Határozott integrál és alkalmazásai
|
|
- Kornél Fodor
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki, hogy ha f folytonos függvény az [a, b] intervallumon, és F ezen f függvény egy tetsz leges primitív függvénye, akkor b f d = [F ] b a = F b F a. a Eszerint els ként szükségünk van egy primitív függvényre, azaz tulajdonképpen határozatlanul kell integrálnunk. Ezután már csak be kell helyettesítenünk az integrálási határokat a kapott primitív függvénybe, és venni azok különbségét. A primitív függvény meghatározásához írjuk a gyököt hatvány alakban. + d = + d Most állítsuk el a primitív függvényt. Mivel hatványt integrálunk, így eggyel növeljük a kitev t, s az új kitev vel osztunk. + d = + = [ ] + Ezután helyettesítsük be az integrálási határokat, s vegyük a két érték különbségét. A fels határ helyettesítési értékéb l vonjuk az alsó határ helyettesítési értékét. [ ] + = + + = 8 =. Feladat: d = Megoldás: Els ként most is egy primitív függvényt kell meghatároznunk. Ehhez a tört helyett célszer negatív kitev s hatványt írnunk.
2 d = d A határozatlan integrálás során most is eggyel növeljük a kitev t, és osztunk az új kitev vel. De most gyeljünk oda, mert lineáris bels függvény is van a hatványon belül. Ezért osztanunk kell még a bels függvényb l együtthatójával. [ d = ] [ = Vegyük ezek után a fels és az alsó határ helyettesítési értékének különbségét. [ 9 6. Feladat: ] = d = ] = = + = Megoldás: Els lépésként írjuk a gyököt hatvány alakban. d = d Bontsuk két törtre az integrálandó törtet. d = d [ ] 9 6 Az els tagot írjuk negatív kitev vel, a második tagban pedig végezzük el az osztást, így mindegyik tagban egyetlen hatványfüggvényt kapunk. d = d = d Végezzük el a határozatlan integrálást. d = [ = ] Utolsó lépésként pedig vegyük a fels és az alsó határ helyettesítési értékének különbségét. [ ] = = = 6 = 8. Feladat: π 6 cos d = Megoldás: Els ként határozzunk meg egy primitív függvényt. Figyeljünk oda, olyan összetett függvényt integrálunk, melyben a bels függvény
3 lineáris. Ezért a küls függvény integrálját osztani kell a bels függvényb l együtthatójával. π [ ] π 6 sin 6 cos d = Helyettesítsük be a határokat, és vegyük a kapott értékek különbségét. [ ] π sin π sin 6 6 sin = = sin π sin = = = 5 5. Feladat: d = Megoldás: Az integrandusból emeljük ki a számlálóban álló 5-öt, s utána olyan összetett függvény marad, melynek bels függvénye els fokú. Ezután hajtsuk végre a határozatlan integrálást. 5 [ ] d = 5 ln d = 5 = 5 [ln ] Helyettesítsük a két határt, s vegyük az értékek különbségét. 5 [ln ] = 5 ln ln = 5 ln 5 ln = = 5 ln 5 = 5 ln Feladat: Határozzuk meg az f = + 5 függvény grakonja és az -tengely közötti síkrész területét a [, ] intervallumon! Megoldás: Vizsgáljuk meg, vált-e el jelet a függvény a, intervallumban. Ha ugyanis igen, akkor több részletben kell számolnunk a területet, de ha nem, akkor egyetlen integrál kiszámolása elég lesz. Oldjuk meg tehát az f = egyenletet, ami az + 5 = másodfokú egyenletet jelenti. Mivel ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív D = 5 = <, ezért nincs valós gyök, tehát a függvény sehol sem vált el jelet. Mivel együtthatója pozitív, ezért a függvény csak pozitív értékeket vesz fel. Így a kérdéses terület egyszer en megegyezik a függvény adott intervallumon vett integráljával, azaz T = + 5 d. Határozzunk meg egy primitív függvényt. [ ] T = + 5 Helyettesítsük a két határt, és vegyük az értékek különbségét.
4 T =. ábra. Az f = + 5 függvény grakonja Feladat: Határozzuk meg az f = + függvény grakonja és az tengely által közrezárt véges síkrész területét! Megoldás: Els lépésben határozzuk meg, hol metszi a függvény grakonja az tengelyt, azaz oldjuk meg az f = egyenletet. + = Alakítsunk szorzattá a bal oldalon. + = = 6 Így már egyértelm, hogy az egyenlet két megoldása az = és az =. Ha készítünk egy ábrát a függvényr l, akkor nyilvánvaló, hogy a meghatározandó terület a függvény [, ] intervallumon vett integráljának -szerese, mert az alakzat az tengely alatt helyezkedik el. T = + d Határozzunk meg egy primitív függvényt. [ ] T = + Helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba. T = + + = A feladat megoldásából látható, hogy ha olyan alakzat területét keressük, amely az adott intervallumon negatív érték függvény grakonja,
5 . ábra. Az f = + függvény grakonja és az tengely között helyezkedik el, akkor a függvény integráljának -szeresét kell vennünk. Természetesen azt is megtehetnénk ilyenkor, hogy a függvény adott intervallumon vett integráljának az abszolút értékét vesszük. Jelen esetben a következ t is írhattuk volna: T = + d. 8. Feladat: Határozzuk meg az f = 8 függvény grakonja és a koordinátarendszer két tengelye által határolt véges síkrész területét! Megoldás: A feladat megoldását ismét az f = egyenlet megoldásával kezdjük. Az egyenlet átrendezett alakja: = 8. Ebb l = következik. Ha ábrát készítünk a függvényr l, akkor jól látható, hogy olyan véges síkrész, melyet a két tengely és a függvény grakonja határol, a [, ] intervallumon található. Itt a függvény negatív értékeket vesz fel, így a területet a függvény ezen intervallumon vett integráljának -szerese adja. T = 8 d Határozzunk meg egy primitív függvényt. [ ] T = 8 Helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba. T = 8 8 = 5
6 . ábra. Az f = 8 függvény grakonja. Összetett feladatok. Feladat: π sin cos d = Megoldás: Els ként egy primitív függvényt kellene elállítanunk. Ehhez alakítsuk át az integrandust. Bontsuk szorzattá a nevez t, majd pedig az integrandust két tört szozatára. π sin π cos d = sin π cos cos d = sin cos cos d Mivel sin cos = tg, így sin cos helyett tg írható. π sin π cos cos d = tg cos d Ebb l az alakból már egyértelm en látható, hogy az integrandus most f α f típusú, hiszen tg = cos. Felhasználva az ilyen függvényekre vonatkozó integrálási szabályt, határozzunk meg egy primitív függvényt. [ π tg tg ] π cos d = Helyettesítsük be az integrálási határokat, és vegyük a két érték különbségét. [ tg ] π = tg π tg = = =. Feladat: e d = 6
7 Megoldás: Az integrandusban olyan szorzat áll, melynek egyik tényez je polinom, másik tényez je pedig eponenciális, ezért a primitív függvény meghatározásához parciálisan kell integrálnunk. Ilyenkor a jelölés egyszer bbé tétele végett célszer külön elvégezni a határozatlan integrálást, majd utána visszatérni a határozott integrálhoz. Legyen u = és v = e. Ekkor u = és v = e. Felhívjuk a gyelmet arra, hogy az e olyan összetett függvény, melynek bels függvénye els fokú, így integrálásakor a küls függvény integrálját osztani kell a bels függvényb l együtthatójával. Helyettesítsünk be a szabályba. e d = e e d = e e d Határozzuk meg a még visszamaradt integrált. Itt is gyeljünk a lineáris bels függvényre. e d = e e + c = e + c Most térjünk vissza a határozott integrálhoz a primitív függvénnyel. [ e d = e ] Helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba. [ e ] = e e = e Feladat: e ln d = Megoldás: Az integrandus ismét szorzat. Az egyik tényez most is polinom, a másik pedig a természetes alapú logaritmus, így a primitív függvény meghatározásához most is parciális integrálásra van szükség. Célszer el ször csak határozatlan integrált írni. Legyen u = ln és v =. Ekkor u = és v =. Helyettesítsünk a szabályba. ln d = ln d A még meghatározandó integrálban egyszer sítsünk. ln d = ln d 7
