V. Deriválható függvények

Átírás

1 Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája egyees és az egyelő időközökbe megtett utak egymással egyelők (a megtett út aráyos az idővel A mozgás v sebességét megkapjuk, ha megmérjük bizoyos számú t időegység alatt megtett út s hosszát, és ezt elosztjuk az s út megtételéhez szükséges s t idővel: v t Mivel a mozgó pot sebessége mide időszakba egyelő v -vel, azt modjuk, hogy e mozgás sebessége bármely időpillaatba éppe v -vel egyelő Tegyük fel most, hogy az M pot adott iráyba egyees voalú, de em egyeletes mozgást végez vagyis, hogy az egyelő időközökbe megtett utak általába em egyelők egymással (a megtett út em aráyos az idővel Mit értük tehát ebbe az esetbe a mozgó pot sebességé egy adott időpotba (a t időpillaatba? Ha s( t -vel jelöljük a t idő alatt megtett utat, akkor a t és t időpotok között megtett út hossza s s( t s( t Ezt az utat a test t t t idő alatt teszi meg Tehát eze az útszakaszo az átlagos közepes sebesség s s( t s( t vk t t t Ha eek a kifejezések va határértéke, amikor t t, akkor azt modjuk, hogy ez a határérték a test sebessége a t időpotba Ezt a sebességet vt ( -val jelöljük Tehát s s( t s( t vt (, t t t t t t ha ez a határérték létezik Megjegyzés Bármilye meyiség változási sebességét ehhez hasolóa értelmezzük Ha f : D egy M meyiség időbeli változását leíró függvéy (a változója a t -idő, akkor az M változásáak sebessége a t időpillaatba a f f ( t f ( t vm ( t t t t t t t határérték, ha ez létezik Az éritő probléma Tekitsük az f :[, ], f ( si függvéyt Jelöljük m( -szel az M, és potoko áthaladó egyees iráytéyezőjét M (,si

2 Deriválható függvéyek Va-e a α függvéyek határértéke, ha? Az MM húr iráytagesét vizsgáljuk: si si m ( Tehát meg kell vizsgáluk, hogy létezik-e az M (, si M α 7 ábra si si m m( határérték Alakítsuk át a kifejezést: + si si si cos + si cos si si + si Tehát a határérték: cos sit cos cos, ahol t és t, ha t t Mivel a húrok egyre jobba közeledek az M,si poto áthaladó m iráytéyezőjű egyeeshez azt modjuk, hogy ez az egyees az f grafikus képéhez húzott éritő az M potba Tehát az éritő egyelete y Általába, ha f : D egy függvéy és D egy torlódási potja D -ek, akkor az f ( f( poto áthaladó húrok iráytéyezői m ( alakúak, tehát ha f ( f( létezik a határérték, akkor azt modjuk, hogy a függvéy grafikus képéek va éritője abszcisszájú potba és az éritő iráytéyezője az előbbi határérték

3 Deriválható függvéyek Megjegyzés A kör eseté az éritőt úgy értelmeztük, mit egy egyees, amely potosa egy potba metszi a kört Ez az értelmezés általába em haszálható Például az f :, f ( függvéy grafikus képét az origó áthaladó összes egyees egy potba metszi, mégsem modaák azt, hogy ezek éritik a grafikus képet (lásd a 8 ábrát y 8 ábra O 5 A derivált értelmezése f ( f( Az előbbi problémák midegyikébe alakú határértékekehez juttuk Ez motiválja a következő fogalom bevezetését Értelmezés Legye D a D halmaz egy torlódási potja Azt modjuk, hogy az f : D függvéyek az potba va deriváltja, ha létezik a f ( f ( határérték Ezt a határértéket evezzük a függvéy potbeli deriváltjáak (vagy differeciálháyadosáak és így jelöljük: f ( f ( f f ( y M M(, f( f( f( 9 ábra α O Értelmezés Az f : D függvéyt deriválhatóak evezzük az f ( f ( az f ( határérték létezik és véges helye, ha

4 Deriválható függvéyek Megjegyzés Ha létezik az f ( véges szám akkor mide ε > számhoz va olya δ >, hogy ha < < δ akkor ( f ( f f ( f ( f ( ( Ezt a alakba is írhatjuk f ( < ε Értelmezés Ha az f függvéy az E D halmaz mide potjába deriválható, akkor azt modjuk, hogy az f függvéy az E halmazo deriválható függvéy Azt az f : E függvéyt, amely mide E eseté f ( -val egyelő az f függvéy derivált függvéyéek evezzük (vagy rövide deriváltjáak és f -tal vagy df -el jelöljük (Leibiz jelölése d A derivált geometriai jeletése A bevezető problémák alapjá azt modjuki, hogy az f függvéy grafikus képéek az M(, f ( potjába létezik éritője, ha létezik az f függvéyek az potjába a deriváltja (differeciálháyadosa Az éritő iráytagese f ( m, tehát az éritő egyelete y f ( f ( ( Példák Vizsgáljuk az f :, f ( függvéy deriválhatóságát Megoldás Rögzítsük egy potot és tekitsük az -ba a következő határértéket: f ( f ( ( ( + ( + Tehát az f függvéy az potba deriválható és f ( Az pot semmilye külöleges tulajdoságát em haszáltuk fel, ezért a függvéy mide potba deriválható és a derivált függvéy f :, f ( Az eredméy szemléletese azt jeleti, hogy az y paraboláak mide potjába ( va éritője Az M, potbeli éritő egyelete y ( vagy y Taulmáyozzuk az f :, f (, ahol függvéy deriválhatóságát Megoldás Rögzítsük egy potot ( f f ( k k, k

5 Deriválható függvéyek 5 mert k k, ha k {,,,, } és az összegek tagja va Tehát a függvéy mide potba deriválható és f ( Így a vizsgált függvéy derivált függvéye (vagy egyszerűe a deriváltja: f :, f (, Következméy Az f :, f ( függvéy deriváltja mide potba f ( c, ahol c, egy adott álladó Taulmáyozzuk az f :, f ( függvéy deriválhatóságát! Megoldás Rögzítsük először egy > számot Ha < akkor is f ( f ( pozitív ( > és így Tehát f (, ha > Ha < akkor az előzőkhöz hasolóa f ( f (, tehát f ( ha f ( f (, ha > < Ha akkor Ebből leolvasható,, h a < * hogy az potba em létezik az f deriváltja Tehát az f függvéy az halmazo deriválható 5 Deriválható függvéyek folytoossága Tétel Ha az f : D függvéy deriválható az D potba, akkor ez a függvéy folytoos az potba Bizoyítás Az értelmezés alapjá torlódási potja D -ek és f ( f ( f ( ( + α, ahol α (, tehát f ( f ( f ( ( α és így f ( f ( ( ( ( + f α ( Ebből kapjuk, hogy f ( f (, ami azt jeleti, hogy f folytoos az D potba 5 Jobb- és baloldali derivált A jobb- és baloldali határértékhez hasolóa értelmezhetjük egy függvéy jobbilletve baloldali deriváltját is

6 6 Deriválható függvéyek Értelmezés Ha D torlódási potja a (, D halmazak és létezik a f ( f ( < határérték, akkor ezt az f függvéy baloldali deriváltjáak evezzük az potba és f b ( -val vagy f ( -val jelöljük Tehát f ( f ( f b ( f ( Ha D torlódási potja a ( + D halmazak és létezik a f ( f ( >, < határérték, akkor ezt az f függvéy jobboldali deriváltjáak evezzük potba és f j ( -val vagy f ( + -val jelöljük Tehát f ( f ( f j ( f ( + Megjegyzés Ha torlódási potja a (, D és (, halmazokak, az f ( f ( b j f : > + D D függvéy potosa akkor deriválható az potba, ha Gyakorlatok Deriválhatók-e az alábbi függvéyek a megadott potokba? a f (, az potba; b f ( l, az és potokba; c f ( ( ( +, az és potokba; si d f ( e + + az és potokba;, ha e f ( az és potokba;, ha > f f ( arccos( az potba; l( +, g f ( az potba; 7 + 5, < +, h f ( + az potba;, <

7 Deriválható függvéyek 7, i f ( az potba si, < a Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f :(,, ( l,, e f ( függvéy deriválható legye e -be a + b + c, > e b Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f :[,], si,, f ( függvéy deriválható legye -ba, majd bizoyítsd + a + b,, be, hogy az így meghatározott a, b értékekre f (, [, ] 55 A gyökfüggvéy deriváltja ( Tekitsük az f :, +, ( f, * függvéyt > eseté ( ( ( ( Az f tehát mide > potba deriválható és ( Gyakorlatok Határozd meg a következő függvéyek maimális deriválhatósági tartomáyát és számítsd ki a deriváltját: ( 5 f ; f ( ; f ( ; f ( ( + ( Az epoeciális függvéy deriváltja Vizsgáljuk meg az f :, f ( a, a >, a függvéy deriválhatóságát t a a a a a a a la t t Tehát ( a a l a Sajátos esetbe ( e e

8 8 Deriválható függvéyek 57 A logaritmus függvéy deriváltja ( Legye f :, +, f ( l és > l + l l l( + t f (, t t tehát ( l, l > Ebből és a log a egyelőségből következik, la hogy ( loga la 58 A sziusz és a kosziusz függvéy deriváltja Számítsuk ki az f :, f ( si függvéy deriváltját! Rögzített eseté + si cos si si si + cos si + cos cos cos, mert a kosziusz függvéy mide potba folytoos Tehát a sziusz függvéy mide potba deriválható és ( si cos Számítsuk ki az f :, f ( cos függvéy deriváltját! Rögzített eseté: + si si cos cos si + si si, tehát ( cos si 59 Műveletek deriválható függvéyekkel Éppe úgy, mit a folytoosság vizsgálata eseté, azt várjuk, hogy a számolás szempotjából haszos megállapítai, mit modhatuk az összeg, szorzat, stb differeciálhatóságáról (deriválhatóságról

9 Deriválható függvéyek 9 Az összeg deriváltja Tegyük fel, hogy az f, g : D függvéyek deriválhatók a D tartomáy D torlódási potjába Deriválható-e az f + g függvéy az potba és ha ige, akkor hogya számíthatjuk ki deriváltját? A feltevés szerit létezik f ( f ( g( g( f ( és g ( Az ( f + g -hez tartozó ( f + g( ( f + g( ( ( f + g f ( g( háyados f ( f ( ( g g( +, és ebből ( f + g( ( f + g( f ( + g (, azaz f + g deriválható és a deriváltja az f és g deriváltjaiak összegével egyelő Rövid jelölés: ( f + g f +g Gyakorlatok Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: a ; b ; c ( Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági tartomáyt: a f ( si+ cos; b f ( cos tg; c f ( ctg+ 5 ; d f ( log ; e 5 f ( + ; f f ( e + Ha az,,,, f f f f függvéyek ( * deriválható-e az k az potba deriválhatók, akkor f + f + f + + f f függvéy az potba? Ha ige, mi a deriváltja? Bizoyítsd be, hogy ha f és deriválható az -ba akkor f g is az, és g ( f g ( f ( g ( 5 Ha f és g egyike sem deriválható az -ba, következik-e ebből, hogy f + g sem deriválható az -ba? Szorzat deriváltja Tegyük fel, hogy az f, g : D függvéyek deriválhatók a D tartomáy D torlódási potjába Deriválható-e az f g függvéy az potba? k

10 Deriválható függvéyek A feltevés szerit létezik a g( g( g ( határérték Az f ( f ( f ( f ( g( f ( ( ( ( ( ( ( ( g f g f g + f g f ( g( f ( f ( ( f f ( g( + f (, egyelőség alapjá ( fg( ( fg( f ( g( + f ( g ( Tehát ha az f és függvéy az potba deriválható akkor az f g függvéy is g deriválható ebbe a potba és a deriváltja ( fg ( f ( g( + f ( g ( Rövid jelöléssel ( f g f g + f g Következméy Ha az f : D függvéy deriválható a D tartomáy D torlódási potjába, akkor a ( c f : D függvéy (c -álladó is deriválható az D potba és ( c f ( c f ( Gyakorlatok és feladatok Deriválhatók-e a következő -e értelmezett függvéyek? Ha ige számítsd ki a deriváltjukat is a f + + ; b ( f ; ( ( ( c f ( ( + ( + 5 ; d ( f + Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági tartomáyt! a f ( l; b f ( e ; c f ( si ; d f ( ; e f ( 5 cos; f f ( l ( lg ; 5 g f ( l + tg ; h f ( ctg+ l 7 Ha az f, f, f függvéyek az potba deriválhatók, akkor az fff szorzat deriválható-e az potba? Ha ige, mi a deriváltja? Ha f, f,, f függvéyek deriválható függvéyek az potba, akkor és

11 Deriválható függvéyek f f f f deriválható függvéy-e és meyi a deriváltja? k k 5 Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: a f ( l e ; b f ( 7 si tg; c f ( log cos 5 6 a Bizoyítsd be, hogy ha a P [ X] poliom gyökei az,,, párokét külöböző valós számok, akkor { } \,,, b Számítsd ki az + + P ( +, P( PX ( X X+ poliom gyökei 7 Ha az f és g em deriválható az potba következik-e ebből, hogy f g sem deriválható az potba? Háyados deriváltja Vizsgáljuk meg az f, g : D f g összeget, ha,,, a függvéy deriválhatóságát az potba ha deriválhatók az D potba és g ( ( torlódási potja a D -ek! f Az f miatt elegedő az deriválhatóságát vizsgáli ha g deriválható g g g az potba és g( g( g( ( g g( ( g, g( g( g ( Tehát az g is deriválható és ( g ( Így az g g ( f g f egyelőség g alapjá az f g függvéy is deriválható az potba és f ( f ( f ( + f ( ( g g g( g f ( g ( f ( g( f ( g ( f ( g( g ( g (

12 Deriválható függvéyek f fg fg Érvéyes tehát a következő deriválási szabály: g g Példák Az f, g :, f ( és g( + függvéyek deriválhatók mide potba és g( >, Ezért f g mide potba deriválható és 6 ( 6 ( + ( ( Az f { k} ( ( si : \ +, f ( tg függvéy az értelmezési cos tartomáy mide potjába deriválható és egyelő -val ugyais cos si cos cos si ( si ( tg cos cos cos, + k ( k Hasolóa az f ( ctg függvéy eseté, ahol k ( k Gyakorlatok cos si si cos cos ( ctg si si si Számítsd ki az alábbi függvéyek deriváltját (a megadott potba, határozd meg a függvéy maimális értelmezési tartomáyát és maimális deriválhatósági tartomáyát: a f (, ; b f (, *, ; + + c f (, ; d f (, ± ; e f (, ; f f ( ; g f ( ; + l + h f ( ; i f ( + l ; j si f ( cos + ; e tg + si log k f ( ; l f ( ; m f ( e + cos + log

13 Deriválható függvéyek Összetett függvéy deriváltja A si vagy si függvéyek összetett függvéyek Az f ( si ( vagy f ( ( si si függvéy összetevői (kompoesei külö deriválhatók Általába hogya számolhatjuk ki az ( f g( f [ g( ] függvéy deriváltját (az potba az f és g deriváltjáak segítségével? f ( g( f ( g( ( ( f g f ( g( g( g( ( g g( f ( u f ( u ( g g(, u u u u ahol u g (, u g ( Ha akkor u u g(, tehát f ( g( f ( g( f ( g( g ( Rövide: ( f g ( f ( g( g ( Példák Az ( f függvéy az és ( és, tehát ( f Általába, ha m, * akkor Ha f ( + +, akkor m m m + f ( ( ( 5 9 Ha f ( si, akkor f ( 5 si cos összetevéséből származik + + Ha f ( cos ( +, akkor ( cos ( + ( cos( + cos ( + si( + ( + ( + cos ( + si( f 5 Ha f ( ( si si, akkor f ( si cos 6 Ha f ( si, akkor f ( cos ( ( ( ( ( 7 Ha f 5 6, akkor f + 8 Ha ( ( f a a, akkor

14 Deriválható függvéyek f ( ( a (, ha ( a, a a 9 Ha f ( si 5, akkor f ( si 5 5cos5 5si 5 cos5 Gyakorlatok I Határozd meg a következő függvéyek deriválási tartomáyát és számítsd ki a deriváltjukat: cos f ( e si ; f ( si + e cos ; f ( ; e si f ( e ( f l ; 6 f ( e l ; 7 f ( ; 8 f ( cos + si ; 9 f ( si ; l si + cos f ( si cos ; f ( + ; tg f ( ; si + cos f ( ( + ; f ( si + cos ; 5 ( f + 5 ; 6 f ( e ; 7 f ( l( ; 8 f ( tg ; si f 5 ; f ( log (, 8 9 ( ; f ( cos( ; f ( cos ; f ( lg( ; f ( tg ; 5 ( f si a ; 6 f ( cos si ; 7 f ( ; 8 f ( cos ; 9 f ( ( ; f ( + ; f ( l si ; f ( 5 l ( ; ( f ( tg + ; II + f ( e ; 5 f ( ( + + log Bizoyítsd be, hogy az f ( c +, függvéyre igaz az f ( f ( egyelőség + ( Vezess le egy deriválási szabályt a ( ( g * h f függvéyre, ahol f : D + és g : D deriválható függvéyek Eek a segítségével számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: a f ( ; b f ( + ; c f ( ( si

15 Deriválható függvéyek 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f : D függvéyek deriválhatók ij,,, akkor a ij f ( f ( f ( ( f ( f ( f (, D f ( f ( f ( függvéy is deriválható és f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( + f ( f ( f ( + f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: + a f ( ; b ( f + ; c f ( e + ; d f ( l l ; e f ( ( + si ( + ; f f ( e + ; g f ( l i f ( e l ; j f ( ; h ( ( f + e ; si ; k f e + ; l f ( e cos ; m; f ( ( si + cos 6 f ( f p ( + l + ; o f ( ; + e l cos e ; q f si + 7 ; ( ( 7 r f ( si si si ; s f + f (, > ( ( ( ( α 5 Számítsd ki az függvéy deriváltját, ha α irracioális szám! 6 Határozd meg a következő függvéyek grafikus képéhez a megadott potba húzott éritő egyeletét: a f ( + +, M (, ; b f ( cos, M (, ; c f ( l, (, l ; d M f ( e, M ; (, 7 f ( 6 Írd fel az éritő egyeletét a grafikus kép abszcisszájú potjába 8 f ( Mi az éritő egyelete az potba? 9 f ( ( ( + ( + Mi az -be húzott éritő egyelete? f ( ( ( + Mi az éritő egyelete az potba? A továbbiakba, ha félreértésre em ad okot, egyszerűe az potba húzott éritőről beszélük

16 6 Deriválható függvéyek f ( ( 7, az potba írd fel az éritő egyeletét! f ( 5 +, az y ordiátájú potokba írd fel az éritők egyeletét! Az f ( + függvéy grafikus képé határozzuk meg azt a potot, amelybe a grafikus képhez húzott éritő párhuzamos az y + egyeessel Az f ( ( ( + függvéy grafikus képéek melyik potjába húzott éritő halad át a (, poto? 5 Va-e az f ( és g( függvéyek grafikojáak egy közös éritője? 6 Határozd meg aak az egyeesek az egyeletét, amely az f ( + + függvéy grafikoját két helye ériti a + : \, f ( függvéy Határozd meg az a paraméter értékét úgy, hogy az potba a grafikus képhez húzott éritő az Oy tegellyel 5 -os szöget zárjo be 8 Határozd meg az m és az paraméter értékét úgy, hogy az f ( és + g ( m + + függvéyek abszcisszájú potba éritsék egymást 7 Adott az f { } 5 Az iverz függvéy deriváltja A folytoos függvéyek tulajdoságai alapjá ha I itervallum és az f : I függvéy folytoos, akkor f ( I is itervallum Az f : I f ( I függvéy szürjektív, tehát ha az f függvéy ijektív is, akkor létezik az f : J I iverz függvéy, ahol J f ( I A folytoos függvéyek tulajdoságaiból az is következik, hogy az iverz függvéy folytoos A következő tétel az iverz függvéy deriválhatóságát biztosítja, ha f deriválható és a deriváltja sehol sem Tétel Ha I és J itervallumok és f : I J bijektív, valamit f deriválható az potba és f (, akkor f deriválható az y f ( potba és igaz az alábbi egyelőség: ( f ( f ( f ( Bizoyítás f ( y f ( y, ahol az y y y y f ( f ( y f ( f ( y változócserét hajtottuk végre a határértékbe Ebből következik, hogy f deriválható y f ( -ba és igaz a tételbe szereplő egyelőség

17 Deriválható függvéyek 7 Következméy Ha f deriválható I - és f (, I, akkor f deriválható J f ( I - és ( ( ( ( is megkaphatjuk, ha az ( eredméyt előre is megmodhatjuk f f, I Ezt az összefüggést úgy f f f f( f ( ( egyelőséget deriváljuk Így az Példák Az f :,,, f ( si függvéy szigorúa övekvő a, itervallumo, tehát va iverze f :,, f ( arcsi Az iverz függvéy deriválási szabályát alkalmazva: ( arcsi cos( arcsi si ( arcsi, ha (, Az f :[, ] [, ], f ( cos függvéy szigorúa csökkeő és iverze f arccos : [, ] [, ], tehát si arccos cos arccos ( f ( ( arccos ha (, ( ( Az f :,, f ( tg függvéy szigorúa övekvő, iverze f :, (, f arctg, tehát ( arctg cos ( arctg + tg ( arctg + cos ( arctg Gyakorlatok Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját és határozd meg a deriválhatósági tartomáyt: 5 a f ( ; b f ( arctg + arctg ; + c f ( arcsi ; d f ( arccos + ; e f ( 5arcsi; f arccos ( + ;,

18 8 Deriválható függvéyek + g f ( arctg i f ( arcsi( cos ; h f ( ( + arctg ; 5 A függvéy differeciálja Értelmezés Az f : D függvéyt differeciálhatóak evezzük az D potba, ha létezik olya m szám, amelyre f ( f ( m( A df ( :, df ( ( h m h függvéyt az f differeciáljáak evezzük az f potba Tehát az f függvéy akkor és csakis akkor differeciálható az potba, ha deriválható -ba és a függvéy differeciálja az -ba a df lieáris függvéy: df ( ( t f ( t ( 5 Magasabb redű deriváltak Értelmezés Az f : D függvéyt az D potba kétszer deriválhatóak evezzük, ha f deriválható az egy V köryezeté és az f : V D függvéy is deriválható az ( f ( f ( -val jelöljük D potba Az f másodredű deriváltját az potba Ha f deriválható a D halmazo akkor azt modjuk, hogy f kétszer deriválható a D - és a másodredű deriváltját ( f f -vel jelöljük Az f : D függvéyt másodredű deriváltak (második deriváltak evezzük és f -vel is jelöljük Értelmezés Azt modjuk, hogy az f : D függvéy -szer deriválható ( az D -szer deriválható az pot egy V D köryezeté és az ( -ed redű derivált deriválható az D potba Az potba, ha f ( ( ( f ( ( f ( deriváltjáak evezzük az deriválható D -, akkor az jelölést alkalmazzuk és ezt az f -ed redű potba Ha az f : D függvéy -szer ( f : D, ( ( ( ( f ( f ( függvéyt az f -ed redű deriváltjáak evezzük * Ha mide, eseté az f függvéy -szer deriválható egy potba (vagy egy halmazo akkor azt modjuk, hogy f végteleszer deriválható (az illető potba vagy halmazo ( Megegyezés szerit, a ulladredű derivált f f éppe a függvéyel egyelő

19 Deriválható függvéyek 9 Példák Az f :, k f ( ( k végteleszer deriválható és ( f k ( k!, Az f : \ { }, f ( ( ( (! f, ahol, + Az f ( e függvéy esetébe természetes kitevőjű hatváyfüggvéy ( f (, ha > k függvéy végteleszer deriválható és ( ( f e ( si si +,, ( 5 cos cos +,, 6 ( ( ( ( l ( 7 ( a a l a, ( a >! *,,, Gyakorlatok Az u: D és v: D függvéyek -szer deriválhatók Igazold, hogy a ( ( ( ( u+ v u + v ; b ( ( k ( k ( k u v C u v (A Leibiz-formula k Határozd meg f ( tartomáyo: -et az alábbi függvéyek esetébe (a maimális a f ( + ; b f ( l ; c ( d f ( ( + arctg Számítsd ki -t, -t és f e ; si f ( f ( f ( -t, ha f ( e cos( si Bizoyítsd be, hogy az alábbi függvéyek kétszer deriválhatók a megadott potokba: arctg, a f :, f (, ; +, < si, b f :, f (, ;, > 5 c f :, f ( 6,

20 Deriválható függvéyek 5 Határozd meg az a,, bc paraméterek értékeit úgy, hogy az f :, a + b, f (, ; függvéy kétszer deriválható c + + l ( +, < legye az -e 6 Határozd meg az a paraméter értékeit úgy, hogy az f :, a f ( e függvéy teljesítse az f ( f ( 8 f ( + f( összefüggést mide eseté 7 Bizoyítsd be, hogy az f :, f ( ( e függvéy -edik ( * deriváltja f ( ( +a + b e alakú, bármely eseté, ahol a, b valós számok Határozd meg az a és b valós számokat az függvéyébe! f f ( 8 Számítsd ki az :(,, 9 Adott az f ( c cos + c l függvéy -ed redű deriváltját! si függvéy, ahol c, c álladók Bizoyítsd be, hogy f ( + f ( Számítsd ki a következő függvéyek -ed redű deriváltját: a f :, f ( e ; b f :, f ( e ; c f :(,, f( l ; d :(,, f f ( l( ; e f : \{,}, f ( ( ; f f : \{,}, f ( + ; g : f, f ( ( cos ; h f :, f ( e Azt modjuk, hogy az f : D és g : D függvéyek grafikus képei ( k ( k az potba -ed redbe éritik egymást, ha f ( g (, k, és ( + ( ( + f g ( Vizsgáljuk meg, hogy háyad redbe éritik egymást az alábbi függvéypárok grafikus képei: a f ( és g ( + ; b f ( e és g ( + + Számítsd ki a következő görbék által bezárt szög mértékét: a f ( ( és g( ; b f ( siés g ( cos e,, Bizoyítsd be, hogy az f :, f ( P (, \, függvéy, ahol P [ X], potosa akkor végteleszer deriválható, ha P idetikusa ulla (Felvételi feladat, Kolozsvár ( (

21 Deriválható függvéyek A köyebb memorálás érdekébe összefoglaltuk a fotosabb deriválási képleteket és szabályokat f f deriválhatósági tart, m, * m m \{} a, a \ a a (, e e a, a, a a l a l (, log a, a >, a la (, si cos cos si tg tg \ (k + cos k ctg ctg si \ { k k } arcsi (, arccos (, arctg + arcctg + ( + { } ( f + g f +g ( f g f g + f g f f g f g g g ( f ( g ( f ( g ( g ( k k k ( ( ( f g C ( f g k f g f f + f f g g ( g ( g ( ( ( ( ( ( l ( (