1. Monotonitas, konvexitas
|
|
|
- Kristóf Ábel Biró
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat eredmenyeb}ol kovetkeztessunk szels}oertek-helyre! a) f (x) = 3p x x B I b) f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) I x ln x ha 0 < x c) f (x) = I 0 ha x = 0 3 Mely intervallumokon konvexek illetve konkavak az alabbi fuggvenyek? Keressunk inexios pontot! a) f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) B I b) f (x) = (x+1)2 x 1 I c) f (x) = x 2 e x I d) f (x) = x + 2 sin x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 1 / 81
2 2. Szels}oertek 4 Keressuk meg az alabbi fuggvenyek lokalis szels}oertek-helyeit! a) f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 B I b) f (x) = (x 1) 3 e x+2 I c) f (x) = sin x + tg x I 5 Melyik a legnagyobb terulet}u teglalap, aminek a kerulete 100m? B I 6 Egy 10 cm 20 cm meret}u teglalap alaku lemezb}ol akarunk a lehet}o legnagyobb terfogatu felul nyitott teglatest alaku dobozt keszteni, a sarkokbol torten}o negy egybevago negyzet kivagasa utan, az oldalak felhajtasaval. Mekkora legyen a kivagott negyzetek oldala? I 7 Milyen magas es milyen atmer}oj}u legyen az a 100 l terfogatu henger alaku tartaly, melynek felszne a legkisebb? I 8 Honnan kell kapura l}onie a labdarugo palya szelen lev}o jatekosnak, hogy a kapu eltalalasa a legkonnyebb legyen, vagyis ahonnan legnagyobb szogben latja a 7.23m szeles golvonalat, ami az oldalvonaltol 20m tavolsagra van. I 9 Hogyan juthat a medence szelen allo uszomester legrovidebb id}o alatt a bajbajutotthoz, ha az t}ole d m tavolsagra ugrott a vzbe, es a medence szelet}ol h m tavolsagra van, amikor segtseget ker. Az uszomester sebessege a parton v p, vzben v v [m/s]. I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 2 / 81
3 3. Fuggveny grakonja i) Vizsgaljuk meg, es abrazoljuk a kovetkez}o fuggvenyeket! B a) f (x) = x 5 3x 2 I b) f (x) = 7 8x 2 + x 4 I c) f (x) = x x I x+1 a) f (x) = 8 (x 1) 2 I b) f (x) = x 2 +1 x 1 I c) f (x) = 2x 3 x 2 +x 2 I 12 a) f (x) = (2x 1) 3 q(x + 2) 2 I b) f (x) = 3p x 3 1 I c) f (x) = 3p x 1 x 2 I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 3 / 81
4 4. Fuggveny grakonja ii) Vizsgaljuk meg, es abrazoljuk a kovetkez}o fuggvenyeket! a) f (x) = x e p x I b) f (x) = e 1 x 1+x I c) f (x) = x 2 ln x I d) f (x) = x ln(e + x 1 ) I a) f (x) = 2 sin x + sin 2x B I b) f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x I c) f (x) = 1 + x cos 2 x I d) f (x) = 1 sin 1 x I a) f (x) = e arctg x I b) f (x) = arccos 1 x I c) f (x) = x tg x B I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 4 / 81
5 1.a) Utmutatas Keressuk meg az egyenlet gyokeit! f 0 (x) = 0 x 2 D f 0 Az ertlemezesi taromany folytonossagi intervallumait osszuk fel a derivalt zerushelyeivel, es vizsgaljuk a derivalt el}ojelet az gy nyert reszintervallumokon! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 5 / 81
6 2.a) Utmutatas A monotonitas, es a monotonitasi intervallumok vegpontjaiban a fuggveny ertek illetve hatarertek segtsegevel kovetkeztessunk! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 6 / 81
7 3.a) Utmutatas Keressuk meg az egyenlet gyokeit! f 00 (x) = 0 x 2 D f 00 Az ertlemezesi taromany folytonossagi intervallumait osszuk fel f 00 zerushelyeivel, es vizsgaljuk f 00 el}ojelet az gy nyert reszintervallumokon! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 7 / 81
8 4.a) Utmutatas Keresuk meg az egyenlet gyokeit! f 0 (x) = 0 x 2 D f 0 Vizsgaljuk ezekben a pontokban a masodik (esetleg harmadik,...) derivalt erteket! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 8 / 81
9 5. Utmutatas A vizsgalt mennyiseget (vagy annak monoton fuggvenyet) rjuk fel egy ismeretlen adat fuggvenyekent: x 7! f (x) x 2 D f Keressuk f legnagyobb ill. legkisebb erteket! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november 5. 9 / 81
10 10. Utmutatas Adjuk meg a D f ertelmezesi taromany reszintervallumait, ahol f folytonos! Keressuk meg a tengelymetszeteket, es hatarertekeket az intervallumok vegpontjaiban! Keressunk szimmetria tulajdonsagot (paritas vizsgalat), illetve periodikus tulajdomsagot, ha van! Keressunk "ferde" asszimptotat, ha van! Vegezzunk monotonitas vizsgalatot, keressunk szels}oertek-helyeket! Vegezzunk konvexitas vizsgalatot, keressunk inexios pontokat! Vazoljuk a fuggveny grakonjat! Allaptsuk meg az ertekkeszletet, es adjuk meg a fuggveny legnagyobb illteve legkisebb erteket, ha van! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
11 14.a) Utmutatas Vegezzuk a vizsgalatot a fuggveny ertelmezesi tartomanyanak egy teljes periodusaban! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
12 15.c) Utmutatas Az els}o es masodik derivaltak zerushelyeit keressuk a derivaltak "eleg s}ur}u" helyen kesztett ertek-tablazata segtsegevel! x I Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
13 1.a) Megoldas f (x) = x 2 (x 3) D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
14 1.a) Megoldas f (x) = x 2 (x 3) D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
15 1.a) Megoldas f (x) = x 2 (x 3) D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 Tehat f szigoruan monoton n}o a ] csokken}o a [0; 2] intervallumon. x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f ; 0] es [2; + [, szigoruan monoton x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
16 1.b) Megoldas f (x) = x x 5 D f = D f 0 = R r f5g f 0 (x) = 5 (x 5) 2 = 0!? Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
17 1.b) Megoldas f (x) = x x 5 D f = D f 0 = R r f5g f 0 (x) = 5 (x 5) 2 = 0!? x ] ; 5[ ]5; + [ f 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
18 1.b) Megoldas f (x) = x x 5 D f = D f 0 = R r f5g f 0 (x) = 5 (x 5) 2 = 0!? x ] ; 5[ ]5; + [ f 0 Tehat f szigoruan monoton csokken}o a ] ; 5[ es ]5; + [ intervallumon.x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
19 1.c) Megoldas f (x) = (x 2) p x D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = p x + (x 2) 2 p x = 3x 2 2 p x = 0! x = 2 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
20 1.c) Megoldas f (x) = (x 2) p x D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = p x + (x 2) 2 p x = 3x 2 2 p x = 0! x = 2 3 x 0 ]0; 2 3 [ 2 3 ] 2 3 ; + [ f 0? 0 + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
21 1.c) Megoldas f (x) = (x 2) p x D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = p x + (x 2) 2 p x = 3x 2 2 p x = 0! x = 2 3 x 0 ]0; 2 3 [ 2 3 ] 2 3 ; + [ f 0? 0 + Tehat f szigoruan monoton csokken}o a [0; 2 3 [, es szigoruan n}o a ] 2 3 ; + [ intervallumon. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
22 1.d) Megoldas f (x) = e 6x3 3x 2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 3x 2 1 e 6x3 3x 2 = 0! x 1 = 0 x 2,3 = 1 p 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
23 1.d) Megoldas f (x) = e 6x3 3x 2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 3x 2 1 e 6x3 3x 2 = 0! x 1 = 0 x 2,3 = 1 p 3 x ] ; 1 p3 [ 1 p3 ] 1 p3 ; 0[ 0 ]0; 1 p3 [ 1 p3 ] 1 p 3 ; + [ f Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
24 1.d) Megoldas f (x) = e 6x3 3x 2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 3x 2 1 e 6x3 3x 2 = 0! x 1 = 0 x 2,3 = 1 p 3 x ] ; p3 1 [ p3 1 ] p3 1 ; 0[ 0 ]0; p3 1 [ p3 1 ] p 1 ; + [ 3 f Tehat f szigoruan monoton csokken}o a ] ; p3 1 ], [0; p3 1 ] es szigoruan n}o a [ p3 1 ; 0], [ p 1 ; + [ intervallumon. 3 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
25 2.a) Megoldas f (x) = 3p x x D f = R D f 0 = R r f0g f 0 (x) = 1 3 3p x 2 1 = 0! x 1,2 = 1 p 27 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
26 2.a) Megoldas f (x) = 3p x x D f = R D f 0 = R r f0g f 0 (x) = 1 3 3p x 2 1 = 0! x 1,2 = 1 p 27 x ] ; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; 0[ 0 ]0; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; + [ f 0 0 +? + 0 f & 2 3 p % 0 % p 3 & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
27 2.a) Megoldas f (x) = 3p x x D f = R D f 0 = R r f0g f 0 (x) = 1 3 3p x 2 1 = 0! x 1,2 = 1 p 27 x ] ; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; 0[ 0 ]0; 1 p 27 [ 1 p 27 ] 1 p 27 ; + [ f 0 0 +? + 0 f & 2 3 p % 0 % p 3 Mivel lim x! f (x) = + es lim x! f (x) =, az x = 1 p 27 pont lokalis minimum-hely, de nincs globalis minimum. Az x = p 1 pont lokalis 27 maximum-hely, de nincs globalis maximum. x & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
28 2.b) Megoldas f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) D f = [ 1; 1] D f 0 =] 1; 1[ f 0 (x) = 1 p 1 x 2 p p 2x = 0! x = 3 1 x 4 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
29 2.b) Megoldas f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) D f = [ 1; 1] D f 0 =] 1; 1[ f 0 (x) = 1 p 1 x 2 p p 2x = 0! x = 3 1 x 4 3 p 3 3 [ p 3 3 ] p 3 3 ; +1[ 1 x 1 ] 1; f 0? + 0? f π % & 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
30 2.b) Megoldas f (x) = arcsin(x) arccos(x 2 ) D f = [ 1; 1] D f 0 =] 1; 1[ f 0 (x) = 1 p 1 x 2 p p 2x = 0! x = 3 1 x 4 3 p 3 x 1 ] p 1; 3 3 [ 3 p ] 3 3 ; +1[ 1 f 0? + 0? f π % & 0 Mivel f ( 1) = π, es f (1) = 0, az x = 3 pont lokalis es globalis maximum-hely. Az x = 1, 1 hely lokalis minimum-hely, amib}ol a globalis minimum-hely x = 1. x p 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
31 2.c) Megoldas x ln(x) ha 0 < x f(x) = 0 ha x = 0 D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = ln(x) + 1 = 0! x = 1 e Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
32 2.c) Megoldas x ln(x) ha 0 < x f(x) = 0 ha x = 0 D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = ln(x) + 1 = 0! x = 1 e x 0 ]0; 1 e [ 1 e ] 1 e ; + [ f 0? 0 + f 0 & 1 e % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
33 2.c) Megoldas x ln(x) ha 0 < x f(x) = 0 ha x = 0 D f = R + 0 D f 0 = R + f 0 (x) = ln(x) + 1 = 0! x = 1 e x 0 ]0; 1 e [ 1 e ] 1 e ; + [ f 0? 0 + f 0 & 1 e % Mivel f (0) = 0 = lim x!0+ f (x), es lim x!+ f (x) = +, az x = 1 e pont lokalis es globalis minimum-hely. Az x = 0 hely lokalis maximum-hely, de legnagyobb fuggvenyertek nincs. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
34 3.a) Megoldas f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 6x! x = 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
35 3.a) Megoldas f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 6x! x = 0 x ] ; 0[ 0 ]0; + [ f f _ 12 ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
36 3.a) Megoldas f (x) = (x 2 3x 4)(x + 3) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 6x! x = 0 x ] ; 0[ 0 ]0; + [ f f _ 12 ^ Tehat f konkav a ] ; 0] intervallumon, es konvex a [0; + [ intervallumon. Az x = 0 hely inexios pont. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
37 3.b) Megoldas f (x) = (x+1)2 x 1 D f = D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 8 (x 1) 3!? Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
38 3.b) Megoldas f (x) = (x+1)2 x 1 D f = D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 8 (x 1) 3!? x ] ; 1[ ]1; + [ f 00 + f _ ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
39 3.b) Megoldas f (x) = (x+1)2 x 1 D f = D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 8 (x 1) 3!? x ] ; 1[ ]1; + [ f 00 + f _ ^ Tehat f konkav a ] ; 1[ intervallumon, es konvex az ]1; + [ intervallumon. Inexios pont nincs. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
40 3.c) Megoldas f (x) = x 2 e x D f = D f 00 = R f 00 (x) = x 2 + 4x + 2 e x = 0!? Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
41 3.c) Megoldas f (x) = x 2 e x D f = D f 00 = R f 00 (x) = x 2 + 4x + 2 e x = 0!? f 00 (x) > 0 x 2 R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
42 3.c) Megoldas f (x) = x 2 e x D f = D f 00 = R f 00 (x) = x 2 + 4x + 2 e x = 0!? f 00 (x) > 0 x 2 R Tehat f konvex az egesz szamegyenesen, inexios pont nincs. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
43 3.d) Megoldas f (x) = x + 2 sin(x) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin(x) = 0! x = k π k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
44 3.d) Megoldas f (x) = x + 2 sin(x) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin(x) = 0! x = k π k 2 Z f 00 (x) > 0 x 2](2k 1) π; 2k π[ f 00 (x) < 0 x 2]2k π; (2k 1) π[ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
45 3.d) Megoldas f (x) = x + 2 sin(x) D f = D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin(x) = 0! x = k π k 2 Z f 00 (x) > 0 x 2](2k 1) π; 2k π[ f 00 (x) < 0 x 2]2k π; (2k 1) π[ k 2 Z Tehat f konvex a [(2k 1) π; 2k π], es konkav a [2k π; (2k 1) π] k 2 Z intervallumokon. Inexios pontok: x = k π k 2 Z. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
46 4.a) Megoldas f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
47 4.a) Megoldas f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 12x + 6 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
48 4.a) Megoldas f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 12x + 6 f 00 (1) = 18 > 0 tehat x = 1 lokalis minimum-hely, f 00 ( 2) = 18 < 0 tehat x = 2 lokalis maximum-hely. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
49 4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
50 4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
51 4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 00 ( 2) = 9 > 0 tehat x = 2 lokalis minimum-hely, f 00 (1) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
52 4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 00 ( 2) = 9 > 0 tehat x = 2 lokalis minimum-hely, f 00 (1) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = R f 000 (x) = 6 e x (x 1) e x+2 + 9(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
53 4.b) Megoldas f (x) = (x 1) 3 e x+2 D f = D f 0 = R f 0 (x) = 3(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 = 0! x 1 = 1, x 2 = 2 D f 00 = R f 00 (x) = 6(x 1) e x+2 + 6(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 00 ( 2) = 9 > 0 tehat x = 2 lokalis minimum-hely, f 00 (1) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = R f 000 (x) = 6 e x (x 1) e x+2 + 9(x 1) 2 e x+2 + (x 1) 3 e x+2 f 000 (1) = 6e 3 6= 0 tehat x = 1 pontban nincs szels}oertek. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
54 4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
55 4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
56 4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x f 00 (π + 2kπ) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
57 4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x f 00 (π + 2kπ) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 000 (x) = cos x + 2 cos2 x 6 sin 2 x cos x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
58 4.c) Megoldas f (x) = sin x + tg x D f = D f 0 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 0 (x) = cos x + 1 cos 2 x = 0! x = π + 2kπ k 2 Z D f 00 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 00 (x) = sin x + 2 sin x cos 3 x f 00 (π + 2kπ) = 0 ezert vizsgaljuk a harmadik derivaltat! D f 000 = Rr π 2 + kπ j k 2 Z f 000 (x) = cos x + 2 cos2 x 6 sin 2 x cos x f 000 (π + 2kπ) = 1 6= 0 tehat nincs lokalis szels}oertek-hely. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
59 5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
60 5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
61 5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a f 0 (a) = 50 2a 0 a 50 a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
62 5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a f 0 (a) = 50 2a 0 a 50 f 0 (a) = 0! a = 25 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 25[ 25 ]25; 50[ 50 f f 0 % 625 & 0 a, es Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
63 5. Megoldas Ha a teglalap oldalai a, b, akkor a + b = 50! b = 50 T = a(50 a) = 50a a 2 T = f (a) = 50a a f 0 (a) = 50 2a 0 a 50 f 0 (a) = 0! a = 25 ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 25[ 25 ]25; 50[ 50 f f 0 % 625 & 0 a, es Tehat a maximalis terulet}u teglalap egy a = 25 oldalu negyzet. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
64 6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
65 6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x x 0 x 5 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
66 6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x x 0 x 5 f 0 (x) = 12x 2 120x x 5 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
67 6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x x 0 x 5 f 0 (x) = 12x 2 120x x 5 f 0 (x) = 0! x = ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 2.113[ ]2.113; 5[ 5 f f 0 % & 0 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
68 6. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a terfogatott az x tavolsag fuggvenyekent! V = f (x) = (20 2x)(10 2x)x = 4x 3 60x x 0 x 5 f 0 (x) = 12x 2 120x x 5 f 0 (x) = 0! x = ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; 2.113[ ]2.113; 5[ 5 f f 0 % & 0 Tehat x = cm oldalu negyzeteket kell kivagni. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
69 7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
70 7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π r 2 π 2rπ = 2 r 2 π r 0 < r Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
71 7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π r 2 π 2rπ = 2 r 2 π r f 0 (r) = 4rπ < r r 2 0 < r Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
72 7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π r 2 π 2rπ = 2 r 2 π r f 0 (r) = 4rπ < r r 2 0 < r q q f 0 (r) = 0! r = 3 50 π = m = π = ami globalis maximum-hely, r ]0; [ ] ; + [ mivel f f & % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
73 7. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a V = 100 = r 2 πm terfogatbol m = 100 r 2 π, amivel a felszn: A = f (r) = 2 r 2 π r 2 π 2rπ = 2 r 2 π r f 0 (r) = 4rπ < r r 2 0 < r q q f 0 (r) = 0! r = 3 50 π = m = π = ami globalis maximum-hely, r ]0; [ ] ; + [ mivel f f & % Tehat az optimalis henger atmer}oje d = 2r = m = dm. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
74 8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
75 8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
76 8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x f 0 (x) = x x 400(5x ) 2 0 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
77 8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x f 0 (x) = x x 400(5x ) 2 0 x f 0 (x) = 0! x = ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; [ ] ; + [ f f 0 % tg α max = & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
78 8. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki az α szog tangenset az x tavolsag fuggvenyekent! tg α = f (x) = tg ((α + β) β) = 723x 100x f 0 (x) = x x 400(5x ) 2 0 x f 0 (x) = 0! x = ami globalis maximum-hely, mivel x 0 ]0; [ ] ; + [ f f 0 % tg α max = & Tehat az alapvonaltol x = m az idealis hely, amikor α = 8.8. x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
79 9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
80 9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! t = f (x) = x v p + p (d x) 2 +h 2 v v 0 x d Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
81 9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! t = f (x) = x v p + f 0 (x) = 1 v v v v p (d x) 2 +h 2 v v p d x v p (d x) 2 +h 2 0 x d f 00 (x) = q h 2 v v ((d x) 2 +h 2 ) > x d Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
82 9. Megoldas Hasznaljuk az abra jeloleseit, es fejezzuk ki a menteshez szukseges id}ot a parton megtett x tavolsag fuggvenyekent! t = f (x) = x v p + f 0 (x) = 1 v v v v p (d x) 2 +h 2 v v p d x v p (d x) 2 +h 2 0 x d f 00 (x) = q h 2 v v ((d x) 2 +h 2 ) > x d Ha f 0 (0) 0 akkor f 0 monoton novekedese miatt f sz. m.% x 2 [0; d]-on, tehat a legrovidebb id}ot akkor kapjuk, ha x = 0. Ha f 0 (0) < 0 akkor f 0 (d) = v 1 p > 0 miatt f minimumat az f 0 (x) = 0 v egyenlet x = d h p v gyokenel veszi fel. x v 2 p v 2 v Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
83 10.a) Megoldas D f =] ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
84 10.a) Megoldas D f =] ; + [ f (0) = 0 0 = x 5 20x 2! x 1 = 0 x 2 = 3p 20 = lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
85 10.a) Megoldas D f =] ; + [ f (0) = 0 0 = x 5 20x 2! x 1 = 0 x 2 = 3p 20 = lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 5x 4 40x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f f % max min & 0 48 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
86 10.a) Megoldas D f =] ; + [ f (0) = 0 0 = x 5 20x 2! x 1 = 0 x 2 = 3p 20 = lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 5x 4 40x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x ] ; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f f % max min & 0 48 % D f 00 = D f f 00 (x) = 20x 3 40 = 0! x = 3p 2 = x ] ; 3p 2[ 3p 2 f 00 0 f _ in ] 3 p 2; + [ ^ H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
87 10.a) Megoldas (folytatas) Tehat R f = R, x = 0 f (0) = 0 lokalis maximum-, x = 2 f (2) = 48 lokalis minimum-hely, es x = 3p 2 = 1.26 f ( 3p 2) = inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
88 10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
89 10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
90 10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paros Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
91 10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paros D f 0 = D f f 0 (x) = 4x 3 16x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x 3 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f f & min max min % & % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
92 10.b) Megoldas f (x) = 7 8x 2 + x 4 D f =] ; + [ f (0) = x 2 + x 4 = 0! x 12 = p 7 = 2.65 x 34 = 1 lim x! f (x) = + lim x!+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paros D f 0 = D f f 0 (x) = 4x 3 16x = 0! x 1 = 0 x 2 = 2 x 3 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ 0 ]0; 2[ 2 ]2; + [ f f & min max min % & % D f 00 = D f f 00 (x) = 12x 2 16 = 0! x 12 = 2 p 3 = x ] ; 2 p3 [ 2 p3 ] 2 p3 ; 2 p3 [ 2 p3 ] 2 p 3 ; + [ f in. in. f ^ 17 _ 17 ^ 9 9 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
93 10.b) Megoldas (folytatas) Tehat R f = [ 9; + [, x = 2 f (2) = 9 globalis minimum-, x = 0 f (0) = 7 lokalis maximum-hely, es x = p 2 = 1.15 f ( p 2 ) = inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
94 10.c) Megoldas f (x) = x x D f =] ; 0[[]0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
95 10.c) Megoldas f (x) = x x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
96 10.c) Megoldas f (x) = x x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paratlan Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
97 10.c) Megoldas f (x) = x x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paratlan D f 0 = D f f 0 (x) = 3x 2 48 = 0! x x 2 1 = 2 x 2 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ ]0; 2[ 2 ]2; + [ f f % max min & & % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
98 10.c) Megoldas f (x) = x x D f =] ; 0[[]0; + [ f (0) =? x x = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = + lim x!0 f (x) = lim x!0+ f (x) = + f (x) = f ( x) ) f paratlan D f 0 = D f f 0 (x) = 3x 2 48 = 0! x x 2 1 = 2 x 2 = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 0[ ]0; 2[ 2 ]2; + [ f f % max min & & % D f 00 = D f f 00 (x) = 6x + 96 x 3 = 0!? x ] ; 0[ ]0; + [ f 00 + f _ ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
99 10.c) Megoldas (folytatas) Tehat R f =] ; 32] [ [32; + [, x = 2 f ( 2) = 32 lokalis maximum-, x = 2 f (2) = 32 lokalis minimum-hely. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
100 11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
101 11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 8 x+1 = 0! x = 1 (x 1) 2 lim x! f (x) = 0 lim x!+ f (x) = 0 lim x!1 f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
102 11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 8 x+1 = 0! x = 1 (x 1) 2 lim x! f (x) = 0 lim x!+ f (x) = 0 lim x!1 f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 8 x 3 = 0! x = 3 (x 1) 3 x ] ; 3[ 3 ] 3; 1[ ]1; + [ f f & min 1 % & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
103 11.a) Megoldas f (x) = 8 x+1 (x 1) 2 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 8 x+1 = 0! x = 1 (x 1) 2 lim x! f (x) = 0 lim x!+ f (x) = 0 lim x!1 f (x) = + D f 0 = D f f 0 (x) = 8 x 3 = 0! x = 3 (x 1) 3 D f 00 = D f x ] ; 3[ 3 ] 3; 1[ ]1; + [ f f & min 1 % & f 00 (x) = 8 (x 1) 3 ( x 3)3(x 1) 2 (x 1) 6 = 8 2x+10 (x 1) 4 = 0! x = 5 x ] ; 5[ 5 ] 5; 1[ ]1; + [ f f _ in. 8 9 ^ ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
104 11.a) Megoldas (folytatas) Tehat R f =] ; 1], x = 3 f ( 3) = 1 globalis minimum-hely, x = 5 f ( 5) = 9 8 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
105 11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
106 11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 x 2 +1 x 1 = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
107 11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 x 2 +1 x 1 = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = x2 +1 x 1 = x x 2 1! y = x + 1 ferde asszimptota a -ben Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
108 11.b) Megoldas f (x) = x2 +1 x 1 D f =] ; 1[[]1; + [ f (0) = 1 x 2 +1 x 1 = 0!? lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = x2 +1 x 1 = x x 2 1! y = x + 1 ferde asszimptota a -ben D f 0 = D f f 0 (x) = x2 2x 1 = 0 (x 1) 2 p! x 1 = 1 2 = 0.41 x2 = 1 + p 2 = x ]{ ; 1{ p 2[ 1{ p 2 ]1{ p 2; 1[ ]1; 1+ p 2[ 1+ p 2 ]1+ p 2; [ f max min f % & & % H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
109 11.b) Megoldas (folytatas) D f 00 = D f f 00 (x) = 4 (x 1) 3 = 0!? x ] ; 1[ ]1; + [ f 00 + f _ ^ N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
110 11.b) Megoldas (folytatas) Tehat R f p=] ; 0.83] [ [4.83; p + [, x = 1 2 = 0.41 f (1 2) = 0.83 lokalis maximum-hely, x = 1 + p 2 = 2.41 f (1 + p 2) = 4.83 lokalis minimum-hely. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
111 11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
112 11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! 2 f (x) = lim x! 2+ f (x) = + lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
113 11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! 2 f (x) = lim x! 2+ f (x) = + lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = -ben 2x3 x 2 +x 2 = 2x 2 + 6x 4! y = 2x 2 ferde asszimptota a x 2 +x 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
114 11.c) Megoldas f (x) = 2x3 x 2 +x 2 D f =] ; 2[[] 2; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! 2 f (x) = lim x! 2+ f (x) = + lim x!1 f (x) = lim x!1+ f (x) = + f (x) = 2x3 = 2x 2 + 6x 4! y = 2x 2 ferde asszimptota a x 2 +x 2 x 2 +x 2 -ben D f 0 = D f f 0 (x) = 2x4 +4x 3 12x 2 (x 2 +x 2) 2! x 1 = 0 x 2 = p 7 1 = x 3 = p 7 1 = x ]- ;- p 7-1[ - p 7-1 ]- p 7-1;-2[ ]-2; 1[ ]1; p p p 7-1[ 7-1 ] 7-1; [ f max max f % & & & % H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
115 11.c) Megoldas (folytatas) D f 00 = D f f 00 (x) = 12x3 24x 2 +48x (x 2 +x 2) 3 = 0! x = 0 x ] ; 2[ ] 2; 0[ 0 ]0; 1[ ]1; [ f f _ ^ in. 0 _ ^ N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
116 11.c) Megoldas (folytatas) Tehat R f = R, x = p p 7 1 = f ( 7 1) = 12.7 lokalis maximum-hely, x = p 7 1 = f ( p 7 1) = 3.79 lokalis minimum-hely, x = 0 f (0) = 0 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
117 12.a) Megoldas f (x) = (2x D f =] 1) 3 q (x + 2) 2 ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
118 12.a) Megoldas f (x) = (2x 1) 3 q (x + 2) 2 D f =] ; + [ f (0) = 3p 4 = f (x) = 0! x 1 = 1 2 x 2 = 2 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
119 12.a) Megoldas f (x) = (2x 1) 3 q (x + 2) 2 D f =] ; + [ f (0) = 3p 4 = f (x) = 0! x 1 = 1 2 x 2 = 2 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = D f 0 = R r f 2g f 0 (x) = 10 3 (x + 2) 1 3 (x + 1) = 0! x = 1 x ] ; 2[ 2 ] 2; 1[ 1 ] 1; + [ f 0 +? 0 + f % max min & 0 3 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
120 12.a) Megoldas f (x) = (2x 1) 3 q (x + 2) 2 D f =] ; + [ f (0) = 3p 4 = f (x) = 0! x 1 = 1 2 x 2 = 2 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = D f 0 = R r f 2g f 0 (x) = 10 3 (x + 2) 1 3 (x + 1) = 0! x = 1 x ] ; 2[ 2 ] 2; 1[ 1 ] 1; + [ f 0 +? 0 + f % max min & 0 3 % D f 00 = R r f 2g f 00 (x) = 10 9 (x + 2) 4 3 (2x + 5) = 0! x = 5 2 x ] ; 5 2 [ 5 2 ] 5 2 ; 2[ 2 ] 2; + [ f ? + f _ in ^ 0 ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
121 12.a) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
122 12.a) Megoldas (folytatas) Tehat R f = R, x = 2 f ( 2) = 0 lokalis maximum-hely, x = 1 f ( 1) = 3 lokalis minimum-hely, x = 2.5 f ( 2.5) = 3.78 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
123 12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
124 12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
125 12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = lim x! f (x) x = 1 lim x! (f (x) x) = 0!asszimptota y = x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
126 12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim x! (f (x) x) = 0!asszimptota y = x D f 0 = R r f1g f 0 (x) = x q(x 2 = 0! x = 0 3 1) 2 3 x ] ; 0[ 0 ]0; 1[ 1 ]1; + [ f ? + f % 1 % 0 % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
127 12.b) Megoldas f (x) = 3p x 3 1 D f =] ; + [ f (0) = 1 f (x) = 0! x = 1 lim x! f (x) = lim x!+ f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim x! (f (x) x) = 0!asszimptota y = x D f 0 = R r f1g f 0 (x) = x q(x 2 = 0! x = 0 3 1) 2 3 x ] ; 0[ 0 ]0; 1[ 1 ]1; + [ f ? + f % 1 % 0 % D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 2x 3 q(x = 0! x = 0 3 1) 5 x ] ; 0[ 0 ]0; 1[ 1 ]1; + [ f ? f _ in. in. ^ 1 0 _ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
128 12.b) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
129 12.b) Megoldas (folytatas) Tehat R f = R, x = 0 f (0) = 1 es x = 1 f (1) = 0 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
130 12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
131 12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim f (x) = lim f (x) = x! x!+ lim f (x) = lim f (x) = x! 1+ f (x) = lim f (x) = x!1+ x! 1 lim x!1 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
132 12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim f (x) = lim f (x) = x! x!+ lim f (x) = lim f (x) = x! 1 x! 1+ lim f (x) = lim f (x) = x!1 x!1+ f ( x) = f (x) x 2 D f ) f paratlan Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
133 12.c) Megoldas f (x) = x 3p 1 x 2 D f =] ; 1[[] 1; 1[[]1; + [ f (0) = 0 lim f (x) = lim f (x) = x! x!+ lim f (x) = lim f (x) = x! 1 x! 1+ lim f (x) = lim f (x) = x!1 x!1+ f ( x) = f (x) x 2 D f ) f paratlan D f 0 = R r f1g f 0 (x) = 3 x 2 3 3q 0! x (1 x 2 ) 4 12 = p 3 x ]- ;- p 3[ - p 3 ]- p 3;-1[ ]-1; 1[ ]1; p p p 3[ 3 ] 3; [ f min max f & % % % & 1.38 {1.38 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
134 12.c) Megoldas (folytatas) D f 00 = R r f1g f 00 (x) = 2x(9 x2 ) 9 3q = 0! x (1 x 2 ) 7 1 = 0 x 23 = 3 x ]- ;-3[ -3 ]-3;-1[ ]-1; 0[ 0 ]0; 1[ ]1; 3[ 3 ]3; [ f f _ in. 1.5 ^ _ in. 0 ^ _ in ^ N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
135 12.c) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
136 12.c) Megoldas (folytatas) Tehat R f = R, x = p 3 f p 3 = 1.38 lokalis maximum-, illeteve minimum-hely, x = 0 f (0) = 0 es x = 3 f (3) = 1.5 inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
137 13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
138 13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ f (0) = 0 lim f (x) = 0 x!+ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
139 13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ f (0) = 0 lim f (x) = 0 x!+ D f 0 = [0; + [ f 0 (x) = 1 2 e px 2 p x = 0! x = 4 x 0 ]0; 4[ 4 ]4; [ f f 0 % max 4 = e 2 & Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
140 13.a) Megoldas f (x) = x e p x D f = [0; + [ f (0) = 0 lim f (x) = 0 x!+ D f 0 = [0; + [ f 0 (x) = 1 2 e px 2 p x = 0! x = 4 x 0 ]0; 4[ 4 ]4; [ f f 0 % max 4 = e 2 & D f 0 =]0; + [ f 00 (x) = 1 4 p x e px 3 p x = 0! x = 9 x 0 ]0; 9[ 9 ]9; [ f 00? 0 + f 0 _ in ^ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
141 13.a) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
142 13.a) Megoldas (folytatas) Tehat R f = [0; 4 ], e x = 0 f (0) = 0 2 globalis minimum-hely, x = 4 f (4) = 4 = globalis maximum-hely, e 2 x = 9 f (9) = 9 = inexios pont. e 3 x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
143 13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
144 13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ f (0) = e lim f (x) = 1 x!+ e 0 lim f (x) = + x! 1+ lim f (x) = 1 x! e lim f (x) = x! 1 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
145 13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ f (0) = e lim f (x) = 1 x!+ e 0 lim f (x) = + x! 1+ lim f (x) = 1 x! e lim f (x) = x! 1 D f 0 = D f f 0 (x) = e 1+x 1 x 2 < 0 ) f &] ; 1[-on, es (1+x) 2 f &] 1; + [-on H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
146 13.b) Megoldas f (x) = e 1 1+x x D f =] ; 1[[] 1; + [ f (0) = e lim f (x) = 1 x!+ e 0 lim f (x) = + x! 1+ lim f (x) = 1 x! e lim f (x) = x! 1 D f 0 = D f f 0 (x) = e 1+x 1 x 2 < 0 ) f &] ; 1[-on, es (1+x) 2 f &] 1; + [-on D f 00 = D f f 00 (x) = e 1 x 1+x 4 (1+x) 4 (2 + x) = 0! x = 2 x ] ; 2[ 2 ] 2; 1[ ] 1; + [ f f _ in. e 3 = ^ ^ H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
147 13.b) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
148 13.b) Megoldas (folytatas) Tehat R f =]0; + [rf 1 e g, x = 2 f ( 2) = 1 e 3 = inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
149 13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
150 13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ f (x) = 0! x = 1 lim f (x) = x!+ lim f (x) = 0 x!0+ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
151 13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ f (x) = 0! x = 1 lim f (x) = x!+ D f 0 = D f f 0 (x) = 2x ln x + x = 0! x = 1 lim f (x) = 0 x!0+ p e = x ]0; 1 pe [ 1 pe ] 1 p e ; + [ f f & min 1 2e % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
152 13.c) Megoldas f (x) = x 2 ln x D f =]0; + [ f (x) = 0! x = 1 lim f (x) = x!+ D f 0 = D f f 0 (x) = 2x ln x + x = 0! x = 1 lim f (x) = 0 x!0+ p e = x ]0; 1 pe [ 1 pe ] 1 p e ; + [ f f & min 1 2e % D f 00 = D f f 00 (x) = 2 ln x + 3 = 0! x = 1 p e 3 = x ]0; 1 p e 3 [ 1 p e 3 ] 1 p e 3 ; + [ f f _ in. 3 ^ 2e 3 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81 H
153 13.c) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
154 13.c) Megoldas (folytatas) Tehat R f = [ 1 2e ; + [, x = p 1 e = f ( p 1 e ) = 1 = globalis minimum-hely, 2e x = 1 p e 3 = f ( 1 p e 3 ) = 3 2e 3 = inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
155 13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
156 13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
157 13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim (f (x) x) = 1 x! e! y = x + e 1 asszimptota Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
158 13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim (f (x) x) = 1 x! e! y = x + e 1 asszimptota D f 0 = D f 00 = D f f 0 (x) = ln(e + 1 x ) 1 ex+1 f 00 (x) = 1 x(ex+1) 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
159 13.d) Megoldas f (x) = x ln(e + 1 x ) D f =] ; 1 e [[]0; + [ f (x) = 0! x = 1 e 1 lim lim f (x) = 0 x!0+ lim x! 1 e x! f (x) = + f (x) = f (x) lim x! x = 1 lim (f (x) x) = 1 x! e! y = x + e 1 asszimptota D f 0 = D f 00 = D f f 0 (x) = ln(e + x 1 ) 1 ex+1 f 00 (x) = 1 f 00 > 0 ha x < e 1 es f 00 (x) < 0 ha x > 0, amib}ol es f 0 sz.m. % ] ; 1 e [ -on x(ex+1) 2 f 0 sz.m. & ]0; + [ -on lim f 0 (x) = 1, tehat f 0 > 1 ] ; 1 x! e [ -on f 0 > 1 ]0; + [ -on, tehat f sz.m. % konvex ] ; 1 e [ -on f sz.m. % konkav ]0; + [ -on H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
160 13.d) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
161 13.d) Megoldas (folytatas) Tehat R f = R. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
162 14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
163 14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R f (0) = 0 f (x) = 0! x = kπ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
164 14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R f (0) = 0 f (x) = 0! x = kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x)! paratlan Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
165 14.a) Megoldas f (x) = 2 sin x + sin 2x D f = R f (0) = 0 f (x) = 0! x = kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x)! paratlan D f 0 = R f 0 (x) = 2 cos x + 2 cos 2x = 0! x 1 = π 3 + 2kπ k 2 Z x 2 = π + 2kπ k 2 Z tehat egy teljes [ π; π] periodusban: π π π x π ] π; 3 [ 3 ] 3 ; π 3 [ π 3 ] π 3 ; π[ π f f 0 & min 3 p 3 2 % max 3 p 3 2 & 0 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
166 14.a) Megoldas (folytatas) D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin x 4 sin 2x = 0! x 1 = kπ k 2 Z x 2,3 = arccos 14 + kπ = kπ k 2 Z x -π ]-π;-1.82[ ]-1.82; 0[ 0 ]0; 1.82[ 1.82 ]1.82; π[ π f in. in. in. in. in. f 0 _ ^ 0 _ 1.45 ^ 0 N H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
167 14.a) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
168 14.a) Megoldas (folytatas) p 3 Tehat R f = [ 2 ; 3p 3 2 ] x = π 3 + 2kπ f π 3 + 2kπ = 3p 3 minimum-hely x = arccos 2 k 2 Z globalis maximum-, ill kπ = kπ f (1. 82) = 1.45 k 2 Z es x Matematikai = kπanalzis f (kπ) (PE) = 0 k 2 Z Fuggvenyvizsgalat inexios pont november x5. 63 N/ 81
169 14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
170 14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
171 14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x) x 2 R! paros Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
172 14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x) x 2 R! paros D f 0 = R f 0 (x) = 2 cos x sin x + 3 sin x = 0! x = kπ k 2 Z tehat egy teljes [ π; π] periodusban: x π ] π; 0[ 0 ]0; π[ π f f max min max & % Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
173 14.b) Megoldas f (x) = 1 sin 2 x 3 cos x D f = R f (0) = 2 f (x) = 0! x = π 2 + kπ k 2 Z f (x + 2π) = f (x) x 2 R! periodikus, f ( x) = f (x) x 2 R! paros D f 0 = R f 0 (x) = 2 cos x sin x + 3 sin x = 0! x = kπ k 2 Z tehat egy teljes [ π; π] periodusban: x π ] π; 0[ 0 ]0; π[ π f f max min max & % D f 00 = R f 00 (x) = 2 sin 2 x 2 cos 2 x + 3 cos x! x = kπ x -π ]-π;-2.01[ ]-2.01; 2.01[ 2.01 ]2.01; π[ π f f 4 _ in ^ in _ 4 k 2 Z H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
174 14.b) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
175 14.b) Megoldas (folytatas) Tehat R f = [ 2; 4] x = π + 2kπ f (π + 2kπ) = 4 k 2 Z globalis maximum-, x = 2kπ f (2kπ) = 2 k 2 Z globalis minimum-hely x = kπ f (2.01) = 1.46 k 2 Z inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
176 14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R cos 2 x Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
177 14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R f (0) = 0 cos 2 x lim = x! Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
178 14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R cos 2 x f (0) = 0 lim = x! D f 0 = R f 0 (x) = 1 + sin 2x = 0! x = π 4 + kπ k 2 Z es f 0 (x) 0 x 2 R, ) sz.m.% R-en, ezert f -nek x = 0 az egyetlen zerushelye. Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
179 14.c) Megoldas f (x) = 1 + x D f = R cos 2 x f (0) = 0 lim = x! D f 0 = R f 0 (x) = 1 + sin 2x = 0! x = π 4 + kπ k 2 Z es f 0 (x) 0 x 2 R, ) sz.m.% R-en, ezert f -nek x = 0 az egyetlen zerushelye. D f 00 = R f 00 (x) = 2 cos 2x! x = π 4 + k π 2 k 2 Z tehat f 00 egy teljes periodusaban: π π π π π x 2 ] 2 ; 4 [ 4 ] 4 ; π 4 [ π 4 ] π 4 ; π 2 [ π 2 f in. in. f 0.57 _ 0.29 ^ 1.29 _ 2.57 H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
180 14.c) Megoldas (folytatas) Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
181 14.c) Megoldas (folytatas) Tehat R f = R x = π 4 + k π 2 f π 4 + k π 2 = π 4 + k π 2 k 2 Z inexios pont. x N Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
182 14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
183 14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ x! π 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
184 14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ f (x + 2π) = f (x) x! π 2 x 2 D f! f periodikus Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
185 14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ x! π 2 f (x + 2π) = f (x) x 2 D f! f periodikus D f 0 = R f 0 (x) = cos x = 0! x = 3π (1 sin x) kπ k 2 Z x ] π 2 ; 3π 2 [ 3π 2 ] 3π 2 ; 5π 2 [ f min. f & 1 % 2 Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
186 14.d) Megoldas f (x) = 1 1 sin x D f = [ k2z i π2 + 2kπ; 5π 2 + 2kπ h lim f (x) = + lim f (x) = k 2 Z x! π 2 +2kπ +2kπ+ x! π 2 f (x + 2π) = f (x) x 2 D f! f periodikus D f 0 = R f 0 (x) = cos x = 0! x = 3π (1 sin x) kπ k 2 Z x ] π 2 ; 3π 2 [ 3π 2 ] 3π 2 ; 5π 2 [ f min. f & 1 % 2 D f 00 = R f 00 (x) = sin x+sin2 x+2 cos 2 x!?, pl. f 00 (π) = 2 > 0, (1 sin x) 3 tehat f 00 konvex x 2 π 2 + 2kπ; π 2 + 2π + 2kπ k 2 Z H Matematikai analzis (PE) Fuggvenyvizsgalat november / 81
1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
A derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Gazdasági Matematika I. Megoldások
. (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS
Bodó Beáta 1 KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS 1. B Az f(x) függvény értelmezési tartománya. Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x) = (x + 6) 5 (4x 12) 8 (x + 2)? f (x) zérushelyei: 6; 2; 3 D
Függvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
![[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [](/thumbs/94/119230405.jpg "[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [")
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
Többváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Függvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
Analízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
![Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.](/thumbs/102/154127337.jpg "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.")
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA
Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
I. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...
Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény
Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.
159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A.
Nagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
Dierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,
Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett
Teljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Kisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Elemi függvények, függvénytranszformációk
Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :
Teljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Matematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?
FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
Inverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
Feladatmegoldások az A1 (VBK) tárgy hallgatói számára 2018/19/ sz, 9.
Feladatmegoldások az A (VBK) tárgy hallgatói számára 08/9/ sz, 9. hét. Egy téglalap alakú, méteres kartonpapírból felül nyitott, téglalap alakú dobozt hajtogatunk úgy, hogy a papír négy sarkából négy egybevágó
10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
![1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!](/thumbs/54/33263341.jpg "1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!")
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz
Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig
11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben