Határozatlan integrál

Átírás

1 Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel, ilyenkor tagonként integrálhatunk, azaz + sin ch d = d + sin d ch d. Az els integrálban szerepel konstans szorzó kiemelhet az integrál elé. + sin ch d = d + sin d ch d. Így már csak alapintegrálok szerepelnek, melyeket egyszer en behelyettesíthetünk. Az els részben az α d = α+ + c, α IR \ { } alapintegrálra α + hivatkozunk, mely azt mondja ki, hogy hatványfüggvény integrálásakor a kitev t eggyel megnöveljük, s az új kitev vel osztunk. Kivétel a - edik hatvány, azaz a reciprok. A második tag esetén arra hivatkozunk, hogy sin d = cos + c. A harmadik tag esetén pedig arra, hogy ch d = th + c Ezek a után a feladat eredménye a következ : + sin ( ) ch d = + ( cos ) th + c = = cos th + c. Feladat: Integráljuk az f() = 5 függvényt. Megoldás: El ször alakítsuk át az integrálandó függvényt. A gyökök helyett írjunk inkább törtkitev s hatványokat.

2 ( f() = ) 5 Végezzük el e zárójelen belül a szorzást. ( ) 5 f() = Egy hatványt tovább hatványozunk. Ilyenkor a kitev k szorzódnak. f() = 5 = 0 Így már csak egyetlen hatványt kell integrálnunk. Az el z feladatban leírtak szerint ekkor eggyel megnöveljük a kitev t, s az új kitev vel osztunk. f()d = 0 = 0 + c = c 0 Az eredményt nem csak ilyen alakban írhatjuk, hisz egy törtkitev s hatvány gyökös kifejezéssé alakítható. Ekkor eredményünk alakja a következ : f()d = c ). Feladat: ( = Megoldás: Függvények szorzatát kell integrálnunk, amire nincsen általános integrálási szabály. Ezért próbáljuk meg úgy átalakítani a függvényt, hogy ne szerepeljen benne szorzás. Írjunk a köbgyök helyett törtkitev s hatványt, és bontsuk fel a zárójelet. ) ( d = d = ( 7 d ) d = Így sikerült elérnünk, hogy nem szerepel már szorzás az integrandusban, hanem csak különbség. Így már egyszer en tagonként végezhetjük el az integrálást. A második tagból egyben ki is emelhetjük a konstans szorzót 7 d = 7 d d Ezután már csak két hatványfüggvényt kell integrálnunk. 7 d 0 d = Az eredményt írhatjuk más alakban is c + c = c

3 . Feladat: + 5 d Megoldás: Most függvények hányadosa szerepel az integrandusban, amire ugyanúgy nincs általánosan integrálási szabály, mint a függvények szorzatára. Most is tudunk azonban alakítani a függvényen. A számlálóban lev összeg tagjait külö-külön oszthatjuk a nevez vel, s a gyököt pedig hatvány alakban írhatjuk. + 5 d = + 5 d = + 5 d Végezzük el a két osztást. (Most a kitev k kivonódnak.) d = + 5 d Íg sikerült elérnünk, hogy csak két hatványfüggvény összegét kell integrálnunk. Ezt a korábbiakban ismertetett módon hajtjuk végre. Nem részletezzük már, hogy az összeget tagonként integrálhatjuk, és konstans szorzó kiemelhet az integrálás során d = c = c Az eredményt írhatjuk gyökös formában is c 5. Feladat: sin( + π) d = Megoldás: Az integrandusunk most egy olyan összetett függvény, amelynek bels függvénye els fokú polinom, vagy más szóval lineáris. Ha egy ilyen függvény küls függvényének ismerjük a határozatlan integrálját, akkor az összetett fügvényt is tudjuk integrálni. A szabály, melyet ilyen esetekben alkalmazhatunk, a következ : f(a + b) d = teljesül. F (a + b) a + c, a, b IR, ahol f() = F () + c Szövegben ezt úgy mondhatjuk, hogy ilyenkor vesszük a küls függvény integrálját, összetett függvényt alkotunk az eredeti lineáris bels függvénnyel, és ezt osztjuk a lineáris bels függvényb l együtthatójával. Jelen feladatban a következ t láthatjuk. A küls függvény sin. Ennek integrálja: sin d = cos + c. A bels függvény + π, ez felel meg a + b-nek, azaz a = és b = π.

4 Alkalmazva a szabályt, az alábbi eredményt kapjuk: cos( + π) sin( + π) d = + c Az ilyen feladatokban általában nem szükséges sok átalakítást végrehajtani az integranduson, a hangsúly azon van, hogy felismerjük, ilyen típusú összetett függvényünk van. Ha ez sikerült, akkor már könny alkalmazni a szabályt. 6. Feladat: 5 8 d = Megoldás: Az integranduson megint azt ismerhetjük fel, hogy olyan összetett függvény, melynek bels függvénye els fokú. A küls függvény most nyilván az. Ennek integrálja a következ : d = ln + c. Itt szeretnénk felhívni a gyelmet arra, hogy bár az is hatványfüggvény, hiszen =, de integrálása másképp történik, mint a többi hatványfüggvénynek. Az integrálásnál a -edik hatvány kivételt alkot. A bels függvény most 5 8, tehát a = 5 és b = 8. F (a + b) Alkalmazva az f(a + b) d = + c szabályt, az alábbi ered- a ményt kapjuk: ln 5 8 d = c 7. Feladat: cos 5 d = Megoldás: Ha most deriválnunk kellene, akkor azt mondanánk, jelen esetben egy többszörösen összetett függvényünk van. Küls függvény az, középs a cos, és bels az 5. Nem muszály azonban ennyire felbontanunk a függvényt, s t integrálásnál nem is célszer. Az el z felbontásban szerepl bels függvény, az 5, egy lineáris függvény. Csak annyit kell tennünk, hogy amit az el bb küls és középs függvénynek tekintettünk, azt nem bontjuk fel, hanem egyben tekintjük küls függ- vénynek. Azaz most cos lesz a küls függvény. Azért célszer ez a felbontás, mert így a küls függvény egy alapintegrál. Tudjuk, hogy d = tg + c. cos Amint már említettük, a bels függvény 5, azaz a = 5 és b = 0. Alkalmazva a korábban ismertetett szabályt, az alábbi eredményt kapjuk:

5 tg 5 cos d = + c Feladat: + 7 d = Megoldás: Az integrandus ezen esetben is olyan összetett függvény, melynek bels függvénye els fokú. A küls függvény nyilván a, melynek integrálja: d = d = + c = + c A bels függvény + 7, tehát a = és b = 7. Alkalmazva az el z ekben ismertetett szabályt, a következ t kapjuk: ( + 7) + 7 d = + c = ( + 7) 6 + c 9. Feladat: + 9 d = Megoldás: A függvény ezen alakjából nem igazán látszik az, hogy lineáris bels függvénnyel rendelkez összetett függvényr l van szó, de ha egy kicsit alakítunk rajta, akkor már igen. Írjuk a 9 -et () formában. Így az integrál a következ alakot ölti: + 9 d = + () d Így már látható, hogy a küls függvény most. Ez egy alapinteg- + rál: d = arctg + c. + A bels függvény, azaz a = és b = 0. Ezután az eredmény a következ : + 9 d = arctg d = + c + () A feladatból jól látszik, hogy az alapintegrálok biztos ismerete nagyon fontos. Csak akkor jöhet rá valaki, hogy milyen alakban kell írni az integrandust, ha tisztában azzal, hogy egy alapintegrál. Ezután + már könny észrevenni ezen alapintegrál, és az integrandus közötti hasonlóságot. 0. Feladat: + d = Megoldás: A feladat nagyon hasonlít az el z re. Az integrandus alig különbözik az alapintegráltól, de most más helyen tér el at- + 5

6 tól, mint az el z feladatban. Els ként azt lenne jó elérnünk, hogy a nevez ben a helyén álljon, ezért célszer kiemelni -et. + d = d + Ezzel elértük, hogy az integrandus lényegében olyan, mint az el z ( ) feladatban. Írjunk ezután az ( ) helyett -t, amit formában is írhatunk. d = ( ) + d = ( ) d + + Így már egyértelm, hogy megint olyan összetett függvényt kell integrálnunk, amiben a bels függvény lineáris, s amelyben + a küls függvény. Ennek integrálja már korábban is szerepelt: d = arctg + c. + A bels függvény most, azaz a = és b = 0. Alkalmazzuk újra a korábban ismertetett szabályt, azaz integráljuk a küls függvényt, alkossunk összetételt a bels függvénnyel, és osszunk a bels függvényb l együtthatójával. Így eredményünk az alábbi lesz:. Feladat: ( ) d = + arctg ( ) d = + c = arctg + c Megoldás: Az integrandusban most azt ismerhetjük fel, hogy egy függvény hatványa áll benne megszorozva a hatványozott függvény deriváltjával. Úgy is mondhatjuk, hogy az integrandus f α () f () típusú. Az ilyen függvények integrálására is van egy könnyen alkalmazható szabályunk: f α () f () d = f α+ () α + + c, ahol α IR \ { }. Ebben a feladatban nyilván f() = + 5 az a függyvény, aminek a hatványa szerepel, s mellete ott áll szorzóként a deriváltja, hiszen ( + 5 ) =. A szabály azt mondja ki, hogy ilyen esetben a függény -gyel magasabb kitev j hatványa lesz az integrál, elosztva ezen -gyel nagyobb kitev vel. Így az alábbi eredményt kapjuk: 6

7 ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( + 5 d = ) d = + c 7 Látható, hogy a megoldás során nem volt szükség az integrandus hosszas átalakítására. Az volt a fontos, hogy felismerjük, az integrandus típusát. Erre akkor van csak esélyünk, ha rendelkezünk az alapderiváltak biztos ismeretével. ( ). Feladat: d = Megoldás: Az el z feladat megoldásának mintájára azt mondhatjuk, hogy legyen f() =, hiszen ennek a függvénynek hatványa szerepel az integrandusban. A gondot az okozza, hogy ennek deriváltja ( ) =, és nem pontosan ez szerepel a függvény hatványa mellett szorzóként, hanem csak. Ezen azonban segíthetünk, ha az integrandust szorozzuk is, és osztjuk is -vel. Így elérjük, hogy a függvény hatványa mellett a hatványozott függvény deriváltja álljon. ( ) ( ) d = d = Mivel konstans szorzó kiemelht az integrálból, ezért a -vel osztás helyett célszer bb -del szorzást írni az integrál elé. Így az integrandus egyértelm en f α () f () típusú. ( ) d = ( ) d = = ( ) ( ) d Alkalmazzuk az el z feladatban ismertetett szabályt. ( ) ( ) ( ) d = + c = ( ) + c 8 A megoldásból látható, hogy ha az integrandus egyik tényez je egy függvény hatványa, a másik pedig ezen hatványozott függvény deriváltjának szám szorosa, akkor kialakítható az f α () f () típusú integrandus. Ilyenkor megfelel konstanssal szorzunk is és osztunk is, hogy a hatványozott függvény deriváltja jelenjen meg. Felhívjuk a gyelmet arra, hogy ilyet csak akkor tehetünk, ha a hatványozott függvény deriváltjától csak konstans szorzó erejéig tér el a tényez. Ha nem konstans szorzó az eltérés, akkor a függvény nem integrálható ilyen módon.. Feladat: cos sin d = Megoldás: Ez el z két feladatban egyértelm en látható volt egy függvény hatványa, most ehhez egy kicsit alakítanunk kell az integranduson. A gyök helyett írjunk törtkitev s hatványt. 7

8 cos sin d = (cos ) sin d Így már megvan, hogy a cos függvény hatványa szerepel az integrandusba egyik tényez ként. Mellette sin áll, ami csak egy el jelben különbözik a cos deriváltjától, hiszen (cos ) = sin. Érjük el, hogy megjelenjen a negatív el jel az integrandusban. Ha két negatív el jelet is kiteszünk, akkor mintha nem is tettünk volna semmit. Az egyiket tegyük ki az integrál elé, a másikat pedig belül a sin -hez. Így elérjük, hogy a hatványozott függvény deriváltja álljon az integrandusba. (cos ) sin d = = (cos ) (cos ) d Ezután már alkalmazható az s az alábbi eredményt kajuk: (cos ) (cos ) d = (cos ). Feladat: (cos ) ( sin ) d = f α () f () d = f α+ () α + + c = (cos ) + c. + c szabály, sh ch d Megoldás: Ebben a feladatban sem nyilvánvaló, hogy függvény hatványa szerepel, ezért alakítunk az integranduson. A tört helyett most írjunk negatív kitev s hatvánnyal való szorzást. sh ch d = (ch ) sh d Már csak annyit kell észrevennünk, hogy (ch ) = sh, tehát a második tényez ben a hatványozott függvény deriváltja áll. (ch ) sh d = (ch ) (ch ) d Alkalmazva a megfelel szabályt, a következ eredményt kapjuk: (ch ) (ch ) (ch ) d = + c = (ch ) + c 5. Feladat: ( + ) arctg d = Megoldás: Tudjuk, hogy (arctg ) =. Ezért célszer nek látszik két tört szorzatára bontani az integrandust, majd negatív kitev s + hatványt írni. Így jól láthatóvá tehetjük, hogy az integrandus f α () f () típusú. 8

9 ( + ) arctg d = ( + ) arctg d = ( + ) (arctg ) d = (arctg ) (arctg ) d Alkalmazzuk tehát az f α () f () típusú függvényekre vonatkozó integrálási módszert. (arctg ) (arctg ) d = ln 6. Feladat: d = (arctg ) + c = arctg + c Megoldás: Tudjuk, hogy (ln ) =, ezért célszer a törtet szorzattá bontani, majd a gyök helyett törtkitev s hatványt írni. Így jól láthatóvá válik, hogy az integrandus f α () f () típusú függvény. ln ln d = d = (ln ) (ln ) d Alkalmazva a megfelel integrálási módszert, a következ eredményt kapjuk: (ln ) (ln ) d = (ln ) + c = (ln ) + c. 7. Feladat: + 6 d = Megoldás: Az integrandus olyan tört, melynek számlálójában épp a nevez deriváltja áll, hiszen ( + 6 ) =. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy egy f () típusú függvényt kell integrálnunk. Az ilyen f() függvények integrálására is van egy egyszer szabály, mely a következ : f () d = ln f() + c. f() Mivel most jól láthatóan f() = + 6, csak annyi a feladatunk, hogy behelyettesítsünk a szabályba. ( ) + 6 d = d = ln c e 8. Feladat: e + 5 d = Megoldás: Most azt kell felismernünk az integranduson, hogy a számláló, csak egy konstans szorzóban tér el a nevez deriváltjától, hiszen (e + 5) = e. 9

10 Ha be tudjuk csempészni a számlálóba a -at, akkor az integrandus f () típusú lesz, s el tudjuk végezni az integrálást. Hasonló esettel f() már találkoztunk korábban, és akkor a hiányzó konstanssal szoroztunk is, osztottunk is. Az osztást egyb l írjuk az integrál jel elé, reciprokkal történ szorzás formájában. e e + 5 d = e e + 5 d = ( e + 5 ) e + 5 d f () Ezután már csak be kell helyettesítenünk az d = ln f() + c f() szabályba. ( e + 5 ) e + 5 d = e ln c = ) (e ln c Mivel a e + 5 > 0 minden IR esetén, ezért hagyhattuk el az abszolút értéket az eredményben. Amint látható, ha olyan törtünk van, meyben a számláló csak konstans szorzóban különbözik a nevez deriváltjától, akkor a hiányzó konstanssal szorozva és osztva is, elérhet, hogy f () típusú függvény f() legyen az integrandus. 9. Feladat: + d = Megoldás: Vegyük észre, hogy a nevez deriváltja ( + ) =, csak egy konstans szorzóban tér el a tört számlálójától, ami. Ahhoz, hogy f () típusú függvény legyen az integrandus, szükség lenne a f() számlálóban a -re. Az el bbiek szerint szorozzunk -vel, és ossszunk is -vel. Az osztást egyb l írjuk az integrál elé -del szorzás formájában. + d = + d = ( + ) + d Már csak be kell helyettesítenünk a szabályba. ( + ) + d = ln + + c = ) ( ln + + c Az abszolút érték most is elhagyható az eredményben, hiszen + > 0 minden IR esetén. 0. Feladat: tg d = Megoldás: Használjuk fel a tg denícióját, azaz írjunk helyette sin cos - et. 0

11 sin tg d = cos d Az integrálandó tört számlálója csak egy el jelben tér el a nevez deriváltjától, hiszen (cos ) = sin. Szorozzuk meg ezért az integrandust -gyel, és az integrál elé is írjunk egy negatív el jelet. Így elérjük, hogy az integrandus f () típusú függvény legyen. f() sin sin (cos ) cos d = cos d = cos d Ezután már csak be kell helyettesítenünk a megfelel integrálási szabályba. (cos ) d = ln cos + c cos. Feladat: ( 6) sh d = Megoldás: Az integrandus most szorzat, s azon belül is egyik tényez je polinom, a másik pedig a sh. Ilyen esetben a parciális integrálás alkalmazásával érhetünk célt. Ennek szabálya röviden a következ : u() v () d = u() v() u () v() d Válasszuk a polinomot u()-nek, mert így a szabály alkalmazása után visszamaradó integrálban majd ezen polinom deriváltja fog megjelenni, ami már csak egy konstans. Így a parciális integrálás után már nem szorzatfüggvény áll majd az integrandusban. Legyen tehát u() = 6 és v () = sh. Ekkor u () = és v() = ch. Az ismert v ()-b l integrálással kaptuk meg v()-et. Helyettesítsünk be a szabályba. ( 6) sh d = ( 6) ch ch d A feladatot még nem oldottuk meg, hisz még van egy integrálunk. Ebb l azonban a konstans szorzót kiemelhetjük, s utána már csak egy alapintegrál marad. Így az eredmény a következ lesz: ( 6) ch ch d = ( 6) ch ch d = = ( 6) ch sh + c. Feladat: ( + 7) 5 d Megoldás: Az integrandus egy hasonló szorzat, mint amilyen az el z feladatban szerepelt, így megint a parciális integrálással próbálkozhatunk.

12 Legyen u() = + 7 és v () = 5. Ekkor u () = és v() = 5 ln 5. Helyettesítsünk be a szabályba. ( + 7) 5 5 d = ( + 7) ln 5 5 ln 5 d A még meghatározandó integrálból emeljük ki a konstansokat, így már csak egy alapintegrál marad majd, amit meghatározunk. 5 ( + 7) ln 5 5 ln 5 d = ( + 7) 5 ln 5 5 d = ln 5 5 = ( + 7) ln 5 ln 5 5 ( ln 5 + c = ) + c ln 5 ln 5. Feladat: ( + ) ln d = Megoldás: Ismét szorzatot kell integrálnunk, és az egyik tényez most is polinom, de a másik tényez ben álló ln más típusú mint ami az el z két feladatban szerepelt. Akkor ott olyan függvény állt, amely alapintegrál volt. A ln nem ilyen függvény. Ezért nem célszer t v ()-nek választani, hiszen akkor a v()-et nem könny meghatározni. Legyen tehát a szereposztás most a parciális integrálás során a következ : u() = ln és v () = + Ekkor u () = és v() = + Helyettesítsünk ezután a szabályba. ( ) ( ) ( + ) ln d = + ln + d A még meghatározandó integrálban egyszer sítsünk, majd végezzük el az integrálást. ( + ) ln + d = ( ) ( ) + ln + + c. Összetett feladatok. Feladat: ctg d = Megoldás: Az integrandus egy összetett függvény, s az összetett függvényekre nincs általános integrálási szabály. Próbáljuk átalakítani, hogy integrálható függvényt, vagy azok összegét kapjuk. Induljunk el a legegyszer bb szóba jöhet összefüggésb l, mely szerint ctg = cos sin, és írjuk ezt be az integrandusba. Mivel így egy tört négyzetét kapjuk, ezután úgy alakíthatunk tovább, hogy külön emeljük négyzetre a számlálót és a nevez t.

13 ctg d = ( ) cos cos d = sin sin d Még nem látszik pontosan miért jó ez az átalakítás, de középiskolából több olyan összefüggés is ismert, melyben sin és cos szerepel, így ebben az irányban tovább alakítható a függvény. Ismét a legegyszer bb összefüggésb l menjünk tovább, ami a sin + cos = azonosság. Rendezzük ezt át cos = sin alakra, és helyettesítsünk be az integrandus számlálójába. cos sin sin d = sin d Bontsuk fel ezután a törtet két tört összegére azáltal, hogy külön osztjuk el a számláló tagjait, majd egyszer sítsünk amelyik törtben erre lehet ség van. sin sin d = sin sin sin d = sin d Ezzel sikerült elérnünk, hogy az integrandus két alapintegrál különbsége lett. A tagokat külön integrálhatjuk, s az alapintegrálokat egyszer en be kell helyettesítenünk. sin d = sin d d = ctg + c A feladatot megoldottuk, de talán az olvasóban felvet dik az a kérdés, miért nem a nevez ben álló sin helyére helyettesítettünk cos - et, hiszen ezt is megtehettük volna. Természetesen ez az átalakítás sem lett volna hibás, de ekkor nem tudtuk volna tovább alakítani az integrandust. A törtek esetében többször hajthatunk végre olyan átalakítást, hogy külön osztjuk el a számláló tagjait. Ehhez arra van szükség, hogy a számlálóban álljon összeg vagy különbség, és ne a nevez ben. Az is fontos volt a további alakítás során, hogy a számláló egyik tagja megegyezett a nevez vel, s így tudtunk egyszer síteni. Az egyszer sítés után kapott pedig alapintegrál, hiszen d = + c. 5. Feladat: + ( + ) d = Megoldás: Az integrandus egy elég bonyolult tört, azonban észrevehetjük, hogy a számláló olyan összegre bontható, melynek egyik tagja a nevez egyik tényez jének, másik tagja pedig a nevez másik tényez jének a számszorosa. 5 + ( ( + ) d = + + ) ( d + ) Ez azért jó, mert így a törtet két tört összegére bonthatjuk, és a keletkez törteken belül egyszer síthetünk.

14 + ( + ) ( d = + ) ( + ) + ( + ) ( + ) d = = + + d Az összeget természetesen tagonként integráljuk, a konstans szorzók pedig kiemelhet k. + + d = + d + d = + d + d Az els tag alapintegrál, a második tagban pedig a reciprok helyett írjunk inkább negatív kitev s hatányt. + d + d = + d + d Ezután már csak be kell helyettesítenünk a megfelel alapintegrálokat. + d + d = arctg + + c = arctg + c 7. Feladat: d = Megoldás: Olyan tört áll az integrandusban, melynek számlálója konstans, nevez je pedig egy másodfokú kifejezés. Hasonlóval találkoztunk az alapfeladatok között, csak ott a másodfokú kifejezés sokkal egyszer bb volt. Akkor olyan összetett függvénnyé tudtuk alakítani az integrandust, melynek lineáris bels függvénye volt. Most is megpróbálhatjuk ezt elérni. Ehhez els lépésként alakítsunk teljes négyzetté a nevez ben, a számlálóból a konstanst pedig emeljük ki d = 7 (5 + ) + 9 d Ezután emeljük ki a nevez b l a 9-et, hogy helyén maradjon. Azért tesszük ezt, mert a függvény így egyre jobban hasonlít majd az + alapintegrálra. 7 (5 + ) + 9 d = 7 9 (5 + ) d + 9 ( ) (5 + ) 5 + Az -et írjuk inkább alakban (5 + ) d = 7 ( ) d Utolsó átalakításként pedig az 5 + helyett használjuk inkább az 5 + alakot, valamint cseréljük meg a nevez ben a tagok sorrendjét.

15 7 ( ) d = 7 ( d ) Ezen alakból már jól látszik, hogy olyan összetett függvényt kell integrálnunk, melynek küls függvénye az alapintegrál, bels függ- + vénye pedig az 5 + lineáris függvény. Alkalmazzuk az ilyen összetett F (a + b) függvényekre vonatkozó f(a + b) d = + c integrálási szabályt. a A küls függvény integrálja: + d = arctg + c, és a = 5. Helyettesítsünk a szabályba. Az alábbi eredményt kapjuk: ( 5 7 ) 9 d = 7 arctg + ) +c = 7 ( arctg + ( ) + c A feladat megoldása során alkalmazott eljárás segítségével integrálhatjuk az összes olyan törtet, melynek számlálója konstans, nevez je pedig szorzattá nem bontható másodfokú kifejezés. Ilyenkor a nevez ben teljes négyzetté alakítunk, majd kiemeléssel elérjük, hogy az összegben szerepl konstans tag legyen. A nevez ben szerepl másik tagot úgy alakítjuk, hogy egy els fokú kifejezés négyzete legyen. Ekkor olyan összetett függvényt kapunk, melynek küls függvénye +, bels függvénye pedig lineáris.. Feladat: 9 9 d = Megoldás: A feladat nagyon hasonlít az el z re, csak a nevez ben gyök alatt áll a másodfokú kifejezés. Van három olyan alapintegrálunk, melyben a nevez ben másodfokú kifejezés áll gyök alatt. Ezek a következ k: d = arcsin + c, d = arsh + c, + d = arch + c. Ha az el z feladatban alkalmazott eljárással alakítjuk az integrandust, most a gyök alatt végrehajtva a lépéseket, akkor olyan összetett függvényt kapunk, melynek küls függvénye ezen három alapintegrál valamelyike, bels függvénye pedig lineáris. Els lépésként alakítsunk teljes négyzetté a gyök alatt. 5

16 9 9 d = ( ) 5 d Most kiemeléssel érjük el, hogy a 5 helyére kerüljön. Mivel gyök alól emelünk ki, így az integrál el tt jelenik meg. 5 ( ) 5 d = d 5 ( ) 5 Ezután a gyök alatti törtet alakítsuk úgy, hogy els fokú kifejezés négyzete szerepeljen. d = 5 ( ) 5 ( ) d = 5 5 = 5 ( ) d 5 5 Amint látható, jelen esetben 5 5. Alkalmazva az f(a + b) d = alábbi eredményt kapjuk: 5 ( 5 ) d = Feladat: cos 5 d = F (a + b) a ( arch 5 5) 5 a küls függvény, a bels bedig + c integrálási szabályt, az +c = arch ( 5 5 ) + c Megoldás: Az integrandusban szerepel egy függvény hatványa, de sajnos nem szerepel mellette szorzóként a hatványozott függvény deriváltja, vagy annak számszorosa. Így nem tudjuk azt mondani, hogy az integrandus f α () f () típusú. Bontsuk ezért szorzattá a függvényt. cos 5 d = cos cos d Az els tényez tovább alakítható. ( ) cos cos d = cos cos d A sin + cos = összefüggést rendezzük cos = sin alakra, és helyettesítsünk az integrandusban cos helyére. 6

17 ( ) ( ) cos cos d = sin cos d Végezzük el a négyzetre emelést. ( ) ( sin cos d = sin + sin ) cos d Ezután a zárójelet felbontva, az alábbit kapjuk: cos sin cos + sin cos d A három tagot külön integráljuk, és a második tagból kiemelünk. cos d sin cos d + sin cos d Az els tag egy alapintegrál, a másik kett ben pedig f α () f () típusú függvény az integrandus, hiszen (sin ) = cos. Így ezen két tag esetében az f α () f () d = f α+ () + c szabályt alkalmazhatjuk. α + Az eredmény az alábbi: sin sin + sin5 + c 5 Hasonló módon integrálhatók a sin, cos, sh és ch páratlan kitev s hatványai. ( 6. Feladat: 6 + 5) cos d Megoldás: Az integrandus egy szorzat, melynek els tényez je egy polinom, második tényez je pedig a cos. Ilyen esetben a parciális integrálás ( u v = u v u v) vezet célhoz. Legyen u = és v = cos. Ekkor u = 8 6 és v = sin. Helyettesítsünk a szabályba. ( ( ) 6 + 5) cos d = sin (8 6) sin d A még meghatározandó integrál ugyanolyan típusú, mint amilyen az eredeti feladat volt, csak -gyel alacsonyabb a polinom fokszáma, azaz már csak els fokú. Ezért újra alkalmazzuk a parciális integrálást. Legyen u = 8 6 és v = sin. Ekkor u = 8 és v = cos. Amikor a szabályba helyettesítünk, akkor gyeljünk oda, hogy az integrál el tt negatív el jel állt, ami majd az integrál helyére kerül mindkét tagra vonatkozik majd. Ezért célszer zárójelbe tenni a behelyettesítésnél, hogy csökkentsük a hibázás veszélyét. ( 6 + 5) cos d = 7

18 = ( ) ( sin (8 6) ( cos ) ) 8( cos ) d Bontsuk fel a zárójelet, és emeljük ki a konstanst az integrálból. ( 6 + 5) cos d = = ( ) sin + (8 6) cos 8 cos d Már csak egy alapintegrálunk van, melyet helyettesítsünk be. Az eredmény a következ : ( 6 + 5) cos d = = ( ) sin + (8 6) cos 8 sin + c = = ( 6 ) sin + (8 6) cos + c. 7. Feladat: arcsin d = Megoldás: Az integrandus egy olyan elemi alapfüggvény, mely egy másik elemi alapfüggvény inverzeként került bevezetésre. Ilyen függvények pl. a ln, arccos, arctg, arsh, arth.... Ilyen esetben a parciális integrálás alkalmazása célravezet. Mivel azonban az integrandus nem szorzat, ilyenkor a függvény mellé egy -es szorzót írunk. A szereposztás természetesen a következ : u = arcsin és v =. Ekkor u = és v =. (Gondoljuk végig, hogy a fordított szereposztás teljesen értelmetlen, hiszen ha v = arcsin lenne, akkor a parciális integrálás végrehajtásához szükségünk volna már az integrál eredményére. Csak olyan függvényt választhatunk v -nak, amit könnyen tudunk integrálni.) Helyettesítsünk a szabályba. arcsin d = arcsin d A még meghatározandó integrálban az -et írjuk át hatvány alakra, valamint szorozzunk és osszunk -vel. Az osztást persze írjuk egyb l az integrál el tt -del szorzás formájában. Így az alábbit kapjuk: ( arcsin d = arcsin ( ) ) ( ) d. Azért kedvez ez az átalakítás, mert ( ) =, így ezáltal egy f α () f () típusú függvényt kaptunk. Alkalmazzuk az ilyen függvényekre vonatkozó integrálási szabályt. 8

19 arcsin d = arcsin + ( ) = arcsin + + c 8. Feladat: cos d = + c = Megoldás: Az integrandus olyan szorzat, melynek mindkét tényez je az a, sin, cos, sh, ch függvények valamelyike. Ilyen esetben is sokszor célszer a parciális integrálás alkalmazása, s t általában kétszer is kell használni a szabályt. Az ilyen integrandus esetén mindegy, hogyan osztjuk ki a szerepeket az els parciális integrálás során. Legyen most u = és v = cos a szereposztás. Ekkor u = ln és v = sin. Helyettesítsünk a szabályba. cos d = sin ln sin d Eneljük ki az integrálból a konstans ln -at, majd osszuk ki a következ parciális integráláshoz a szerepeket. Itt már nem mindegy, hogyan választunk. Ugyanúgy kell kiosztanunk a szerepeket, mint az els esetben. cos d = sin ln sin d Legyen tehát u = és v = sin a szereposztás. Ekkor u = ln és v = cos. Újra helyettesítsünk a szabályba. cos d = ( sin ln ( cos ) ) ln ( cos ) d Bontsuk fel a zárójelet, és ismét emeljük ki a konstanst az integrálból. cos d = sin + ln cos ln cos d Így lényegében egy olyan egyenletet kaptunk, amiben az integrál az ismeretlen, mert a kétszeri parciális integrálás után az eredeti integrál szám szorosát kaptuk. Annyi a feladatunk, hogy ebb l az egyenletb l kifjezzük az integrált. Els lépésként adjunk mindkét oldalhoz ln cos d-et. cos d + ln cos d = sin + ln cos + c 9

20 Emeljük ki az integrált a bal oldalon. ( + ln ) cos d = sin + ln cos + c ( ) Végül osszuk az egyenlet mindkét oldalát + ln -mal. cos d = + ln ( sin + ln cos ) + c 9. Feladat: e sin d = Megoldás: A feladat hasonlít az el z re. Olyan szorzatot kell integrálnunk, melynek egyik tényez je eponenciális, másik tényez je pedig sin. Most is parciális integrálással célszer próbálkozni, és tetsz legesen oszthatjuk ki a szerepeket. Legyen pl. u = e és v = sin. Ekkor u = e cos és v =. Szeretnénk felhívni a gyelmet arra, hogy mindkét tényez olyan összetett függvény, melynek bels függvénye els fokú. Figyeljünk oda, mert amikor u-ból u -t állítjuk el, akkor a deriválásnál a bels függvény deriváltjával szoroznunk kell a küls függvény deriváltját, amikor pedig v -b l állítjuk el v-t, azaz integrálunk, akkor a bels függvényb l együtthatójával osztanunk kell a küls függvény integrálját. Helyettesítsünk be ezután a szabályba. ( ) e sin d = e cos ( ) e cos d Miel tt újra alkalmaznánk a parciális integrálást, célszer ezt egy kicsit rendezni, s a konstansokat kiemelni a tagokban. e sin d = e cos + e cos d Most újra osszuk ki a szerepeket immáron gyelve arra, hogy ugyanúgy tegyük ezt, mint az els esetben. Legyen pl. u = e és v = cos. Ekkor u = e sin és v =. Helyettesítsünk a szabályba. e sin d = e cos + ( e sin e sin Bontsuk fel a zárójelet, és a konstansokat most is emeljük ki a tagokból. e sin d = e cos + 9 e sin e sin d 9 ) d 0

21 A kétszeri parciáli sintegrálás után az eredeti integrál egy szám szorosát kaptuk a jobb oldalon. Így annyi a feladatunk, hogy a kapott egyenletb l fejezzük ki az integrált. Adjunk hozzá mindkét oldalhoz e sin d-et. 9 9 e sin d = e cos + 9 e sin + c Végül osszunk 9 -del, azaz szorozzunk 9 -dal. e sin d = e cos + e sin + c Az eredményt kiemelés után az alábbi alakban is írhatjuk: e sin d = e ( sin cos ) + c.