Analízis 3. A szakirány Gyakorlati jegyzet 1-6. óra.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis 3. A szakirány Gyakorlati jegyzet 1-6. óra."

Átírás

1 Analízis. A szakirány Gyakorlati jegyzet -6. óra. A jegyzetet Umann Kristóf készítette Filipp Zoltán István gyakorlatán. Utoljára frissítve: 07. május. Tartalomjegyzék. Információk a gyakorlattal kapcsolatban. Integrálszámítás.. Bevezető Alapintegrálok és ezekre vezethető típusok Lineáris helyettesítés szabálya f f d típusú feladatok f f α d típusú feladatok n, m Z : sin n cos m d feladat altípus Helyettesítés szabálya Parciális integrálás Parciális integrálás + egyenlet Integrálás helyettesítéssel Racionális törtfüggvények integrálása Elemi törtek integrálása Racionális törtre vezethető helyettesítések Határozott integrál és alkalmazásai Területszámítás Ívhossz számolás Forgástestek térfogata és felszíne Összefoglaló sin, cos azonosságok R sh, ch azonosságok R ln azonosságok a, b R Integrálazonosságok Határozott integrál Információk a gyakorlattal kapcsolatban emial: filipp@numanal.inf.elte.hu szoba: -6A Telefonszám: Cím: numanal/~filipp, analízis, azon belül A. várható majd kötelezően beadandó integrálszámítás 8:0 kezdés 7. héten első zh,. hét második zh egy csütörtök el fog maradni, de pótolva lesz Konzi: szerda 9-0 Ami a honlapon található: Gyakorlati anyag Gyemidovics tankönyv III. fejezet és ennek eredményei külön fájlban Bolyai sorozat integrálszámítás és többváltozós analízis Ajánlottak mint Szili analízis feladat gyűjteménye és integráltáblázata. Károlyi Katalin

2 . Integrálszámítás.. Bevezető..0.. Emlékeztető. Primitív függvény Legyen I R nyílt intervallum, és f : I R fv. Ha F : I R, F D és F f I, akkor azt mondjuk hogy F az f egy primitív függvénye. Nem minden függvény rendelkezik primitív függvénnyel, pl.: sign, mert az /-et nem veszi fel sehol Megjegyzés. f, I : R; F R, mert. Ezek is primitív függvényei f-nek R: F : +, F : + Általánoságban F : + c c, R Két primitív függvény konstansban térhet csak el. Ez alapján megállapítható, hogy ha létezik primitív függvény, végtelen sok lehet belőlük Megjegyzés. Ha van f-nek primitív függvénye, akkor f d : {F : I R F D és F f} F + c az f primitív függvényeinek a halmaza, vagy az f határozatlan integrálja Mindig meg kell adnunk az I intervallumot. Néha az is kérdés lehet, egy függvény melyik pontban tűnik el, azaz nem mindig a 0ra vagyunk kíváncsiak Feladat. Adjuk meg azt az F -et, melyre F..0.. Emlékeztető. f :idő távolság Ilyenkor mit jelent f? az a sebesség, míg f a gyorsulás. Ott gyakran vannak olyan feltételek, hogy a kezdősebesség legyen f Ehhez a fenti feladatot példaképp véve + c egyenletet kell megoldani c. Tehát: F Feladat. R cos d sin + c c R Feladat. arccos tan + d arctan + c, c R Feladat., d arc sin + c c R.. Alapintegrálok és ezekre vezethető típusok Szokás úgy is hívni hogy antiderivált, mert az annak az ellentettje Feladat. R 6 + d

3 Emlékezzünk vissza a műveleti tételekre. Az integrál lineáris, így az integráltat integráltak összegére bonthatjuk és a konstansokat is ki tudjuk cuppantani : 6 d d + d c c R..0.. Tétel. Általános integrálfüggvény: α d α+ + c > 0, c, α R α + Ha α Feladat. Határozzuk meg az f : integráltját. Ezt esetekre kell bontani szétválasztani az értelmezési tartományt intervallumokra, legyen az első > 0. Bár R \ {0} is jó választás értelmezési tartománynak, de az nem intervallum. d ln + c c R Második eset,0 : I : d ln + c c R, ui. ln..0.. Megjegyzés. az előző két feladat összefoglalható úgy, hogy d ln + c c R,,0 vagy 0, Feladat. > 0 d 8 d d 7 8 d c c c R Megjegyzés. Ha szorzat van csinálj összeget, ha összeg van cisnálj szorzatot Feladat d d d + d + d d + d + d c c R c Integrálni úgy kell hogy nézed, nézed, nézed, és aztán rájössz. /Filipp/ Megjegyzés. A fenti módszer hívjuk az összegre bontás módszerének Feladat., + d d + d + arc sin + c c R Feladat. R + d + d Feladat. π, π tg d d sin cos cos d cos d d arc tg + c c R + cos d d tg + c c R

4 .. Lineáris helyettesítés szabálya..0.. Feladat. R cos d sin + c Ellenőrizzünk: Azaz korrigálnunk kell, le kell még osztani -vel Emlékeztető Feladat. R sin cos sin + c c R cos d sin + c cos d Általában, a lineáris helyettesítés szabálya:. Feltesszük, hogy F : f d F + c. fa + b d F a+b a + c a, b R, a 0. Csak ha lineáris!..0.. Feladat. R..0.. Feladat. d < e + d e+ sin + c + c c R arc sin d + c c R Feladat. + d + d + d arc tg + c c R Feladat. cos sin d d d cos d sin + c c R Megjegyzés. sin + cos cos sin cos cos sin sin A következő két összefüggést linearizálható formulák nak nevezzük. cos +cos sin cos Feladat. π, π d félszögre térés + cos Házi feladat. π, π sin + cos + cos sin cos d? + cos d cos d tg +c c R

5 ... f f d típusú feladatok... Feladat. f d ln f + c c R, I f... Feladat. R + 8 d f: +8 f... Feladat. Ha ; + : ln d ln d Ha 0,:... Feladat. π, π : sin tg d cos d + 8 d d ln c c R f:ln f ln ln d ln ln + c lnln + c c R ln ln d ln ln + c c R f:cos f sin... f f α d típusú feladatok cos d ln cos + c lncos + c c R cos... Feladat. α R \ { } I f f α d f α+ + c c R α + α d α+ + c c R f f α d f α+ α + α +... Feladat. R + 07 d α:07 f 9 f: c c R d + + d c c R Megjegyzés. Itt kapóra jött az. Ha nem így lenne, akkor 07re kéne hatványozni, szétszedni binomiális tétellel, stb.... Feladat. R e e 00 d... Feladat. 0, π α00 f e f: e cos sin + cos d e e 00 d e 0 + c c R 0 cos sin cos sin cos + sin d d cos + sin cos + sin cos sin cos + sin α: d f sin +cos y f:cos +sin sin + cos...6. Megjegyzés. Ez már ZH szintű feladat. + c c R Én is szívesen négyzetre emelném a fizetésemet /Filipp Zoltán István/ sin + cos sin + cos d

6 ... n, m Z : sin n cos m d feladat altípus... Megjegyzés. Ez a megoldási módszer fő gondolatmenetét a sin és a cos függvények közötti egyszerű váltás adja, pl.: cos sin és sin cos, valamint sin + cos.... Feladat. R sin cos d sin sin cos d sin {}}{ cos cos cos d cos cos d + cos cos 7 d cos6 + cos8 + c c R Megjegyzés. Ha n vagy m páratlan, akkor örülünk, és. Vesszük a kisebbik páratlan hatvánnyal rendelkező tagot pl.: sin cos 7 esetében sin,. Leválasztunk belőle -et pl.: sin sin sin,. Ez lesz a nagyobb hatvánnyal rendelkező tag deriváltja pl.: cos sin.... Feladat. R cos d cos cos d sin sin d sin d sin sin d sin sin + c c R... Házi feladat. Tipp: Linearizálás sin cos 0 d R cos sin cos 0 d sin sin cos 0 d cos cos 0 d cos cos cos + cos 0 d cos cos d+ cos cos d cos cos 0 d cos + cos cos...6. Feladat. R sin cos d cos cos d + c c R + cos cos d d + cos + cos d sin cos d sin cos sin + cos cos cos d cos 6 d } {{ } HF + sin + sin + c c R cos d 6

7 ...7. Házi feladat. cos 6 d d {}}{ cos cos d {}}{ d + cos + cos + cos d 8 cos d cos d { }} {{}}{ sin sin sin sin 8 + c c R A számoláshoz a gyakorlat korábbi eredményeit is felhasználtam Feladat. 0, π sin d cos cos d + sin α sin α cos α félszögre térés sin + cos sin cos d sin cos d + cos sin d sin sin d ln cos + ln sin + c ln tg + c c R...9. Házi feladat. sin cos d 0, π sin cos d...0. Házi feladat. cos tg d tg tg d tg + c c R sin cos d R sin cos d cos cos d cos +cos cos d cos cos 6 +cos 8 d ismert ismert {}}{ {}}{ cos d cos 6 d + cos 8 d Határozzuk meg az ismeretlen tagot: 6 d {}}{ + + cos cos 8 d d + cos + cos d 6 + cos + cos + cos + cos + cos d 6 + cos + 6 cos + cos + cos d 6 cos d {}}{ 6 cos d cos d { }} {{ }}{ sin sin sin sin 8 + cos d {}}{ sin + + sin c c R 7

8 .. Helyettesítés szabálya..0.. Emlékeztető. Tegyük fel, hogy f d F + c c R, I, és tegyük fel, hogy g : J I, g D. Ekkor fg g d F g + c c R Ugyanis..0.. Feladat. R F g F g g fg g cos d g : g: f:cos cos d cos d sin + c c R..0.. Megjegyzés. Rövid jelölés: cos d :t 0;+ d dt dt dt cos t dt t sin t + c t sin + c..0.. Feladat. 0, π + tg + tg d Legyen tg : t 0; +. Ez alapján arc tg t d arc tg t dt Visszírva Vagy: d + t dt + t + t + t dt + tg + sin cos cos ; + tg + tg ui.: arc tg t + t. t + + t dt dt lnt + + c c R t + d ln + tg + c c R cos + tg + tg d d ln + tg + c c R + tg..0.. Feladat. R Legyen e + e d Az új integrál : Vissza : e : t 0, + ln t d ln t dt d t dt t + t t dt t t + + t dt dt dt t ln + t + c t + + t e + e d e ln + e + c c R HF: 0 darab feladattípus, f f, f f α, sin cos, f g g... Tanár úr, használhatok más jelölést? A gt-t annyira nem szeretem. /Tóth Péter/ Megjegyzés. Mindig a nagyobb hatvánnyal rendelkező változóhoz érdemes új változót rendelni. 8

