2014. november Dr. Vincze Szilvia

Átírás

1 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia

2 Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata 6. Deriválási szabályok 7. Elemei függvények deriváltjai

3 Függvénygörbék érintői Meredekség: az irányszög tangense

4 Differenciahányados fogalma Tekintsük az f függvény grafikonját és a grafikon és abcisszájú pontjain áthaladó e egyenest. Ezt az e egyenest nevezzük a függvény P, f és P, f pontjaihoz tartozó szelőnek.

5 Differenciahányados fogalma szelő meredeksége A szelő meredeksége az APP háromszög segítségével: m tg szöggel szemközti befogó szög melletti befogó f h f f f

6 Differenciahányados fogalma Definíció: Legyen H R. Az a H belső pontja, ha van az -nak olyan D nyílt környezete, melyre D H. Definíció: Legyen H R, H belső pont, f: H R. Az f függvény -beli differenciahányados függvénye: f f d,

7 Differenciahányados fogalma szelő meredeksége Rögzítsük az pontot. Ha rögzített és az tetszőleges, akkor a szelő meredeksége függ az megválasztásától. Közelítsünk az ponttal az -hoz!

8 Differenciahányados fogalma szelő meredeksége Ha létezik a lim f f határérték, akkor ez az f függvény, f pontjához tartozó érintő meredeksége.

9 Az érintő értelmezése. Legyen az f függvény mindenütt folytonos. 2. Rögzítsünk a függvénygörbén egy P pontot és egy a P-től különböző tetszőleges Q vagy Q* pontot. 3. Mozgassuk a Q vagy Q* pontot a P pont felé, ekkor a PQ vagy PQ* szelő egy határhelyzethez, egy e egyeneshez közeledik, amely áthalad a P ponton 4. Ezt a közös e egyenest a függvénygörbe P pontbeli érintőjének nevezzük

10 Differenciálhányados Definíció: Legyen f: H R és H belső pont. Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az pontban, ha a differenciahányados függvénynek létezik az pontban véges határértéke. A f f lim f számot az f függvény -beli differenciálhányadosának nevezzük.

11 Megjegyzés f f. Ha a lim határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény nem differenciálható az pontban. 2. Ha az f: D R függvény a D H halmaz minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható a D halmazon. Ha az f függvény az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható, akkor az f : H R függvény az f differenciálhányadosfüggvénye vagy derivált-függvénye.

12 Megjegyzés 3. A deriváltfüggvény jelölésére gyakran használják a df. d 4. Az f függvény -beli érintőjének az egyenlete: y f f

13 Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata Tétel: Ha az f: H R függvény differenciálható az pontban, akkor f folytonos az pontban. A tétel nem fordítható meg! Létezik olyan függvény, amely valamely pontban folytonos, de ott nem differenciálható.

14 Deriválási szabályok. Ha az f és g függvény differenciálható az - ban, akkor az f + g is differenciálható -ban és f+g = f + g 2. Ha az f és g függvény differenciálható az - ban, akkor az f g is differenciálható -ban és f g = f g + f g

15 Deriválási szabályok 3. Ha az f függvény az értelmezési tartomány pontjában differenciálható és cr, c f függvény is differenciálható -ban és c f = c f 4. Ha az f és g függvény differenciálható az - ban és g, akkor az f /g is differenciálható -ban és 2 g g f g f g f

16 Összetett függvény deriválási szabálya 5. Ha H, H 2 R, f: H H 2, g: H 2 R. Legyen H belső pont, és tegyük fel, hogy y = f H 2 belső pont. Ekkor ha f differenciálható -ban és g differenciálható y -ban, akkor g o f differenciálható -ban és g f g f f

17 Inverz függvény deriválási szabálya 6. Ha az f: ]a,b[ ]c,d[ kölcsönösen egyértelmű folytonos függvény differenciálható a b pontban és f ; akkor az f - : ]c,d[ ]a,b[ inverz függvény differenciálható y =f pontban és y f f f y f

18 Elemei függvények deriváltjai a n n e e a a a a n c 5. ln 4. ln log 3. ln 2...

19 Elemei függvények deriváltjai arccos. arcsin. sin 9. cos 8. sin cos 7. cos sin 6. ctg tg

20 Elemei függvények deriváltjai arctg arcctg 2 2

21