8 Ezután határozzuk meg a primitív függvényt. ln d = ln 6 + c = ln 6 + c Most térjünk vissza a határozott integrálhoz. e [ ln ln d = ] e 6 Helyettesítsük az integrálisi határokat a primitív függvénybe és vegyük a kapott értékek különbségét. [ ln ] e ln e = e 6 ln 6 = 6 e 6 = 6 6 e + 6 = e Feladat: Határozzuk meg az f = [ tg függvény grakonja és az -tengely közötti terület nagyságát a π 6, π ] intervallumon! Megoldás: Vizsgáljuk meg, vált-e el jelet a függvény az adott intervallumban, azaz oldjuk meg a tg = egyenletet. Ennek megoldása: = k π, k Z, és ezen megoldások közül az = az adott intervallum belsejében van. A függvény itt az el jelét is megváltoztatja, hiszen a π, intervallumon negatív a függvény, a, π intervallumon pedig pozitív. Az alakzatot tehát két részre kell bontanunk, és a területét két integrállal tudjuk meghatározni. Egyrészt az intervallum alsó végpontjától integrálunk a zérushelyig, és vesszük ezen integrál -szeresét, másrészt pedig a zérushelyt l integrálunk az intervallum fels végpontjáig. Ugyanez jelekkel leírva: π T = tg d + tg d. π 6 Mivel az integrandus nem alapintegrál, ezért végezzük el külön a határozatlan integrálást. A tg helyett írjunk sin cos -et. sin tg d = cos d Szorozzunk és osszunk is -gyel. Az osztást egyb l emeljük ki az integrál elé egy el jel formájában. sin sin cos d = cos d Mindezt azért tettük, mert cos = sin, s így az integrandus f típusú lett, azaz f sin cos cos d = cos d. 8
9 . ábra. Az f = tg függvény grakonja Alkalmazzuk az f típusú függvényekre vonatkozó integrálási szabályt. f cos d = ln cos + c cos Ezután térjünk vissza a területhez. T = [ ln cos ] π + [ ln cos ] π 6 = [ln cos ] π [ln cos ] π 6 Helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba. T = ln cos ln cos π ln π 6 cos ln cos = = ln ln ln ln = ln ln = = ln + ln = ln = ln Feladat: Határozzuk meg az f = e és g = + függvények grakonjai közti területet a [, ] intervallumon! Megoldás:El ször azt kell eldöntenünk, hogy metszi-e egymást a két függvény grakonja az adott intervallumban. Tegyük egyenl vé a két függvényt, így az e = + egyenletet kapjuk, melyet algebrai úton nem tudunk megoldani. Ha ábrázoljuk a két függvényt, akkor sejthet, hogy = esetén metszik egymást, és a sejtést a függvényekbe történ behelyettesítéssel gyorsan ellen rizhetjük is. f = e = és g = + = A két függvény grakonja tehát valóban az = helyen metszi egymást. Más metszéspont pedig nincs az adott intervallumban, hiszen az epo- 9
10 5. ábra. Az f = e és g = + függvények grakonjai nenciális függvény szigorúan monoton n, a másodfokú függvény pedig szigorúan monoton csökken itt, így a két függvénynek legfeljebb egy közös pontja lehet az adott intervallumban. A metszéspont miatt a kérdéses területet két integrállal tudjuk meghatározni. Egyrészt integráljuk -t l -ig a g f függvényt, mert itt a g grakonja halad az f grakonja felett. Majd ehhez hozzáadjuk az f g függvénynek -tól -ig vett integrálját. Ezen az intervallumon az f grakonja halad g grakonja felett, ezért vonjuk f-b l a g-et. A terület tehát az alábbi módon írható fel: T = + e d + e + d Határozzunk meg primitív függvényeket. [ ] [ ] T = + e + e + Végül helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba. T = + e + e + + e + e + = = + e = e + e e Feladat: Számoljuk ki azon forgástest térfogatát, mely az f = th függvény grakonja [, ] intervallumhoz tartozó ívének -tengely körüli forgatásával keletkezik!
