VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

Átírás

1 VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2 (c) lim x 5x+1 3x+9 = 5 3 (d) lim x 1 1 (1 x) 2 = 2. Számoljuk ki a határértékeket! (a) lim x x 2 +4x 5 x 2 1 (b) lim x ( x3 +3x 2 x 2 +1 x) (c) lim x 1 ( 3 1 x x 2 ) (d) lim x 0 (1+x) 5 1 5x x 2 +x 5 (e) lim x x+ 3 x+ 4 x 2x+1 (f) lim x 6 x 2 2 x 6 (g) lim x 0 1+x 1+x 2 1+x 1 (h) lim x 0 1+x 1 x 3 1+x 3 1 x (i) lim x ( 3 1 x 3 + x) 1

2 (j) lim x ( x + x + x x) (k) lim 1+tan x x 0 sin x (l) lim x 0 ( 1 1 ) sin x tan x 1 cos x (m) lim x 0 x 2 sin 7πx (n) lim x 1 sin 3πx 3. Előadáson bizonyítjuk, így használható (persze nem muszáj!): Ha lim x x0 1, lim x x0 g(x) =, és lim x x0 g(x)(f(x) 1) = b, akkor Itt x 0 véges, vagy ±. (a) lim x 0 ( 1+tan x 1+sin x ) 1 sin x (b) lim x 0 ( 1 + x x) 1/x (c) lim x π/2 sin x tan x lim f(x) g(x) = e b. x x 0 4. Vizsgáljuk meg folytonosság szempontjából az alábbi függvényeket! (Szakadási helyek vizsgálata.) (a) 3(1 x2 )+ 1 x 2 2(1 x 2 ) 1 x 2 (b) x (c) x2 +2x 3 x 2 +5x+6 (d) x2 9 x 2 (x 3) 2 (e) 3 1 x+1 5. Határozzuk meg, ha lehetséges, a paramétereket úgy, hogy a függvény mindenütt folytonos legyen! (a) (b) ax ha x 0, x ha x < 0. (x 1) 3 ha x 0, ax + b ha 0 < x < 1, x ha x 1. 2

3 (c) x ha x 1, x 2 + ax + b ha x > Adjuk meg az alábbi függvények lineáris aszimptotáit! (a) x 1 x 2 (b) x 2 + 3x 1 (c) 4x 4 +1 x Korlátos zárt halmazon folytonos függvények (a) Van-e megoldása az x 5 18x + 2 = 0 egyenletnek [ 1, 1]-ben? (b) Felveszi-e az x3 sin πx + 3 függvény a 7/3 értéket a [ 2, 2] intervallumon? 4 (c) Legyen f a [0, 1] intervallumon folytonos függvény, melyre f(0) = f(1) = 0. Mutassuk meg, hogy bármely 0 < d 1 számhoz megadható a függvény grafikonjának olyan húrja, amely d hosszúságú. (d) Egyenletesen folytonos-e az x3 1 5x 5 Deriválás függvény a [ 4, 1) intervallumon? (a) Az értelmezési tartományuk mely pontjaiban deriválhatóak az alábbi függvények! Számoljuk ki a deriváltakat! i. 3 (x + 2) 2 ii. 1 x 2 iii. iv. x+1 x 1 v. ( ax+b cx+d ) 2/3, a, b, c, d R x 2 sin 1 x, ha x 0 0, ha x = 0 (b) Határozzuk meg a és b értékét úgy, hogy az x 2, ha x x 0 ax + b, ha x > x 0 differenciálható legyen x 0 -ban! 3

4 Érintőegyenessel kapcsolatos feladatok (a) Adjuk meg az alábbi függvények x 0 -beli érintőegyenesének egyenletét! i. sin x, x 0 = π 2 ii. x 3 8x, x 0 = 3 iii. e sin x, x 0 = π. (b) Adjuk meg az alábbi síkgörbék adott P pontbeli érintőegyenesének egyenletét! i. x 3 + y 3 6xy = 0, P (3, 3) ii. y = sin(x + y), P (π, 0) iii. y 2 = 4x x 2, P (2, 2) (c) Milyen összefüggés áll fenn a, b és c között, ha az ax 2 +bx+c parabola érinti az x tengelyt? (d) Igazoljuk, hogy ha az x 3 + px + q függvény érinti az x tengelyt, akkor (p/3) 3 + (q/2) 2 = 0! (e) Irjuk fel annak az egyenesnek a képletét, mely átmegy az origón és érinti az x 2 4x + y = 0 görbét! (f) Határozzuk meg a és b értékét úgy, hogy az m 2, x ax 2 + b, ha x > c ha x c görbe mindenütt folytonos legyen és minden pontjában rendelkezzen érintővel! Deriválás gyakorlása, logaritmikus deriválás (a) Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait, ahol léteznek! arctan x2 i. 2 ii. x x + x xx, x > 0 iii. ln(ln(ln x)), x > e iv. (x+3)4 e x3 cos arctan x sin 2 x 7 ln(2x+2) 4 v. arctan 2x arcsin 1 x 1+x 2 2 vi. 3 x 2 (x+1) (x 2)(x 2 +2)(x+3) (b) Legyen f : R R egy differenciálható függvény, g(x) = sin 2 x és h(x) = cos 2 x. Határozzuk meg az F = (f g) + (g h) függvény deriváltját. (c) Irjuk fel zárt alakban! 4

5 i. F (x) = 1 + 2x + + nx n 1, n 2 ii. G(x) = x +... n 2 x n 1, n 2 (Megjegyzés: vegyük észre, hogy G(x) = (xf (x)) ) Magasabbrendű deriváltak (a) (sin(3x + 1)) (4) = (b) ( 1 1 x )(5) = (c) (x 2 e x ) (100) = Középértéktételek (a) Bizonyítsuk be, hogy az x x 3 polinomnak pontosan egy zérushelye van! (b) Bizonyítsuk be, hogy x n + ax + b valós függvénynek legfeljebb két zérushelye van, ha n páros és legfeljebb három, ha n páratlan. (c) Legyen f : [0, 1] R, x sin π x, ha x 0 0, ha x = 0. Bizonyítsuk be, hogy f -nek végtelen sok zérushelye van! (d) Bizonyítsuk, be, hogy sin x sin y x y! (e) Bizonyítsuk be, hogy tan x + tan y x + y, ha x, y ( π/2, π/2)! l Hospital-szabály (a) lim x 1 ln x x 1, (b) lim x 0 e ax e ax ln(1+x) (c) lim x 0 e x e x 2x x sin x (d) lim x xe x/2 e x +x (e) lim x ln x 2 x (f) lim x 0+ x ln sin x ln x (g) lim x 0+ 1+ln sin x (h) lim x 0 (arcsin x)(cot x) 5

6 (i) lim x x 2 e x (j) lim x 0 (1/x 1/(e x 1)) (k) lim x 1 (1/ ln x 1/(x 1)) (l) lim x 0 ( 1 x )sin x (m) lim x 0 (sin x) x (n) lim x 0+ (1 + x) ln x Végezzünk teljes függvényvizsgálatot! (a) x 6 3x 4 + 3x 2 1 (b) x 2 arctan x x+1 (c) x 2 e 1/x (d) x 16 x 2 (e) x 2 1 x (f) x 2 ln x 2 (g) x 1+x 2 Szélsőértékek meghatározása (a) Határozzuk meg az x 3 + 6x 2 15x + 3 abszolút szélsőértékeit a [ 6, 6] intervallumon! (b) Határozzuk meg az x 2 ln x abszolút szélsőértékeit az [1, e] intervallumon! (c) Határozzuk meg az xe x szélsőértékeit az [1/2, ] intervallumon! (d) Határozzuk meg a [0, 1] intervallumon az x 2 és a g(x) = x 3 függvények távolságát! (e) Bontsuk fel a pozitív b számot két szám összegére, úgy hogy a szorzatuk maximális legyen! (f) Adott térfogatú egyenes hengerek közül melyiknek a legkisebb a felszíne? (g) Határozzuk meg az A(2, 0) pont és az x 2 + y 2 = 1 körvonal pontjai közötti legnagyobb és legkisebb távolságot! (h) Határozzuk meg az a n = n2 n (i) Bizonyítsuk be, hogy minden valós x esetén sorozat legnagyobb elemét! 2 3 x2 + 1 x 2 + x