Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
|
|
- Ákos Varga
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál kiszámítása definíció szerint, primitív függvény, Newton-Leibnitz szabály. Legyen f : R R, f(x, y = (y, x. a, Tekintsük az r : R R utat, r : y = x, x [, ]. Számítsuk ki r f értékét definíció szerint. b, Legyen a K : R R zárt görbe a következőképpen megadva K : x + y =, óramutató járásával megegyező irányban egy körbefutásnyi. Számítsuk ki K f értékét. c, Van-e f-nek primitív függvénye? Ha igen, akkor határozzuk meg.. Legyen f(x, y = (y, x. K : x + y =, óramutató járásával ellentétes irányban egy körbefutásnyi. a, Számítsuk ki K f értékét. b, Van-e f-nek primitív függvénye? c, Mi a helyzet, ha az út irányítását megfordítjuk? d, Meg tudnánk-e adni egy nemtriviális zárt görbét, amin a másodfajú vonalintegrál?. ("Ellenpélda" Legyen f(x, y = ( y x,. K : x + y =, óramutató járásával ellenkező x +y x +y irányban egy körbefutásnyi. Számítsuk ki K f értékét. B, gyakorló feladatok. Legyen f(x, y = (x + y, x y. Határozzuk meg f primitív függvényét!. Legyen f(x, y = (x, y. Legyen r a következő háromszögvonal: (, -ból indul, egyenes szakaszokon a (, és (, pontokon áthalad, majd visszatér az origóba. r f =?. Legyen f(x, y = (x + y, y + x. r : y = x, x [, ]. Számítsuk ki r f értékét. 4. Határozzuk meg az alábbi f : R R függvények primitív függvényét. a, f(x, y, z = (yz, xz, xy; b, f(x, y, z = (x yz, y xz, z xy; c, f(x, y, z = ( y + y z, x z + x y, xy z. 5. Legyen f(x, y = (x xy, y xy. r : y = x, x [, ]. r f =? 6. Legyen f(x, y = (x + y, x y. r : y = x, x [, ]. r f =? 7. (szorgalmi Legyen f(x, y = ( y, x xy+y x x xy+y. Határozzuk meg f primitív függvényét!
2 Megoldások A//a, Az r görbe paraméterezése: r(t = (t, t, t [, ], deriváltja r (t = (, T. ( f = f(r(t, r ( (t dt = t t dt = t dt =. K r A//b, A K görbe paraméterezése: K(t = (cos( t, sin( t = (cos t, sint, t [, π], deriváltja K (t = ( sint, cos t T. π ( ( sint π f = sint cos t dt = sin t cos t dt = cos t dt =. cos t π A//c, f differenciálható (léteznek a parciális deriváltjai és folytonosak egész R -en, továbbá y f = x f = (azaz f szimmetrikus, így létezik primitív függvénye. Tudjuk, hogy f primitív függvényére F = f, vagyis: x F = f, azaz x F = y F(x, y = xy + g(y, illetve y F = f, azaz y F = x F(x, y = xy + h(x. Ebből kapjuk, hogy F(x, y = xy + C, ahol C R tetszőleges konstans. Másik lehetőség a primitív függvény meghatározására, ha kiintegráljuk f-et egy (x, y-ba vezető úton (a kezdőpont tetszőleges, de nem lehet (x, y. Válasszuk az r út kezdőpontjának az origót. Az utunkat két részre bontjuk: először haladjunk az x- tengelyen (x, -ig, majd innen párhuzamosan az y-tengellyel egészen (x, y-ig. A két út paraméterezése a következő: r (t = (t,, t [, x], deriváltja r (t = (, T. r (t = (x, t, t [, y], deriváltja r (t = (, T. r f = f + f = r r x ( t ( y ( ( dt + t x Az összes primitív függvény ettől csak konstansban tér el. y dt = + x dt = [xt] y = xy. A//a, A K út paraméterezése a következő: K(t = (cos t, sint, t [, π], deriváltja pedig K (t = ( sint, cos t T. π ( ( sint π π f = sint cos t dt = sin t cos t dt = dt = π. cos t K A//b, Nincs, mert y f = x f =. A//c, Ellentétes irányítottságú úton a vonalintegrál a -szeresére változik, így π. A/, Mivel y f = y x = (x +y x f, így az az érzésünk lehet, hogy van primitív függvénye f-nek. Továbbá zárt görbén integrálunk, így -át kéne kapjunk. De K f = π ( sint cos t ( sint cos t dt = π sin t + cos t dt = π. A magyarázat az, hogy a K utat bele kéne tudjuk foglalni egy egyszeresen összefüggő tartományba, amely tartomány minden pontjában meg kell egyezzenek f keresztben vett parciális deriváltjai. Vegyük észre, hogy az origóban a parciális deriváltak nincsenek értelmezve (már f sem volt. Így az origót ki kéne vágni a tartományunkból, viszont ha azt akarjuk, hogy ugyanakkor K-t tartalmazza, akkor meg nem lesz egyszeresen összefüggő. B/, Hasonlóan járunk el, mint a A//c, feladatnál: x ( ( f = f + f = t t r r r x t dt + x x t dt = x y ( ( dt + x + t x t + xy y. dt =
3 Tehát f összes primitív függvénye: F(x, y = x y + xy + C, ahol C R tetszőleges konstans. Másképp: x F = f, azaz x F = x + y F(x, y = x + xy + g(y, illetve y F = f, azaz y F = x y F(x, y = xy y + h(x. Ahonnan már adódik F. B/, Az r út nem túl szép, így reménykedünk, hogy van f-nek primitív függvénye, mert akkor az integrál értéke csak az út kezdő- és végpontjától függ. f differenciálható egész R -en és y f = = x f, vagyis létezik primitív függvénye. Válasszunk egy kellemesebb ˆr utat: ˆr(t := (t, t, t [, ], deriváltja r (t = (, T. f = f = r ˆr ( t + t t + t ( B/5, r paraméterezése: r(t = (t, t, t [, ], deriváltja r (t = (, t T. r f = ( t t t 4 t ( t dt = dt =... = 5. t t + t 5 4t 4 dt = 4 5. B/6, Az r görbe két egyenesszakaszból áll, az r darab a (, pontból az (, pontba, a r darab az (, pontból a (, pontba fut. r paraméterezése: r (t = (t, t, t [, ], r (t = (,. r paraméterezése: r (t = (t, t, t [, ], r (t = (,. f = f + f = r r r ( t ( ( dt + t + ( t t ( t ( dt = Eredmények t dt + B/4/a, F(x, y, z = xyz + C, C R tetszőleges. 8 8t + t dt = + = 4. B/4/b, F(x, y, z = (x + y + z xyz + C, C R tetszőleges. B/4/c, F(x, y, z = xy z x y + x + C, C R tetszőleges. B/7, F(x, y = 8 arctg( 8x (y x + C. Útmutatások B/, r f =, mert f-nek létezik primitív függvénye (f differenciálható és yf = x f =.
4 .Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, gyakorló feladatok. Határozzuk meg f(x, y = (x, y primitív függvényét.. Legyen f(x, y = (x + xy y, x xy y. Határozzuk meg f primitív függvényét!. Legyen f(x, y = (x +y, y x. Az T út pedig egy téglalap, melynek csúcsai a belyárás szerinti sorrendben (,, (,, (, 4, (, 4. T f =? 4. Legyen f(x, y, z = (y, z, x. S(t = (acos t, asint, bt, ahol t -tól π-ig nő. S f =? B, komolyabb feladatok. Legyen f : R R differenciálható függvény. Bizonyítsuk be, hogy f pontosan akkor szimmetrikus, ha rot f =.. Legyen g : R R tetszőleges differenciálható függvény. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x, y = (xg(x +y, yg(x +y függvény minden szakaszonként sima zárt útra vett másodfajú vonalintegrálja.. Legyen f(x, y = (e x +y x, e x +y y egy fizikai erőtér. Határozzuk meg a végzett munkát, ha az origóból az (, pontba jutunk el. (használjuk az előző feladatot 4. Legyen f : R R folytonos függvény. Bizonyítsuk be, hogy r f KM, ahol K az r szakaszonként sima út hossza és M = max r f + f. y x, (x +xy+y 5. Legyen f(x, y = (. Bevezetve az I (x +xy+y R := x +y =R f jelölést, mutassuk meg, hogy lim R I R =. (használjuk az előző feladatot 6. Mutassuk meg, hogy a gravitációs erőtér konzervatív! 4
5 Megoldások A/, (Az./A//c, illetve./b/ feladat mintájára.. megoldás: Olyan F : R R függvényt keresünk, amelyre x F(x, y = x F(x, y = x + h(y alakú, ahol h(y egy csak y-tól függő tag, illetve y F(x, y = y F(x, y = y + g(x alakú, ahol g(x egy csak x-től függő tag. A kettőt egybevetve f összes primitív függvénye: F(x, y = x + y. A megoldás vonalintegrállal: r (t = (t,, t [, x], r (t = (, T,, r (t = (x, t, t [, y], r (t = (, T. r f = f + r f = r x Ahonnan F(x, y = x + y + C. B/, Az f mátrix a következő: ( t ( f = y ( ( + x t x f y f z f x f y f z f x f y f z f, = + C, C R tetszőleges konstans. x y t dt + t dt = x + y. ahol f, f és f jelöli f koordináta-függvényeit. Az f mátrix szimmetrikussága azt jelenti, hogy a főátlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemek egyenlők, azaz x f = y f, x f = z f és y f = z f. Az f rotációja: rotf = i j k x y z f f f = ( yf z f, z f x f, x f y f. rotf nullával való egyenlősége azt jelenti, hogy y f = z f, z f = x f és x f = y f, ami megegyezik az f szimmetrikusságából előbb kapott feltételrendszerrel. B/, Az f folytonos függvény minden szakaszonként sima zárt útra vett másodfajú vonalintegrálja feltétel azt jelenti, hogy a vonalintegrál független az úttól, vagyis f-nek létezik primitív függvénye. Nekünk tehát azt kell belátni, hogy van primitív függvénye. f differenciálható, így f szimmetrikussága ezt már maga után vonja. Itt ez teljesül, hiszen y f = xg (x + y y = x f. B/, Mivel f a B/. feladat szerinti alakú (g = exp, így létezik primitív függvénye. Ezért a megadott pontokat összekötő akármilyen út mentén haladhatunk. Válasszuk az egyenesszakaszt: r(t = (t, t, t [, ], r (t = (, T. r f = ( e t t e t t ( dt = t e t = [ ] et = (e. B/4, Legyen r : [a, b] R szakaszonként sima út. Ennek ívhossza K = b a r (t dt. b f = f(r(t, r b b (t dt f(r(t, r (t dt f(r(t r (t dt r a a Itt a norma az euklideszi normát jelenti, és felhasználtuk, hogy egy függvény integrálja abszolút értékben kisebb vagy egyenlő, mint a függvény abszolút értékének az integrálja, valamint a CBSegyenlőtlenséget. A f(r(t = (f (r(t + (f (r(t tényezőt az r út menti abszolútértékben legnagyobb értékével becsüljük felülről. Ez már egy szám, így kivihetjük az integrál elé, így b f r a f(r(t r (t dt max f r + f b a a r (t dt = MK. 5
6 B/5, Az előző feladat alapján I R K R M R, ahol K R = Rπ, és M R a függvény euklideszi normájának a maximuma az R sugarú kör mentén. Ekkor az R sugarú kört alkotó (x, y = (R cos ϕ, R sinϕ pontokban y f(x, y = (x + xy + y 4 + x (x + xy + y 4 = R (R + R cos ϕ sinϕ 4 = R ( + cos ϕ sinϕ = ( R + sin ϕ R ( + = 4 R. Ebből I R K R M R 4 8π RRπ = R, ha R. Azaz I R -t abszolút értékben majoráltuk egy nullához tartó sorozattal lim R I R =. Eredmények A/, F(x, y = x + x y xy y + C, C R tetszőleges. A/, 8. Útmutatások A/4, S π f = π (asint, bt, acos t, ( asint, acos t, b T dt = a sin t + abt cos t + abcos t dt =... = a π. Az integrálás során használjuk fel, hogy sin t = cos t, illetve t cos t-t pedig integráljuk parciálisan. 6
7 .Gyakorlat: Többszörös integrálok: Kettős integrál, Polártranszformáció A, kettős integrál téglalap tartományon. Határozzuk meg az f(x, y = x + 4y függvény integrálját az egységnégyzeten. (mindkét sorrendben. Határozzuk meg c értékét úgy, hogy az f(x, y = c(x + y függvény egységnégyzetre vett integrálja legyen!. I := [, ln] [, ln]. I ex+4y dxdy =? 4. I := [, [,. I e x y dxdy =? B, kettős integrál normáltartományon. H := { (x, y : x, x y x }. H xy dxdy =? (kétféleképpen. Határozzuk meg a xy = a és x + y = 5 a görbék által közrefogott síkidom területét!. Határozzuk meg az egységsugarú körlap területét! (polártranszformáció nélkül C, integráltranszformáció polártranszformáció. Határozzuk meg az egységsugarú körlap területét!. T := { (x, y : x + y, x, y }. T xy x +y dxdy =?. T := { (x, y : x + y 4 }. T ln(x + y dxdy =? D, integrálási sorrend felcserélése, egyéb. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét az alábbi integrálokban. a, b, c, x x x f(x, y dydx ; x f(x, y dydx ; y f(x, y dxdy.. Mutassuk meg, hogy x +y a x m y n dxdy =, ha m, n pozitív egészek közül valamelyik páratlan!. x +y 4 sgn (x + y dxdy =? 7
8 Megoldások A/, I = [, ] [, ]. Az integrálás sorrendje tetszőleges. Mindkét sorrendben kiszámítjuk. [ ] x f dxdy = x [ + 4y dx dy = + 4xy dy = + 4y dy = y + y I A másik sorrendben: f dxdy = I x + 4y dy dx = A/, I = [, ] [, ]. Az integrálás sorrendje tetszőleges. [ x f dxdy = c x + y dx dy = c + y x I Tehát c = 4. A/, f(x, y = g(xh(y alakú, így ln f dxdy = A/4, I I lim a ln x= [ x y + y ] [ x y= dx = x + dx = + x e x+4y dx dy = ( ln { a f dxdy = e x y dx dy = lim a {( a ( a } e x dx e y dy = lim a ] x= ] ] = 7. = 7. dy = c + y dy =... = 4 c. ( ln e x dx e 4y dy =... = 4. a {[ e x ] a B/, A tartomány x és y szerint is normáltartomány.. A tartományt x szerint normáltartománynak tekintve: ( x ] x f dxdy = xy dy dx = [x y dx = H x y=x. A tartományt y szerint normáltartománynak tekintve: ( y [ x f dxdy = xy dx dy = H y y ] y x=y } e x y dx dy = [ e y ] a } = lim a ( e a =. dy = x 4 x7 dx =... = 4. y y4 dy =... = 4. B/, A tartomány x szerint normáltartomány. Ennek x szerinti határai az xy = a és x + y = 5 a görbék metszéspontjainak x-koordinátái, vagyis az xy = a és x+y = 5 a egyenletekből álló rendszer megoldásai x-re: x = a, x = a. Az a > esetet tárgyaljuk. (A másik eset hasonlóan végezhető el. A tartomány területe az azonosan függvény integrálja a H = {(x, y : a a x a, x y x+ 5 a} tartományra. Tehát ( a x+ 5 a a 5 a T = dy dx = ( x + a dx = [ x a a a x + 5 ] a ax a lnx = a x ( 5 a 8 ln4. B/, Egy negyedkörlap területét határozzuk meg. N-nel jelöljük az egységkörlap pozitív síknegyedbe eső darabját. ( x T/4 = dxdy = dy dx = x dx. Az x = cos t helyettesítéssel integrálva T/4 = π N cos t sint dt = π sin t dt = π cos t dt =... = π 4. 8
9 C/, Polártranszformációt alkalmazva: T = K dxdy = π r dϕ dr = rπ dr = π. C/, Polártranszformációt alkalmazva az integrálandó kifejezés egyszerűsödik: xy = r cos ϕ sin ϕ = sinϕ, tehát x +y r (sin ϕ+cos ϕ T f dxdy = π sin ϕ r dϕ dr =... = 4. C/, D//a, D//b, D//c, T ln(x + y dxdy = π lnr r dϕ dr = π amit parciálisan integrálva (u = r, v = lnr szereposztással: = π[r lnr] π x x f(x, y dy dx = x r lnr dr, r [ ] ( r dr = π r lnr r = π 4 ln. y y x f(x, y dy dx = y f(x, y dx dy = f(x, y dx dy + y x 4 y y f(x, y dx dy. f(x, y dy dx. f(x, y dx dy. Eredmények D/,. D/4,. 9
10 4.Gyakorlat: Többszörös integrálok: Hármas integrál, Henger és gömbi koordinátákra való áttérés A, hármas integrál. Határozzuk meg az f(x, y, z = x + 4yz függvény integrálját az egységkockán.. T := {(x, y, z : x, y x, z x y}. T xy dxdydz =? (T rajzolva. T := {(x, y, z : x, y } x, z x y. T y dxdydz =? 4. Határozzuk meg a z = x y felület xy-sík feletti részének térfogatát! B, hármas integrál transzformációja henger és gömbi koordinátákra való áttérés. T := { (x, y, z : x + y, z } z. T dxdydz =? (hengerkoordináták alkalmazásával +x +y. Számítsuk ki az R sugarú, m magasságú henger térfogatát. xyz. Számítsuk ki az f(x, y, z = függvény integrálját az egységgömb. térnyolcadba eső x +y +z részén! (gömbi koordináták alkalmazásával 4. Számítsuk ki az R sugarú gömb térfogatát. 5. Határozzuk meg a x + y = R, x + y + z = a, x =, y = és z = felületek által közrefogott test térfogatát!
11 Megoldások A/, Az integrálás sorrendje tetszőleges. [ y + y z x + 4yz dx dy dz = ] y= dz = [ x + 4yzx + z dz =... = 4. ] x= dy dz = + 4yz dy dz = A/, x x y [xy x y xy xy dz dy dx = ] x y= dx = x xy( x y dy dx = x x + x x4 dx =... = 6. A/, x x y [y y x y4 y dz dy dx = ] x y= ( x + x 4 dx = dx = x [x x + x5 5 y( x y dy dx = x ( x x ( x dx = ] x= =... = 4 5. A/4, x x y x [y x y y ] x dz dy dx = y= x dx = 4 majd x-et sint-vel helyettesítve és felhasználva a cos t = B/, Hengerkoordinátákra áttérve: z + x + y dxdydz = T π x x x y dy dx = ( x dx, cos t+ azonosságot: 4 ( x dx = 4 π cos 4 t dt =... = π π. π [z ln( + r ] r= dϕ dz =... = π ln. B/, Hengerkoordinátákra áttérve: V = R π m B/, Gömbi koordinátákra áttérve: π π r dz dϕ dr = R π z + r r dr dϕ dz = mr dϕ dr = R r sin ω sin ϕ cos ϕ cos ω r r sin ω dr dϕ dω = ( ( ( π π [ r dr sin r 4 ω cos ω dω sinϕcos ϕ dϕ = 4 π [ r πmr dr = πm ] [ sin 4 ω 4 ] π r + rz dr dϕ dz = ] R [ 4 cos ϕ ] π = mr π. =.
12 B/4, Gömbi koordinátákra áttérve: π π R r sinω dr dϕ dω = π [ r π sin ω ] R dω = π R π sin ω dω =... = 4 R π.
13 5.Gyakorlat: Komplex számok, Komplex függvénytan: Folytonosság, Differenciálhatóság A, komplex számok. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a, ( + i( i; b, ( + i ; c, i ; d, +i i.. Írjuk át a következő komplex számokat a másik két alakba! (algebrai/ trigonometrikus/ exponenciális a, i ; b, + i ; c, i ; d, ; e, cos π + i sin π ; f, cos π + i sin π ; g, sinα i cos α.. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a, ( i ; b, (+i9 ; c, ; d, i ; e, ( i ; f, 5 i Adjunk formulát sinα és cos α-ra sinα, cos α segítségével. 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok körében. a, z + = ; b, z z + = ; c, z = i z ; d, z iz = ; e, z z + =. 6. Igazoljuk a következő azonosságokat. a, z = z ; b, z = z ; c, zz = zz = z ; d, z z = z z ; e, z z = z z. 7. Mutassuk meg, hogy a komplex számtest nem rendezhető (művelettartóan! B, folytonosság, differenciálhatóság. Mutassuk meg, hogy az f(z = z függvény folytonos.. Definíciót használva számítsuk ki f (z-t, ha a, f(z = z ; b, f(z = +z z.. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvények nem differenciálhatóak! a, f(z = Rez ; b, f(z = z ; c, f(z = z. 4. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvény folytonos, illetve állapítsuk meg, hogy létezik-e f (! { z f(z = z, ha z,, ha z =.
14 Megoldások A/,a ( + i( i = i = ( =. A/,b ( + i = + i + i = i. A/,c i = (i i = i = i i = i. A/,d +i i = (+i(+i ( i(+i = +i+i 4i = +i 5 = 5 + i 5. A/,a r = + ( =, tg ϕ = ϕ = π 4 i trigonometrikus alakja: (cos( π 4 + i sin( π 4, exponenciális alakja: e i π 4. A/,b r = + =, sinϕ = ϕ = π 6 + i = (cos π 6 + i sin π 6 = ei π 6. A/,c i = (cos π + i sin π = ei π. A/,d = (cos + i sin = e. A/,e cos π + i sin = ei π = + i. A/,f cos π + i sin π = eiπ = + i. A/,g sinα i cos α = cos(α π + i sin(α π. A/,a 5 i 5 A/,b (+i9 ( i 7 = (+i6 = [ (cos π [( i(+i] 7 4 +isin π 4 ]6 = ( 6 (cos 4π + i sin4π = 7 7 A/,c ±i A//d, i = ( cos π + i sin π = cos π ( +kπ π + i sin +kπ, k =, ( i = i. ( = cos + i sin = cos kπ A//e, A//f, 4π irányszögű komplex számok. + i sin ( kπ + i, ( i =, k =,, (ezek az egységnyi abszolút értékű,, π és 5 i = 5 cos( π 4 + i sin( π 4 = (cos π 4 +kπ 5 + i sin π 4 +kπ 5, k =,,,, 4. A/4, Írjuk fel a cos α + i sinα komplex szám köbét kétféleképpen:. (cos α + i sinα = cos α + i sinα;. (cos α + i sinα = cos α + cos αisin α + cos α(i sin α + (i sinα = cos α cos α sin α + i( cos α sin α sin α. A két egyenlőség jobb oldalán ugyanaz a komplex szám áll, tehát külön-külön a valós és a képzetes részük is megegyezik. Ebből cos α = cos α cos α sin α és sinα = cos α sinα sin α. A/5/a, z, = ±i. A/5/b, z, = ± 4 = ± i A/5/c, Írjuk fel a z komplex számot x + iy alakban, ahol x, y R. Ezzel az egyenlet (x y + ixy = i x + y. Az egyenlőség két oldalán álló komplex szám valós és képzetes része is meg kell, hogy egyezzen. Ebből az x y = és xy = x + y egyenleteket kapjuk. Az első egyenlet megoldása x = ±y. A másodikba behelyettesítve: I x = y esetén az x = x = x egyenletet kapjuk. Négyzetre emelve 4x 4 = x. Az x = megoldás (ekkor y =. Ha x, akkor oszthatunk x -tel, és így a x = egyenlethez jutunk, amelynek megoldása x = ± (y = ±. II x = y esetén a x = x egyenletet kapjuk. Ennek megoldása x = (y =. Összegezve, az egyenletnek három megoldása van: z =, z = + i, z = i. 4
15 A/5/d, z iz = (z i z = i. A/5/e, A Cardano-képlet a következőképpen adja meg a gyököket a z + pz + q = egyenlet esetén: z = q (q ( p q (q ( p +. Ezt alkalmazva, tehát z = + + ( ( 7 = értékét kell meghatároznunk. A továbbiakban használjuk fel, hogy = ± 4 = ( ±. Majd a köbgyökvonást háromféleképpen elvégezve kapjuk, hogy z =, 4, 5 a gyökök. A/6/a, Legyen z = x + iy. z = x + iy = x iy = x + iy = z. A/6/b, z = x iy = x + ( y = x + y = z. A/6/c, (x + iy(x iy = (x iy(x + iy = x + iyx ixy i y = x + y = z A/6/d, z = x + iy, z = x + iy z z = (x + iy (x + iy = x x y y + i(x y + x y = (x x y y + (x y + x y = x x + y y + x y + x y z z = x + x y + y = x x + y y + x y + x y A/6/e, z z = (x + iy (x + iy = x x y y + i(x y + x y = x x y y i(x y + x y z z = (x iy (x iy = x x y y i(x y + x y A/7, A valós számok rendezésének ismert tulajdonsága, hogy ha a és b, akkor ab. Megmutatjuk, hogy a valós számokon használatos rendezést nem tudjuk a komplex számtestre úgy kiterjeszteni, hogy ezzel a tulajdonsággal rendelkezzen. Tegyük fel először, hogy i. Ekkor a = b = i mellett ab = i =, ami ellentmondás. Másodszor tegyük fel, hogy i, azaz i. Ekkor a = i és b = i szereposztással ab = ( i = szintén ellentmondással. Azaz i és a közé nem tudunk semmilyen relációs jelet írni, így a komplex számokat nem tudjuk művelettartóan rendezni. 5
16 6.Gyakorlat: Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek, Laplace-féle differenciálegyenlet, hatványsorok A, Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek, Laplace-féle differenciálegyenlet. Differenciálható-e az f(x + iy = x i( y függvény?. Döntsük el, hogy a komplex számsík mely pontjaiban teljesülnek a Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek az alábbi függvények esetén. a, f(z = z ; b, f(z = z z ; c, f(z = z ; d, f(x + iy = xy. Differenciálhatóak-e ezen pontokban az adott függvények?. Mutassuk meg, hogy a következő függvények harmonikusak, vagyis kielégítik a Laplace-féle differenciálegyenletet. a, f(x, y = x y ; b, f(x, y = e x cos y ; c, f(x, y = ln(x + y. 4. Legyen D egyszeresen összefüggő tartomány, f : D C differenciálható és Ref(z állandó D-n. Mutassuk meg, hogy f(z is állandó D-n. B, hatványsorok. Határozzuk meg a következő hatványsorok konvergenciasugarát! a, n= zn ; b, n= nzn ; c, n= zn n ; d, n= nn z n ; e, n= zn n ; n. Határozzuk meg az expz, sin z, cos z hatványsorainak konvergenciasugarát!. Határozzuk meg az expz, sin z, cos z függvények deriváltját! 4. Igazoljuk a következő azonosságokat! a, e iz = cos z+i sinz ; b, e iz = cos z i sinz ; c, cos z = (eiz +e iz ; d, sinz = i (eiz e iz ; e, ch iz = cosz ; f, sh iz = i sinz ; g, e z+t = e z e t ; h, e z = e x (cos y + i siny; i, e z = e x. 5. Igazoljuk, hogy az exp z függvény periodikus! Hová képezi a H = {(x, y : π < y π} halmazt az exp z függvény? Vezessük be a log z függvényt! 6
17 Megoldások A/, f olyan (x, y C pontokban lehet csak differenciálható, ahol fennállnak a Cauchy Riemann-egyenletek: x u = x = y v = ( y illetve y u = = x v =, ami csak akkor teljesül, ha y = x. u és v parciális deriváltjai az egész komplex számsíkon folytonosak (tehát u és v differenciálható, tehát f az y = x feltételnek eleget tevő pontokban differenciálható is. A//a, f(z = f(x + iy = (x iy = x y ixy u(x, y = x y, v(x, y = xy. Cauchy Riemann-egyenletek: x u = x = y v = x, ami akkor teljesül ha x = ; illetve y u = y = x v = y, ami akkor teljesül ha y =. u és v parciális deriváltjai az egész komplex számsíkon folytonosak (tehát u és v differenciálható, tehát f a z = -ban differenciálható. A//b, f(z = f(x + iy = (x + iy x + y = x x + y + iy x + y u(x, y = x x + y, v(x, y = y x + y. x + y + x x u(x, y = x +y, ha (x, y (, x x lim x x = lim x x = lim x x =, ha (x, y = (, x + y + y y v(x, y = x +y, ha (x, y (, y y lim y y = lim y y = lim y y =, ha (x, y = (, xy x y u(x, y = +y, ha (x, y (, +y lim y y =, ha (x, y = (, { xy x v(x, y = x +y, ha (x, y (,, ha (x, y = (,. A x u = y v egyenlet azon (x, y pontokban áll fenn, amelyekre x = y. A y u = x v egyenlet azon pontokban áll fenn, amelyekre x y =. A két egyenlet egyszerre csak a -ban áll fenn. u és v parciális deriváltjai az egész komplex számsíkon folytonosak (a -ban is! (tehát u és v differenciálható Az f függvény a z = pontban differenciálható. A//c, f(z = x+iy = x iy C\ {}. x +y = x y i u(x, y = x +y x +y x x +y, v(x, y = y x +y. f értelmezési tartománya x u(x, y = y x (x + y, yv(x, y = y x (x + y, yu(x, y = xy (x + y, xv(x, y = xy (x + y x u = y v és y u = x v teljesül az értelmezési tartomány minden pontjában, illetve folytonosak is itt f differenciálható is ezeken a helyeken. A//a, xx f =, yy f = xx f + yy f =. A//b, xx f = e x cos y, yy f = e x cos y xx f + yy f =. A//c, xx f = (x +y 4x (x +y, yy f = (x +y 4y (x +y xx f + yy f =. A/4, Feltevésünk szerint u(x, y =const. Ezért x u(x, y = és y u(x, y = (x, y D. Mivel f reguláris D-n, D minden pontjában fennállnak a Cauchy Riemann-egyenletek. Az első egyenletből y v =, amiből v(x, y = f(x következik. A második egyenletből x v =, következésképpen v(x, y = g(y alakú. v(x, y tehát csak olyan függvény lehet, amely sem x-től, sem y-tól nem függ, azaz v(x, y =const. Ha u és v konstans, akkor pedig f is konstans. Útmutatások A//d, A Cauchy-Riemann egyenletek az x- és y-tengelyeken állnak fenn. Viszont a pontban nem differenciálható a függvény. Ennek belátásához tekintsük a pontbeli differenciálhányadost és tartsunk különböző egyenesek mentén -hoz. A határérték függeni fog az egyenestől, így nem létezik, tehát ott nem differenciálható. 7
18 7.Gyakorlat:.Zh 8
19 8.Gyakorlat: Komplex vonalintegrál: Primitív függvény, Newton-Leibniz formula, Cauchy-féle integráltétel, Cauchy-féle integrálformula A, komplex vonalintegrál kiszámítása, primitív függvény, Newton-Leibniz formula. Számítsuk ki f(z vonalintegrálját az a és a b pontokat összekötő különböző utakon! Legyen a, f(z = z, a = i és b = i, egyenes illetve óramutató járásával ellentétes bejárású félkör az utak; b, f(z = z, a = és b = + i, egyenes illetve parabola az utak; c, f(z = z, a = i és b = i, egyenes illetve óramutató járásával azonos bejárású félkör az utak.. Számítsuk ki f(z vonalintegrálját az a és a b pontokat összekötő utakon a Newton-Leibniz formula segítségével! Legyen a, f(z = e z, a = és b = i, óramutató járásával ellentétes bejárású félkör az út; b, f(z = sinz, a = i és b = i. B, Cauchy-féle integráltétel, Cauchy-féle integrálformula. Legyen f(z = z, n N, a γ út pedig az origó középpontú egységsugarú kör óramutató járásával n ellentétes irányban bejárva. Számítsuk ki Cauchy-féle integrálformula nélkül γ f értékét, ha a, n > ; b, n =.. Legyen f(z = sin z z, a γ út pedig az origó középpontú egységsugarú kör óramutató járásával ellentétes irányban bejárva. Számítsuk ki Cauchy-féle integrálformula nélkül γ f értékét.. Oldjuk meg az előző két feladatot a Cauchy-féle integrálformula felhasználásával! 9
20 Megoldások A//a, Az f(z = z függvény reguláris az egész C-n, így a Cauchy-féle alaptétel értelmében minden zárt, szakaszonként sima görbe mentén a vonalintegrálja, így a feladatban szereplő görbe mentén is. A//b, Az f(z = z függvény sehol sem reguláris (lásd az 5/B/ feladatot, így nem tudjuk a Newton Leibnizformulát használni.. Az egyenesszakasz mentén vett vonalintegrál kiszámítása A szakasz paraméterezése: γ (t = t + it, t [, ]. γ f = f(γ (t γ (t dt = (t it( + i dt = t dt = [t ] =.. A parabola mentén vett vonalintegrál kiszámítása A görbe paraméterezése: γ (t = t + it, t [, ]. γ f = f(γ (t γ (t dt = (t it (+it dt = (t+it +t dt = (t+t dt+i t dt = [ t + t4 ] + i[t ] = + i. A//c, γ (t = + it, t [, ] γ f = t i dt = i γ (t = cos t + i sint, t [ π, π ] γ f = π π cos t + sin t ( sint + i cos t dt = π π (Másképpen: γ (t = e it, t [ π, π ], γ f = π π γ f = γ f + γ f = i. sint dt + i π π e it ie it dt = i[ i eit ] π π cos t dt = i. = i. A//a, f(z = e z reguláris C-n, egy primitív függvénye F(z = e z, így a Newton Leibniz-formulából: γ f = F(b F(a = e b e a = e i e = e i. A//b, f(z = sin z reguláris C-n, egy primitív függvénye F(z = cos z, így a Newton Leibniz-formulából: f = F(b F(a = cos i + cos( i =. γ B//a, (létezik primitív függénye B//b, γ(t = e it, t [, π], γ z dz = π ie it dt = iπ. e it B/, Felhasználjuk a következő tételt: Ha f a z pont kivételével reguláris egy D tartományon, γ olyan szakaszonként sima D-beli út, amelyre z B(γ, és lim z z f(z(z z =, akkor γ f =. Az f(z = sin z sin z z függvény a -ban nem reguláris, ugyanakkor lim z z z = lim z sinz =, ezért sin z z dz =. K( B/, /b. feladat: Legyen f az azonosan függvény, erre alkalmazzuk a Cauchy-formulát a z = pontban: f( = = f(ξ iπ K( ξ dξ = iπ K( ξ dξ K( ξdξ = iπ.. feladat: Alkalmazzuk a Cauchy-formulát a sin függvényre a z = pontban: sin( = = sin ξ iπ K( ξ dξ sin ξ K( ξ dξ =.
21 9.Gyakorlat: Komplex vonalintegrál: Cauchy-féle integrálformula és következményei, Komplex vonalintegrál alkalmazása A, Cauchy-féle integrálformula és következményei. Legyen a γ zárt görbe az K középpontú r sugarú óramutató járásával ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, ha a, g(z = z K, r = ; b, g(z = z z K, r = ; c, g(z = sin8 z z π, K =, r = ; d, g(z = ez z, K = 5, r =.. Legyen a γ zárt görbe a K középpontú r sugarú óramutató járásával ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, ha a, g(z = ez z, K =, r = ; b, g(z = z4 e πz, K = i, r = ; z + c, g(z =, +z (c K = 5, r = ; (c K = i, r = ; (c K = i, r = ; (c4 K =, r = ; e d, g(z = z z +z, (d K =, r = ; (d K =, r = ; (d K = 6, r =.. Legyen a γ zárt görbe a K középpontú r sugarú óramutató járásával ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, ha a, g(z = z (z K ; b, g(z = z (z K 6. B, komplex vonalintegrál alkalmazása. Határozzuk meg az alábbi improprius integrálokat! + a, dx; b, + sin x x sin x x dx.
22 .Gyakorlat: Függvénysorozatok A, egyenletes konvergencia. Vizsgáljuk meg, hogy egyenletesen konvergensek-e az alábbi függvénysorozatok a megadott intervallumon! a, f n (x = x n, (a a [, ] illetve (a [, ] intervallumon; b, f n (x = x n x n+ a [, ] intervallumon; c, f n (x = a (, intervallumon; d, f n (x = x+n sin nx n a (, intervallumon; e, f n (x = sin x n a (, intervallumon; f, f n (x = (+ x n n, (f tetszőleges véges intervallumon, illetve (f a (, intervallumon; g, h, a [, intervallumon; a [, ] intervallumon. ha x n, f n (x = ha n < x n +, ha n + < x. n x ha x n, f n (x = n ( n x ha n < x < n, ha n x.. Lehetséges-e, hogy szakadásos függvények egyenletesen konvergens sorozata folytonos függvényt állítson elő? B, műveletek függvénysorozatokkal. Mutassuk meg, hogy az f n (x = n arctgxn függvénysorozat egyenletesen konvergens a (, intervallumon, de ( lim f n(x ( lim f n n n(.. Mutassuk meg, hogy az f n (x = x + n sinn(x + π függvénysorozat egyenletesen konvergens a (, intervallumon, de ( lim f n(x n lim f n n(x.. Mutassuk meg, hogy az f n (x = nxe nx függvénysorozat konvergens a [, ] intervallumon, de ( lim f n (x dx lim f n(x dx. n n 4. Mutassuk meg, hogy az A//g,h példa függvénysorozataira sem cserélhető fel a lim és az! 5. Mutassuk meg, hogy az f n (x = nx( x n függvénysorozat nem egyenletesen konvergens a [, ] intervallumon, mégis teljesül, hogy ( lim f n (x dx = lim f n(x dx. n n
23 .Gyakorlat: Függvénysorok A, egyenletes konvergencia. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi függvénysorok egyenletesen konvergensek a megadott intervallumokon! a, a (, intervallumon; b, c, n= n= x +n ( n x+ n a (, intervallumon; x e nx a [, intervallumon. n=. Tegyük fel, hogy az f n (x sor abszolút és egyenletesen konvergens az (a, b intervallumon. n= Mutassuk meg, hogy ebből nem következik, hogy a f n (x sor egyenletesen konvergens! Használjuk ehhez a ( n ( xx n függvénysort a [, ] intervallumon! n= n=. Tegyük fel, hogy a n konvergens. Igazoljuk, hogy a n e nx függvénysor egyenletesen konvergens a [, intervallumon! B, műveletek függvénysorokkal. Mutassuk meg, hogy a n= sin nx n. Határozzuk meg, az alábbi határértéket! lim n= n= függvény folytonosan differenciálható az egész számegyenesen! x n= ( x n x n+.. Szabad-e tagonként differenciálni a arctg x függvénysort? n 4. Szabad-e tagonként integrálni a n= n= (x n+ x n függvénysort a [, ] intervallumon?
24 .Gyakorlat: Fourier-sorok 4
25 .Gyakorlat:.ZH 5
Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenMatematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenMatematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenMatematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMűszaki matematika 2
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Műszaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda 09. március. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem, Természettudományi
RészletesebbenM szaki matematika 2
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet M szaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda Utoljára módosítva: 09. április 8. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem,
RészletesebbenFeladatok Oktatási segédanyag
VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
Részletesebben4. A komplex függvénytan elemei
92 yőri István, Hartung Ferenc: MA4f és MA66a előadásjegyzet, 2006/2007 4. A komplex függvénytan elemei 4.. Komplex függvények határértéke, folytonossága, differenciálhatósága, Cauchy Riemann-egyenletek
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben1. Vektorterek és lineáris leképezések
1. Vektorterek és lineáris leképezések 1.1. Feladat. Legyenek A, B : R 2 R 2 az A(x, y) = (2x y, y) B(x, y) = ( x, x + y) módon definiált leképezések. Ellenőrizzük, hogy lineárisak és írjuk fel a mátrixukat
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Részletesebben