Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
|
|
- Emma Kelemenné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény (vektormező, erőtér. Az f primitív függvényén egy olyn F : Ω R függvényt értünk, melyre F = f, vgyis i F (x = f i (x minden i = 1, 2,..., n-re. Ezt z F függvényt z f potenciálfüggvényének is nevezik. H r : [, b] Ω egy folytonosn differenciálhtó görbe, kkor z ívhossz l(r = b r (t dt. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény. Legyen r : [, b] R n egy folytonosn differenciálhtó görbe, melyre r([, b] Ω. Ekkor z f függvény r görbe mentén vett vonlintegrálján z r f := b f(r(t, r (t dt vlós integrált értjük. H f-nek létezik Ω-bn primitív függvénye, kkor f = F ( r(b F ( r(. r Ezt z F függvényt z f potenciálfüggvényének is nevezik. Ebből következik, hogy h f-nek vn potenciálj, kkor z integrál értéke csk görbe végpontjitól függ, illetve zárt görbe (zz r( = r(b esetén f vonlintegrálj r mentén null. H egy erőtérben vn potenciálfüggvény, kkor konzervtív erőtérről beszélünk. 1. Legyen f : R 2 R 2, f(x, y = (y, x. ( Tekintsük z r : [, 1] R 2, r(t = (t, t utt. Számítsuk ki r f értékét definíció szerint. (b Legyen r z zárt görbe, mely K = { (x, y R 2 : x 2 + y 2 = 1 } kört z órmuttó járásávl ellentétes iránybn egyszer körbejárj. Számítsuk ki r f értékét. Számítsuk ki vonlintegrált kkor is, h r másik iránybn járj be K-t. (c Vn-e f-nek primitív függvénye? H igen, kkor htározzuk meg. 2. Legyen f(x, y = (y, x, r z zárt görbe, mely K = { (x, y R 2 : x 2 +y 2 = 1 } kört z órmuttó járásávl ellentétes iránybn egyszer körbejárj. ( Számítsuk ki r f értékét. (b Vn-e f-nek primitív függvénye? (c Mi helyzet, h z út irányítását megfordítjuk? (d Meg tudnánk-e dni egy nemtriviális zárt görbét, min vonlintegrál null? 3. Legyen f(x, y = ( y x 2 + y 2, x x 2 + y 2, r z zárt görbe, mely K = { (x, y R 2 : x 2 + y 2 = 1 } kört z órmuttó járásávl ellentétes iránybn egyszer körbejárj. Számítsuk ki r f értékét. Feldtok: 1. Legyen f(x, y = (x + y, x y. Htározzuk meg f primitív függvényét! 1
2 2. Legyen f(x, y = (x, y, r pedig legyen következő út: (, -ból indulv egyenes szkszokon (1, és (, 1 pontokon áthldv vissztérünk z origób. r f =? 3. Legyen f(x, y = (x 2 + y, y 2 + x, r z y = x 212 (x [, 1] függvény grfikonj. Számítsuk ki r f értékét. 4. Htározzuk meg z lábbi f : R 3 R 3 függvények primitív függvényét. ( f(x, y, z = (yz, xz, xy; (b f(x, y, z = (x 2 2yz, y 2 2xz, z 2 2xy; ( (c f(x, y, z = 1 1 y + y z, x z + x y 2, xy z Legyen f(x, y = (x 2 2xy, y 2 2xy, r : y = x 2 (x [ 1, 1]. r f =? 6. Legyen f(x, y = (x 2 + y 2, x 2 y 2, r : y = 1 1 x, (x [, 2]. r f =? ( y 7. ( Legyen f(x, y = 3x 2 2xy + 3y 2, x 3x 2 2xy + 3y 2. Htározzuk meg f primitív függvényét! 2. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. 1. Htározzuk meg f(x, y = (x, y primitív függvényét. 2. Legyen f(x, y = (x 2 + 2xy y 2, x 2 2xy y 2. Htározzuk meg f primitív függvényét! 3. Legyen f(x, y = (x 2 +y, y 2 x, z r út pedig nnk tégllpnk htár, melynek csúcsi bejárás szerinti sorrendben (1, 2, (3, 2, (3, 4, (1, 4. r f = 4. Legyen f(x, y, z = (y, z, x, r(t = ( cos t, sin t, bt, hol t [, 2π]. r f =? További feldtok: 1. Legyen f : R 3 R 3 differenciálhtó függvény. Bizonyítsuk be, hogy f pontosn kkor szimmetrikus, h rot f =. 2. Legyen g : R R tetszőleges differenciálhtó függvény. Mutssuk meg, hogy z f : R 2 R 2, f(x, y = ( x g(x 2 +y 2, y g(x 2 +y 2 függvény minden szkszonként sim zárt útr vett vonlintegrálj null. 3. Legyen f(x, y = ( e x2 +y 2 x, e x2 +y 2 y egy fiziki erőtér. Htározzuk meg végzett munkát, h z origóból z (1, 1 pontb jutunk el. (Ötlet: hsználjuk z előző feldtot. 4. Legyen f : R 2 R 2 folytonos függvény, r : [, b] R 2. Bizonyítsuk be, hogy r f l(r M, hol l(r z r szkszonként sim út hossz és M = mx{ f(r(t : t [, b]}. ( y 5. ( Legyen f(x, y = (x 2 + xy + y 2 2, x (x 2 + xy + y 2 2. Bevezetve z I R := {x 2 +y 2 =R 2 } f jelölést, mutssuk meg, hogy lim I R =. (Hsználjuk z előző feldtot. R 6. ( H z origób egy m tömegű testet helyezünk, kkor z x pontb helyezett egységnyi tömegű testre x-szel ellentétes, Gm/ x 2 ngyságú erő ht, hol G grvitációs állndó. A grvitációs erőtér esetén tehát Ω = R 3 x \ {}, f(x = Gm 3. Mutssuk meg, hogy grvitációs erőtér konzervtív! x 2
3 3. gykorlt Többszörös integrálok: Kettős integrál, polártrnszformáció. Kétváltozós f : R 2 R függvény integráljánk kiszámításáshoz z lábbi lebontási tételt hsználhtjuk, mennyiben egy tégllpon integrálunk: 1. Tétel. Legyen f : R 2 R folytonos függvény, és T = [, b] [c, d]. Ekkor T f = b ( d c f(x, y dy dx = d c ( b f(x, y dx dy Hsonló állítás foglmzhtó meg z n = 3 esetre is. Gykrn olyn síkidomon kell integrálni, melyet lulról és felülről folytonos függvények grfikonji htárolnk. H ϕ, ψ : [, b] R folytonos függvények, kkor z N x = { (x, y R 2 : x [, b], ϕ(x y ψ(x } hlmzt (z x-tengelyre nézve normáltrtománynk nevezzük. Ekkor N x f = b ( ψ(x ϕ(x f(x, y dy dx Hsonló állítás foglmzhtó meg olyn N y trtományr, mely z y-tengelyre nézve normáltrtomány. 1. Számítsuk ki z lábbi integrálokt! ( Htározzuk meg z f(x, y = x 2 + 4y függvény integrálját z egységnégyzeten. (b Htározzuk meg C értékét úgy, hogy z f(x, y = C (x 2 + 3y 2 függvény egységnégyzetre vett integrálj 1 legyen! (c T := [, ln 2] [, ln 3], T e3x+4y dx dy =? (d T := [, [,, T e x y dx dy =? 2. Htározzuk meg z integrációs htárokt z lábbi normáltrtományoknál és számítsuk ki z integrálokt! ( H := { (x, y R 2 : x 1, x 2 y x }. H xy2 dx dy =? (b Htározzuk meg xy = 2 és x + y = 5 2 görbék áltl közrefogott síkidom területét! (c Htározzuk meg z egységsugrú körlp területét, polártrnszformáció nélkül. Gykrn egy áltlánosbb Q R 2 hlmzon (például egy körön kell integrálni. H vn olyn T R 2 hlmz és egy g(x, y : T Q bijektív leképezés, mely folytonosn differenciálhtó, kkor f = f ( g 1 (u, v, g 2 (u, v ( det g (u, v du dv, Q T hol tehát g leképezés Jcobi-mátrix determinánsánk bszolút értékével szorzunk. Nyilván T hlmznk olynnk kell lenni, min már könnyű integrálni, ilyen például egy tégllp. Tipikus péld, h például egy origó középpontú, R sugrú körön kell integrálni. Ekkor Q = { (x, y R 2 : x 2 + y 2 R 2}, T = [, R] [, 2π] és g(r, ϕ = (r cos ϕ, r sin ϕ z úgynevezett polártrnszformáció. Ekkor det(g (r, ϕ = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r és így f = f(r cos ϕ, r sin ϕ r dr dϕ. Q [,R] [,2π] 3. Integráltrnszformációvl számoljuk ki z lábbi integrálokt! ( Htározzuk meg z egységsugrú körlp területét polártrnszformációvl is. (b Q := { (x, y : x 2 + y 2 1, x, y } 2xy, x 2 dx dy =? + y2 3 Q
4 (c Q := { (x, y : 1 x 2 + y 2 4 }, Q ln(x2 + y 2 dx dy =? 4. Vegyes feldtok: ( Cseréljük fel z integrálás sorrendjét z lábbi integrálokbn. i. 2 2x x f(x, y dy dx; ii. 1 iii. 1 x 2 x f(x, y dy dx; 3 1 y f(x, y dx dy. (b ( Mutssuk meg, hogy {x 2 +y 2 2 } h z m, n pozitív egészek közül vlmelyik pártln! (c ( {x 2 +y 2 4} sgn(x2 + y 2 2 dx dy =? x m y n dx dy =, 4. gykorlt Többszörös integrálok: hárms integrál, henger és gömbi koordinátákr vló áttérés. 1. Számítsuk ki z lábbi hármsintegrálokt! ( Htározzuk meg z f(x, y, z = x 2 + 4yz függvény integrálját z egységkockán. (b T := { (x, y, z R 3 : x 1, y 1 x, z 1 x y }, T 2xy dx dy dz =? (c T := { (x, y, z R 3 : x 1, y 1 x 2, z 1 x 2 y 2}, T 2y dx dy dz =? (d Htározzuk meg z = 1 x 2 y 2 felület xy-sík feletti részének térfogtát! A kétváltozós esethez hsonlón itt is előfordulht, hogy nem tégltesten, hnem egy Q R 3 gömbön, vgy hengeren (vgy ezek egy részhlmzán kell integrálni. H Q = { (x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 R 2} z origó középpontú R sugrú gömb, kkor legyen T = [, R] [, 2π] [, π] és g(r, ϕ, θ = (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ. Ekkor det(g (r, ϕ, θ = r 2 sin θ és így Q f = R 2π π f(r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ r 2 sin θ dr dϕ dθ. A gömbi koordináták mellett hengerkoordinátákt is érdemes lehet bevezetni, h egy R sugrú, m mgsságú hengeren integrálunk: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z ( r R, ϕ 2π, z m, itt Jcobidetermináns r lesz. 2. Számítsuk ki z lábbi hármsintegrálokt lklms koordinát-trnszformációvl! ( Q := { (x, y, z R 3 : x 2 + y 2 1, z 1 } z, Q 1 + x 2 dx dy dz =? (Hengerkoordináták + y2 lklmzásávl. (b Számítsuk ki z R sugrú, m mgsságú henger térfogtát. xyz (c Számítsuk ki z f(x, y, z = x 2 + y 2 függvény integrálját z egységgömb első térnyolcdb + z2 eső részén! (Gömbi koordináták lklmzásávl. (d Számítsuk ki z R sugrú gömb térfogtát. (e ( Htározzuk meg x 2 + y 2 = R 2, x + y + z = ( R 2, x =, y = és z = felületek áltl közrefogott test térfogtát! 5. gykorlt 4
5 Komplex számok, komplex változós függvények folytonosság, differenciálhtóság. 1. komplex számok ( Végezzük el műveleteket és hozzuk egyszerűbb lkr következő kifejezéseket! ( (1 + i(1 i, (b (1 + i 2, (c 1 i 3, (d 1 + i 1 2i. (b Írjuk fel következő komplex számokt lgebri, trigonometrikus és exponenciális lkbn is! ( 1 i, (b 3 + i, (c 2i, (d 1, (e cos π 3 + i sin π 3, (f cos 2π 3 + i sin 2π 3 (c Hozzuk egyszerűbb lkr következő kifejezéseket!, (g sin α i cos α. ( (1 i 211, (b (1 + i 9 (1 i 7, (c 1, (d i, (e 3 1, (f 5 1 i. (d Fejezzük ki sin 3α-t és cos 3α-t sin α-vl és cos α-vl. (e Oldjuk meg z lábbi egyenleteket komplex számok körében! (f Igzoljuk következő zonosságokt! ( z =, (b z 2 2z + 2 =, (c z 2 = i z, (d z 2 2iz 1 =, (e z 3 21z + 2 =. ( z = z, (b z = z, (c zz = zz = z, (d z 1 z 2 = z 1 z 2, (e z 1 z 2 = z 1 z 2. (g Mutssuk meg, hogy komplex számtesten nem dhtó meg olyn rendezés, mely összhngbn áll műveletekkel, zz C mint test nem rendezhető. 2. komplex értelemben vett differenciálhtóság ( Mutssuk meg, hogy z f(z = z 2 függvény folytonos. (b Definíciót hsználv számítsuk ki f (z-t, h ( f(z = z 3 (b f(z = 1 + z 1 z. (c Mutssuk meg, hogy z lábbi függvények nem differenciálhtók! ( f(z = Re z, (b f(z = z, (c f(z = z. (d ( Mutssuk meg, hogy z f(z = z 2 z, h z, h z = függvény folytonos, illetve állpítsuk meg, hogy létezik-e f (! 6. gykorlt Cuchy Riemnn-féle differenciálegyenletek, Lplce-féle differenciálegyenlet, komplex htványsorok. 5
6 1. Cuchy Riemnn-féle differenciálegyenletek, Lplce-féle differenciálegyenlet ( Differenciálhtó-e z f(z = f(x + iy = x 3 i(1 y 3 függvény? (b Döntsük el, hogy komplex számsík mely pontjibn teljesülnek Cuchy Riemnn egyenletek z lábbi függvények esetén: ( f(z = z 2, (b f(z = z z, (c f(z = 1, (d f(x + iy = xy. z (c Mutssuk meg, hogy következő függvények hrmonikusk, vgyis kielégítik Lplce-féle differenciálegyenletet! ( f(x, y = x 2 y 2, (b f(x, y = e x cos y, (c f(x, y = ln(x 2 + y 2. (d Legyen D egyszeresen összefüggő trtomány, f : D C differenciálhtó és Re f(z állndó D-n. Mutssuk meg, hogy f(z is állndó D-n. 2. komplex htványsorok ( Htározzuk meg következő htványsorok konvergencisugrát! ( z n, n= (b nz n, (c z n n, (d n n z n, (e z n n n. (b Htározzuk meg z e z, sin z, cos z függvények htványsorink konvergencisugrát! (c Htározzuk meg z e z, sin z, cos z függvények deriváltját! (d Igzoljuk következő zonosságokt! ( e iz = cos z + i sin z, (b e iz = cos z i sin z, (c cos z = 1 2 (eiz + e iz, (d sin z = 1 2i (eiz e iz, (e ch iz = cos z, (f sh iz = i sin z, (g e z+w = e z e w, (h e z = e x (cos y + i sin y, (i e z = e x. (e ( Igzoljuk, hogy z f(z = e z függvény periodikus! Hová képezi H = {(x, y : π < y π} hlmzt z e z függvény? Vezessük be log z függvényt! 7. gykorlt 1. ZH 8. gykorlt Komplex vonlintegrál: primitív függvény, Newton Leibniz-formul, Cuchy-féle integráltétel, Cuchy-féle integrálformul. 1. komplex vonlintegrál kiszámítás, primitív függvény, Newton-Leibniz formul ( Számítsuk ki f(z vonlintegrálját z és b pontokt összekötő különböző utkon! Legyen i. f(z = z, = i és b = i, z utk pedig z őket összekötő egyenes, illetve z órmuttó járásávl ellentétes bejárású félkör, ii. f(z = z, = és b = 1 + i, z utk z őket összekötő egyenes, illetve prbol, iii. f(z = z, = i és b = i, z utk z őket összekötő egyenes, illetve z órmuttó járásávl zonos bejárású félkör. 6
7 (b Számítsuk ki f(z vonlintegrálját z és b pontokt összekötő utkon Newton Leibnizformul segítségével! Legyen i. f(z = e z, = és b = i, z út z órmuttó járásávl ellentétes bejárású félkör, ii. f(z = sin z, = i és b = i. 2. Tétel (Cuchy integráltétele. H D konvex trtomány, f : D C reguláris függvény, γ egy D-ben hldó szkszonként sim zárt görbe, kkor γ f =. Akkor is null lesz z integrál, h vnnk olyn pontok, hol f látszólg szinguláris. 3. Lemm. H f reguláris D trtományon, z D, és vn olyn r >, hogy B(z, r \ {z } D, vlmint lim z z f(z(z z =, kkor { z z =r} f =. Ebből vezethető le z lábbi 4. Tétel (Cuchy-féle integrálformul. H f reguláris D trtományon, B(z, r D, kkor s B(z, r esetén f(s = 1 f(z 2πi z s dz, { z z =r} hol z középpontú r sugrú körvonlon pozitív iránybn hldunk. A tétel nem csk körvonlr, hnem minden olyn egyszerű zárt görbére érvényes, mely pozitív iránybn egyszer megkerüli belsejében fekvő s pontot. 2. Cuchy-féle integráltétel, Cuchy-féle integrálformul ( Legyen f(z = 1 z n, n N, γ út pedig z origó középpontú egységsugrú kör z órmuttó járásávl ellentétes iránybn bejárv. Számítsuk ki Cuchy-féle integrálformul nélkül z γ f vonlintegrál értékét, h n > 1, illetve h n = 1. (b Legyen f(z = sin z z, γ út pedig z origó középpontú egységsugrú kör z órmuttó járásávl ellentétes iránybn bejárv. Számítsuk ki Cuchy-féle integrálformul nélkül γ f értékét. (c Oldjuk meg z előző két feldtot Cuchy-féle integrálformul felhsználásávl! 9. gykorlt Komplex vonlintegrál: Cuchy-féle integrálformul és következményei, komplex vonlintegrál lklmzás. 1. Cuchy-féle integrálformul és következményei ( Legyen γ zárt görbe z középpontú R sugrú, z órmuttó járásávl ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, h i. g(z = 1, R = 1; z z ii. g(z = z, R = 1; z z iii. g(z = sin8 z z π, z = 2, R = 2; 2 iv. g(z = ez z 2, z = 5 2, R = 1. (b Legyen γ zárt görbe z középpontú R sugrú, z órmuttó járásávl ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, h i. g(z = ez2 z 2 1, z = 1 2, R = 1; 7
8 ii. g(z = z4 e πz z 2 + 1, z = i, R = 1; iii. g(z = z 2, iv. g(z = ( z = 5, R = 1, (b z = i, R = 1, (c z = i, R = 1, (d z =, R = 3; e z z 2 + 2z 3, ( z = 1, R = 1, (b z = 3, R = 1, (c z = 6, R = 1. (c Legyen γ zárt görbe z középpontú R sugrú, z órmuttó járásávl ellentétes bejárású kör. Számítsuk ki γ g értékét, h z i. g(z = (z z 2 ; z ii. g(z = (z z komplex vonlintegrál lklmzás vlós integrálok kiszámításár ( ( Htározzuk meg z lábbi improprius integrálokt! ( + sin x x dx =? (b + sin 2 x x 2 dx =?. 1. gykorlt Függvénysoroztok és egyenletes konvergenci. 1. egyenletes konvergenci ( Vizsgáljuk meg, hogy egyenletesen konvergensek-e z lábbi függvénysoroztok megdott intervllumon! i. f n (x = x n [, 2] 1, illetve [, 1 intervllumon; ii. f n (x = x n x n+1 [, 1] intervllumon; iii. f n (x = 1 (, intervllumon; x + n sin nx iv. f n (x = (, intervllumon; n v. f n (x = sin x (, intervllumon; n vi. f n (x = ( 1 + n x n tetszőleges véges intervllumon, illetve (, intervllumon; vii. viii. [, intervllumon; [, 1] intervllumon., h x n, f n (x = 1, h n < x n + 1,, h n + 1 < x f n (x = n 2 x, h x 1 n, n 2 ( 2 n x, h 1 n < x < 2 n,, h 2 n x (b Lehetséges-e, hogy szkdásos függvények egyenletesen konvergens sorozt folytonos függvényt állítson elő? 8
9 2. függvénysoroztok integrálás és deriválás ( Mutssuk meg, hogy z f n (x = 1 n rc tg xn függvénysorozt egyenletesen konvergens (, intervllumon, de lim f n ( lim f. n (b Mutssuk meg, hogy z f n (x = nxe nx2 1 lim f n (x dx függvénysorozt konvergens [, 1] intervllumon, de 1 ( lim f n(x dx. (c Felcserélhető-e limeszképzés és z integrálás z 1(vii. és 1(viii. példákbn? (d Mutssuk meg, hogy z f n (x = nx(1 x n függvénysorozt nem egyenletesen konvergens [, 1] intervllumon, de mégis igz, hogy 1 lim f n (x dx = 1 ( lim f n(x dx. Függvénysorok és egyenletes konvergenci. 1. egyenletes konvergenci 11. gykorlt ( Bizonyítsuk be, hogy z lábbi függvénysorok egyenletesen konvergensek megdott intervllumokon! i. 1 x 2 + n 2 (, intervllumon; ii. ( 1 n x + 2 n ( 2, intervllumon; iii. x 2 e nx [, intervllumon. (b Tegyük fel, hogy z f n (x sor bszolút és egyenletesen konvergens z I intervllumon. Mu- tssuk meg, hogy ebből nem következik f n (x sor egyenletes konvergenciáj! Hsználjuk ehhez ( 1 n (1 xx n függvénysort [, 1] intervllumon! (c Tegyük fel, hogy n konvergens. Igzoljuk, hogy n e nx függvénysor egyenletesen konvergens i. [, intervllumon, hol >! ii. ( [, intervllumon! 2. függvénysorok integrálás és deriválás ( Mutssuk meg, hogy z f(x = függvény folytonosn differenciálhtó z egész számegyenesen! (b Htározzuk meg lim x 1 (c Szbd-e tgonként differenciálni sin nx n 3 ( x n x n+1 htárértéket. rc tg x n 2 függvénysort? 9
10 (d ( Szbd-e tgonként integrálni (x 1 1 2n+1 x 2n 1 függvénysort [, 1] intervllumon? Fourier-sorok 1. Fourier-sorok. 12. gykorlt ( Fejtsük Fourier-sorb következő függvényeket megdott intervllumokon! i. ii. 2. lklmzások f(x = { π x 2, h x (, 2π,, h x = vgy x = 2π. Helyettesítsünk z eredménybe x = π 2 -t. Milyen összefüggést kpunk? 1, h x ( π,, f(x =, h x = vgy x = ±π, 1, h x (, π. Helyettesítsünk x = π 2 -t. Milyen összefüggést kpunk? iii. f(x = x 2, h x [ π, π]. Helyettesítsünk z eredménybe x = π-t. Milyen összefüggést kpunk? ( Oldjuk meg következő differenciálegyenleteket htványsoros módszerrel! (i { y (t = y(t y( = 1 (ii { y (t = ky(t y( = (iii { y (x + xy(x = y( =, y ( = 1 (b Oldjuk meg következő (úgynevezett hővezetési egyenletet Fourier-soros módszerrel! u t = 2 u, x (, π x 2 u(, t = u(π, t = u(x, = g(x = n sin nx 13. gykorlt 2. ZH 1
Többváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenAz integrálszámítás néhány alkalmazása
Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8
RészletesebbenMatematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál
RészletesebbenMatematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
Részletesebben= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1
Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenTehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenGazdasági matematika I. tanmenet
Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó
RészletesebbenKOMPLEX FÜGGVÉNYTAN SIMON ANDRÁS
KOMPLEX FÜGGVÉNYTAN SIMON ANDRÁS TARTALOMJEGYZÉK. Emlékeztető 2. Bevezetés 3 2.. A komplex exponenciális függvény 4 3. Deriválhtóság 5 3.. Komplex és vlós differenciálhtóság kpcsolt 6 3.2. CR néhány következménye
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS
numerikus nlízis ii. 39 B - SPLINEOK DERIVÁLTJÁRA ÉRVÉNYES : B mi x =m Bm,i x B m,ix. t i+m t i t i+m+ t i+. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS Htározott integrálok numerikus kiszámítás mtemtik egyik legrégebbi problémáj.
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenEls gyakorlat. vagy más jelöléssel
Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok
Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenNumerikus módszerek 2.
Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenKIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenEgy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.
Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebben7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,
RészletesebbenKALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.
Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenA határozott integrál fogalma és tulajdonságai
. fejezet Htározott integrál A htározott integrál foglm és tuljdonsági D. Legyen f z [, b] intervllumon legfeljebb véges számú pont kivételével mindenütt értelmezett korlátos vlós függvény, továbbá legyen
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Részletesebben9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenAz előadás anyagának törzsrésze
Az elődás nygánk törzsrésze 2. félév 1. Az egyváltozós differenciálszámítás lklmzási 1. Szélsőértékek. Foglmk. Def. Egy R pont környezete olyn J nyílt intervllum, melyre J. Def. Egy f : R R függvénynek
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenAnalízis II. gyakorlat
Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Részletesebbenf függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)
Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt
RészletesebbenMatematika A3 összefoglalás. Írta: Katona Géza Ellenőrizte: Dr. Németh Pál
Mtemtik A3 összefogllás Írt: Kton éz Ellenőrizte: Dr. Németh Pál Vektorértékű függvények Térgöre megdás(k3 205.o) Egy I időszk ltt téren mozgó részecske koordinátáit z I intervllumon definiált függvényekként
RészletesebbenAnalízis II. harmadik, javított kiadás
Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
Részletesebben