) (3.29) Az érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvények közötti összefüggés az alábbi: Aszimptotikus jelkövetés S(s) + T (s) =. (3.3) Követő szabályozásoknál a kimenőjelnek a referencia jeltől való eltérését követési hibának nevezzük: e(t) = y(t) r(t). (3.3) Vizsgáljuk meg, hogy adott r(t) referencia jelre aszimptotikusan mekkora lesz az eltérés, azaz a követési hiba. A követési hiba jel és a referencia jel Laplace-transzformáltjai közötti kapcsolatot az S(s) érzékenységi függvény írja le. Alkalmazva a határérték tételeket: lim t e(t) = lim s se(s) = lim ss(s)r(s). (3.32) s Vizsgálhatjuk a tipikus referencia jelek, mint egységugrás vagy egység sebesség ugrás jelek aszimptikus követését.. eset Egységugrás bemenetre adott válaszfüggvény Vizsgáljuk meg a válaszfüggvényt r(t) = (t), R(s) = /s bemenetre. Ekkor lim e(t) = lim s t s + G H (s) s = lim s + G H (s). (3.33) Ha G H (s) arányos jellegű, azaz ha G H (s) = G H (s), akkor lim s + G H (s) = + K, (3.34) ahol K a hurokerősítési tényező. A követési hiba értéke függ a hurokerősítési tényező értékétől. Ha G H (s) integráló jellegű, azaz ha G H (s) = G H (s)/s, G H (s) s= < alakú, akkor lim s s + G H (s)/s s = lim s s s + G H (s) =, (3.35) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

75 3.2. RENDSZEREK MINŐSÉGI JELLEMZŐINEK VIZSGÁLATA 75 tehát a követési hiba aszimptotikusan zérus. Ha G H (s) 2 típusú (kétszeres integrátort tartalmaz), azaz ha G H (s) = G H (s)/s 2, G H (s) s= < alakú, akkor lim s s + G H (s)/s 2 s = lim s 2 s s 2 + G H (s) tehát a követési hiba aszimptotikusan zérus. 2. eset Egységsebesség bemenetre adott válaszfüggvény =, (3.36) Vizsgáljuk meg a válaszfüggvényt r(t) = t(t), R(s) = /s 2 bemenetre. Ekkor lim e(t) = lim s t s + G H (s) s = lim 2 s s + G H (s). (3.37) Ha G H (s) arányos jellegű, azaz ha G H (s) = G H (s), akkor lim s s + G H (s) azaz a kimenet nem korlátos. Ha G H (s) integráló jellegű, azaz ha G H (s) = G H (s)/s, G H (s) s= < alakú, akkor lim s s + G H (s)/s = lim s s tehát a követési hiba aszimptotikusan nem zérus értékhez tart. =, (3.38) s s + G H (s) = + K, (3.39) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

76 76 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK Zavarkompenzálás Az aszimptotikus zavarkompenzálást az aszimptotikus alap- vagy referencia jelkövetéshez hasonlóan vizsgálhatjuk. Tipikus zavaró jelek, mint egységugrás, egység sebességugrás jelek, a zavaró jel hatását a kimenő jelben zérus referencia jel feltételezése mellett vizsgáljuk. Ehhez felírjuk a kimenő jel és a zavaró jel Laplace - transzformáltjai közötti összefüggéseket és alkalmazzuk a határérték tételeket. A kimenő és a zavaró jel közötti átviteli függvény az S(s) érzkenységi függvény. Ennek alapján a kimenőjel Laplace - transzformáltja Alkalmazva a határérték tételt: Y (s) = S(s)D(s) = R lim t y(t) r = lim Legyen például d(t) = (t), D(s) = /s.. eset Arányos rendszer vizsgálata s s D(s). (3.4) + G H (s) D(s). (3.4) + G H (s) Vizsgáljuk meg az arányos rendszer viselkedését. G H (s) = G H (s). Ekkor A hurokátviteli függvény alakja lim s s + G H (s) s = + K (3.42) ahol K a hurokerősítés tényező. Tehát a zavaró jel hatása megjelenik a kimeneten. 2. eset Integráló rendszer vizsgálata Legyen például d(t) = (t), D(s) = /s és tegyük fel, hogy a hurokátviteli függvény integráló alakú, azaz G H (s) = G H (s)/s. Ekkor lim s s s s + G H (s) s = (3.43) tehát a zavaró jel hatását a rendszer aszimptotikusan teljesen elnyomja, kompenzálja. Megjegyezzük, hogy a 2-típusú integráló tulajdonságú rendszer is kompenzálja a hibajelet. A témával kapcsolatos további részletes elemzéseket találni az irodalomban [9, 2]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

77 3.3. BIZONYTALANSÁGOK MODELLEZÉSE Bizonytalanságok modellezése P-K struktúra Szabályozott rendszer komponensei P rendszer és K szabályozó. A szabályozótervezés feladatait a z minőségi jellemzőkben definiáljuk, ugyanakkor a rendszerre w zavarás hat. A szabályozó az y mért jel alapján számítja ki a rendszer bemenő jelét (control input). A szabályozótervezés célja a minőségi jellemzők garantálása a zavarások valamennyi esetére. u w P K z y 3.7. ábra. P-K struktúra A bemenő és kimenő jelek alapján a P rendszer a következőképpen bontható fel: [ ] [ ] [ ] z P P = 2 w (3.44) y P 2 P 22 u Az u és y jelek közötti kapcsolat miatt (u = Ky a visszacsatolás következtében), a zavarás és a minőségi jelek közötti kapcsolat a következő: T zd = P P 2 (I + KP 22 ) KP 2 (3.45) Levezetés: z = P w + P 2 u, ahol u = Ky = K(P 2 w + P 22 u). Ebből u = (I + KP 22 ) KP 2 w és z = (P P 2 (I + KP 22 ) KP 2 )w. Minőségi jellemzők specifikálása: Minőségi jellemzők specifikálása (z r, z p, z p2 ) Referenciajel (r) Zavarások/mérési zajok (w, n) Szabályozójel (u) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

78 78 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK W ref r W cmd r + + z r W pr z r z p w w W w W p G u W u z p2 W p2 z p z p2 ũ K y + ñ W n n ábra. Példa egy súlyozási stratégiára A súlyfüggvények szerepe az egyes átviteli függvények bemenő és kimenő jeleinek skálázása. Jelkövetési feladatok: Referenciajel A referenciajelre alkalmazott W cmd súlyfüggvény szerepe a valódi r referenciajel jel normalizálása. A súlyozás a normalizált r referencia jelből r valódi referencia jelet állít elő. Egy tipikus jelkövető irányítás tervezésekor W cmd konstans az alsó frekvencián és levág a felső frekvencia tartományban. Követési specifikáció W ref a szabályozott rendszer ideális modelljét reprezentálja. Ezt a modellt választjuk meg a követési feladattal összhangban. Például a jelkövetéstől azt várjuk, hogy jó csillapítási tulajdonságokkal rendelkezzen. Egy másodrendű átviteli függvényben ω és ζ paramétereket specifikáljuk: W ref = ω 2 s 2 +2ζωs+ω 2. Követés minősítése Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

79 3.3. BIZONYTALANSÁGOK MODELLEZÉSE 79 A követés minősítésére alkalmazzuk a W pr súlyfüggvényt. A követési hiba általában kis frekvenciákon pontos, míg magasabb frekvenciákon pontatlanabb. Minőségi jellemzők: A szabályozott rendszerrel szemben általában több minőségi specifikációt írunk elő: W p és W p2 súlyfüggvények a következő minőségi jellemzőkre vonatkozhatnak: változó, amelyikre a minőségi jellemzőt specifikáltuk (elmozdulás, sebesség, gyorsulás, stb.) változó, amelyikre korlátokat kell figyelembe venni zavarás elnyomást kell biztosítani. Irányítójel, zavarás: W u súlyozással büntetjük az irányítást, azaz minél kisebb beavatkozással kíavánjuk az előírt minőségi specifikációkat biztosítani W w súlyozással határozzuk meg, hogy a zavarások várhatóan hogyan hatnak a rendszerre W n súlyozással írjuk le az érzékelő hibákat. A témával kapcsolatos további részletes elemzéseket találni az irodalomban [7, 22, 2] Modell bizonytalanság vizsgálata A dinamikus jelenségek leírására (közönséges/parciális) differenciál- egyenleteket használunk. Az egyenletek alakja/struktúrája, a bennük szereplő paraméterek általában nem ismertek teljesen pontosan vagy ha azok időben változnak, a változásuk nem ismert általában. A valódi rendszer modelljének pontos alakja a gyakorlati feladatokban nem ismert, s emiatt helyette annak közelítő, úgynevezett névleges (nominális) modelljét használjuk. A modell és a valós rendszer közötti eltérés több tényező okozza: Az eltérés oka egyrészt modellezési eljárás következménye (pl. a felharmonikusokat, illetve a magasabb fokszámú együtthatókat elhanyagoljuk), másrészt a rendszer működése során bekövetkező változások (pl. a normál üzem során a modell paraméterei változnak, az anyag kifáradás során változnak a rendszer paraméterei, sőt akár a struktúrája). Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

80 8 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK A rendszerekre külső zavarás hat. Még ha tudjuk is a hatásmechanizmust, a zavarás maga (nagysága) előre nem ismert és nincs is rá hatásunk. Nem mindig tudjuk kiadni azt az irányítójelet, amit szeretnénk. A mérések nem pontosak mérési zaj. Célszerű megkülönböztetni a zavarásokat az állandóan jelen levő bizonytalanságtól. A rendszerre ható külső zavarás, az irányí- tójel hibája, a mérési zaj. Az irányítás célja, hogy a zavarások hatását csökkentse a mérnöki szempontból érdekes (esetleg fiktív) kimenő jelekre. A modellben meglevő parametrikus bizonytalanságok és a nem modellezett dinamika hatása a modell és a rendszer eltéréseként, azaz a modell bizonytalanságaként értelmezhető. Egy irányítás megtervezésekor ezt a bizonytalanságot feltétlenül figyelembe kell venni. Az irányítástervezés célja stabilitás/performamcia garantálása adott nagyságú feltételezett bizonytalanság mellett. A témával kapcsolatos további részletes elemzéseket találni az irodalomban [7, 22, 2] Példa. Egy gépjármű felfüggesztési modelljének megkonstruálásakor több tényezőt kell figyelembe venni. a rugózott tömeg változik az utasok tömegének módosulásával, a felfüggesztés rugó vagy csillapítás karakterisztikája módosul, kerékabroncs dinamikája változik Force [N] Force [N] Linear stiffness Non linear stiffness z def [m] Linear damping Non linear damping z def [m] 3.9. ábra. Példa egy felfüggesztési rendszer modellezésére 3.4. Példa. A modellezés során a nemlinearitások hatásait célszerű figyelembe venni. A mechanikai rendszerek irányítására alkalmazott lineáris irányítási algoritmusokkal megvalósított szabályozási rendszer tulajdonságait nagymértékben leronthatják a mechanikai rendszerben jelenlevő (nemfolytonos) nemlinearitások. Néhány jellemző példa: szaturáció, surlódás, holtsáv, kotyogás, hiszterézis. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

81 3.3. BIZONYTALANSÁGOK MODELLEZÉSE Nem modellezett dinamika A modell és a rendszer közötti hiba meghatározására általános megoldás nincs, különböző szerkezetű lehetőségek közül az additív, illetve a multiplikatív hiba struktúra a legismertebb. A G(s) aktuális rendszer és a G N (s) névleges rendszer közötti eltérést additív hiba struktúrának nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül: G(s) = G N (s) + A (s), (3.46) ahol A (s) az additív hiba átviteli függvénye. Az additív hiba ismeretlen. A A (s) G(s) A (s) u(t) G N (s) y(t) 3.. ábra. Az additív bizonytalanság struktúrája ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Nyquist diagramon ábrázolhatjuk: A (s) = (s)w(s), (3.47) ahol ω skalár függvény. Az aktuális G(iω) rendszer Nyquist diagramja a névleges G N (iω) rendszer Nyquist diagramjával és a bizonytalanságot leíró w(iω) függvénnyel illusztrálható. A G(s) aktuális rendszer és a G N (s) névleges rendszer közötti eltérést multiplikatív hiba struktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül: G(s) = G N (s)( + M (s)), ahol M (s) a multiplikatív hiba átviteli függvénye. A M (s) ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Bode diagramon ábrázolhatjuk: M (s) = (s)w(s), (3.48) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

82 82 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK G(i ) w(i ) 3.. ábra. Bizonytalanság a Nyquist diagramon G(s) M (s) u(t) G N (s) y(t) 3.2. ábra. A multiplikatív bizonytalanság struktúrája ahol ω skalár függvény. Az aktuális G(iω) rendszer Bode diagramja a névleges G N (iω) rendszer Bode diagramjával és a bizonytalanságot leíró w(iω) függvénnyel illusztrálható Parametrikus bizonytalanság Gyakran a bizonytalanságok egy része a rendszert leíró modell paramétereinek változásával is megfogalmazható. Például az A rendszermátrixban lévő k rugóállandó és b csillapítási együtthatók változnak. Ezek a paraméterek a mátrix több elemében is előfordulhatnak. A bizonytalan rugóállandó paramétere a következőképpen modellezhető: k s = k s ( + d ks δ ks ), (3.49) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

83 3.3. BIZONYTALANSÁGOK MODELLEZÉSE 83 G N (i ) G(i ) 3.3. ábra. Bizonytalanság a Bode diagramon 3.4. ábra. Bizonytalanságok modellezése ahol k s a névleges rugóállandó, d ks a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg δ ks paraméterről azt tudjuk, hogy a [ ] intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó M struktúrája a 3.5 ábrán látható ábra. A bizonytalan rugóállandó modellezése k s = k s ( + d ks δ ks ) = k s + k s d ks δ ks A jelek közötti kapcsolatok: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

84 84 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK [ y y δks ] = [ ] [ ] ks u, (3.5) d ks ks u δks ahol u δks = δ ks y δks = δ ks d ks ks u. Emiatt [ y = ] ( k s + δ ks d ks ks )u. Az ismert ks komponenseket tartalmazó blokk: M ks = d ks ks Ha egy bizonytalan paraméter a nevezőben van, akkor a következőképpen járunk el. m s = m s ( + d ms δ ms ) (3.5) ahol m s a névleges tömeg, d ms a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg δ ms paraméterről azt tudjuk, hogy a [ ] intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó M struktúrája a 3.6 ábrán látható ábra. A bizonytalan tömeg modellezése m s = A jelek közötti kapcsolatok: m s ( + d ms δ ms ) = m s d ms m s δ ms ( + d ms δ ms ) (3.52) [ y y δms ] = [ m s d ms m s d ms ] [ u u δms ], (3.53) ahol u δms = δ ms y δms. Mivel y δms = u d ms u δms, ezért u δms = ( + d ms δ ms ) δ ms u. Emiatt y = m s u d ms m s u δms = ( m s d ms m s δ ms (+d ms δ ms ) )u. Az ismert komponenseket [ ] tartalmazó blokk: M ms = m s d ms m s. d ms Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

85 3.4. M- STRUKTÚRA M- struktúra A szabályozott rendszer komponensei az előzőek alapján a modell és a szabályozó, valamint a minőségi specifikációkkal és bizonytalanságokkal kapcsolatos információk. A 3.7 ábrán látható úgynevezett P K struktúrájú modellt használjuk a szabályozó tervezéséhez. e z y = P P 2 P 3 P 2 P 22 P 23 P 3 P 32 P 33 d w u (3.54) r m d e w P z u y K 3.7. ábra. P K struktúra Ha figyelembe vesszük a szabályozó hatását, azaz az irányítójel és a mért jel közötti kapcsolatot u = Ky, akkor az úgynevezett M- struktúrához jutunk. A 3.8 ábrán látható M modellt a szabályozott rendszer elemzéséhez használjuk. [ e z ] [ M M = 2 M 2 M 22 ] [ d w ] (3.55) 3.5. Példa. Tekintsük az 3.9 ábrán látható tömeg-csillapító-rugó rendszert (m tömeg, k csillapítási együttható, c rugóállandó). Differenciálegyenlete: ahol x a tömeg elmozdulása, F erő a rendszer gerjesztése. mẍ + cẋ + kx = F (3.56) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

86 86 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK r m d e w M z 3.8. ábra. M struktúra 3.9. ábra. Egy lengőrendszer dinamikájának modellezése A blokkdiagram a rendszer névleges modelljét illusztrálja. A valós rendszerben a fizikai paraméterek egyrészt nem ismertek pontosan, másrészt üzem közben változnak. Ismerjük viszont ezek átlagos értékét és becslésünk van az átlagos értéktől való eltéré Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

87 3.4. M- STRUKTÚRA 87 sükre. m = m( + p m δ m ) (3.57) c = c( + p c δ c ) (3.58) k = k( + p k δ k ) (3.59) A példában legyenek m = 3, c =, k = 2 a névleges értékek, pm =.4, p c =.2, p k =.3 és δ m, δ c, δ k reprezentálja, hogy a rendszer modellje, csillapítása és rugóállandója rendre 4%, 2%, 3% bizonytalanságú. A parametrikus 3.2. ábra. A parametrikus bizonytalanságok modellezése bizonytalanságok a következőképpen írhatók fel: m = m p m m δ m( + p m δ m ) = F U (M m, δ m ) (3.6) c = c( + p c δ c ) = F U (M c, δ c ) (3.6) k = k( + p k δ k ) = F U (M k, δ k ) (3.62) [ ] [ ] [ ] pm pc c pk k ahol M m =, M p m / m / m c =, M c k = Megjegyzés: A k kapcsolatokat felső bizonytalanság blokkal vettük figyelembe. A rendszer jelei közötti összefüggések ezek szerint a következőképpen alakulnak: [ ] [ ] [ ] ym pm u = m (3.63) ẍ p m / m / m u v c v k ahol [ yc v c [ yk v k ] [ ] [ ] pc c uc = c ẋ ] [ ] [ ] pk k uk = k x (3.64) (3.65) u m = δ m y m (3.66) u c = δ c y c (3.67) u k = δ k y k (3.68) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

88 88 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK továbbá v c = u c + cx 2 és v k = u k + kx ábra. Lengőrendszer modellezése parametrikus bizonytalanságokkal Válasszuk az állapotokat a következőképpen: x = x, x 2 = ẋ = ẋ, y = x, azaz ẋ 2 = ẍ = ẍ. ẋ = x 2 (3.69) ẋ 2 = p m m u m + m (u v c v k ) (3.7) y m = p m u m + (u v c v k ) (3.7) Ezek után felírhatjuk a parametrikus bizonytalanságokat tartalmazó rendszer modelljét: ẋ ẋ 2 y m y c y k y k c m p m m m m m m = k c p m p c c p k k x x 2 u m u c u k u (3.72) A lengőrendszer modellje G mds kizárólag az ismert m, k, c névleges paraméterektől és az ismert p m, p c, p k bizonytalnsági felső becslésektől függ. Így G mds ismert és nem Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

89 3.4. M- STRUKTÚRA 89 tartalmaz bizonytalanságokat. A B B 2 G mds = C D D 2 (3.73) C 2 D 2 D 22 [ ahol A = k m c m ] [, B = p m pc m p k m ] [ ], B 2 =, p m m ábra. Lengőrendszer modellje C = k c m p m m p c p m k m m c, D =, D 2 =, k C 2 = [ ], D 2 = [ ], D 22 = [ ]. A bizonytalanságokat tartalmazó δ paramétereket egy külön blokk tartalmazza. u m δ m y m u c = δ c y c (3.74) u k δ k y k A bizonytalan paraméterek hatása a 3.24 ábrán látható Bode diagramokon jól láthatók. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

90 9 3. STABILITÁS, MINŐSÉGI TULAJDONSÁGOK ÉS BIZONYTALANSÁGOK ábra. Lengőrendszer modellje a bizonytalanságokkal Bode plots of perturbed plants Magnitude (Log) 2 3 Frequency (rad/s) 5 Phase (deg) 5 2 Frequency (rad/s) ábra. Parametrikus bizonytalanságok hatása a Bode diagramra Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

91 4. fejezet Irányítástervezés frekvencia tartományban és állapottérben 4.. Soros kompenzátor tervezése 4... Soros kompenzátor tervezési elve Soros kompenzátor tervezése előírt fázistartalék elérése érdekében történik. A tervezési elv ismertetése érdekében első lépésben arányos soros kompenzátor tervezését mutatjuk be. A zárt rendszer átviteli függvénye: G C = G E + G H (4.) ahol G H a hurokátviteli függvény és G E az előrevezető ág eredő átviteli függvénye. Vizsgáljuk meg első lépésben egy arányos kompenzátor tervezését. Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója 2log A, míg fázisa a teljes frekvencia tartományban. Következtetés: Egy arányos tag az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan eltolja, mégpedig A > esetén felfelé, míg A < esetén lefelé, ugyanakkor a fázisfüggvényt nem módosítja. A soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy ω c vágási körfrekvenciához tartozó fázisszög éppen az előírt legyen. Olvassuk le a fázisszöghöz tartozó amplitúdó értékét és jelöljük ezt előjelhelyesen x-szel Az arányos soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan x-szel eltolja (miközben a fázisfüggvényt vátozatlanul hagyja). Tehát C = A-t a következőképpen kell megválasztani: 2log A = x (4.2) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

92 92 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN [tbp] r u C y G ábra. Soros kompenzátor felépítése ahol x az ábráról leolvasott érték, s ebből A kiszámítható: A = x 2 (4.3) Összefoglalva a soros kompenzátor tervezés lépései a következők:. C = választással felrajzoljuk a felnyitott hurok Bode diagramját. 2. Leolvassuk a ϕ t -hez tartozó x előjeles értékét és kiszámítjuk C = A soros kompenzátor értéket. Megjegyzés: Ha az amplitudó függvényt lefelé kell eltolni, akkor A <, míg ha felfelé, akkor A > erősítést várunk. 3. Megvizsgáljuk a zárt (szabályozott) rendszer minőségi tulajdonságait. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

93 4.. SOROS KOMPENZÁTOR TERVEZÉSE 93 Ha a cél egy dinamikus kompenzátor tervezése, akkor a tervezést megpróbáljuk visszavezetni arányos soros kompenzátor tervezésére: C(s) = AC (s) (4.4) ahol C (s) a kompenzátor átviteli függvényének ismert komponense. Például: C(s) = T i s = T i s (4.5) azaz A = T i és C (s) =. A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő: s G H (s) = AGC (s) = AG m (s) (4.6) ahol G m (s) = G(s)C (s). Ha a rendszer átviteli függvényét a C komponenssel módosítjuk, akkor G m (s) átviteli függvényhez jutunk. A tervezés során a G m (s) átviteli függvénnyel adott rendszert tekintjük szabályozandó rendszernek, amihez egy A arányos kompenzátort kell terveznünk. Természetesen a tervezett soros kompenzátort C(s) = AC (s) alakú. 4.. Példa. Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: G = 5 s 3 + 3s 2 + 2s Tervezzünk 3-os fázistartalékot biztosító arányos soros kompenzátort. Megoldás: Válasszunk kiindulásként C = arányos soros kompenzátort: (4.7) G H = GC = 5 s 3 + 3s 2 + 2s (4.8) Szerkesszük meg a felnyitott hurok Bode diagramját. Változtassuk meg C-t úgy, hogy a fázistartalék 3-os legyen, azaz ϕ t = 3 és a fázisszög ω c -nél: ϕ = 5. Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója 2log A, míg fázisa a teljes frekvencia tartományban. Jelen esetben A =.43 arányos soros kompenzátor oldja meg a feladatot (3-os fázistartalékot biztosít) Példa. Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: G = 5 s 2 + 3s + 2 (4.9) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

94 94 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 5 Amplitúdó függvény db rad/sec Fázis függvény 5 fok rad/sec 4.2. ábra. Soros kompenzátor felépítése 4 Amplitúdó függvény 2 db rad/sec Fázis függvény 5 fok rad/sec 4.3. ábra. Soros kompenzátor felépítése Tervezzünk jelkövetést biztosító soros kompenzátort, amelyik 3 -os fázistartalékot is garantál. Megoldás: A jelkövetés akkor biztosítható, ha a soros kompenzátor integráló tulajdonságú. Emiatt Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

95 4.. SOROS KOMPENZÁTOR TERVEZÉSE 95 a soros kompenzátort a következő alakban választjuk meg: C = A i s A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő: G H = CG = A i s G = A G i s (4.) (4.) Ha a rendszer átviteli függvényét G -nek tekintjük, akkor a továbbiakban egy arányos s soros kompenzátort kell terveznünk az. példában leírtakhoz hasonló módon. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

96 96 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Robusztusság ellenőrzése A következőkben megvizsgáljuk, hogy a modell alapján megtervezett szabályozó vajon stabilizálja-e a valós rendszert. Ehhez a modell bizonytalansági struktúráiból indulunk ki. Tekintsük a bizonytalanságot additív struktúrában. G(s) = G N (s) + A (s), (4.2) A továbbiakban feltesszük, hogy a rendszer névleges modelljén kívül ismerjük a szabályozó modelljét. Tegyük fel, hogy a G HN (s) = C(s)G N (s) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a G H (s) = C(s)G(s) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie. 4.. Tétel. Legyen G N (s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti additív hiba felső korlátját a teljes ω frekvencia tartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül: d A (ω) > C(iω) + G HN (iω), ω. (4.3) Ez a robusztus stabilitás feltétele additív hiba struktúra esetén. Tekintsük a bizonytalanságot multiplikatív struktúrában. G(s) = G N (s)( + M (s)), (4.4) A továbbiakban feltesszük, hogy a rendszer névleges modelljén kívül ismerjük a szabályozó modelljét. Tegyük fel, hogy a G HN (s) = C(s)G N (s) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a G H (s) = C(s)G(s) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie Tétel. Legyen G N (s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti multiplikatív hiba felső korlátját a teljes ω frekvencia tartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül: d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω), ω. (4.5) Ez a robusztus stabilitás feltétele multiplikatív hiba struktúra esetén. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

97 4.. SOROS KOMPENZÁTOR TERVEZÉSE Példa. Ismert egy versenyautó hátsó szárnyának irányítási célú névleges modellje G N (s) = 8 s + (4.6) és bizonytalanságára jellemző multiplikatív hibája M (s) = s (s + ) 2. (4.7) Az additív és a multiplikatív bizonytalanságok közötti összefüggés alapján számolja ki az additív bizonytalanság átviteli függvényét! Vizsgálja meg, hogy a C = 2 arányos soros kompenzátor robusztusan stabilizálja-e a rendszert az adott δ M = M esetén! Megoldás: G = G N ( + M ) = G = G N + G N M = G N + A = A = G N M (4.8) ( 8 + s ) = s + (s + ) 2 8 s + s2 + 2s + (4.9) (s + ) 2 Robusztusság vizsgálata A = G N M = 8s (s + )(s + ) 2 (4.2) 8 6 G N C + G N C = = 6 s + 6 = 6 s + (4.2) s+ 6 s+ 2 Grafikus vizsgálat: d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω) (4.22) A robusztus stabilitás követelménye nem teljesül Példa. Egy járműkomponens modelljére T I tag adódott G N (s) = s(s +.2) (4.23) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

98 98 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN ábra. A 4.3. Példa megoldása ábra. A 4.4. Példa részmegoldása A modell bizonytalansága additív struktúrában a következőképpen választható A (s) = 5s + 2 s 2 + 2s +. (4.24) Vizsgálja meg, hogy a C =. értékű szabályozó stabilizálja-e robusztusan a rendszert! Megoldás: Megrajzolva a A (ω) Bode-diagramját, leolvashatjuk az ω szerinti maximális értéket, A (ω) < 8.dB alapján A (ω) < 2.5. Robusztus stabilitási teszt alkalmazása során kiszámoljuk a bal oldal értékét: T N (ω) = A + AG N =. s 2 +.2s +. =. (s +.) 2, (4.25) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

99 4.. SOROS KOMPENZÁTOR TERVEZÉSE 99 ahonnan a Bode diagram alapján: A robusztus stabilitás teljesül. sup T N (ω) = (4.26) ω 4.5. Példa. Tegyük fel, hogy egy rendszer névleges modelljén kívül ismerjük a rendszer bizonytalanságára jellemző M multiplikatív hibát is a következő alakban: G N (s) = 5 s + M (s) = s2 2s s 2 + 3s + 25 (4.27) (4.28) Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi soros kompenzátorok közül melyek biztosítják az ismeretlen aktuális rendszer robusztus stabilitását.. eset C(s) = 8 2. eset C(s) =. Megoldás: Vizsgáljuk először a C(s) = 8 kompenzátor esetét (. eset). G HN (iω) = 4 iω + 4 G HN (iω) + G HN (iω) = iω+ + 4 iω+ = 4 iω + 4 (4.29) (4.3) A robusztusságra vonatkozó egyenlőtlenség nem teljesül, tehát tervezett szabályozás nem biztosítja a robusztusságot. Vizsgáljuk most a C(s) =. kompenzátor esetét (2. eset). G HN (iω) =.5 iω +.5 G HN (iω) + G HN (iω) = iω+ +.5 iω+ A tervezett szabályozás a robusztusságot biztosítja. =.5 iω +.5 (4.3) (4.32) 4.6. Példa. Tételezzük fel, hogy a szabályozni kívánt rendszert egytárolós névleges modellel közelítjük: G N (s) = 3 s +. (4.33) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

100 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN ábra. A C(s) = 8 kompenzátor esete ábra. A C(s) =. kompenzátor esete A modellezési hiba multiplikatív struktúrában ismert közelítése az alábbi: M (s) = s2 + 2s s 2 + 3s (4.34) Tervezzünk egy stabil zárt rendszert, amely a legnagyobb körerősítést biztosítja. Az alkalmazható szabályozó egyszerű arányos tag lehet! Megoldás: A névleges zárt szabályozási kör strukturálisan stabilis marad bármilyen nagy A körerősítés mellett. A robusztus stabilitási teszt alapján azonban megmutatható, hogy egy adott érték feletti erősítéssel a valódi zárt rendszert destabilizáljuk. A robusztus stabilitási teszt teljesül, ha sup ω G HN (ω) + G HN (ω) <, ω, (4.35) sup ω M (ω) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

101 4.. SOROS KOMPENZÁTOR TERVEZÉSE ahol G HN (ω) = AG N (ω) a névleges hurokátviteli függvény. Megrajzolva a M (ω) Bode-diagramját, leolvashatjuk az ω szerinti maximális értéket, M (ω) < 5.4dB alapján M (ω) <.86. A névleges zárt rendszer átviteli függvénye Multiplikatív robusztussági teszt / (iw) T N (iw), ha A C = T N (iw), ha A C = T N (iw), ha A C =/5 2 Amplitúdó [db] Frekvencia [rad/sec] 4.8. ábra. cim T N (ω) = ahonnan a Bode diagram alapján: 3A iω + + 3A = sup T N (ω) = ω 3A +3A + iω, (4.36) +3A 3A + 3A. (4.37) Ebből következik, hogy a robusztus stabilitás olyan A szabályozó erősítésekre teljesül, amelyekre A robusztus stabilitás feltétele tehát: 3A + 3A <.86. (4.38) A <.39. (4.39) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

102 2 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 4.2. PID szabályozás tervezése A PID egy arányos, egy integráló és egy differenciáló tag párhuzamos kapcsolata. A PID szabályozó tervezésekor az erősítéseket és az időállandókat kell megfelelően beállítani (hangolni). A PID irányítások elméletével kapcsolatos további részleteket találni az irodalomban [4, 5, 4]. Megjegyezzük, hogy a valóságban időtárolós differenciáló tag van az ideális differenciáló tag helyett. A szabályozó átviteli függvénye: r A P ( + T I s + T u y + Ds) G 4.9. ábra. PID szabályozó struktúrája ( K = A P + ) T I s + T Ds (4.4) ahol A P az arányos tag erősítése, T I az integráló tag időállandója, T D a differenciáló tag időállandója. Az u(t) jel és e(t) = r(t) y(t) hibajel közötti kapcsolat: ( u(t) = A P e(t) + t T I ) de(t) e(τ)dτ + T D dt (4.4) Zérus kezdeti feltételekkel Laplace transzformálva: ( U(s) = A P + ) T I s + T Ds E(s) (4.42) Példaként tekintsük a G = átviteli függvényű rendszert, amit különböző arányos (s+) 3 taggal szabályoztunk. A P = ; 2; 5. Növekvő erősítések mellett a szabályozási eltérés csökken ugyan, de a válaszfüggvény oszcillációja jelentősen növekszik. Tekintsük ugyanazt a G = átviteli függvényű rendszert. Ezúttal PI taggal végeztük a (s+) 3 szabályozást. Rögzítsük az arányos tagot A P = -re és változtassuk az integráló tag T I időállandóját. T I = ; 2; 5. Az integráló hatás eredményeként az állandósult állapotú hiba eltűnik. A válaszfüggvény oszcillációja T I növekedésével jelentősen Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

103 4.2. PID SZABÁLYOZÁS TERVEZÉSE Impulse function A P = A P =2 A P =5.4.2 Step function A P = A P =2 A P = sec sec 4.. ábra. Arányos tag hatása Impulse function T I = T I =2 T I = Step function T I = T I =2 T I = sec sec 4.. ábra. Arányos tag hatása csökkenthető, viszont ezzel együtt a beállási idő jelentősen növekszik. Tekintsük ugyanazt a G = átviteli függvényű rendszert. Ezúttal PID taggal végeztük a (s+) 3 szabályozást. Rögzítsük az arányos tagot A P = 3-ra, rögzítsük az integráló tag T I időállandóját T I = 2-re és változtassuk a differenciáló tag T D időállandóját. T D =.;.7;.4. A T D növekedésével a beállási idő jelentősen csökkenthető és a lengések jelentősen csillapíthatók. A differenciáló hatás a szabályozást gyorsítja. A PID szabályozó egy arányos, egy integráló és egy differenciáló tag párhuzamos kapcsolataként értelmezhető. ( K = A P + ) T I s + T Ds (4.43) A PID szabályozó egy másik alakja egy arányos, egy PI tag és egy PD tag soros kapcsolataként értelmezhető. Ekkor az egyes komponensek egymással kölcsönhatásban Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

104 4 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN.8.6 Impulse function T D =. T D =.7 T D = Step function T D =. T D =.7 T D = sec sec 4.2. ábra. Arányos tag hatása vannak. K = A P ( + ) T I s ( + T Ds) (4.44) P I D PD PI P 4.3. ábra. PID szabályozó struktúrája A kétféle felírás között a következő kapcsolat írható fel. A klasszikus alak komponensei: T I A P = A D P T I (4.45) T I = T I + T D (4.46) T D = T I T D T I + T D (4.47) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

105 4.2. PID SZABÁLYOZÁS TERVEZÉSE 5 A soros alak komponensei: A P = A P 2 T I = T I 2 T D = T I 2 ( ± 4T d /T i ) ( ± 4T d /T i ) ( 4T d /T i ) (4.48) (4.49) (4.5) Megjegyzés: A soros alak felírásának feltétele, hogy T i 4T d. A klasszikus alak általánosabb, mint a soros alak. Gyakran a tervezés (tuningolás) szempontjából a soros alak ledvezőbb. A két felírás P, PI, PD típusú struktúrák esetén ekvivalens. Különböző PID struktúrák választása esetén a két felírás paraméterei különböznek, azokat az összefüggéseknek megfelelően kell számítani. A PID struktúra egy másik elterjedten használt alakja: G = A P + A I s + A Ds (4.5) ) Ez az alak a klasszikus K = A P ( + + T T I s Ds PID alakkal ekvivalens. A két alak közötti kapcsolat: A P = A P (4.52) A I = A P T I (4.53) A D = A P T D (4.54) és az időállandók: T I = A P A I, T D = A D. A P A PID szabályozók tervezésekor a következő négy szempontot kell figyelembe venni: Zajszűrés Referenciajel súlyozás Beavatkozó telítődése Tuningolás, hangolás Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

106 6 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Zajszűrés A deriválási művelet mindig érzékeny a zajra. Tekintsük az alábbi példát: Tegyük fel, hogy a jel a következő alakú: y(t) = sin t + n(t), (4.55) ahol a zaj n(t) = a n sin(ω n t) alakú, ω frekvenciájú szinusz jel. A deriválást elvégezve: dy(t) dt = cos t + n(t), (4.56) ahol n(t) = a n ω cos(ω n t). Az eredmény azt mutatja, hogy habár az n zaj hatása az y eredeti jelre /a n, de a derivált alakban ez az arány ω/a n. A zaj aránya tetszőlegesen nagy lehet, ha ω nagy értékű. Deriválási művelet esetén a magas frekvenciás komponens hatását csökkenteni kell. Ennek érdekében az A P T D s ideális PD tag helyett egy egytárolós komponenssel módosított tagot alkalmazunk: D = A P T D s + s T D N (4.57) A komponens erősítése a nagyfrekvencia tartományban NA P értékre van korlátozva. Következésképpen megakadályozzuk, hogy az n zaj y jelre való hatása túl nagy értékre növekedjen. A PID szabályozó általános alakja a következőképpen módosul: K(s) = A P ( + T I s + Nagyfrekvenciás tartományban az erősítés értéke: T Ds + T D N s ) (4.58) lim K(s) = A P ( + N) (4.59) s N növelésével a sávszélesség növekszik, ami stabilitási szempontból kedvezőtlen. Emiatt további elsőrendű szűrőket alkalmazunk: F (s) = ( + st f ) n (4.6) ahol T f a filter állandója, ami kölcsönhatásban van a szabályozó időállandóival. T f célszerű megválasztása T f = T D /N. Egy példa a szűrő lehetséges megválasztására: K(s) = A P ( + T I s ) ( + T D s) ( + s T D N ) 2 (4.6) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

107 4.2. PID SZABÁLYOZÁS TERVEZÉSE Referenciajel súlyozás Gyorsan változó alapjel (egységugrás) esetén a szabályozó jelen impulzusszerű gyors válaszok jelenhetnek meg. Ezt a nemkívánatos jelenséget a referenciajel szűrésével oldhatjuk meg. Egy másik megoldási lehetőség a referenciajel megfelelő erősítésével történhet, amit referenciajel súlyozási eljárásnak nevezzük. A klasszikus PID esetén az u(t) jel: ( u(t) = A P e(t) + t ) de(t) e(τ)dτ + T D (4.62) T I dt A módosított PID szabályozó esetén az u(t) jel: ( u(t) = A P (br(t) y(t)) + t ( e(τ)dτ + T D c dr(t) dy(t) )) T I dt dt (4.63) Az integrátort közvetlenül a hibajelre alkalmazzuk, viszont az arányos komponenst és a deriválás komponensét a súlyozott referenciajel és a kimenőjel különbségére alkalmazzuk. A bemenőjel összefüggése: ( u(t) = A P (br(t) y(t)) + t ( (r(τ) y(τ)) dτ + T D c dr(t) dy(t) )) T I dt dt (4.64) ( U(s) = A P b + ) ( + cst D R(s) A P + ) + st D Y (s) (4.65) st I st I Az összefüggés azt mutatja, hogy a szabályozó struktúra elvileg két-szabadságfokú, melyeket egyrészt a referenciajelre, másrészt a kimenőjelre kell alkalmazni: U(s) = U (s) U 2 (s), ahol ( U (s) = A P b + ) R(s) = C r (s)r(s) (4.66) + cst D st ( I U 2 (s) = A P + + st D st I ) Y (s) = C y (s)y (s) (4.67) A referenciajel értékét egyrészt b erősítéssel, másrészt c erősítéssel módosítjuk. ( U (s) = A P b + ) + cst D R(s) = C r (s)r(s) (4.68) st ( I U 2 (s) = A P + ) + st D Y (s) = C y (s)y (s) (4.69) st I Megfelelő megválasztásukkal (hangolásukkal) a nagy tranziensek és túllendülések elkerülhetők. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

108 8 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN r b A P + + A P /T I c + d/dt A P /T D + + y 4.4. ábra. Referenciajel súlyozás 4.7. Példa. Példaként tekintsük a G = átviteli függvényű rendszert, amit PID (s+) 3 kompenzátorral szabályoztunk: A P = 3; T I = 2; T D =.5. A példában a súlyokat rendre b = ; b =.5; b = és c = értékekre választottuk. Az ábra a b erősítés hatását mutatja. A legkisebb túllendülést b = esetén értük el, ami azt jelenti, hogy a Input function b= b=.5 b=.2 Output function b= b=.5 b= sec 5 5 sec ábra. Referenciajel súlyozás referenciajelet az arányos komponensbe nem vittük be. Növekvő b mellett a túllendülés növekszik Beavatkozó telítődése Minden beavatkozó elemnek vannak korlátai. Ha a beavatkozó működése során telítésbe megy, akkor a rendszer nyílt hurokként működik, hiszen a beavatkozó nem tud nagyobb értéket generálni, bármit is kíván a szabályozó. Ha a szabályozó integrátort tartalmaz Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

109 4.2. PID SZABÁLYOZÁS TERVEZÉSE 9 és az aktuátor telítésbe megy, akkor a rendszer kimenetén egyre nagyobb érték jelenik meg, azaz nagy tranziensek keletkeznek. Több módszer van a windup elkerülésére. Referenciajel korlátozás: Annak érdekében, hogy elkerüljük az integrátor által okozott növekvő tranziensű jeleket, a referenciajel értékét korlátozzuk. Ez a megoldás konzervatív eredményhez és gyenge minőségi tulajdonságokhoz vezet. Sebesség algoritmus: Az algoritmus kiszámítja az irányítójel változásának (sebességének) értékét. Abban az esetben, ha az aktuátor telítésbe ment, az integrátorra adott jelet korlátozzuk, s ezzel megakadályozzuk a tranziensek növekedését. Tulajdonképpen az irányítójel változásának értékét korlátozzuk. Beavatkozójel számítása: Ha az aktuátor telítésbe megy, akkor az integrál jel értékét kiszámítjuk és módosítjuk annak érdekében, hogy a kimenetének korlátozását figyelembe vegyük. Az ábrán látható szabályozó egy további visszacsatolást tartalmaz, ami a beavatkozóra kiadott jel és a számított jel közötti különbségét alkalmazza. A két jel között egy sebességjel korlátozás van. Ha a nincs telítés, akkor a hibajel zérus és a visszacsatolásnak nincs hatása. Ha a jel telítésbe megy, akkor a nem zérus hibajelet a visszacsatoláson keresztül a szabályozó figyelembe veszi. yy e=r y KT d s K Actuator K/T i + + e /T t e s ábra. Referenciajel súlyozás Az integrátor bemenete: T t e s + K T i e, ahol e = r y a követési hiba, e s = u v a szaturációs blokk bemenete és kimenete közötti eltérés. Az integrátor bemenete: T t e s + K T i e, (4.7) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

110 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN ahol e a követési hiba. Állandósult állapotban az integrátor bemenetén zérus van, ezért az állandósult állapotú jel értéke e s = KTt T i e. Mivel az irányítójel értéke: e s = u v, (4.7) v = u lim + KT t T i e (4.72) ahol u lim az irányítójel telítési értéke. Ez azt jelenti, hogy a v jel a telítési értékre beáll és azt csak rövid ideig haladja meg. A visszacsatolásban alkalmazott T t időállandó megválasztása az integrátorra való hatás dinamikáját szabja meg Tuningolás, hangolás A szabályozó hangolásának egyik legegyszerűbb módszere a felnyitott hurok átmeneti függvénye alapján dolgozik. PI és PID szabályozóra a hurokerősítés az I hatás kiiktatásával történik. L az úgynevezett lappangási idő (holtidő és késleltetés), míg T a felfutási idő. Az ábráról leolvasott értékek alapján a hurokerősítés, az integrálási időállandó és a 4.7. ábra. Referenciajel súlyozás deriválási időállandó beállítható. A P T I T D P A P T/L PI A P.9T/L T I > 3.3L PD A P.2T/L T D <.25L PID A P.2T/L T I > 2L T D <.5L Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

111 4.3. PÓLUSALLOKÁCIÓS MÓDSZER PI szabályozásban a hurokerősítést a P szabályozáshoz képest célszerű lecsökkenteni. Ennek az oka, hogy a PI kompenzáció a 2dB/dek meredekségű szakaszt a kisfrekvenciák irányába tolja el az amplitudó görbét. A stabilitási tartalék növeléséhez emiatt a hurokerősítést célszerű kissé lecsökkenteni. PD és PID szabályozások esetén a hurokerősítés valamelyest növelhető a P szabályozáshoz képest. Ennek oka, hogy a PD és PID kompenzáció esetén a 2dB/dek meredekségű szakasz a nagyobb frekvenciák tartományában is folytatódik. A stabilitási tartalék még megfelelő marad, ha a hurokerősítést kissé növeljük. A szabályozó hangolásának Ziegler-Nichols módszere a szabályozási kör belengetése alapján dolgozik. A módszer lényege, hogy a szabályozást a hurokerősítés növelésével az állandósult lengés állotába hozzuk. A stabilitás határhelyzetében megmérjük a lengések T k periódusidejét és a beállított A k kritikus hurokerősítést. A meghatározott értékek alapján a hurokerősítés, az integrálási időállandó és a deriválási időállandó beállítható. A P T I T D P A P.5A k PI A P.45A k T I >.8T k PID A P.6A k T I >.5T k T D <.25T k 4.3. Pólusallokációs módszer A módszer elve és algoritmusa Adott egy rendszer n-dimenziós (A, b, c T ) állapottér reprezentációja: A rendszer karakterisztikus polinomja: ẋ = Ax + bu y = c T x. (4.73) a(s) = det(si A) = s n + a n s n a s + a. (4.74) Módosítsuk a rendszer dinamikáját az x(t) állapot visszacsatolásával, azaz legyen a bemenőjel u = k T x + r, (4.75) ahol r(t) egy külső alap-, vagy referencia jel a k pedig az állapot visszacsatolás erősítési tényezője: k T = [ k n... k ]. (4.76) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

112 2 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN r u b ẋ x c T y A k T 4.8. ábra. A visszacsatolt (zárt) rendszer blokkdiagramja Behelyettesítve a bemenőjel alakját az állapotegyenletbe, a zárt rendszer állapotegyenlete a következő lesz: ẋ = ( A bk T ) x + br (4.77) y = c T x, (4.78) amiből a zárt rendszer karakterisztikus egyenletére azt kapjuk, hogy α(s) = det(si A + bk T ) = s n + α n s n α s + α. (4.79) Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a k erősítés megfelelő megválasztásával a zárt rendszer karakterisztikus polinomja tetszőlegesen beállítható, ha az (A, b, c T ) rendszer irányítható. Mivel minden irányítható állapottér reprezentáció irányítható alakra hozható, tegyük fel hogy az alábbi rendszert irányítható alakra hoztuk. ẋ = A c x + b c u Ekkor a visszacsatolással módosult állapotmátrix: y = c T c x. (4.8) A c b c k T = (a n + k n )... (a + k ) (a + k ) = A zárt rendszer karakterisztikus polinomja: (4.8) α(s) = det(si A c + b c k T ) = s n + (a n + k n )s n (a + k )s + (a + k ), (4.82) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

113 4.3. PÓLUSALLOKÁCIÓS MÓDSZER 3 Ha a zárt rendszer pólusait előírjuk, akkor rögzítjük a p,..., p n pólusokat, amiből az ā(s) karakterisztikus polinom számítható: α(s) = (s p ) (s p n ) = s n + α n s n α s + α. (4.83) Ebben a kifejezésben α i -k az állapot visszacsatolással módosított karakterisztikus polinom együtthatói. A k i, a i és α i együtthatók közötti kapcsolat: A kompenzátor elemeinek számítása: α i = a i + k i, i =,..., n. (4.84) k i = α i a i, i =,..., n. (4.85) ahol a i -k az eredeti, míg α i -k a módosított karakterisztikus polinom együtthatói. A tervezés során tehát előbb meghatározzuk az eredeti rendszer, majd a tervezett rendszer karakterisztikus polinomját. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: det (si A) = s n + a n s n a s + a (4.86) A tervezett zárt rendszer karakterisztikus polinomja: det ( si A + bk T ) = s n + α n s n α s + α (4.87) Az együtthatók közötti összefüggések: Az állapot visszacsatolás értékei: a i + k i = α i (4.88) k i = α i a i (4.89) Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy T nem szinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható. Az irányíthatósági alakban jelöljük A c és b c -vel az állapotegyenlet együtthatóit. A tervezés ebben az irányíthatósági alakban történik, ami azt jelenti, hogy a tervezés eredményeként egy olyan k c állapot-visszacsatolást tervezünk, amely az irányíthatósági állapottér reprezentációra működik. A tervezett állapot visszacsatolt erősítőt vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére. A transzformálás összefüggése az alábbi: A tervezési lépések a következők: k T = k T c T (4.9) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

114 4 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN. Az irányíthatóság ellenőrzése. Ha a rendszer nem irányítható, akkor az állapot visszacsatolás módszere nem alkalmazható. 2. A rendszert irányíthatósági alakra hozzuk, azaz meghatározzuk T nem szinguláris mátrixot, amely a rendszert irányíthatósági alakúra hozza. T = (C(A, b)τ(a)) (4.9) Ha a rendszer eleve irányíthatósági alakban adott, akkor T mátrixot egységmátrixnak választjuk, azaz T = I. Megjegyezzük, hogy az új állapottérbe való transzformálás tényleges elvégzésére nincs szükség, elegendő a transzformációs mátrix meghatározása. 3. Meghatározzuk az eredeti rendszer karakterisztikus polinomját: a = [ a n a a ] T. (4.92) Ezután meghatározzuk a tervezett rendszer karakterisztikus polinomját: α = [ α n α α ] T. (4.93) Ezekhez a műveletekhez az eredeti rendszer A mátrixát és a szabályozott rendszertől megkövetelt új pólusokat kell felhasználni. 4. A kompenzátor komponenseit kiszámítjuk: k T c = [ k n k k ] (4.94) ahol k n = α n a n,..., k = α a, k = α a 5. Meghatározzuk az eredeti rendszerre vonatkozó erősítés együtthatóit. Az irányítójel az alábbi: k T = k T c T (4.95) u = k n x k x n k x n + r (4.96) 4.. Megjegyzés. A fenti lépéseket egyetlen összefüggésbe sűríthetjük: (α a) T = k T C(A, b)τ(a) (4.97) ahol a T = (C(A, b)τ(a)) az irányíthatósági alak előállítására szolgáló transzformációs mátrix. Az állapotvisszacsatolt erősítő: k T = (α a) T τ(a) C(A, b) (4.98) Az összefüggést az állapotvisszacsatolás erősítésének meghatározására szolgáló Bass Gura formulának nevezzük. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

115 4.3. PÓLUSALLOKÁCIÓS MÓDSZER 5 Összefoglalás. A pólusallokációs módszer alkalmazásának feltétele: Az állapotvektor elemei mértek legyenek. Az állapottér reprezentáció teljesítse az irányíthatósági feltételt. A szabályozott rendszer pólusai adottak legyenek. 2. A pólusallokációs módszer előnyei: A módszer végrehajtása egyszerű mátrix műveletekkel történik. A szabályozott rendszer stabilis. 3. A pólusallokációs módszer hátrányai: Az irányítójel tetszőlegesen nagy lehet. A pólusok elhelyezkedése és a minőségi tulajdonságok közötti kapcsolat bonyolult, heurisztikus szabályokra és mérnöki intuíciókra hagyatkozva kell a pólusok helyét előírni. A szabályozott rendszer minőségi tulajdonságai az állapot-visszacsatolt erősítő megtervezése után utólagosan vizsgálandók Példák a pólusallokációs módszerre 4.8. Példa. Irányíthatósági alakban adott rendszer pólus allokációja A = 7 7 ẋ = Ax + bu (4.99) y = c T x (4.) b = c T = [ ] (4.) Tervezzünk állapotvisszacsatolást, amelyik a rendszer pólusait az alábbi értékekbe helyezi: p = [ 2 3 ] (4.2) Megoldás Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: det (si A) = s 3 s 2 + 7s + 7 (4.3) a 2 = ; a = 7; a = 7 (4.4) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

116 6 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja: (s λ ) (s λ 2 ) (s λ 3 ) = (s + ) (s + 2) (s + 3) = s 3 + 6s 2 + s + 6 (4.5) α 2 = 6; α = ; α = 6. (4.6) Állapotvisszacsatolás erősítései: k 2 = 7; k = 6; k = k T = [ 7 6 ] (4.7) 4.9. Példa. Adott egy BMW 325ix lambda-szondájának átviteli függvénye: G(s) = 2s + 3 s 2 + 9s + 2 (4.8) Irja fel az átviteli függvényhez tartozó állapottér reprezentációt diagonális alakban! Tervezzen az így felírt állapottér reprezentációhoz állapot-visszacsatolást a p = 2+i, p 2 = 2 i pólusokkal! Megoldás: Diagonális alak előállítása: G = 2s + 3 s 2 + 9s + 2 = 2s + 3 (s + 4)(s + 5) (4.9) r = lim 2s + 3 = 5, s 4 (s + 4)(s + 5) (4.) r 2 = lim 2s + 3 = 7. s 5 (s + 4)(s + 5) (4.) Vezessük be új változóként az X (s), X 2 (s) változókat, ahol X (s) = r s λ U(s) = 5 U(s), (4.2) s + 4 X 2 (s) = r 2 U(s) = 7 U(s) s λ 2 s + 5 (4.3) Y (s) = X (s) + X 2 (s) (4.4) Az állapottér reprezentáció diagonális alakban: ] [ ] [ ] [ẋ 4 x = + ẋ 2 5 x 2 y = [ ] [ ] x x 2 [ ] 5 u (4.5) 7 (4.6) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

117 4.3. PÓLUSALLOKÁCIÓS MÓDSZER 7 Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: s 2 + 9s + 2 = a = 9; a = 2 (4.7) Szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja: (s λ )(s λ 2 ) = s 2 + 4s + 5 = α = 4; α = 5 (4.8) Állapotvisszacsatolás erősítései: k = 5; k = 7 k T c = [ 5 5 ] (4.9) Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy T nem szinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható. x c = T x ahol T = T c a transzformációs mátrix. Az állapotvisszacsatolt-erősitő összefüggése: a hasonlósági transzformáció alapján az alábbi: k T = k T c T. (4.2) Transzformációs mátrix: T = Cτ = [ ] (4.2) ahol C = [ ] [ 9, τ = ], (4.22) det(si A) = s 2 + 9s + 2. (4.23) Transzformációs mátrix: T = 35 [ ] (4.24) Az eredeti állapottérbe transzformálva: k T = k T c T = 35 [ ] [ ] (4.25) = [.4286 ] (4.26) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

118 8 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 4.. Példa. Adott a G(s) = 2s + 3 s 3 + s 2 + 9s + 22 (4.27) átviteli függvénnyel jellemzett rendszer. Írja fel a rendszer állapottér reprezentációját irányíthatósági alakban! Tervezzen az így felírt állapottér reprezentációhoz állapotvisszacsatolást a p = 2 + i, p 2 = 2 i, p 3 = pólusokkal! Megoldás Vezessünk be egy új változót: Z = s 3 + s 2 + 9s + 22 (4.28) Inverz Laplace transzformációval:... z = z 9ż 22z + u (4.29) Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = z, x 2 = ż, x 3 = z. Az állapotok deriváltjai: ẋ =... z = x 9x 2 22x 3 + u, ẋ 2 = z = x, ẋ 3 = ż = x 2. A kimeneti jel: y = 2ż + 3z = 2x 2 + 3x 3. Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ẋ 9 22 [ ] ẋ 2 = x + u (4.3) x ẋ 3 2 y = [ 2 3 ] [ ] x (4.3) x 2 Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: s 3 + s 2 + 9s + 22 = a 2 = ; a = 9; a = 22 (4.32) Szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja: (s λ )(s λ 2 )(s λ 3 ) = s 3 + 5s 2 + 9s + 5 = α 2 = 5; α = 9; α = 5 (4.33) Állapotvisszacsatolás erősítései: k 2 = 4; k = ; k = 7 k T = [ 4 7 ] (4.34) 4.. Példa. Nem irányíthatósági alakban adott rendszer pólus allokációja ẋ = Ax + bu (4.35) y = c T x (4.36) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

119 4.3. PÓLUSALLOKÁCIÓS MÓDSZER 9 A = b = 2 c T = [ ] (4.37) Tervezzünk állapotvisszacsatolást, amelyik a rendszer pólusait az alábbi értékekbe helyezi: p = [ 2 5 ] (4.38) Megoldás Transzformációs mátrix: T = CW = (4.39) ahol C = , W = 8, (4.4) det(si A) = s 3 + s 2 8s. (4.4) Transzformációs mátrix: T = Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: det (si A) = s 3 + s 2 8s a 2 = ; a = 8; a = Szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja: Állapotvisszacsatolás erősítései: (s λ ) (s λ 2 ) (s λ 3 ) = (s + ) (s + 2) (s + 3) (4.42) = s 3 + 8s 2 + 7s +. (4.43) α 2 = 8; α = 7; α = (4.44) k 2 = 7; k = 25; k = (4.45) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

120 2 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Megoldás az eredeti rendszerben: Az eredeti állapottérbe transzformálva: k T = kc T T = [ 7 25 ] k T c = [ 7 25 ] (4.46) k T c = [ 7 25 ] (4.47) = [ ] (4.48) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

121 4.4. LINEÁRIS KVADRATIKUS SZABÁLYOZÓTERVEZÉS Lineáris kvadratikus szabályozótervezés Az LQ módszer elve és algoritmusa Irányítandó rendszer: ẋ = Ax + bu (4.49) y = c T x (4.5) Tervezzünk állapotvisszacsatoló erősítést, ami egy lineáris kvadratikus (LQ) funkcionált minimalizál: LQ kritérium: J(x, u) = 2 u = k T x + r (4.5) T o [x(t) T Qx(t) + ru(t) 2 ]dt (4.52) ahol Q = Q T, Q és r > konstansok. A tervezési paraméterek meghatározzák az állapotok lineáris kombinációinak és az input energia fontosságát (súlyát): Q és R. A funkcionálban szereplő x T Qx tag a rendszer minőségi jellemzőit súlyozza, a rendszer teljes energiáját bünteti egy Q súlymátrix segítségével A funkcionálban szereplő ru 2 a rendszerbe betáplált szabályozó energiát súlyozza, r > skalár segítségével. Az irányítójel: ahol u = k T x + r (4.53) k T = r b T P (4.54) és P mátrixnak a következő Riccati egyenletet kell kielégítenie: A T P + P A P br b T P + Q =, (4.55) P > (4.56) Fontos feltétel: Az állapottér reprezentációnak teljesítenie kell az irányíthatósági feltételt. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

122 22 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Az optimális állapotvisszacsatolás megoldása. Az irányíthatóság ellenőrzése. C = [ b Ab A 2 b... ] (4.57) 2. Q és r súlyozó mátrixok megtervezése. Q tervezése az x állapotok alapján. r tervezése az irányítójel alapján, pl. r = 6 hatására az input jelet minimalizálni akarjuk, r = 6 esetén az input jelre nincs korlátozó előírás. 3. A Riccati egyenlet megoldása. A T P + P A P br b T P + Q =, P > (4.58) 4. k T állapotvisszacsatolás számítása. k T = r b T P (4.59) Az optimális irányítójel: u = k T x (4.6) 5. A zárt rendszer analízise. ẋ = (A bk T )x + br (4.6) y = c T x (4.62) Az LQ megoldás létezésére a következőket mondhatjuk: k T optimális a költségfüggvényre nézve. Az optimális megoldás létezik és egyértelmű. Az optimális megoldás létezik, ha a rendszer stabil és teljesíti az irányíthatósági (és a megfigyelhetőségi) feltételt. Ha a rendszer stabil, akkor a költségfüggvény értéke véges, mivel az állapotok és a szabályozó jel exponenciálisan zérushoz tart. Ha a rendszer nemstabil, de irányítható, akkor a pólusok a negatív félsíkba mozgathatók állapotvisszacsatolás alkalmazásával. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

123 4.4. LINEÁRIS KVADRATIKUS SZABÁLYOZÓTERVEZÉS 23 Megjegyzés: A megfigyelhetőség bizonyos esetekben szükséges: a nem megfigyelhető állapotoknak szerepelnie kell a költségfüggvényben. Ha van olyan nem megfigyelhető állapot, ami nem hat a költségfüggvényre, akkor a tervezés eredményeként a rendszer akár nemstabil is maradhatna. Az LQ megoldás robusztussága A zárt rendszer mindig stabil lesz. Az LQ tervezés a szabályozott rendszer pólusait automatikusan a bal oldali félsíkba helyezi. Az LQ optimális megoldás a végtelen erősítési tartalékot és a 6 -os fázistartalékot biztosít. GM = (4.63) P M 6 (4.64) Példák az LQ módszerre 4.2. Példa. Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő nem irányítható rendszerre: ẋ = [ ] [ x + ] u (4.65) Megoldás: Az irányíthatóság ellenőrzése: C = Az állapotvisszacsatolás k = [ k [ ẋ ẋ 2 ] = [ ] rangc = (4.66) k 2 ] T alkalmazásával: [ k k 2 ] [ x x 2 ] + mutatja, hogy x 2 állapot az input jellel nem módosítható Példa. Tervezzen LQ optimális szabályozást a [ ] u (4.67) G(s) = 2 s (4.68) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

124 24 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN átviteli függvénnyel leírt rendszerre, ha az irányíthatósági állapottér reprezentációjában mérjük a rendszer állapotait a következő költségfüggvény minimalizálásával: J = 2 (y 2 + ru 2 )dt, (4.69) ahol az r = 3.2 súly adott. Tervezze meg a q súly értékét! Tervezze meg az optimális állapotvisszacsatolást! Megoldás: Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ẋ = x + u (4.7) y = 2x (4.7) A feladatot visszavezetjük az optimalizálás standard alakjára az y = 2x összefüggés felhasználásával: J = azaz az állapotokat súlyozó mátrix q = 4. A Riccati egyenlet megoldása: o (4x u 2 )dt (4.72) A T P + P A P br b T P + Q =, P > (4.73) ahol A =, b =, Q = 4, r = 3.2. A megoldás: P =.6. Az állapot-visszacsatolt erősítő: azaz az optimális irányítójel: u =.5x + v. k T = r b T P =.5, (4.74) 4.4. Példa. Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő rendszerhez: [ ] [ ] ẋ = x + u (4.75) A tervezési paraméterek: Q = [ ] és r =. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

125 4.4. LINEÁRIS KVADRATIKUS SZABÁLYOZÓTERVEZÉS 25 Megoldás: Az irányíthatóság ellenőrzése: Riccati egyenlet megoldása: C = [ ] rangc = 2 (4.76) A T P + P A P br b T P + Q =. (4.77) [ ] p p A CARE megoldását keressük P = 2. Három megoldást találunk: [ ] [ p ] 2 p 22 [ ] 2 2 P =, P 3 2 =, P 3 =. Ezek közül P 3 a pozitív definit megoldás. k számítása: k = r b T P. (4.78) Az optimális állapotvisszacsatolás: k T = [ az optimális irányítójel: u = x x 2. ] és 4.5. Példa. Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő nem megfigyelhető rendszerre: [ ] [ ] ẋ = x + u (4.79) y = [ ] x (4.8) [ ] A tervezési paraméterek: Q = és r =. Megoldás: A nem megfigyelhető állapot szerepet játszik a költségfüggvényben. P > megoldást találunk. Az optimális állapotvisszacsatolás: k T = [..732 ] és az optimális irányítójel: u = x.732x Példa. Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő nem megfigyelhető rendszerre: [ ] [ ] ẋ = x + u (4.8) y = [ ] x (4.82) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

126 26 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN A tervezési paraméterek: Q = [ ] és r =. Megoldás: A nem megfigyelhető állapot nem játszik szerepet a költségfüggvényben. P > megoldás nem található. A tervezés nem végrehajtható Példa. Az u magassági kormány kitérítési szöge és a repülőgép bólintó szöge közötti kapcsolat állapottér reprezentációja irányíthatósági alakban a következő: Legyen a tervezési súlymátrixok a következők: ẋ = 2.5x + u (4.83) y = 2.5x (4.84) Q = 2.75 (4.85) r = (4.86) Megoldás: A Riccati egyenlet megoldása: A T P + P A P br b T P + Q =, P > ahol A = 2.5, b =, Q = 2.75, r =. Behelyettesítve: P 2 + 5P 2.75 =. A megoldás: P =.5. Az állapot-visszacsatolt erősítő: k T = r b T P =.5, azaz az optimális irányítójel: u =.5x + v. A zárt rendszer állapottér-reprezentációja: ẋ = 3x + v (4.87) y = 2.5x (4.88) 4.8. Példa. Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő rendszerhez: [ ] [ ] ẋ = x + u (4.89) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

127 4.4. LINEÁRIS KVADRATIKUS SZABÁLYOZÓTERVEZÉS 27 A tervezési paraméterek: Q = Megoldás: [ ] és r =... Riccati egyenlet megoldása: A T P + P A P br b T P + Q =. (4.9) [ ] A CARE megoldása: P = k számítása: Az optimális állapotvisszacsatolás: k T = [ ] és az optimális irányítójel: u = 3.623x 2.549x 2. k = r b T P. (4.9) GM = (4.92) P M = 65.5 (2.76 rad/sec) (4.93) Im Nyquist plot db 5 Magnitude 5 2 rad/sec 2 Phase Re deg ábra. A tervezés frekvencia tartományban Megjegyezzük, hogy a témával kapcsolatban további példákat találni az irodalomban [5,, 9, 22]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

128 28 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Pólusok és zérusok A szabályozott rendszer pólusai a det(si A + bk) = karakterisztikus egyenlet megoldásai. A Hamilton mátrix tartalmazza az optimális irányítás megoldásait, így sajátértékei az optimális megoldás pólusait is megadják. [ ] A H = r bbt Q A T (4.94) [ ] A B Felhasználva a det = det(a) det(d CA C D B) összefüggést, felírhatjuk a Hamilton mátrixra vonatkozó karakterisztikus egyenletet: [ ] si A det r bbt Q si + A T (4.95) = det(si A) det(si + A T r Q(sI A) bb T ) = (4.96) A karakterisztikus egyenlet (a levezetést mellőzve) a következő alakra hozható: det(si A) det( si A T ) (4.97) det [ r + b T ( si A T ) Q(sI A) b ] = (4.98) A Hamilton rendszer pólusai tartalmazzák a zárt rendszer pólusait, valamint a pólusok ellenkező előjelű értékeit egyaránt. Vizsgáljuk meg, hogy a szabályozó tervezésben alkalmazott súlyozás hogyan hat a szabályozott rendszer pólusaira. Válasszuk meg az irányítójelre adott súlyt a következőképpen: r = ρr, ahol r rögzített és ρ értékét változtatjuk. Válasszuk az irányítójelre adott súlyt nagy értékre: ρ. Az irányítási feladatot minél kisebb irányítójellel kívánjuk megoldani. A karakterisztikus egyenlet a következő alakhoz tart: det(si A) det( si A T ) det(ρr ) = (4.99) A szabályozott rendszer pólusai megközelítik az eredeti rendszer stabil pólusait, valamint az eredeti rendszer nemstabil pólusainak a képzetes tengelyre való tükörképét. Válasszuk az irányítójelre adott súlyt kis értékre: ρ. Az irányítási feladatban nincs előírás az irányítójel nagyságára nézve. A karakterisztikus egyenlet a következő alakhoz tart: det(si A) det( si A T ) (4.2) det [ b T ( si A T ) Q(sI A) b ] = (4.2) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

129 4.4. LINEÁRIS KVADRATIKUS SZABÁLYOZÓTERVEZÉS 29 Átalakítva: det [ b T adj( si A T )Qadj(sI A)b ] = (4.22) A szabályozott rendszer pólusai megközelítik az eredeti rendszer bal félsíkra eső zérusait vagy az eredeti rendszer jobb oldali zérusainak a képzetes tengelyre való tükörképét, illetve végtelenül nagy negatív értéket vesznek fel Példa. Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő rendszerhez: [ ] [ ] ẋ = x + u (4.23) 3 4 y = [ ] x (4.24) A rendszer pólusai p = [.32; 3.32 ] [ ], zérusai z = 4. A tervezési paraméterek: Q = és r = ρ változó. Megjegyzés: Az első állapotváltozót tekintjük kimenetnek, a többi állaptváltozóra súlyt alkalmazunk a tervezésben. Megoldás: ρ = választással a Hamilton mátrix sajátértékei: p H = [ ±3.28; ±.28 ], míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: p z = [ 3.28;.28 ], ρ választással a Hamilton mátrix sajátértékei: p H = [ ±3.32; ±.32 ], míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: p z = [ 3.32;.32 ], ρ választással a Hamilton mátrix sajátértékei: p H = [ ± ; ±4 ], míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: p z = [ ; 4 ], 4.2. Példa. Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő nem minimálfázisú rendszerhez: [ ] [ ] ẋ = x + u (4.25) 3 4 y = [ ] x (4.26) A rendszer pólusai p = [ 2.5 ±.866 ] [ ], zérusai z = 4 (pozitív). A tervezési paraméterek: Q = és r = ρ változó. Megjegyzés: Az első állapotváltozót tekintjük kimenetnek, a többi állaptváltozóra súlyt alkalmazunk a tervezésben. Megoldás: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

130 3 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN ρ = választással a Hamilton mátrix sajátértékei: p H = [ 2.65 ±.5i; 2.65 ±.5i ], míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: p z = [ 2.65 ±.5i ], ρ választással a Hamilton mátrix sajátértékei: p H = [ 2.5 ±.866i; 2.5 ±.866i ], míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: p z = [ 2.5 ±.866i ], ρ választással a Hamilton mátrix sajátértékei: p H = [ ± ; ±4 ], míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: p z = [ ; 4 ], A módszer alkalmazásának feltétele: Az állapotvektor elemei mértek legyenek. Az állapottér reprezentáció teljesítse az irányíthatósági feltételt. A módszer előnyei: A szabályozott rendszer stabilis. A szabályozással szemben megfogalmazott minőségi követelmények a Q és r súlyok megválasztásával beépíthetők a szabályozás tervezésbe. A módszer hátrányai: A különböző minőségi követelmények közötti ellentmondások és konfliktusok miatt a súlyok megválasztása bonyolult feladat. A súlyok tervezése során törekedni kell a minőségi követelmények közötti összhang megteremtésére. Emiatt az elért minőségi tulajdonságokat utólagosan ellenőrizni kell. A Riccati egyenlet megoldása numerikusan nehéz feladat. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

131 4.5. JELKÖVETŐ IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS Jelkövető irányítástervezés Állapot szeparálás módszere Induljunk ki az alábbi integráló tulajdonságú rendszerből, melynek állapottér reprezentációja a következő: ẋ = Ax + bu (4.27) y = cx (4.28) Integráló tulajdonságú rendszerhez jelkövetést biztosító szabályozó struktúra egy output visszacsatolt soros kompenzátort kombinál az állapot-visszacsatolással. Ha a rendszer maga integráló tulajdonságú, és a rendszer kimenetét is visszacsatoljuk, akkor ez a struktúra automatikusan biztosítja a referencia jelkövetést és az állapotvisszacsatolás a pólusok megfelelő elhelyezését. Válasszuk meg az állapotvektort úgy, hogy az első komponense éppen a rendszer kimenete legyen. Ebben a rendszerben az x állapotjelet nem csatoljuk vissza, helyette a rendszer kimenőjelét csatoljuk vissza negatívan és az így képzett különbséget erősítjük a k n értékkel. r + k 3 + u b A x x 2 x 3 x 4 c T y k 2 k k 4.2. ábra. Állapot szeparálás módszere Ekkor a bemenőjel és a kimenőjel az állapotvektor elemeivel a következőképpen Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

132 32 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN írható fel: u = k n (y r) k n 2 x 2... k x n k x n = k n x k n 2 x 2... k x n k x n + k n r = k T x + k n r (4.29) y = x (4.2) ahol k T = [ k n... k k ] (4.2) az állapotvisszacsatolás komponensei. Az input jelet az állapotegyenletbe helyettesítve a következő egyenletet kapjuk: ẋ = Ax + b ( k T x + k n r ) = ( A bk T ) x + bk n r. (4.22) A követési hiba: e = r y = r x. A szabályozott rendszer pólusai az A bk T mátrix sajátértékei, ami azt jelenti, hogy a fenti struktúra alkalmazásával a pólus allokációs technika gyakorlatilag változtatás nélkül használható. A szabályozott rendszer állapotmátrixa: A c = A bk T és input vektora: b c = bk n. Megjegyzés: állapottér átalakítása A megoldásban feltételeztük, hogy az állapotváltozókat sikerült úgy összeállítani, hogy a rendszer kimenete azonos az első állapotváltozóval. Ha ez nincs így, akkor egy transzformációt kell végrehajtani. Tegyük fel, hogy a rendszer átviteli függvénye a következő: Y (s) = b s n b n s + b n s n + a s n a n s + a n U(s) (4.23) Az első állapotváltozót úgy választjuk meg, hogy az azonos legyen a rendszer kimenetével: x = y. A többi állapotváltozó megválasztása a következőképpen történik: x 2 = ẋ β u x 3 = ẋ 2 β 2 u... x n = ẋ n β n u (4.24) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

133 4.5. JELKÖVETŐ IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS 33 ahol β = b, β 2 = b 2 a β, β 3 = b 3 a β 2 a 2 β,..., β n = b n a β n 2... a n 2 β. Végül az x n elsőrendű deriváltjára a következő alakot kapjuk: ẋ n = a n x a n x 2... a x n + β n u. (4.25) ahol β n = b n a β n... a n β. A fentiek alapján az állapottér reprezentáció a következő alakot kapjuk:... β... ẋ = x + β 2... β n u (4.26) a n a n a n 2... a β n y = [... ] x (4.27) A hasonlósági transzformációval kapott állapottérben az első állapotváltozó a kimenőjellel azonos Struktúra módosítás módszere Egy integrátort nem tartalmazó rendszer esetén a jelkövetést úgy kell megoldani, hogy integráló típusú soros kompenzátort alkalmazunk a visszacsatolásban. Ez állapot-visszacsatolást tartalmazó rendszerben azt jelenti, hogy az állapot-visszacsatolt struktúrát egy olyan output visszacsatolással kombináljuk, amely integráló tulajdonságú. Ebben a struktúrában valamennyi állapotvektort visszacsatoljuk a rendszer bemenetére. Ezen túlmenően egy integráló elemet építünk a rendszer előrevető ágába és ezt k i -vel erősítjük. Fentiek miatt ebben a struktúrában n + számú erősítést alkalmazunk. Egy új állapotváltozót definiálunk: z = t (r y)dt (4.28) Az állapot-visszacsatolt struktúrával a rendszer állapottér reprezentációja a következő: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) (4.29) y(t) = c T x(t) (4.22) u(t) = k T x(t) + k i z(t) (4.22) ż(t) = r(t) y(t) (4.222) Az állapot-visszacsatolt struktúrában a bemenőjelet az x, x 2, x n komponenseken kívül Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

134 34 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN r ż + z k i r u b A x x 2 x 3 x 4 c y k 3 k 2 k k 4.2. ábra. Struktúra módosítás módszere az r y hibajel figyelembe vételével állítjuk elő. A rendszer állapottér struktúráját a z komponenssel bővítjük, s ebben a bővített rendszerben végezzük el a tervezést. Az állapotegyenletek a következők: A kimeneti egyenlet: A bővített rendszer állapottér reprezentációja: [ẋ(t) ] = ż(t) y(t) = [ c T Az irányítójel összefüggése: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) (4.223) ż(t) = cx(t) + r(t) (4.224) [ A c T y = cx (t) (4.225) ] [ ] x(t) + z(t) ] ] [ x(t) z(t) [ ] b u(t) + [ ] r(t) (4.226) (4.227) u = k T x(t) + k i z(t) (4.228) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

135 4.5. JELKÖVETŐ IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS 35 Az állapottér reprezentáció: [ẋ(t) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A x(t) bk T bk = ż(t) c T + i x(t) + r(t) z(t) z(t) [ ] [ ] [ ] A bk T bk = i x(t) c T + r(t), (4.229) z(t) y(t) = [ c T ] [ ] x(t). (4.23) z(t) A követési hiba: e = r y = r cx. Ezzel a struktúrával automatikusan elérjük, hogy a szabályozott rendszer jelkövetést biztosítson. A pólus allokációt a bővített rendszerben végezzük el. A továbbiakban a hagyományos pólus allokációs technika használható. Az állapotvisszacsatoilt erősítés n + komponensű: k T a = [ k n... k k k i. ] (4.23) Az állapotvisszacsatolás [ tervezésének ] feltétele, hogy az irányíthatósági mátrix teljes A bk T bk rangú legyen: rang( i c T ) = n +. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

136 36 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Példák a jelkövető irányításra 4.2. Példa (Házi feladat). Rajzoljon fel egy jelkövető irányítási struktúrát az alábbi rendszerhez, amelyben a követendő jel az x állapot. Formalizálja az irányítójel és az x, x 2, x 3 állapotok közötti kapcsolatot. 3 2 A = b = c T = [ 2 ] Példa (Házi feladat). Rajzoljon fel egy jelkövető irányítási struktúrát az alábbi rendszerhez, amelyben a követendő jel az x állapot. Formalizálja az irányítójel és az x, x 2, x 3 állapotok közötti kapcsolatot és írja fel az irányítástervezés alapjául szolgáló modellt. 3 2 A = b = c T = [ 2 ] Példa. Tekintsük példaként a következő integráló tulajdonságú rendszert: 2 3 ẋ = 2 x + 2 u (4.232) 2 y = [ ] x (4.233) Az első állapot azonos a rendszer kimenetével. Tervezzünk jelkövető szabvályozást LQ módszerrel. Az LQ tervezés súlyozó tényezői: Q = R = (4.234) Az LQ tervezés eredménye: k T = [ 8 7 ]. (4.235) A zárt rendszer állapottér reprezentációja: ẋ = x + 2 r (4.236) 7 y = [ ] x (4.237) A megoldás szimulációját az alábbi ábrasor illusztrálja: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

137 4.5. JELKÖVETŐ IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS 37 2 Output y 2 State x 2 4 sec 2 4 sec State x 2 State x sec sec Példa. Tekintsük példaként az alábbi állapottér reprezentációban adott rendszert: 3 2 ẋ = 2 x +.5 u (4.238) 2 2 y = [ ] x (4.239) A bővített rendszer állapottér reprezentációja: 3 2 ẋ = 2 2 x u (4.24) y = [ ] x (4.24) Az LQ tervezés súlyozó tényezői: Q = R = (4.242) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

138 38 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Az LQ tervezés eredménye: k T = [ ]. (4.243) A zárt rendszer állapottér reprezentációja: ẋ = x + u (4.244). y = [ ] x (4.245) A megoldás szimulációját az alábbi ábrasor illusztrálja:.5.5 State x.2 State x sec sec.2 State x 3. State x sec sec ábra. A 4.24 példa megoldása Megjegyezzük, hogy a témával kapcsolatban további példákat találni az irodalomban [6,, 9, 22]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

139 4.6. MEGFIGYELŐTERVEZÉS Megfigyelőtervezés Tervezési feladat Az eddigiekben feltételeztük, hogy a rendszer állapotát mérni tudjuk. Az állapot ismerete szükséges az állapot-visszacsatolt szabályzó tervezéséhez. Ha nem ismerjük az x(t) állapotvektort, akkor egy olyan ˆx(t) (azonos dimenziójú) mennyiséget képzünk, mely aszimptotikusan közelíti az eredeti állapotot, tehát miközben t. Ha ismert (A, b, c T ) akkor ˆx(t) x(t) (4.246) ˆx(t) = Aˆx(t) + bu(t) (4.247) ŷ(t) = c T ˆx(t) (4.248) ˆx(t) (t=) = ˆx (4.249) ahol az állapot-becslés hibája e(t) = x(t) ˆx(t) minden t [, ). Az állapotbecslés hibájának időbeli változását annak differenciál egyenlete adja meg: ė(t) = ẋ(t) ˆx(t) (4.25) Levezethető, hogy e(t) (t=) = ê kezdeti értékkel egy homogén lineáris differenciálegyenlet: Vizsgáljuk az egyenlet megoldását: ė(t) = Ae(t). (4.25) s. e(s) e = Ae(s) (4.252) e(s) = (si A) e L {(si A) e } (4.253) e(s) = e At e (4.254) Ha e nem zérus, akkor az állapothiba lecseng, feltéve hogy az A mátrix stabil azaz, Re(λ i ) <, i =..n. és így e(t) miközben t. Az állapotegyenlet: ˆx(t) = Aˆx(t) + bu(t) + l{y(t) ŷ(t)} (4.255) ahol l = [l n l n 2... l ] T, l-nek n sora van. Ekkor az állapothiba ė(t) = ẋ(t) ˆx(t) (4.256) = (A lc T )e(t), (4.257) ha adott e(t) (t=) = ê akkor e (A lct )t e. Így az A minden elemét módosítani tudjuk, és minden sajátértékét tetszőlegesen meg tudjuk választani. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

140 4 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Ha az (A, b) irányítható volt hozzá rendelhettünk egy ún. irányíthatósági állapottér reprezentációt, n = 2-re a következőképpen : A c = [ ] a a, b c = [ ], c T c = [ ] b b (4.258) Ha az (c T, A) megfigyelhető hozzá rendelhettünk egy ún. alakot, n = 2-re a következőképpen : A o = [ ] a, b a o = [ b b megfigyelhetőségi ], c T o = [ ] (4.259) A két felírási mód közöttt a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens állapotterek, melynek bizonyítására írjuk fel az átviteli függvényeiket: G(s) = b s + b s 2 + a s + a = c T c (si A c ) b c = c T o (si A o ) b o (4.26) ([ ]) s + (si A o ) a = = adj(si A o) a s det(si A o ) [ ] s = a s + a (4.26) (s + a )s + a G(s) = = [ ] [ ] [ s b a s + a b s 2 + a s + a [ s ] [ b b ] ] s 2 + a s + a = b s + b s 2 + a s + a (4.262) Ez az (A o, b o, c T o ) reprezentáció átviteli függvénye, és azonos az irányíthatósági állapottérből képzett átviteli függvénnyel. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

141 4.6. MEGFIGYELŐTERVEZÉS Állapotmegfigyelő tervezése A megfigyelhetőségi és az irányíthatósági alakok között a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens állapotterek: A o = A T c, (4.263) b o = c c, (4.264) c T o = b T c, (4.265) A megfigyelő tervezés adott (A o, b o, c T o ) esetén, ismert ā, ā,..., ā n, mellett l i = ā i a i (i =,..., (n )) megválasztásával történik. A módosult állapotmátrix alakja a következő: Ā o = A o lc T = a n... a n a... l n l n 2. l [ ]... (4.266) A megfigyelő l erősítésére vonatkozó összefüggést dualitással kapjuk, ahol elvégezzük az alábbi megfeleltetéseket: amivel ellenőrizhető, hogy C(A, b) O(A T, c) T. A A T, (4.267) b c T, (4.268) k l, (4.269) l T = k T = (α a) T τ(a) O(A T, c) T (4.27) A dualitási elvből levezetett és a megfigyelő tervezésére vonatkozó Bass Gura formula az alábbi: l = O(A T, c) τ(a) T (α a) (4.27) ahol α a megfigyelő karakterisztikus egyenletének együtthatóiból képzett vektor. Az állapotmegfigyelővel ellátott körben a megfigyelő, mint dinamikus rendszer ˆx(t) = A oˆx(t) + b o u(t) (4.272) ŷ(t) = c T o ˆx(t) (4.273) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

142 42 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN [tbp] u ẋ x b c T y A b ˆx l ˆx c T ŷ A Állapotmegfigyelő ábra. Állapotmegfigyelő Illusztrációs példák Példa. Tervezzen megfigyelőt az alábbi megfigyelhetőségi állapottér reprezentációban ismert rendszerre: [ ] [ ] 4 A o = b 3 o = c T o = [ ] (4.274) 2 A tervezést pólusallokációs módszerrel végezze el p = és p 2 = 2 pólusokkal. Írja fel a megfigyelő állapotegyenletét! Adja meg a megfigyelő állapotegyenletének l vektorát! Megoldás: Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: det (si A o ) = s 2 + 4s + 3 a = 4; a = 3 A megfigyelt rendszer karakterisztikus polinomja: (s λ ) (s λ 2 ) = (s + ) (s + 2) = s 2 + 3s Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

143 4.6. MEGFIGYELŐTERVEZÉS 43 ā = 3; ā = 2 Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinom együtthatók alapján az megfigyelő erősítései a következők: l = ; l = l = [ ] (4.275) Ellenőrzés: A megfigyelőt alkalmazó rendszer karakterisztikus polinomja: det [ ] si A o + lc T o [[ ] [ ] [ ] s 4 [ ] ] = det + s 3 [ ] s + 3 = det = s 2 + 3s + 2 (4.276) 2 s Példa. Tervezzen megfigyelőt p = és p 2 = 3 pólusokkal az alábbi állapottér reprezentációban ismert rendszerre: [ ] [ ] 4 3 A c = b c = c T c = [ 2 ] (4.277) A megfigyelő tervezését az állapotvisszacsatolásnál megismert elvek alapján végezzük el. Az irányíthatósági alakból a megfigyelhetőségi alak közvetlenül megkapható: [ ] [ ] 4 A o = b 3 o = c T o = [ ] (4.278) 2 A megfigyelő tervezését az A o és b o mátrixok alapján végezzük el pólusallokációs módszerrel. Vegyük észre, hogy ez a rendszer nem irányíthatósági alakú, ezért a transzformációs mátrixot meg kell határozni. A rendszer karakterisztikus polinomja: det (si A c ) = s 2 4s + 3 (4.279) a = 4; a = 3 A szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja: (s λ ) (s λ 2 ) = (s + ) (s + 3) = s 2 + 4s + 3 (4.28) ā = 4; ā = 3 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

144 44 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinomok együtthatói alapján az erősítések a következők: ko T = [ 8 ]. Az erősítő a megfigyelhetőségi alakra alkalmazható, ezért át kell transzformálni az eredeti állapottérbe. A transzformációs mátrix számítása: T = Cτ = [ ] [ ] ā b o A o b o = [ ] [ ] 4 = [ 2 2 ] (4.28) T = adj(t ) det(t ) = [ ] = [.7333 ] (4.282) Az erősítő számítása: k T c = k T o T = [ ] (4.283) A dualitás elvét használva a megfigyelő értéke: [ ] l c = k c =.667 (4.284) Példa. Tervezzen megfigyelőt p = és p 2 = 3 pólusokkal az alábbi állapottér reprezentációban ismert rendszerre: [ ] [ ].5 A d =, b 3 d =, c T d = [ 3 5 ]. (4.285).5 A megfigyelő tervezéséhez előállítjuk az állapottér reprezentációs mátrixokat: [ ] A t = A T d = 3 [ ] 3 b t = c d = 5 A rendszer karakterisztikus polinomja: (4.286) (4.287) c T t = b T d = [.5.5 ] (4.288) det (si A d ) = s 2 4s Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

145 4.6. MEGFIGYELŐTERVEZÉS 45 a = 4; a = 3 A szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja: (s λ ) (s λ 2 ) = (s + ) (s + 3) = s 2 + 4s + 3 ā = 4; ā = 3 Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinomok együtthatói alapján az erősítés értékei: kt T = [ 8 ]. Az erősítő jelenleg egy mesterséges állapottérben van, amit át kell transzformálni az eredeti állapottérbe. A transzformációs mátrix számítása: T = Cτ = [ ] [ ] ā b t A t b t (4.289) = [ ] [ ] 4 = [ ] (4.29) ahol det(si A t ) = s 2 4s + 3, ā = 4. A transzformációs mátrix: T = adj(t ) det(t ) = 3 [ 5 ] (4.29) Az erősítő számítása: k T d = k T t T = [ ] (4.292) A dualitás elvét használva a megfigyelő értéke: [.3333 l d = k d = 2.4 ] (4.293) Példa. Tervezzen megfigyelőt az alábbi megfigyelhetőségi állapottér reprezentációban ismert rendszerre: 4 A o = 3 b o = 2 c T o = [ ] (4.294) 2 A tervezést pólusallokációs módszerrel végezze el p =, p 2 = 3, p 3 = pólusokkal. Írja fel a megfigyelő állapotegyenletét! Adja meg a megfigyelő állapotegyenletének l vektorát! Rajzolja fel a megfigyelő blokkdiagramját! Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

146 46 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Megoldás: Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: det (si A o ) = s 3 4s 2 + 3s 2 a 2 = 4; a = 3; a = 2 A megfigyelt rendszer karakterisztikus polinomja: (s λ ) (s λ 2 ) (s λ 3 ) = (s + ) (s + 3) (s + ) = s 3 + 4s s + 3 ā 2 = 4; ā = 43; ā = 3 Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinom együtthatók alapján az megfigyelő erősítései a következők: l 2 = 8; l = 4; l = 32 l = (4.295) Példa. Adott egy rendszer az alábbi állapottér reprezentációs alakban: [ ] [ ] A o = b 2 o = c T o = [ ] 2 Tervezze meg a megfigyelő állapotegyenletének l vektorát olymódon, hogy az instabil pólust az imaginárius tengelyre tükrözze, míg a stabil pólusot helyben hagyja! Írja fel a megfigyelő állapotegyenletét! Megoldás: Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja és pólusai: det (si A o ) = s 2 s 2 A tervezett megfigyelő pólusai: a = ; a = 2 λ = ; λ 2 = 2 λ = ; λ 2 = 2 A megfigyelt rendszer karakterisztikus polinomja: ( s λ ) ( s λ2 ) = (s + ) (s + 2) = s 2 + 3s Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

147 4.6. MEGFIGYELŐTERVEZÉS 47 ā = 3; ā = 2 Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinom együtthatók alapján az megfigyelő erősítései a következők: l = 4; l = 4 l = [ 4 4 Megjegyezzük, hogy a témával kapcsolatban további példákat találni az irodalomban [6, 2, 3, 7, 22]. ] Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

148 48 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 4.7. Dinamikus állapotvisszacsatolás A szabályozást a becsült állapotvisszacsatolással képezve kimenőjel visszacsatolásról beszélünk. u(t) = k T ˆx(t) + r(t) (4.296) r u ẋ x b c T y A b ˆx l ˆx c T ŷ A k T Állapotmegfigyelővel ellátott állapot-visszacsatolt szabályzási kör ábra. Állapotmegfigyelő Kombinált állapot visszacsatolást és megfigyelőt tartalmazó szabályozó struktúra: Rendszer Megfigyelő Irányítás: ẋ = Ax + bu (4.297) y = c T x (4.298) ˆx = Aˆx + bu + l (y ŷ) (4.299) ŷ = c T ˆx (4.3) u = k T ˆx + r (4.3) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

149 4.7. DINAMIKUS ÁLLAPOTVISSZACSATOLÁS 49 A becsült állapot dinamikája: A becslés hibája: e = x ˆx, továbbá a hiba dinamikája: ė = ẋ ˆx. Részletesen kifejtve: ˆx = Aˆx + bu + l (y ŷ) = Aˆx bk T ˆx + br + ly lc T ˆx = ( A bk T lc T ) ˆx + ly + br (4.32) ė = (Ax + bu) [ Aˆx bk T ˆx lc T ˆx + lc T x ] = ( A lc T ) x ( A lc T ) ˆx = ( A lc T ) e (4.33) Kombináljuk ezt az egyenletet a rendszer állapot egyenletével: [ẋ ] = ė Figyelembe véve a control inputot: az állapotegyenlet: [ A A lc T ] [ ] x + e [ ] b u (4.34) u = k T ˆx + r (4.35) ẋ = Ax bk T ˆx + br = Ax bk T x + bk T e + br Kombinált rendszer: [ẋ ] [ A bk T bk = T ė A lc T A zárt rendszer karakterisztikus polinomja: = ( A bk T ) x + bk T e + br (4.36) ] [ ] x + e [ ] si A + bk T bk det T si A + lc T [ ] b r (4.37) = det ( si A + bk T ) det ( si A + lc T ) (4.38) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

150 5 4. IRÁNYÍTÁSTERVEZÉS FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Bizonyítás: [ ] A B det = C ([ ] [ ] [ ]) A I I A det B = I C I [ ] [ ] [ ] A I I A det det det B = I C I det (A) det (C) (4.39) A szabályozott rendszer karakterisztikus egyenlete a következő két egyenlettel (és azok megoldásával) azonos: det ( si A + bk T ) = (4.3) det ( si A + lc T ) = (4.3) Következtetés: A szabályozott rendszer pólusai az LQ rendszer karakterisztikus egyenletének és a megfigyelő rendszer karakterisztikus egyenletének megoldásai Tétel. A megfigyelővel és állapot-visszacsatolt szabályzóval ellátott zárt rendszer karakterisztikus polinomja det(si A z ) = det(si A + bk T ) }{{} det(si A + lc T ) }{{} állapot-visszacsatolás megfigyelő (4.32) 4.. Következmény. Az állapot-visszacsatolt szabályzó és a megfigyelő függetlenül tervezhető. Az optimális állapot visszacsatolás és a megfigyelő tervezés egymástól függetlenül végrehajtható. A szabályozott rendszer struktúrájában az egyes tervezési eredményeket kombináljuk. k T megválasztásával az állapotvisszacsatolást tervezzük és a pólusokat az alábbi értékekbe helyezzük: Re [ λ i (A bk T ) ] <, i =, 2,..., n (4.33) l megfigyelő tervezésével a pólusokat a következő helyekre tesszük: Re [ λ i (A lc T ) ] <, i =, 2,..., n (4.34) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

151 4.7. DINAMIKUS ÁLLAPOTVISSZACSATOLÁS Példa. Az inverz inga egy egyenes pályán mozgó kocsiból és arra csuklóval felerősített, a kocsi mozgásának irányában elforgatható rúdból álló mechanikai rendszer. Θ(s) = s 2 g U(s) (4.35) l Tegyük fel, hogy állapotvisszacsatolást terveztünk pólus allokációs módszerrel, amelyben a pólusokat p = és p 2 = 2 helyekre tettük. A tervezett állapotvisszacsatolás: k T = [ 3 3 ] (4.36) Tervezzünk állapotmegfigyelőt a szabályozott inverz inga modellhez, ha a megfigyelő pólusai p,2 =. Megoldás: Az állapottér reprezentáció megfigyelhetőségi alakja: [ ] ẋ = x + [ ] u, (4.37) y = [ ] x (4.38) A tervezett rendszer karakterisztikus polinomja: ā(s) = (s+) 2 = s 2 +2s+, ahonnan ā = 2, ā =. Mivel a = és a =, ezért az állapotmegfigyelő erősítési mátrixa: A tervezett megfigyelő: l = ā a = ( ) = 2 (4.39) l = ā a = 2 () = 2 (4.32) l = [ 2 2 ] T (4.32) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

152 Irodalomjegyzék [] B.D.O. Anderson and J.B. Moore. Linear Optimal Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 97. [2] B.D.O. Anderson and J.B. Moore. Optimal Filtering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 979. [3] B.D.O. Anderson and J.B. Moore. Optimal Control. Linear Quadratic Methods. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 989. [4] K.J. Astrom and R.M. Murray. Feedback systems: An introduction for scientist and engineers. Princeton University Press, 2. [5] M Athans. The role and use of stochastic linear quadratic gaussian problem in control system design. IEEE Trans. Automatic Control, 6: , 97. [6] M. Athans and P.L. Falb. Optimal control. McGraw-Hill Book Company, New York, 966. [7] G. Balas, J.C. Doyle, K. Glover, A. Packard, and R. Smith. µ-analysis and snthesis toolbox. The Mathworks Inc., 993. [8] J. Bokor and P. Gáspár. Irányítástechnika jármudinamikai alkalmazásokkal. TypoTex Kiadó, 28. [9] F. Csáki. Fejezetek a szabályozástechnikából. Állapotegyenletek. Akadémiai Kiadó, Budapest, 973. [] R.C. Dorf and R.H. Bishop. Modern Control Systems. Addison-Wesley Publ. Comp.Inc., 984. [] T. Kailath. Linear systems. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 98. [2] R. Kalman. On the general theory of control systems. Proc. st IFAC Congress, Moscow, :48 492, Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

153 IRODALOMJEGYZÉK 53 [3] R.E. Kalman. A new approach to linear filtering and prediction problems. ASME Journal of Basic Engineering, 82D:35 45, 96. [4] L. Keviczky, R. Bars, J. Hetthéssy, and Cs. Bányász. Szabályozástechnika. Mûegyetemi Kiadó, Budapest, 26. [5] L. Keviczky and Cs. Bányász. Két-szabadságfokú irányítási rendszerek. Universitas-Gyor, 22. [6] K. Kurutz. Szabályozástechnika I. Mûegyetemi Kiadó, Budapest, 98. [7] B. Lantos. Irányítási rendszerek elmélete és tervezése. Akadémiai Kiadó, Budapest, 2. [8] L. Ljung. System identification: Theory for the user. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 987. [9] Maciejowski. Multivariable Feedback Design. Addison-Wesley, 989. [2] R. Tuschák. Szabályozástechnika. Mûegyetemi Kiadó, Budapest, 994. [2] K. Zhou and J.C. Doyle. Essentials of Robust Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 998. [22] K. Zhou, J.C. Doyle, and K. Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 996. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME