1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

Átírás

1 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Az f(z) függvényt a z 0 pontban dierenciálhatónak nevezzük, ha a lim z 0 f(z 0 + z) f(z 0 ) z határérték létezik és véges. Ezt az értéket az f(z) függvény z 0 helyen vett dierenciálhányadosának nevezzük, és f (z 0 )-lal jelöljük megjegyzés. Mivel a derivált deníciója az egyváltozós valós függvények körében megismert módon történt, így a valós függvények körében megismert - az összeg-, különbség-, szorzat-, hányados- és az összetett függvény deriválására vonatkozó - szabályok a komplex függvények körében is érvényesek maradnak tétel. Az f(z) = u(x, y) + iv(x, y) függvény a z = x + iy pontban akkor és csak akkor dierenciálható, ha ebben a pontban léteznek az u x, u y, v x, v y parciális deriváltak és folytonosak, és teljesülnek a Cauchy-Riemann-egyenletek : u x = v y és u y = v x deníció. Az f(z) függvényt a z 0 pontban regulárisnak nevezzük, ha van z 0 - nak olyan környezete, amelyben f(z) dierenciálható Hatványsorok 1.5. deníció. A c n z n és a c n (z a) n alakú függvénysorokat hatványsoroknak nevezzük tétel. (Abel tétele) Ha a c n z n hatványsor egy z 0 pontban konvergens, akkor minden z < z 0 helyen is konvergens, s t egyenletesen konvergens tétel. (Cauchy-Hadamard tétel) A tartományban, ahol 1 R = limsup n c n. c n z n hatványsor konvergens a z < R 1

2 Az R számot a hatványsor konvergencia-sugarának, a z < R kört pedig a hatványsor konvergenciakörének nevezzük tétel. Ha f reguláris az a pont egy környezetében, akkor itt az f függvény a (z a) hatványai szerint haladó Taylor-sorba fejthet. A Taylor-sor: f(z) = f(a) + f (a) 1 (z a) + f (a) (z a) 2 + = 2 f (n) (a) (z a) n n! A sor a konvergenciatartomány minden pontjában egyenletesen konvergál f(z)-hez Elemi függvények 1.9. deníció. A w = az + b, ahol a, b C (a 0) függvényt lineáris függvénynek nevezzük. A lineáris függvény leképezése egy hasonlósági transzformáció. A lineáris függvény a z síkot kölcsönösen egyértelm en képezi le a w síkra a 0 esetén deníció. A lineáris törtfüggvény általános alakja ahol a, b, c, d C állandók. f(z) = az + b cz + d, A lineáris törtfüggvény a lineáris függvényhez hasonlóan kölcsönösen egyértelm en képezi le a z síkot a w síkra. A függvény inverze is lineáris törtfüggvény deníció. Az exponenciális függvényt a w = e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) egyenl séggel értelmezzük. A hatványozás azonosságai komplex kitev esetén is változatlanul érvényesek. Az így értelmezett exponenciális függvény periodikus, hiszen f(z) = f(z+2πi). Az exponenciális függvénynek a komplex számok körében sincs zérushelye. A valós esett l eltér en, a függvénynek a -ben nincs határértéke. 2

3 Az exponenciális függvény a z sík π < y π sávját képezi le a teljes w síkra deníció. A z = re iϕ komplex szám logaritmusa az ln z = ln r + iϕ komplex szám, ahol ϕ ] π, π]. Az így értelmezett logaritmusfüggvény valóban az exponenciális függvény inverze. Mivel az exponenciális függvény a 0 és a értéket nem veszi fel, így a logaritmusfüggvény e két helyen nincs értelmezve. A logaritmus ismert azonosságai az így értelmezett logarimtusfüggvénynél is érvényben maradnak deníció. Az általános hatványfüggvényt a w = z a = e a ln z a C egyenl séggel értelmezzük. 3

4 2. Komplex függvények integrálása. Pályamenti integrál. Cauchy-féle integráltétel és integrálformula. A komplex vonalintegrál értelmezése: Legyen z(t), t [α, β] egy rektikálható görbe paraméterezése, és f egy a görbén értelmezett komplex érték függvény. Osszuk fel az [α, β] intervallumot a t 0 = α, t 1, t 2,..., t n = β pontokkal. Ez szolgáltatja a görbének egy a = z 0 = z(α), z 1 = z(t 1 ),..., b = z n = z(β) felosztását véges sok ívdarabra. Minden egyes (z k 1, z k ) íven vegyünk fel egy tetszés szerinti ξ k pontot, és számítsuk ki az S = n f(ξ k )(z k z k 1 ) k=1 összeget. Finomítsuk úgy a felosztást, hogy a (z k 1, z k ) ívek hossza egyenletesen tartson 0-hoz. Ha ekkor teljesül az, hogy az S összeg bármely minden határon túl nomodó felosztásorozat esetén a felosztástól független határértékhez tart, akkor az f függvényt a görbén integrálhatónak nevezzük. Az S összeg határértékét pedig az f függvény görbére vonatkozó integráljának nevezzük, és így jelöljük: S = f(z) dz. Ha a zárt görbe, használjuk a következ jelölést: S = f(z) dz tétel. (Elégséges feltétel az integrál létezésére) Ha f a görbén folytonos, akkor f integrálható -n tétel. (A vonalintegrál kiszámítása) Ha f integrálható a görbén, ahol egy sima Jordan-görbe, akkor f(z) dz = β α f(z(t)) z (t) dt deníció. A F reguláris függvényt a T tartományon a f primitív függvényének nevezzük, ha a tartomány minden pontjában F (z) = f(z). 4

5 2.4. tétel. (Cauchy-féle integráltétel) Ha f a T tartományon reguláris függvény, akkor bármely T -ben haladó zárt rektikálható görbére vonatkozó integrálja zérus, azaz : f(z) dz = következmény. Ha a és b a T tartomány tetsz leges pontjai, akkor az a-tól b-ig vett integrál értéke független az integrációs úttól, csak az a és b pontok függvénye következmény. (Newton-Leibniz-tétel) Ha F a reguláris f függvény primitív függvénye a T tartományon, akkor bármely T -ben haladó a kezd pontú és b végpontú rektikálható görbére : f(z) dz = F (b) F (a). Igaz a Cauchy-féle integráltétel megfordítása is tétel. (Morera tétele) Ha f folytonos a T tartományon, és bármely T -ben haladó rektikálható zárt görbére vonatkozó integrálja zérus, akkor f reguláris T -n tétel. (A Cauchy-féle integráltétel általánosítása) Ha f reguláris egy (n + + 1)-szeresen összefügg T tartományban, annak küls és k, k = 1,2,... n bels határgörbéin, akkor egyez körüljárás esetén f(z) dz = n k=1 k f(z) dz tétel. (Cauchy-féle integrálformula) Legyen f reguláris a T tartományon, és rektikálható zárt Jordan-görbe, mely belsejével együtt T -hez tartozik. Ekkor a T tartomány minden olyan z 0 pontjára, amely a belsejében van igaz, hogy f(z 0 ) = 1 2πi f(z) dz. z z 0 Irodalom: Hanka László Zalay Miklós: Komplex függvénytan (Bolyai-könyvek) 5