11 Megoldás: Tudjuk, hogy egy folytonos függvény [a, b] intervallumhoz tartzó ívének -tengely körüli forgatásakor keletkez forgástest térfogatára az alábbi összefüggés igaz: V = π b f d. a Lényegében annyi a feladatunk, hogy behelyettesítünk ebbe a képletbe, majd elvégezzük az integrálást. A helyettesítés során egyrészt a függvényt kell helyettesíteni, másrészt pedig az intervallum végpontjait. Jelen esetben így az alábbit kapjuk: V = π th d. Alakítsunk az integranduson azt felhasználva, hogy th = sh ch. sh sh V = π d = π ch ch d Ezután használjuk fel az = ch sh azonosságot, melyet hozzunk sh = ch alakra. Helyettesítsük ezt az integrandus számlálójába. ch V = π ch d Bontsuk fel ezután két törtre a függvényt, és egyszer sítsünk. ch V = π ch ch d = π ch d Így már csak két alapintegrál maradt. Határozzuk meg a primitív függvényt. V = π [ th] Végül helyettesítsük az integrálási határokat, és vegyük az értékek különbségét. V = π th th = π th Feladat: Számoljuk ki azon forgástest térfogatát, mely az f = e e függvény grakonja [, ] intervallumhoz tartozó ívének - + tengely körüli forgatásával keletkezik! Megoldás: Helyettesítsünk be a forgástestek térfogatára vonatkozó b V = π f d képletbe. a e V = π d e + Végezzük el a négyzetre emelést.
12 e V = π e + d A tört helyett írjunk inkább negatív kitev s hatvánnyal történ szorzást. Természetesen a gyökr l is térjünk át törtkitev s hatványra. V = π e + e d Mivel e + = e, ezért szorozzunk is és osszunk is kett vel. Az osztást egyb l az integráljel elé írjuk -del való szorzás formájában. V = π e + e d Az integrandus ezen alakban f α f típusúvá vált, s így könnyen elvégezhet az integrálás. V = π e + [ = π e ] [ ] + = π e + Utolsó lépésként helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba. V = π e + e + = π e Feladat: [ Határozzuk meg az f = függvény görbéjének ívhosszát a, ] intervallumon! Megoldás: Tudjuk, hogy az f folytonosan dierenciálható függvény grakonjának ívhosszát az [a, b] intervallumon az alábbi összefüggés adja: b Γ = + f d. a Ebbe a képletbe kell behelyettesítenünk a feladatban megadott függvény deriváltját és az intervallum végpontjait. Els ként deriváljuk a függvényt, azonban ehhez célszer átalakítani, és egyetlen hatványként írni. f = = = Ezután már egyszer a deriválás. f = = Most helyettesítsünk az ívhossz képletébe. Γ = + d
13 Végezzük el a négyzetre emelést. Γ = Γ = + 9 d A gyököt írjuk hatványként. + 9 d Így jól látható, hogy az integrandus olyan összetett függvény, melynek bels függvénye lineáris. Integrálnunk kell tehát a küls függvényt, majd osztanunk kell a bels függvényb l együtthatójával. + 9 Γ = 9 = Végül helyettesítsük az integrálási határokat Γ = 8 7 = = Feladat: Számoljuk ki az f = ln függvény görbéjének ívhosszát 8 a [, e] intervallumon! b Megoldás: Mivel az Γ = + f d képletbe kell helyettseítenünk, így els ként el kell állítanunk a függvény deriváltját. f = 8 Helyettesítsünk a képletbe. e Γ = + d 8 a Végezzük el a négyzetre emelést, majd vonjunk össze. e Γ = + + e 6 d = d A gyök alatt álló kifejezésben egy teljes négyzet ismerhet fel, s így elt nik az integrandusból a négyzetgyök. e Γ = + e d = d Így már csak alapintegrálok szerepelnek az integrandusban, meghatározhatunk tehát egy primitív függvényt. [ Γ = + ln ] e 8
14 Helyettesítsünk a Newton-Leibniz-szabályba. Γ = e + ln e + ln = e + + = e Feladat: Határozzuk meg azon forgástest palástjának felszínét, mely úgy keletkezik, hogy az f = + függvény grakonjának [, ] intervallumhoz tartozó ívét megforgatjuk az -tengely körül! Megoldás: Tudjuk, hogy az [a, b] intervallumon folytonosan dierenciálható f függvény grakonjának tengely körüli megforgatásával kapott forgástest palástjának felszínét az alábbi összefüggés adja: b F = π f + f d. a Ebbe a képletbe kell behelyettesítenünk a feladatban megadott függvényt és deriváltját, valamint az intervallum végpontjait. Állítsuk el a függvény deriváltját. Figyeljünk oda arra, hogy összetett függvényt deriválunk, így a küls függvény deriváltját szorozni kell még a bels függvény deriváltjával. f = + = + Ezután már helyettesíthetünk a képletbe. F = π + + d + Végezzük el a második gyök alatt a négyzetre emelést. 9 F = π d A két gyökös kifejezés szorzatát írjuk fel egyetlen gyökkel, és végezzük el a szorzást. 9 F = π + + d = π d Vonjunk össze a gyök alatt, és a írjunk inkább törtkitev s hatványt a gyök helyett. F = π + d = π + d Átalakításaink eredményeként az integrandus olyan összetett függvény lett, melynek bels függvénye els fokú, így könnyen elvégezhet az integrálás. A küls függvényt integráljuk, és osztunk a bels függvényb l együtthatójával. F = π + = π 9 +
15 A primitív függvénybe helyettesítsük az integrálási határokat. F = π + + = 9 9 = π 5 = π 7 5 = 9 9 = π Feladat: Számoljuk ki azon forgástest palástjának felszínét, mely úgy keletkezik, hogy az f = függvény grakonjának [, ] intervallumhoz tartozó ívét forgatjuk meg az -tengely körül! Megoldás: Amint az el z feladatban, úgy most is az alábbi képletbe kell helyettesítenünk. b F = π f + f d a Ehhez állítsuk el a függvény deriváltját. f = = Ezután végezzük el a helyettesítést. F = π + d Végezzük el a négyzetre emelést, emeljünk ki, és a gyök helyett írjunk inkább hatványt. F = π + d = π + d Mivel + =, ezért szorozzunk is és osszunk is -gyel. Az osztást, amint az korábban is tettük, írjuk -del szorzás formájában az integrál el tt. F = π + d = π + d Ezzel sikerült elérnünk, hogy az integrandus f α f típusú lett. F = π + + d 6 Alkalmazzuk a megfelel integrálási szabályt. F = π + 6 = π 9 [ + ] 5
16 Helyettesítsük ezután az integrálási intervallum végpontjait. F = π = π
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenA dierenciálszámítás alapjai és az érint
A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenKomplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenBodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak VII. modul: Integrálszámítás. lecke: Határozatlan és határozott integrál Tanulási cél: Megismerni a határozatlan és határozott integrál
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenTerületszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
RészletesebbenFüggvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenFüggvénytani alapfogalmak
Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenAnalízis 3. A szakirány Gyakorlati jegyzet 1-6. óra.
Analízis. A szakirány Gyakorlati jegyzet -6. óra. A jegyzetet Umann Kristóf készítette Filipp Zoltán István gyakorlatán. Utoljára frissítve: 07. május. Tartalomjegyzék. Információk a gyakorlattal kapcsolatban.
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenKonvexitás, elaszticitás
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Részletesebben2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenIrracionális egyenletek, egyenlôtlenségek
9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
Részletesebbenx a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAz integrálszámítás néhány alkalmazása
Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben