Analízis III. gyakorlat október

Átírás

1 Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer dierenciálható függvény. Igazolja, hogy ekkor ahol a Laplace operátor. div grad f = f, F1. zámolja ki az alábbi felületi integrált: F (x, y, z) d, ahol F (x, y, z) = (x, y, z) és az a felület, melyet alulról az z = x 2 + y 2 paraboloid, felülr l a z = 1 sík határol. Az n normálvektor mutasson mindig felfelé. Magyarázza meg geometriailag, hogy miért lesz negatív a kapott érték. F2. zámolja ki az alábbi felületi integrált: F (x, y, z) d, ahol F (x, y, z) = (,, z) és az a felület, melyet alulról az z 2 = x 2 + y 2 kúp, felülr l a z = 1 sík határol. F3. Legyen F (x, y) = (2y, x). Határozza meg ennek vonalintegrálját az egységkör mentén valamelyik módon: 1. közvetlenül, vagy 2. a Green tétel segítségével kett s integrálként. F4. Lássuk be, hogy az F (x, y, z) = (x, y, z) vektormez uxusa bármely sima zárt felületre megegyezik a közrezárt térfogat 3-szorosával. (Javaslat: G-O tétel) 1. Igazolja a tokes tételt a következ esetben: M az egység sugarú gömb x > félsíkba es félgömbjének felülete, M ennek határa, és F (x, y, z) = (x, z, y). 2. Igazolja a tokes tételt abban az esetben, ha az origó közep egységkörnek az a fele, melyben y, n az y tengely pozitív részével hegyesszöget zár be, és F (x, y, z) = (y, 2x, x). 1

2 3. Mondja ki és igazolja a tokes tételt abban az esetben, ha F (x, y, z) = (y, z, x) és az x + y + z = sík azon darabja, melyet az x 2 + y 2 = 1 henger metsz ki bel le (ellipszis). 4. Igazolja a tokes tételt a következ esetben: M az egység sugarú gömb fels félgömbjének felülete ("gömbhéj"), M ennek határa, és H(x, y, z) = (x, z, y) ill. G(x, y, z) = (y, z, x) 6. Határozza meg az F (x, y, z) = zyk vektormez uxusát a M felületre nézve, ha M az x 2 + y 2 = 1 henger egy darabjának a felszíne, melynek fels illetve alsó körlapja a z = 1 ill. z = sík ban van. G1. A Green tétel segítségével számolja ki egy deltoid területét: x(t) = 2a cos(t) + a cos(2t), y(t) = 2a sin(t) a sin(2t), tɛ[, 2π] G2. A Green tétel segítségével határozza meg egy asztroid által közrezárt területet. Ennek egyenlete: x 2/3 + y 2/3 = 1, tɛ[, 2π], lehetséges paraméterezése: x = cos 3 (t), y = sin 3 (t), tɛ[, 2π]. (Ism: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).) G3. Legyen R R 2 egy általános helyzet négyzet. Ennek határa = R.Igazolja, hogy az alábbi integrál értéke csak a négyzet nagyságától függ, nem az elhelyezkedését l: xy 2 dx + (x 2 y + 2x)dy 2

3 G3. A Green tétel segítségével határozza meg egy Descartes levél területét. A levél körvonalának egyenlete: x 3 + y 3 = 3xy, x, y. Paraméterezése: x(t) = 3t y(t) = 3t2, tɛ[, ]. 1 + t t3 (Javaslat: A számolás során használjuk ki, hogy y = tx.) Variációszámítás V 1. a) Írjuk fel az Euler-Lagrange egyenletet, és határozzuk meg az alábbi kifejezés stacionárius függvényét: [ ] 4u 2 (x) u 2 (x) dx, u() =, u(π) = 1. b) Határozzuk meg a fenti kifejezés stacionárius függvényét azzal a plusz feltétellel, hogy 2u(x) dx = 4 π. V 2. a) Írjuk fel az Euler-Lagrange egyenletet, és határozzuk meg az alábbi kifejezés stacionárius függvényét: /2 [ ] u 2 (x) u 2 (x) dx, u() =, u(π/2) = 1. b) Határozzuk meg a fenti kifejezés stacionárius függvényét azzal a plusz feltétellel, hogy /2 2u(x) dx = 6 π. 3

4 V 3. Határozza meg az alábbi kifejezés stacionárius függvényét: 2 1 u 2 (x) x 3 dx, u(1) =, u(2) = 15. V 4. Határozza meg az alábbi kifejezés stacionárius függvényét: /2 π/2 (u (x) 2 u(x) 2 ) dx, u( π/2) = u(π/2) = 1. V 5. Milyen függvény mellett lesz abszolút minimuma az alábbi funkcionálnak: a) ha a peremfeltételek u() = u(1) = 1 b) ha a peremfeltételek u() =, u(1) = 1. u 2 dx, V 6. Keressük meg az u() =, u(1) = 1 peremfeltétel mellett u függvények közül azt, amelyre a funkcionál értéke minimális, és a keresett függvény grakonja alatti terület az el re megadott T = 2 számmal egyenl! V 7. Legyen G R 3 annak a hengernek a felszíne, melynek alapja az (x, y) síkbeli egységkör. Adott két pont (1,, ), és ( 1,, 1). Határozza meg az ket összeköt legrövidebb görbét a hengerpaláston. V 8. Az egységgömb felszínén adott két pont P 1 = ( 1 1,, ) és P 2 = (,, 1). Határozzuk 2 2 meg a gömb felszínén a két pontot összeköt legrövidebb görbét. 4

5 Megoldások (Fokozatosan b vül) 2. Paraméterezések. Az felület paraméterezése: sin ϕ cos θ := {s(θ, ϕ) = sin ϕ sin θ : ϕɛ[, π], θɛ[, π]}. cos ϕ Ennek határa az (x, z) síkban lev egységkör. Ezt így adhatjuk meg: = {γ(t) : tɛ[, 2π]} IR 3, γ(t) = (cos(t),, sin(t)). (A körvonal harmadik koordinátája az irányítás miatt lesz negatív. "Lefelé" indul a görbe.) A tokes tétel: rot F d = Jobboldal. Kiszámoljuk a vonalintegrált. F (r) dr = F (γ(t), γ(t) dt Baloldal. = = rot (F ) = F (r) dr. (, 2 cos(t), cos(t)), ( sin(t),, cos(t)) dt ( cos 2 (t)) dt = π. i j k x y z y 2x x = j + k = (, 1, 1). A felület normálvektora n = (x, y, z), ezért rot (F ) n = y + z. Kiszámoljuk a felületi integrált. rot F n d = ( y + z) d = = ( sin ϕ sin θ + cos ϕ) sin ϕ dϕ dθ sin 2 ϕ dϕ sin θ dθ + cos ϕ sin ϕdϕ 5 dθ = ( )

6 A második integrál értéke, hiszen Az els integrál két tényez je cos ϕ sin ϕ dϕ = 1 2 sin(2ϕ) dϕ =. sin 2 ϕ dϕ = π 2, sin θ dθ = [ cos θ ] π = 2. Ezért ( ) = π. A két oldal valóban egyenl. G1. A Green tétel következménye szerint a terület így számolható: A(D) = y dx. Most dx = 2a sin(t) dt 2a sin(2t) dt, ezért y dx = (2a sin(t) a sin(2t))( 2a sin(t) dt 2a sin(2t)) dt = = [ 4a 2 sin 2 (t) 2a 2 sin 2 (2t) + 2a 2 sin(t) sin(2t) ] dt. Tagonként integrálva: sin 2 (t) dt = π = sin 2 (2t) dt. Ezért sin(t) sin(2t) dt = 2 sin 2 (t) cos(t) dt =. A(D) = 4a 2 π 2a 2 π = 2a 2 π. G2. A Green tétel következménye szerint a terület így is számolható: A(D) = 1 (x dy y dx). 2 Most dx = 3 cos 2 (t)( sin(t)) dt, dy = 3 sin 2 (t) cos(t) dt. 6

7 Ezért x dy y dx = [ 3 cos 4 (t) sin 2 (t) + 3 sin 4 (t) cos 2 (t) ] dt = = 3 cos 2 (t) sin 2 (t) [ sin 2 (t) + cos 2 (t) ] dt = 3 cos 2 (t) sin 2 (t) dt = 3 4 sin2 (2t) dt. Végül A(D) = 1 2 (x dy y dx) = 3 8 sin 2 (2t) dt = 3π 8. 7