9 .. Parciális integrálás..0.. Emlékeztető. f g f g + f g f g f g + f g f g f g + f g f g f g f g Ezt hívjuk a parciális integrálás tételének Feladat. R g {}}{ f {}}{ e d f :e g: f: e g : f g {}}{ e f g {}}{ e d e Cuppantsuk ki a konstans tagot! /Filipp/..0.. Megjegyzés. Rövid jelölés: f és g nem lesz jelölve többet e p.i. e d e e d... Jelölje p.i. a parciális integrálást. e d e e + c c R Fogd a deriválás kukkert. Amelyik szemed nyitott az adott formulán azt deriválod, amelyiken csukott, az hagyod. Aztán egyik szem lecsuk, másik kinyit. /Filipp/..0.. Megjegyzés. Ez a módszer hatásos lehet, de nem minden esetben. Ha nem jól osztjuk a szerepeket nem a megfelelő függvényt választjuk f-nek vagy g-nek, lehet hogy egyáltalán nem jutunk előrébb. E példában ha a két függvényt fordítva választjuk meg, nem jutottunk volna előrébb semmivel Feladat. R g {}}{ f {}}{ sin d p.i. cos + cos + sin g {}}{ cos d cos f {}}{ cos d sin Itt egyértelműen érdemesebb volt sin-t választani. cos + cos d sin d d cos + 9 sin 9 cos + 9 sin + cos + c c R 9 p.i. sin d Megjegyzés. Célszerű mindig részletesen kiírni a számolásokat, mert ha valamit elrontunk, részpontot se kapunk ZH-ban Megjegyzés. Ez a módszer nagyon jól működik hasonló típusoknál: sinα + β cosα + β P e α+β d Ahol P egy valós polinom. shα + β chα + β 9

10 Házi feladat. R + cos d + sin d sin + sin + d sin + cos + d sin + cos + cos d sin ++cos + sin +c c R sin + + cos + + c c R Házi feladat. R + 8 e d e + 8 d + 8 e + 8 e e e + c e d + 8 e c c R e d Házi feladat. R sin d sin d cos d cos + cos d cos sin + c c R..0.. Házi feladat. R ch d sh d sh sh d sh ch + c c R..0.. Házi feladat. R + sh8 d ch8 ch8 + d + + ch8 d ch8 sh8 + + d 8 6 ch8 sh8 + + sh8 d ch8 sh8 ch c 8 6 ch8 + + ch8 sh8 + + c c R ch8 sh c c R 6 6 0

11 ..0.. Házi feladat. R javallott a linearizálás cos d + cos d + sin d + sin + sin + cos + c c R + sin d..0.. Feladat. Olyan típusú integrálokat veszünk most, melyek tartalmaznak inverz függvényeket is. Legyen > 0 és: ln d ln d p.i. ln d ln ln d ln d ln + c c R..0.. Feladat. arc sin d arc sin d p.i. arc sin arc sin d arc sin d arc sin + d arc sin + d }{{} f f α arc sin Feladat. arc tg d arc tg d arc tg + c arc sin + + c d arc tg arc tg d arc tg 6 ln c c R Feladat. > ln + d Határozzuk meg a kiemelt részt. Visszatérve: p.i. ln + d ln + + d }{{} ln + + d d + ln + + c c R + ln + + ln + + c c R Azért célszerű ehhez hasonló példákban a polinomot választani f -nak, mert így eltűnik a logaritmus. + 9 }{{ d } f f

12 ... Parciális integrálás + egyenlet... Feladat. R e p.i. sin d e sin e cos d e sin e cos e sin d e sin e cos e sin d Kaptunk egy egyenletet az ismeretlen integrálra. Rendezzük át, fejezzük ki, és oldjuk meg. e sin d e sin cos e sin d e sin cos + c c R Mindig ugyanazt kell kiválasztani, ha parciálisan intergálunk!... Feladat., d d + + d + d + d d d + arc sin d Ismét egyenletet kaptunk. d + arc sin + c c R... Házi feladat. R + d + d d d + d + arsh + d Ez alapján az egyenlet: + + arsh + c c R... Házi feladat. R arc tg d arc tg arc tg... Házi feladat. R arc sin d arc tg d d + arc tg + + d d + arc tg + arc tg + c c R arc sin d arc sin d arc sin + + d

13 arc sin + d arc sin arc sin + d Határozzuk meg d-et. Ezt már korábban meghatároztuk, azonban később meglátjuk, hogy parciális integrálás segítségével is számolható ld feladat. d arcsin + + c c R Visszatérve: arc sin + arcsin + arcsin + + c + c c R...6. Házi feladat. R ln + d ln + d ln + ln Házi feladat. + d ln d + d ln + + arc tg + c c R sh cos d ch cos d ch cos ch sin d ch cos + sh sin d ch cos + sh sin sh cos d sh cos d ch cos sh sin...8. Házi feladat. e cos d e cos d e cos Határozzuk meg cos e -t. cos + e d e cos sin d e cos + e cos + e sin d e cos + e sin e cos + e sin e cos d cos e d e cos sin d e cos d e cos d e d e cos d e Visszatérve: e cos + e sin + e e cos d Így az egyenlet: e cos d e cos + e sin + e + c e cos + sin + + c c R

14 Feladat., d.6. Integrálás helyettesítéssel Emlékeztető. f d :gt fgt g t dt tg Szükségünk lesz számos új változóra. Legyen: f : gt : sin t :, g t arc sin t, g t cos t g létezik, hisz g bijektív. Ezek alapján t π, π. Visszatérve: sin t cos t dt tarc sin cos t cos t dt tarc sin Az új integrál: cos t cos t dt t π ; π + cos t cos t dt dt t + sin t + c! t + sin t sin t + c Visszahelyettesítve: d arc sin + + c c R Házi feladat. A következő feladatot az : sin t helyettesítéssel javallott megoldani. Legyen 0,, és: d Legyen f : gt : sin t :, g t arc sin t, g t cos t g létezik, hisz g bijektív. Ezek alapján t 0, π. Visszatérve: sin t cos t dt sin t sin t cos t dt+ Helyettesítsük vissza: cos t sin t dt cos t sin t cos t dt sin t sin t dt Megjegyzés. Rövid jelölés: d t 0; π cos t cos t sin t dt sin α sin α cos α félszögre térés sin t + cos t sin t cos t dt dt ln sin t ln cos t +c ln tg t +c c R arc sin d ln tg + c c R sin t sin t cos t dt dcos t dt tarc sin dsin t dt Házi feladat. 0 integrálfeladat, parciálisan, helyettesítéssel első és második szabállyal ez utóbbit vegyesen

15 Feladat. + d Vezessünk be új változót. Visszatérve: gt : sh t :, t R d sh t dt d ch t dt t arsh poz. {}}{ e + sh t ch t dt ch t ch t dt ch ch t dt ch t + e t t dt dt e t + e t e t + e t e t +e t + cht + dt dt t + sht + c Bár az integráljelek eltűntek, ha ezen a ponton helyettesítenénk vissza, túl ronda alakot kapnánk, így érdemes továbbalakítani. t + et e t + c t + et e t + c t + et e t t + sh t + sh t + c et + e t t + sh t ch t + c Emlékeztető. + d arsh c ch e + e sh e e ch sh A ch grafikonját szokás láncgörbének hívni, mert mert ha egy lánc két végét fogjuk, akkor mindig egy ch függvényt vesz fel az alakja. Az inverzekre is megállapítható pár azonosság: sh arsh ln + + ch arch Valamint a sin és cos függvényekhez hasonló azonosságok is megállapíthatóak. ch + ch sh sh ch Megjegyzés. Ezeket levezettük, így egyből felhasználhatóak, nem kell zh-ban őket levezetni Házi feladat. d. <, ch t t < 0. >, ch t t > 0 Megoldás > : Adjuk meg a helyettesítést. gt : ch t :, t R Az új integrál: g t arch, d ch t dt d ch t dt d sh t dt ch t sh t dt sh t sh t dt > e sh t e t t dt dt

16 e t e t e t + e t dt e t +e t ch t dt dt sh t t + c sh t + sh t t + c c R Helyettesítsünk vissza: d + arch + c c R Megoldás < : Adjuk meg a helyettesítést: gt : ch t :, t R g t arch, d ch t dt d ch t dt d sh t dt Innen könnyen látható, hogy a fenti megoldási módszertől alig eltérően ugyanarrra a végeredményre jutunk Megjegyzés. a + b + c d típusoknál teljes négyzetté alakítás után lineáris helyettesítés javallott az alábbiak egyikébe:. + d. d. d Házi feladat. Fejezzük be a következő feladatot: 9 6 d Alakítsuk át a gyök alatt található kifejezést Visszahelyettesítve: + d Javallott az gt : sin t : + helyettesítés, mellyel + sin t d cos t dt d cos t dt. A feladat befejezése: Határozzuk meg -et t függvényében. sin t + + t arc sin A helyettesítéssel kapott új integrál: sin t cos t dt cos t cos t dt Tegyük fel, hogy cos t nemnegatív. cos t dt cos t + dt t sin t + + c t sin t cos t + + c t + sin t sin t + c c R 6

17 Visszahelyettesítve: 9 6 d + arc sin c + arc sin Ahol c R. 6 + c.7. Racionális törtfüggvények integrálása.7.. Elemi törtek integrálása Ebben a fejezetben minden példa - altípusra mutat rá Példa. a, b, R, a 0; n N d? a + b n.7... Feladat Feladat. + arc sin d d c c R 6 > d d ln {}}{ + c ln + + c R.7... Példa. a, b, c, d, e, f, R, a 0 e + f a + b + c d A megoldási módszer változhat a diszkrimináns paritásától függően Feladat. ; d Első lépés, nevezőt alakítsuk szorzattá, kihasználván azt, hogy a diszkriminánsa pozitív. Végezzük el a parciális törtre bontást. a + b + c f : + + A + B A + + B + A + B + A B Mindkét oldal -nek polinomja ezért egyenlőség pontosan akkor teljesül ha a megfelelő fokszámú tafok együtthatói megegyeznek. A módszer neve: egyenlő együtthatók módszere Ez alapján: együtthatói: A + B 0 együtthatói: A B 6 + c f d ; A 7 6 d ln és B 6 d+ 6 ln + + c c R + d 7 ln + ln + +c 6 6 7

18 Feladat. R [... ]tegyük fel hogy parciális törtfelbontó vagy /Filipp/ + + d Mivel a nevező diszkriminánsa negatív, nem léteznek valós gyökei, és az előző feladatban látott megoldási módszer nem működik. Határozzuk meg a nevező deriváltját. + Visszatérve: Ahol: + + d + + d + ln Próbáljuk átalakítani a nevezőt úgy, hogy egy a törtet. + nincs valós gyök, poz. a főegyüttható, így biztosan poz. I {}}{ + :I + d + { }}{ + d + I + d arc tg-re éhes alakra hozzuk /Filipp/ + [ + + [ + ] ] [ + ] Visszatérve: + d arctg + c Visszaírva az eredeti integrálba: Megjegyzés. Ezt a típust f ln + + f arc tg + c c R + arc tg-re visszavezetésnek hívjuk Feladat. > Ha a számláló foka nagyobb mint a nevezőé, polinom osztást szokás alkalmazni első lépésben, azaz P d ha deg P deg Q polinomosztás Q d : + + és a maradék d + + J }{{} valódi tört 8

19 ahol J + d. + d + }{{} D<0! A + + B + C d + Végezzük el a törte bontást: A + + B + C + A + B + A + B + C + A + C együtthatója: A + B együtthatója: A + B + C 0 együtthatója: A + C Megállítható hogy A 0, B, C. + d + d + d :I {}}{ + d ln + I ld. előző példa a befejezésért Házi feladat. > Osszuk le a nevezőt a számlálóval. {}}{{}}{ : d d + + I A I d + + d + B + C d + + d hányados Végezzük el a parciális törtre bontást egyenlő együtthatók módszerével. Ez alapján A, B, C A B + C maradék + + B + A + A + C B + A C együtthatója: B + A együtthatója: A + C B 0 együtthatója: A C d ln d + + ln 7 ln d + + ln 7 ln d Határozzuk meg ++ d-t. Ehhez próbáljunk meg egy arc tg deriváltjához megfelelő alakot előállítani. [ + + ] + + 9

20 Részletesebb levezetés a.7..6 feladatban található. + + d d arc tg c c R + Így a feladat megoldása: d + + ln 7 ln ln Feladat. > d arc tg arc tg + c c R A + + B + C d A + B + + C + HF: Megoldás egyenlő együtthatókkal. A következő megoldási módszert értékadás -nak hívjuk. C C + c A A + d B + 6 B d + d ln + + ln + c ln + + c c R 9 Házi feladat: 0 db. racionális tört integrál. Gyemidovicsban 866. feladattól Egy darab elemi törttípus maradt meg, amit nem vettünk Példa. R a + b + c n d Ahol a diszkrimináns negatív, és n N. Ezeket hogyan számolhatnánk? Ha egy alkalmas helyettesítéssel egy ilyen alakra tudjuk hozni: I n : + n d, akkor meg tudunk adni n-re egy rekurziót, mellyel meg tudjuk határozni ezeket az integrálokat is. Vezessük ezt le. n -re: I arc tg + c c R Határozzuk meg az n. elemet. I n + n+ d I n + + n n I n I n p.i. + n n + + n d + n d n n + n d + n + n I n n I n n n + + n n I n Ezzel kaptunk egy rekurzív integrál sorozatot, mellyel magasabb hatványokat is könnyen számolhatunk. 0

21 .7... Megjegyzés. Speciális esetben, ha n : I + d + + arc tg + c c R.7... Házi feladat. Levezetés: I + + I I + d arc tg + c c R.7... Megjegyzés. Nem érdemes a formulát megjegyezni, érdemesebb a négyzetre vonatkozót észben tartani, és abból a köbösre vonatkozót levezetni Megjegyzés. Várhatóan minden feladat legfeljebb a második hatványra vonatkozó alakot fogja számon kérni Házi feladat d d d d+ + + d d 0 { }}{ + + d Határozzuk meg J-et. A feladat befejezése: J J + + J, + + d +t ddt + t dt + t t + t + arc tg t + c c R Visszahelyettesítve: d arc tg + + c + + arc tg arc tg + + c c c R Megjegyzés. Egy másfajta rekurzió is megállapítható, a korábbihoz hasonlóan. + n d J Vezessünk be egy jelölést. tg t :, t π ; π Visszatérve: d cos t dt, cos n t Házi feladat. Rekurzió levezetése. cos t dt t arc tg cos n t dt

22 Megjegyzés. + tg cos t Megjegyzés. A parciális törtekre bontás algoritmusa szerint a törtekre bontás után minden olyan nevezőhöz, melynek nincs valós gyöke, egy elsőfokú számlálót kell meghatároznunk Feladat Házi feladat A + + B + + C + B + + E + F A + B + C + D + + A tört integráljának meghatározása: + A + + d + B + C + D d + + Határozzuk meg A, B, C, D R-t egyenlő együtthatók módszerével. + A B C + D A + A + A + B + B + B + C + D A + C + A + B + D + A + B + B Ez alapján rendere A, B, C, D d ln I, ahol I + ++ d. I d d d + Hozzuk az utolsó törtet egy arc tg-re éhes alakra [ Visszatérve: ln Az eredeti integrál így:.7... Házi feladat. + ln ] [ + ] d d + ln arc tg + c + arc tg + c c R d ln + ln arc tg + c ln arc tg + + c c R A + B + + C + D +

23 A fenti tört integráltja: + + d A + B + + C + D d + Határozzuk meg A, B, C, D R-t egyenlő együtthatók és értékadás módszerek keverékével. {}}{ A B + + C + D + A és B kényelmesen meghatározható értékadással. B B A A A kényelmetlen számolások elkerülése végett C-t és D-t egyenlő együtthatók segítségével határozzuk meg. A B + + C + D A + A + A + A + B B + B B + C C + D D A + B + C + A B + D + A + B C + A B D Kiolvasható, hogy 0 A B + D, amiből következik D, valamint 0 A + B C-ből következik C 0. Térjünk vissza: d + d.7... Házi feladat. R + d + d ln ln + arc tg + c c R + d A + B d Határozzuk meg A, B, C, D R-t egyenlő együtthatók módszerével. Azaz, az átláthatóság kedvéért: A + B + + C + D + + A + B A B + A + B+ + C + D + C + D + C + D A + C + B A + D + C + + A B + C + D + B + D együtthatója: 0 A + C együtthatója: 0 B A + D + C együtthatója: 0 A B + C + D 0 együtthatója: B + D Ezekből meghatározható rendre hogy A, B, C, D d :I {}}{ d C + D d + :J {}}{ + d

24 Egyesével haladván, határozzuk meg I-et. + I + + d >0 {}}{ ln d d d Hozzuk a nevezőt egy arc tg-re éhes alakra : [ ] + + Visszatérve: ln d ln arc tg + + c c R I ln arc tg + + c c R Határozzuk meg J-et. J >0 + d {}}{ ln + Hozzuk a nevezőt egy arc tg-re éhes alakra : d [ ] + Visszatérve: ln + + d ln + + arc tg + c c R Rakjuk össze az eddigi eredményeinket: J ln + + arc tg + c c R ln arc tg + + d ln + + arc tg ln arc tg + ln + arc tg + c c R.7... Házi feladat. R Helyettesítsünk be: + d Az eredeti integrál így: t + t t dt + d R + 0 t :, t, d t dt + t dt + d arc tg + c c R + t dt arc tgt + c c R + c

25 .7.. Racionális törtre vezethető helyettesítések.7... Példa. Re d Ahol R egy racionális törtfüggvény. Megoldási módszer ezen típusokhoz az alábbi új változó bevezetés: t : e, t > 0, ln t, d t dt.7... Házi feladat. > Használjunk egy behelyettesítést. e d t : e, t > 0 ln t, d t dt Visszatérve: e d A feladat befejezése: Határozzuk meg A, B R-t. Ez alapján A, B. 8 t t dt A t + B t dt At + Bt A + Bt A t dt 8 t dt ln t ln t + c c R Az eredeti integrál: e d 8 ln e 8 ln e + c 8 ln e + c c R.7... Megjegyzés. Megállapítható, hogy e t helyettesítéssel törtre kéne bontani Feladat. R Használjuk a fenti behelyettesítést. e e + d t : e, t > 0, ln t, d t dt Visszatérve: e e + d t t + t dt t t + dt Végezzünk el egy polinomosztást: t : t + t t + +. t + t + dt t t + lnt + + c c R Így az eredeti integrál: e e e d + e + lne + + c c R.7... Házi feladat. R Helyettesítsünk be. e + e + e + d e t d t dt

26 Visszatérve: e + e + e + d t + t + t + t dt A feladat befejezése: Megállapítható, hogy t + t + diszkriminánsa nemnegatív. t + t + t + t dt t + A t + t + t dt t + + B t + + C dt t Határozzuk meg A, B, C R-t értékadás segítségével. t + At + t + Bt + t + Ct + t + t 0 C C t B B t 6A A 6 Ezalapján: 6 t + d t + d + ln t + ln t + ln t dt + + c c R t 6 Határozzuk meg az eredeti integrált: e + e + e + d ln e + ln e c Megjegyzés. Ezen típusokból egy tuti elő fog fordulni egy a zh-ban Példa. Módszer: R a + b ; n c + d n a + b c + d : t d Feladat. > d Vezessünk be egy új változót: Visszatérve: Eredeti integrál: t Házi feladat. ; + Új változó: t :, t +, d t dt t t dt t + t dt t + t + c + + c c R t : d, t > 0, t t d t t t t t t dt t dt 6

27 Visszatérve: t t t dt Határozzuk meg A, B, C, D R-t. t t t + dt A t + B t + C t + + t At t + + Bt + + Ct + t + Dt Értékadással darab konstanst könnyen meghatározhatunk. D t + dt t B B t D D A kellemetlen számolások elkerülése végett, A-t és C-t egyenlő együtthatókkal adjuk meg. t At t + + t + + Ct + t + t At t + + t + + Ct t + t At + At At A + t + t + + Ct Ct Ct + C + t t + A + Ct + A C + + t + A C + t + C A + + A + Ct + A C + t + A Ct + C A + Azaz, az átláthatóság kedvéért: t együtthatója: 0 A + C t együtthatója: A C + t együtthatója: 0 A C t 0 együtthatója: 0 C A + Ez alapján A és C. A fenti hosszadalmas számolás ellenére nagyon kellemes integrált kapunk: t dt + Az eredeti integrál így: t dt + t dt ln t + dt + t dt t + dt + t + dt dt ln t ln t + + c c R t + t t + d ln ln + + c + ln + + c c R Házi feladat. + d Vezessünk be egy új változót itt érdemes a legkisebb közös többszöröst venni a gyököknél: 6 t, t 6, d 6t dt 7

28 Visszatérve: t + t 6t dt 6 t t + dt A feladat befejezése: Polinom osztás segítségével csökkentsük a a számlálóban lévő ismeretlen kitevőjét. Ez alapján: Így az eredeti integrál: 6 + dt t t + t t + + t t + d t t + t ln c + t ln t + + c c R + 6 ln c c R.7... Házi feladat. > d Helyettesítsünk be. t : Végezzünk el egy polinomosztást., t, d 6t t dt t 6t t t dt t t dt.7... Házi feladat. + d Vezessünk be egy új változót. + t :, t t +, d t t + dt Helyettesítsünk be: + d arc tg t t Helyettesítsünk vissza: t t + dt t t t + dt + t + dt t dt arc tg t + t + t + arc tg +c arc tg t arc tg t + + d arc tg t + c c R + t c c R t + t + dt t arc tg +c + t.7... Házi feladat. < Vezessünk be egy új változót. + d R + 0 t :, t, d t dt 8

29 Helyettesítsünk be. t t + tt + d t dt dt tt dt + t + t t t dt t t + c c R Az eredeti integrál így: + d + c + + c c, c R Megállapítható, hogy mivel is konstans, összevonható c -el, a fenti példában pl. a c : c választással Példa. Racionális törtfüggvények sin, cos függvényekkel. R sin, cos dt.7... Házi feladat., π + sin cos d A következő módszer mindenhol használható, de néha nem célszerű. Vezessünk be egy új helyettesítést: t : tg sin sin cos sin cos Ez alapján könnyen megállapítható hogy Hasonlóan, cos-ra is megállapíthatunk hasonlót. cos tg cos sin t + t. +tg α cos α cos α +tg α tg + tg cos cos sin cos + cos cos + tg tg + tg tg + tg Azaz cos t + t Határozzuk meg a behelyettesítéshez szükséges utolsó információkat is. Visszatérve: + sin + cos d t +t t +t arc tg t, d + t dt +t +t + t dt +t +t +t +t + t dt t + t + A t t + dt t + B t + Ct + D t + A feladat befejezése: Határozzuk meg A, B, C, D R-t egyenlő együtthatók módszerével. t + t + At + t + Bt + + Ct + Dt At + At + Bt + B + Ct + Dt A + Ct + B + Dt + At + B t + + t + t + t + t dt dt 9

30 Azaz, az átláthatóság kedvéért: t együtthatója: 0 A + C t együtthatója: B + D t együtthatója: A t 0 együtthatója: B Gyorsan megállapítható hogy A, B, C, D 0. Így: t dt + t dt t t + dt ln t t t + t + dt ln t t lnt + + c c R Az eredeti integrál: + sin cos d ln tg Megjegyzés. Ezt a módszert tg módszernek hívjuk Házi feladat. 0, π cos cos + sin Osszuk le a nevezőt és a számlálót is cos -el. + tg d Második módszer, ha csak tg-re átírható: tg lntg + + c c R t : tg, arc tg t, d + t dt Visszatérve: + t + t dt A megoldás házi feladat, valamint ugyanennek a feladatnak az. módszerrel való megoldása is. Megoldás. módszer: + t + t dt A + t + t dt + t + Bt + C + t dt Értékadással határozzunk meg valamennyi konstanst A, B, C R-ből. A + t + Bt + C + t t A + A Egyenlő együtthatók módszerével határozzuk meg a maradékot. Azaz, az átláthatóság kedvéért: A + t + Bt + C + t A + At + Bt + Bt + C + Ct B + At + B + Ct + A + C t együtthatója: 0 B + A t együtthatója: 0 B + C t 0 együtthatója: A + C A Az utolsó egyenletből C, a másodikból pedig B következik. Visszatérve az integrálthoz: + t dt + t + t dt + t dt + t + t dt + t dt + t + t dt + + t dt ln + t ln + t + arctgt + c c R 0

31 Házi feladat. 0, π Harmadik módszer: Visszatérve sin cos + cos d t : cos, t + t dt Határozzuk meg A, B R-t értékadással. sin d dt t + t dt A tt + dt t + B dt t + At + + Bt t 0 A A t B B Visszatérve: t dt + t + dt ln t + ln t + + c c R Így az eredeti integrál: sin cos + cos dt ln cos + ln cos + + c c R Házi feladat. 0, π cos cos + sin d Végezzünk egy apró átalakítást cos sin. cos sin sin d Negyedik módszer: Vezessünk be új változót. Visszatérve: dt t t t : sin, cos d dt A t t dt t + B t + C dt t Határozzuk meg A, B, C R-t egyenlő együtthatók módszerével Att + Bt + Ct At At + Bt B + Ct A + Ct + B At B Azaz, az átláthatóság kedvéért: t együtthatója: 0 A + C t együtthatója: 0 B A t 0 együtthatója: B Ez alapján triviálisan B, melyből A és C következik. Visszatérve: t dt t dt + t dt ln t + + ln t + c c R t Így az eredeti integrál: cos cos + sin d ln sin + + ln sin + c c R sin

32 Házi feladat. 0, π Tipp: f f α sin + cos sin sin + cos sin sin + cos sin cos Ezzel befejeztük a határozatlan integrált. HF: 0 darab beadandó házi feladat: db. eponenciális helyettesítéssel, darab gyökös, darab trigonometrikus..8. Határozott integrál és alkalmazásai.8.. Területszámítás. ábra. Rendre: T b a f, f > 0, valamint T b a f, f < 0. ábra. Hogyan lehet megoldani ezt? eltoljuk a függvényt. Így már a terület könnyen meghatározható:. ábra. Ugyanaz az mint a. ábra, adott c konstanssal eltolva. T b f + c b g + c b a a a f g. ábra.

33 T c f g + d g f + b f g b a c d a Megállapítható, hogy ez f és g -es metrikája. ρ f, g, f, g C[a, b] Szimmetriák kihasználása: f g. ábra. Elég a negyed kör területének meghatározása. Szimmetria kihasználható így is: T kör T negyedkör 0 d 6. ábra. Elegendő a [0, a] intervallumon a függvény integráltjának kétszeresét meghatározni. a f a a 0 Megállapítható és kihasználható, hogy f : páros Emlékeztető. Newton-Leibniz tétel: Ha f R[a, b] és f 0 f b a f d F b F a : [F ] b a.8... Példa. Mennyi az e két reláció által határolt terület? { y y + 6 F f Világos, hogy a másik reláció nem függvény, azonban fel tudjuk írni két függvény együtteseként. y + 6 y ± + 6 y 6

34 7. ábra. Most már megállapítható a függvények metszéspontjai: + 6 és Valamint megállapítható, hogy az y ± 6 függvények a pontban metszik az tengelyt. Ez alapján a területet kiszámolhatjuk. A zöld területről megállapítható hogy szimmetrikus, és ezt ki is használhatjuk. T [ d d ] [ ] Példa. Határozzuk meg az ezen görbék által határolt területet! y y + y 0 + [ ] 8. ábra. Metszéspontok: megfigyelhető, hogy az első egyenletet négyzetre emeltük Külön megállapítandó: ± 0 ± Számoljuk ki területet. A körre természetes okokból nem tudunk függvényt felírni, azonban megállapítható, hogy a számunkra fontos körnegyed egyenlete y +. T 0 d + [ d ] 0 + I + I

35 Ahol: Vezessünk be egy új változót. Visszatérve: I d d sin t :, t arc sin Ha t arc sin arc sin π Ha t arc sin π π sin t cos t dt π Visszahelyettesíteni fölösleges, hisz nem primitív függvényt, hanem egy konkrét számot keresünk. π cos t cos t dt π π t π π π +cos t {}}{ [ cos t dt t + sin t ] π π π + sin π π sin π π.8... Megjegyzés. Okkal I-vel, és nem I-el jelölünk. A határozatlan integrál egy függvény, a határozott csupán egy szám Példa. Számítsuk ki a következő minimumot: { } min c d : c R 0 9. ábra. Azaz, hogyan kell meghúzni az egyenest úgy, hogy a terület a legkisebb legyen? Világos, hogy elég c [0,] intervallumot vizsgálnunk, ui. ellenkező esetben - téglalap területével nő a terület. Metszéspontok: Határozzuk meg a területet: T c c 0 c d + ± c c [0,] c c d ] [c c [ ] + 0 c c c c c c + c c c + c c c c c + c [0,] Kompakt halmazon folytonos függvényt vizsgálunk, és kell hogy legyen maimum vagy minimum. Ez lehet 0 vagy, vagy intervallumon belül. Ha c 0, akkor: T c c c 0 c 0, T 0 + T

36 T 0 ; T ; T Összefoglalva, a terület minimális a c választással Megjegyzés. Mi ez a feladat? f :, [0,]; g : c; ρ f, g : f g Ívhossz számolás.8... Megjegyzés. f C [a, b] C[0,]; ρ m. tér; min {ρ f, g y c R}.8... Példa Házi feladat. l Mekkora ívének hossza és között? l b a 0. ábra. f : + f d ; [,] f [ + d d f : ; [,] ] l + Vezessünk be egy új változót: [ ] d t : + +. ábra. d + d, t, d t t dt + d 6

37 Megállapítható, hogy t t Visszatérve: t t t A t + A feladat befejezése: Határozzuk meg A, B, C, D R-t. dt b a f a b f B t + C t + + t t t + dt D t + dt t At t + + Bt + + Ct + t + Dt At t + + Bt + + Ct t + Dt At + t t 8 + Bt + t + + Ct t t Dt t + A + Ct + A + B C + Dt + A + B C Dt + 8A + B + 8C + D Értékadással könnyen megadható pár konstans. t 6D D t 6B B Így könnyebben számolható a többi konstans egyenlő együtthatók módszerével. t együtthatója: 0 A + C t együtthatója: A + C + A C t együtthatója: 0 A + C 0 A C t 0 együtthatója: 0 8A + + 8C + A + C Ez alapján megállapítható hogy C 8 és A 8. Visszatérve: 8 t dt + t dt + 8 t + dt + t + dt [ ] [ lnt + ] [ ] [ + lnt t + Megállapítható, hogy a területe létezik. :.8... Megjegyzés. Megállapítható, hogy -te visszavezethető a függvény. ]. ábra. 7

38 l Befejezése házi, javallott a sh t helyettesítés..8.. Forgástestek térfogata és felszíne + d. ábra Emlékeztető. Ha a. ábrán lévő példát megforgatjuk az tengely körül, egy testet kapunk, melynek térfogatát számolhatjuk határozott integrállal. V π b a f d f R[a, b] F π b Ahol V a térfogat volume és F a felület. a f + f d f C [a, b].8... Példa. Határozzuk meg f függvény tengely körüli forgástestének térfogatát V, felületét F, és f függvény alatti területét T. f : sin [0, π] Folytatván V π π Vezessünk be egy új változót. 0 T π 0 sin d π F π. ábra. sin d [ cos ] π 0 + cos 0 [ π 0 sh t : cos, ] π sin π [ ] 0 sin π π 0 π sin + cos d sin d ch t dt Visszatérve: π sin + cos d π + sh t ch t dt 0 sh t t arsh ln + π sh t t arsh ln 8

39 Befejetése hf. arsh ln Házi feladat. Forgástest V, F? f [,].9. Összefoglaló.9.. sin, cos azonosságok R y y + a + y b A következő helyettesítéssel: Könnyen megállapítható hogy sin sin + cos cos sin cos cos sin sin + cos cos cos sin t : tg t + t és cos t + t.9.. sh, ch azonosságok R e + e ch e e sh ch sh + ch ch sh ch sh.9.. ln azonosságok a, b R + lna ln a a lna lnb ln b lna + lnb lna b.9.. Integrálazonosságok Legyen f R R, F legyen f primitív függvénye. Legyen továbbá f D. f d ln f + c, c R f 9

40 f f α d f α+ + c, c R α + Racionális törtfüggvény nevezőjében másodfokú irreducibilis polinom n-edik hatványához tartozó rekurzív formula: I n : + n d n n + + n n I n Speciális esetben, ha n : I :.9.. Határozott integrál + d + + arc tg + c c R A terület T, térfogat tengely körüli forgatáskor keletkező forgástest, V, felület F és ívhossz l meghatározása a, b R intervallumon: F π T V π b a b a b a f d f d f R[a, b] f + f d l b a f R[a, b] + f d f C [a, b] 0

Analízis 3. A szakirány Gyakorlati jegyzet óra.

Analízis 3. A szakirány Gyakorlati jegyzet óra. Analízis. A szakirány Gyakorlati jegyzet -. óra. A jegyzetet Umann Kristóf készítette Filipp Zoltán István gyakorlatán. Utoljára frissítve: 07. május 9. Tartalomjegyzék. Információk a gyakorlattal kapcsolatban.

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C. . Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4. Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar

Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................

Részletesebben

0, különben. 9. Függvények

0, különben. 9. Függvények 9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben