Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9.

Átírás

1 Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar szederkenyi@itk.ppke.hu PPKE-ITK, április 25. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 1 / 36

2 Tartalom 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 2 / 36

3 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 3 / 36

4 LQR: problémafelvetés Adott egy (MIMO) LTI állapottér-modell ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), x(0) = x 0 y(t) = Cx(t) egy funkcionál (szabályozási cél) J(x,u) = 1 2 T ahol Q T = Q, Q > 0 és R T = R, R > 0. 0 [x T (t)qx(t)+u T (t)ru(t)]dt Kiszámítandó beavatkozás: {u(t), t [0, T]}, amellyel J minimális az állapottér-modell megoldásai mentén (megszorítás) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 4 / 36

5 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 5 / 36

6 Variációszámítás 1 Probléma: Minimalizáljuk u-ra: J(x,u) = T 0 F(x,u,t)dt feltétel: ẋ = f(x,u,t). Megoldás: vektor Lagrange-multiplikátorokkal λ(.) J(x,ẋ,u) = T Hamilton-függvény H = F +λ T f. 0 [F(x,u,t) +λ T (t)(f(x,u,t) ẋ)]dt J = T 0 [H λ T ẋ]dt Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 6 / 36

7 Variációszámítás 2 ẋ parciális integrálással elmininálható [λ T x] T 0 = T 0 T λ T x + λ T ẋ 0 ekkor J = T 0 [H λt ẋ]dt-ból kapjuk: x és u variációja: J = [λ T x] T 0 + T 0 [H + λ T x]dt x(t) x(α,t) = x(t)+αη(t) u(t) u(β,t) = u(t)+βγ(t) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 7 / 36

8 Euler-Lagrange egyenletek 1 Kritériumfüggvény: I(α,β) = [λ T (t)x(α,t)] T T 0 x-hez és u-hoz I szélsőértéke tartozik, ha [H(x(α,t),u(β,t),t) + λ T (t)x(α,t)]dt I T α = I β = I α = 0, I β = 0 0 T 0 [ ] H x + λ T (t) η(t)dt = 0 H u γ(t)dt Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 8 / 36

9 Euler-Lagrange egyenletek 2 Euler-Lagrange egyenletek H x + λ T = 0 H u = 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 9 / 36

10 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 10 / 36

11 LQR Euler-Lagrange egyenletek Euler-Lagrange egyenletek a H = F +λ T f Hamilton-függvénnyel: H x + λ T = 0, H u = 0 LTI rendszerekre: f = Ax + Bu F = 1 2 (xt Qx + u T Ru) H = 1 2 (xt Qx + u T Ru)+λ T (Ax + Bu) LQR Euler-Lagrange egyenletek: x (xt Qx) = 2x T Q λ T + x T Q +λ T A = 0, λ T (T) = 0 u T R +λ T B = 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 11 / 36

12 Állapotok és társ-állapotok dinamikája Átrendezett Euler-Lagrange egyenletek λ+qx + A T λ = 0 u = R 1 B T λ Állapotegyenlet: ẋ = Ax(t)+Bu(t), x(0) = x 0 Mátrix-vektor alak [ ] [ ẋ(t) A BR = 1 B T λ(t) Q A T ][ x(t) λ(t) ], x(0) = x 0 λ(t) = 0 Rendszerdinamika + Hammerstein társ-állapot diff.e. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 12 / 36

13 LQR: irányítható&megfigyelhető eset Lemma * Ha (A, B) irányítható, akkor λ(t) = K(t)x(t), K(t) R n n A módosított állapot- és társ-állapot-egyenletek λ+qx + A T λ = 0 Kx + Kẋ = A T Kx Qx u = R 1 B T λ u = R 1 B T Kx ẋ = Ax + Bu ẋ = Ax BR 1 B T Kx Kx + K[A BR 1 B T K]x + A T Kx + Qx = 0 x(t). Mátrix Riccati differenciálegyenlet K(t)-re K + KA+A T K KBR 1 B T K + Q = 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 13 / 36

14 Stacionárius eset Speciális eset: stacionárius megoldás T J = 0 (x T Qx + u T Ru)dt lim K(t) = K i.e. K = 0 t Control Algebraic Riccati Equation (CARE) KA+A T K KBR 1 B T K + Q = 0 Tétel: (R. Kalman) Ha (A,B) irányítható, akkor a CARE-nak egyértelmű pozitív definit szimmetrikus megoldása van (K). Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 14 / 36

15 LQR és tulajdonságai Megoldás: lineáris statikus teljes állapotvisszacsatolás u 0 (t) = R 1 B T Kx(t) = Gx(t) ahol G = R 1 B T K. Zárt kör dinamikája ẋ = Ax BR 1 B T Kx = (A BG)x, x(0) = x 0 A zárt kör tulajdonságai a zárt kör aszimptotikusan stabil függetlenül A,B,C,R,Q értékétől, azaz Re λ i (A BG) < 0, i = 1,2,...,n a zárt kör pólusai Q és R megválasztásától függnek Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 15 / 36

16 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 16 / 36

17 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Rendszer: RLC kör. A nyitott kör (u = 0V ) válasza x(0) = [1 1] T kezdeti érték esetén. (Pólusok: 5 ± i) 1.5 i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 17 / 36

18 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Q = [ ], R = 0.1 Visszacsatolási erősítés: G = [2.9539, ] A zárt kör (A BG) pólusai: λ 1 = , λ 2 = Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 18 / 36

19 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A zárt kör működése i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 19 / 36

20 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 1 u be 0 1 feszültség [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 20 / 36

21 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Q = [ ], R = 1 Visszacsatolási erősítés: G = [0.6818, ] A zárt kör (A BG) pólusai: λ 1,2 = 8.409±8.409i Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 21 / 36

22 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A zárt kör működése i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 22 / 36

23 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 0.2 u be feszültség [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 23 / 36

24 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Q = [ ], R = 10 Visszacsatolási erősítés: G = [0.0944, ] A zárt kör (A BG) pólusai: λ 1,2 = ±8.6568i Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 24 / 36

25 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A zárt kör működése 1.5 i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 25 / 36

26 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 0.04 u be feszültség [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 26 / 36

27 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Szabályozandó rendszer: egyenáramú motor Paraméterek: J tehetetlenségi nyomaték 0.01 kg m 2 /s 2 b csillapítási tényező 0.1 Nm s K elektromotoros erő tényező Nm/A R ellenállás 1 ohm L induktivitás 0.5 H állapotváltozók, bemenet, kimenet: x 1 = θ szögsebesség [rad/s] x 2 = i átfolyó áram [A] u bemenő feszültség [V] y = x 1 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 27 / 36

28 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Állapottér-modell: [ ẋ1 ẋ 2 ] [ b = J K L y = [ 1 0 ][ x 1 x 2 K J R L ] ][ x1 x 2 ] +[ 0 1 L ] u Pólusok: , Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 28 / 36

29 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása A szabályozatlan rendszer működése u(t) = 5V bemenetre: 5 x 1 x x idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 29 / 36

30 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Állapotmegfigyelő tervezése Az állapotmegfigyelő előírt pólusai: -15, -16 ("gyorsabbak" az eredeti rendszer pólusainál) Az L mátrix értéke: [ ] 19 L = Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 30 / 36

31 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Stabilizáló állapotvisszacsatolás tervezése A tervezendő LQR szabályozó paraméterei: [ ] Q =, R = A kapott visszacsatolási erősítés: G = [ ] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 31 / 36

32 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Az állapotbecslővel kombinált stabilizáló visszacsatolás viselkedése A szabályozó által generált bementi feszültség: u [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 32 / 36

33 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása A visszacsatolt rendszer állapotváltozói x 3.5 x 1 x idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 33 / 36

34 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Az állapotbecslő működése x x 1 (tényleges) x 1 (becsült) x 2 (tényleges) x 2 (becsült) idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 34 / 36

35 3. Példa: Inverz inga szabályozása A súlyozómátrixok (tervezési paraméterek): A kiszámított visszacsatolási erősítés: Q = I 4 4, R = 1 G = [ ] A zárt rendszer sajátértékei: λ = i i Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 35 / 36

36 3. Példa: Inverz inga szabályozása A szabályozó működése: ipend_lq_1.avi Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 36 / 36