A primitív függvény és a határozatlan integrál 7
|
|
- Ákos Fülöp
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye Például az összeadásak a kivoás ( 5 és 5 ), a szorzásak az osztás ( 4 és : 4 ), a hatváyozásak a gyökvoás ( 4 és 4 ) a fordított művelete stb az f :, f függvéy iverz függvéye az f :, f az f : f, f 4 függvéy iverz függvéye az f :, :4 függvéy az :, f függvéy iverz függvéye az f f függvéy f :, Az utolsó példá érdemes elgodolkodi, hisze ( ) is 4 és mégis 4 Értelmezhetük egy olya függvéyt, amelyek az értelmezési tartomáya a pozitív valós számok halmaza és értéktartomáya a valós számok részhalmazaiak halmaza úgy, hogy mide pozitív számak megfeleltetjük az összes olya valós számból alkotott halmazt, amelyek égyzete Tehát f : P ( ), f y y { } vagy f { ± }, Hasolóa járuk el a reláció iverzéek megszerkesztéséél vagy bizoyos halmazok függvéyek szeriti ősképeiek taulmáyozása sorá Egy C B halmazak a g : A B függvéy általi ősképe azo A-beli elemek halmaza, amelyekek a képe a C halmazba va Tehát g ( C) { A f C } Hasoló megfeleltetéssel találkoztuk a komple számok -ed redű gyökeiek értelmezése sorá z u u z { } α kπ α kπ z cos isi α arg z, k 0, Így például az -ek eze függvéy által az -ed redű egységgyökök halmaza felel meg A deriválást is tekithetjük műveletek vagy leképezések, ha mide f : deriválható függvéyek megfeleltetjük a deriváltját Így egy olya leképezést értelmezük, amely a deriválható függvéyek halmazát képezi le a függvéyek halmazára Ebbe a fejezetbe eek a leképezések a képtartomáyát vizsgáljuk meg, majd módszereket vezetük le bizoyos típusú függvéyek ősképéek meghatározására Tekitsük az f :, f ( ) függvéyt Látható, hogy az F :, F függvéy deriváltja potosa az f függvéy Azt modjuk, hogy az F függvéy az f függvéy primitív függvéye Tudjuk, hogy az álladó függvéy deriváltja 0, tehát mide F :, F( ) a, a, alakú függvéy primitív függvéye az f-ek XI osztályba (lásd a Lagrage tétel következméyeit) láttátok,
2 8 A primitív függvéy és a határozatla itegrál hogy ha I egy itervallum, F, F :I deriválható függvéyek és F F, I, akkor az F és F függvéyek egy álladóba külöbözek egymástól (Ha F ( ) F, I, akkor F ( ) F 0, I, tehát ( F F ) () 0, I Így az F F F függvéy álladó az I itervallumo, mert a Lagrage tétel alapjá bármely, I ( < ) eseté létezik c (, ) ( ) ( úgy, hogy F F F c), tehát F F,, I, 0 ( ) azaz F álladó) Tehát az f :, f ( ) függvéy primitív függvéyei csak az F :, F a alakú függvéyek Az { F : F a } halmazt (azaz az f függvéy primitív függvéyeiek halmazát) az f függvéy határozatla itegráljáak evezzük és az f d szimbólummal jelöljük Az előbbiek alapjá megfogalmazhatjuk az alábbi értelmezéseket, tulajdoságokat: Értelmezés Ha D egy halmaz, amely felírható em degeerált (legalább két külöböző elemet tartalmazó) itervallumok egyesítésekét és f : D egy függvéy, akkor az F : D függvéyt az f függvéy primitív függvéyéek (vagy egyszerűe primitívjéek) evezzük, ha F deriválható a D-, és F ( ) f, D Értelmezés Az f : D függvéy primitív függvéyeiek halmazát az f függvéy határozatla itegráljáak evezzük és az f d szimbólummal jelöljük Az itegrál alatti f függvéyt itegradusak vagy itegráladóak evezzük Tehát { F : D F deriválható D- és F f} f d Tulajdoság Ha I egy itervallum és F, F :I az f : I függvéy két primitívje, akkor létezik olya c szám, amelyre teljesül az F F c egyelőség mide I eseté Tehát itervallumo értelmezett, primitívvel redelkező függvéy két primitívje egy álladóba külöbözik egymástól Példák 00 Az f :, f ( ) függvéy egy primitívje az F :, 00 F( ) függvéy 00 Az f :, f függvéy egy primitív függvéye az F :, F függvéy Egy másik primitív függvéye a G :,, ha < 0 G függvéy, ha > 0 Ebbe a fejezetbe a D em degeerált itervallumok egyesítése és I itervallum
3 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 9 si cos, 0 Az f :, f függvéy egy primitív függ- 0, 0 cos, 0 véye az F :, F függvéy 0, 0 Megjegyzések Fotos az előbbi tulajdoságba az a feltétel, hogy a függvéyek itervallumo vaak értelmezve A példáál is láthattuk, hogy az F és G primitív függvéyek külöbsége em álladó Az egyszerűség kedvéért jelöljük C -vel az adott értelmezési tartomáyo az álladó függvéyek halmazát Ekkor, ha egy I itervallumo értelmezett f : I függvéy egy primitívje az F : I függvéy, akkor f d F( { g : I g a,, a } C ) C, ahol az I itervallumo értelmezett álladó függvéyek halmaza Értelmezés Ha egy M halmazo értelmeztük a : M M M műveletet és AB, M, akkor A B y A, y B Ha : K M M egy külső { } művelet, akkor { } λ M λ M (Hasoló műveleteket a pothalmazok vektoriális jellemzéséél haszáltuk lásd a IX osztály számára írt taköyvet) Példák Ha M és A {, 0, } valamit B {,, } két részhalmaza, akkor: A B {( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0 ( ), 0 ( ), 0, ( ), ( ), } {,,, 0,,, } és A B {,, 0,, } Ha tekitjük az egész számokkal való szorzást külső műveletkét, akkor például a páros egész számok halmaza, hasolóa értelmezhető, a { } páratla egész számok halmaza stb Ha A M ( ) és B M ( ), akkor A B M ( ) A mátriok valós, számmal való szorzását tekitve külső műveletkét,, M ( ) a páros elemeket tartalmazó másodredű égyzetes mátriok halmaza Az előbbiek alapjá a függvéyekkel végzett műveletek ismeretébe végezhetük műveleteket a C halmazzal is Tudjuk, hogy két (közös értelmezési tartomáyal redelkező) álladó függvéy összege és szorzata is álladó függvéy, egy valós számmal vett szorzata is álladó függvéy Tehát C C C, λc C, λ Ugyaakkor bármely álladó függvéy felírható két álladó függvéy összegekét (pl ömaga és az azoosa ulla függvéy összegekét), és felírható, mit egy tetszőleges ullától külöböző valós szám és egy álladó függvéy szorzata (pl ha a f, g : I, f a, I és g( ), I ( λ 0 ), akkor f λg ) λ
4 0 A primitív függvéy és a határozatla itegrál Tehát C C C és C λc, λ, azaz C C C és C λc, λ A deriválható függvéyek tulajdoságai alapjá, ha az F, G : D függvéyek az f : D és g : D függvéyek primitívjei, akkor az F G : D függvéy az f g : D függvéy egy primitívje, mert ( F G) F G f g Ugyaakkor ha H : D az f g egy primitívje, akkor az f egy tetszőleges F : D primitívje eseté a G : D, G H F függvéy a g egy primitívje, mert G ( H F) H F f g f g, tehát az f g mide primitívje felírható az f és g egy-egy primitívjéek összegekét, így f ( ) d g ( ) d ( f g )( ) d Hasolóa, ha F : D az f : D egy primitívje, akkor λ F : D a λf : D egy primitívje, ahol λ, mert ( λf) λ F λf és ha H : D a λ f : D egy primitívje, akkor F H : D az f egy λ primitívje, mert F H f λ H λ f tehát írhatjuk, hogy λ λ f d f λ λ d Megjegyzés Ha f és g itervallumo értelmezettek és F és G egy-egy primitív függvéyük eze az itervallumo, az előbb bevezetett műveletek alapjá f ( ) d g ( ) d F C G C F G C C F G C f g d és λ f d λ( F C ) λf λc λf C λ f d Az előbbiek alapjá megfogalmazhatjuk az alábbi tulajdoságot: Tulajdoság Ha az f : D és g : D függvéyekek va primitív függvéye, akkor az f g : D függvéyek is va primitív függvéye és egyelő az f és g egy-egy primitív függvéyéek összegével: ( f g )( ) d f ( ) d g ( ) d, valamit ha λ, akkor a λ f : D függvéyek is va primitív függvéye és f d f λ λ d Az előbbi tulajdoság azoali következméye az alábbi: Következméy Ha az f és g : D függvéyekek va primitív függvéye és α, β, akkor az αf βg : D függvéyek is va primitív függvéye és ( f g) d f d g α β α β d
5 A primitív függvéy és a határozatla itegrál Ha az f : D függvéyek va primitív függvéye, a g : D függvéy em redelkezik primitív függvéyel és α, β, akkor az αf βg : D függvéyek ics primitív függvéye (Ellekező esetbe, ha H : D egy primitív függvéye az α f βg függvéyek és F : D egy H αf primitívje f -ek, akkor : D egy primitív függvéye lee g -ek) β Szité a XI osztályba taultakból tudjuk, hogy egy itervallumo deriválható függvéy deriváltja Darbou tulajdoságú Tehát állíthatjuk, hogy: Tulajdoság Ha az f : I (I itervallum ) függvéyek létezik primitív függvéye, akkor f Darbou tulajdoságú Tehát, ha f em Darbou tulajdoságú, akkor f-ek ics primitívje A későbbiekbe bizoyítai fogjuk az alábbi tulajdoságot: Tulajdoság Ha az f : I (I itervallum) függvéy folytoos, akkor az f függvéyek létezik primitív függvéye Megoldott gyakorlatok Határozzuk meg az alábbi függvéyek primitív függvéyeit (ha létezek): a) f, b) f,, r c) f,, r \{ } d) f, 4 e) f, f) f, Megoldás 4 a) Tudjuk, hogy az F :, F( ) függvéy deriválható -e és , tehát d C 4 b) Az F :, F, függvéy deriválható -e és ( ), tehát d C r c) Ha r \{ }, akkor az F :, F ( ) függvéy deriválható r r r ( r ) -e és r, tehát r r r r d C, ha r r
6 A primitív függvéy és a határozatla itegrál d) A l : függvéy deriválható és ( l ), tehát d l C, ha 5 4 e) Az előbbi potok alapjá d C, 5 d C C, C C d d és d l C, ha 5 4 tehát d l C 5 f) Az F :, F l( ) függvéy deriválható és ( l( )), tehát d l( ) C, ha Megjegyzés A d) és f) potok alapjá modhatjuk, hogy ha I egy itervallum, amely em tartalmazza a 0 -t, akkor az f : I, f függvéyek va primitívje és d l C Határozzuk meg az alábbi függvéyek primitív függvéyeit: a) f :, f e b) f :, f a, a \{ } c) f :, f sh d) f :, f ch e) f :, f e f) f :, f e Megoldás a) Az f :, f e függvéy deriválható -e és f e, tehát ed e C a b) Az F :, F függvéy deriválható -e és F ( ) a, la a, tehát F egy primitív függvéye f -ek, így ad C la e e c) Tudjuk, hogy sh, tehát folytoos -e és egy primitív függvéye e e F :, F ch Tehát sh d ch C d) Az előbbi pothoz hasolóa ch d sh C e) Az F :, F e függvéy deriválható -e és F ( ) e e,, ie az F :, F F e függvéy is deriválható -e és deriváltja: F ( ) e,, tehát e d e e C
7 A primitív függvéy és a határozatla itegrál f) Az F, F e függvéy deriválható -e és : F e e, Ebből következik, hogy az F :, F F ( e e ) függvéy is deriválható -e és deriváltja F e,, tehát ed e e e C Határozzuk meg az alábbi függvéyek primitív függvéyeit: a) f :(,), f b) f :(, 5], f 4 Megoldás a) Az f függvéy folytoos a (, ) itervallumo, tehát va primitív függvéye eze az itervallumo Az :( f, ), f, és f ( ) függvéyek folytoosak a (, ) itervallumo és egy-egy primitív függvéyük eze az itervallumo F :(, ), (, F l l ), valamit F l l( ) Ie, mivel f ( f f ), következik, hogy d l C, ha (, ) b) Az f függvéy folytoos a (, 5] itervallumo, tehát va primitív függvéye eze az itervallumo Az f :(, 5], f, és f ( ) függvéyek folytoosak a (, 5] itervallumo és egy-egy primitív függvéyük eze az itervallumo F :(, 5], F l l( ), valamit, F l l( ) Ie, mivel f ( f 4 f ), következik, hogy d l C, ha (, 5] Vizsgáljuk meg, hogy a következő függvéyekek milye halmazo va primitív függvéyük és ezekbe az esetekbe határozzuk meg a primitív függvéyeiket: a) f si b) f cos c) f tg d) f ctg e) f cos f) f ( ) si g) f h) f ( ) 4 i) f ( ) Megoldás a) Az f függvéy folytoos -e, tehát létezik -e primitív függvéye Tudjuk, hogy az F :, F ( ) cos függvéy deriválható -e és F ( ) si, ie si d cos C
8 4 A primitív függvéy és a határozatla itegrál b) Az a) pothoz hasoló meggodolásokból cos d si C π c) Az f függvéy értelmezési tartomáya D \ ( ) k f k, ami em degeerált itervallumok egyesítése Mide I π ( ),( k ) k k π itervallumo az f függvéy folytoos, tehát va primitív függvéye Írhatjuk, hogy si ( cos ) tg ( l cos ) Tehát az I itervallumo az f egy k cos cos primitív függvéye F : I, F k k ( ) l cos Ie az f mide primitív k függvéye F( ) l cos c, ha I alakú, ahol c álladók k k d) Az f függvéy értelmezési tartomáya \ { π k } k D k Az előbbi pothoz hasolóa, ha J (( k ) π, kπ), akkor D J k f és az f primitív függvéyei k F : D, F l si c, ha J alakúak, ahol c álladók f k k k π e) Az f értelmezési tartomáya D \ ( ) k f k és primitív függvéyei F : D, F( ) tg c k, ha π I π ( k ),( k ) f k alakúak D \ k π k és primitív függvéyei f k f) Az f értelmezési tartomáya { } f F : D, F ctg c, ha J ( k ) π, kπ alakúak f k k g) Az f :, f függvéy folytoos -e, tehát létezik primitív π π függvéye Tudjuk, hogy az F :,, F arctg függvéy deriválható -e és F ( ),, tehát F egy primitív függvéye az f függ- véyek Így d arctg C h) Az f :, f 4 függvéy folytoos -e, tehát létezik primitív függvéye A g) pot alapjá az ituíció azt sugallja, hogy eek a primitív függvéye az arctg függvéy valamilye más függvéyel összetéve Tudjuk, hogy ha g : egy deriválható függvéy, akkor ( arctg( g( ))) g g Ezért átírjuk az f függvéyt olya alakba, hogy a evezője g alakú legye
9 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 5 Azaz f Ie az f egy primitív függvéye az F :, 4 F( ) arctg Tehát arctg d C 4 i) Az f függvéy maimális értelmezési tartomáya D (, ) Eze az itervallumo a függvéy folytoos, tehát létezik primitív függvéye Tudjuk, hogy a g :(,), g arcsi függvéy deriválható és g ( ) A feladatbeli függvéy hasolít erre, így sejthető, hogy a primitív függvéye az arcsi és egy másik függvéy összetevéséből származik Általába, ha a h : I (,) függvéy deriválható, akkor ( arcsi( h( ))) h h Tehát érdemes lee a evezőt h alakúra hozi Így f ( ) alakba való átírásából azoal kiderül, hogy egy primitív függvéye az F :(, ), F( ) arcsi függvéy Hasolóa igazolható, hogy egy másik primitív függvéye a G :(, ), G( ) arccos függvéy Tehát írhatjuk, hogy a (, ) itervallumo d arcsi C arccos C Az előbbi megoldott gyakorlatokba észrevehettük, hogy a primitív függvéyek mid elemi függvéyek voltak Az olya függvéyek határozatla itegrálját, amelyek primitív függvéyei elemi függvéyek alapitegrálokak evezzük A köyebb memorizálás érdekébe az alapitegrálokat táblázatba foglaljuk Ahol a maimális értelmezési tartomáy em itervallum az egyszerűbb írásmód érdekébe csak itervallumo írjuk fel az itegrált (I mide esetbe itervallumot jelöl) f A függvéy f :, f, f : I, I, f, \{ } r f : I, I, f, r \{ } A határozatla itegrál d C d C r r d C r
10 6 A primitív függvéy és a határozatla itegrál A függvéy f : I, I, f f :, f e A határozatla itegrál d l C ed e C f :, f a, a a \{ } ad C la e e f :, f sh sh d ch C e e f :, f ch ch d sh C f :, f si si d cos C f :, f cos cos d si C f : I, π I \ {( k ) k }, f tg f : I, I \ { k π k }, f ctg f : I, I \ { k π k }, f si f : I, π I \ ( k ) k, f ( ) cos f :, f a, a f :( a, a), f a a, tg d l cos C ctg d l si C d ctg C si d tg C cos d arctg C a a a arcctg a a C d arcsi C a a arccos C a f : I, I \ { ± a}, a a f d l C a a a a
11 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 A függvéy f :, a f ( ) a f : I, I \[ a, a], a f a A határozatla itegrál d l a C a a d l a a a C Megjegyzés A táblázatba az utolsó két itegrálra em adtuk példát az előbbiekbe Egyszerű deriválással elleőrizhető, hogy valóba az összefüggések helyesek A 6 paragrafusba az ilye típusú itegrálok direkt levezetésére is sor kerül Megoldott feladatok Adjuk példát két függvéyre, amelyekek ics primitív függvéye és az összegükek va! Megoldás 0, ha Legyeek f, g :, f, ha, ha \, g 0, ha \ Egyik függvéy sem Darbou tulajdoságú, tehát ics primitív függvéyük Az összegük pedig h :, h( ), folytoos függvéy, tehát va primitívje Határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy az si, ha f :, f a, ha 0 függvéy Darbou tulajdoságú legye, majd úgy, hogy létezze primitív függvéye! Megoldás Az -o a függvéy folytoos, tehát elégséges olya itervallumokat megvizsgáli, amelyek tartalmazzák a 0 -t Mivel si ( ) [,], következik, hogy a [,] a Darbou tulajdoság szükséges feltétele Bizoyítjuk, hogy ez a feltétel elégséges is Tetszőleges ε > 0 eseté létezik k úgy, hogy 0 < π < π < ε ( 4k ) ( 4k ) π π f π si( 4k ) és f ( 4k ) si( 4 ) π k A ( 4k ), π π itervallumo a függvéy folytoos, tehát Darbou tulajdoságú és π, π 0, ε ( 4k ) ( 4k ), következik, hogy f ([0, ε ]) [,], ( 4k ) ( 4k )
12 8 A primitív függvéy és a határozatla itegrál ε > 0 (f ( 0 ) a,] [ ) Hasolóa, f ([ ε,0] ) [,], ε > 0 Tehát, ha a,] [, akkor bármely ε > 0 eseté f [ εε, ] [,], így f Darbou tulajdoságú A továbbiakba határozzuk meg az a értékét úgy, hogy létezze f -ek primitív függvéye Eek érdekébe megszerkesztjük a primitív függvéyt Az cos deriválható -o és cos cos si cos cos si, cos, ha 0 A g :, g függvéy folytoos (0-ba folytoos, 0, ha 0 mert a co s függvéy korlátos), tehát létezik primitív függvéye Ha G : a g egy primitívje, akkor si cos létezik f -ek primitív függvéye, akkor G( ) cos G, ha < 0 F :, F () c, ha 0, (c álladók), cos G( ) c, ha > 0 alakú kell legye (egy közülük) Ahhoz, hogy ez primitív függvéye legye f -ek deriválhatóak kell leie és az F f szükséges feltétele a folytoosság Világos, hogy -o a függvéy folytoos Az álladókat úgy kell meghatározuk, hogy teljesüljö a li m F( ) F( 0) lim F egyelőség Ez akkor teljesül, ha c G( 0) és c 0, azaz cos G, ha 0 F G( 0, ) ha 0 Vizsgáljuk a deriválhatóságot a 0 -ba, bármely eseté Ie, ha egyelőség kell teljesüljö A deriválhatóság G(0) F F(0) lim lim 0 0 G G(0) lim cos G ( 0) ( 0) 0 0 g cos G 0 0 Tehát F deriválható a 0 -ba és F ( 0) 0 Ie következik, hogy f ( 0) 0, azaz csak a 0 esetbe va primitív függvéye f -ek
13 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 9 Vizsgáljuk meg, hogy a következő függvéyekek va-e primitív függvéye: si, ha 0 a) f :, f, ha 0 si, ha < 0 b) g :, g 0, ha 0 si, ha > 0 Megoldás a) Az f : si, ha, f ( ) függvéyek az előbbi feladat alapjá 0, ha 0 va primitív függvéye Legye egy primitív függvéye F : Az f függvéy felírható az f ( ) f, alakba Mivel az f :, f ( ) függvéy egy primitív függvéye az F, F függvéy, következik, : hogy az f -ek va primitív függvéye és egy primitív függvéye az F :, F( ) F F függvéy b) Az a) potbeli f és a g :, ha < 0, g függvéyek segítségével a g függvéy felírható a g( ) f g, alakba ( ) ha 0, 0, ha > 0 Az függvéy redelkezik primitív függvéyel, a g em redelkezik, mert em Darbou tulajdoságú Ebből következik, hogy a g függvéyek sics primitív függvéye, ha 4 Bizoyítsuk be, hogy az f :, f, ha \ függvéyek ics primitív függvéye Bizoyítás Be fogjuk bizoyítai, hogy a függvéy em Darbou tulajdoságú Vizsgáljuk például a [0,] itervallumak az f függvéy általi képét A függvéy értelmezéséből következik, hogy f ([0,] ) [0,] és f ([0,]\ ) (, ) \, tehát f ([0,]) f ([0,] ) f ([0,]\ ) ([0,] ) ((, ) \ ), ami em itervallum Tehát az f függvéy em Darbou tulajdoságú Így em létezik primitív függvéye 5 Bizoyítsuk be, hogy egy alulról (vagy felülről) korlátos és primitívvel redelkező függvéy és egy folytoos függvéy szorzatáak létezik primitív függvéye! f
14 0 A primitív függvéy és a határozatla itegrál Bizoyítás Legye f : alulról korlátos és g : folytoos függvéy (A megoldás hasoló, ha f felülről korlátos) Mivel f alulról korlátos következik, hogy létezik m úgy, hogy f > m, Ha h :, h f m, akkor mivel f -ek létezik primitívje, következik, hogy h is redelkezik primitív függvéyel Legye H : a h egy primitívje A H függvéy szigorúa övekvő, mert H ( ) h > 0, Mivel H szigorúa övekvő és folytoos (mert deriválható), következik, hogy H : I, H H bijektív és folytoos valamit H ( ) h( ),, ahol I Im H Így mivel H : I is és g is folytoosak, következik, hogy a go H : I függvéy folytoos, tehát létezik primitív függvéye Ha U : I a go H egy primitívje, akkor U g o H, tehát U o H g ( U o H ) ( U o H ) h g h Így a gh függvéyek létezik primitívje Másrészt g( ) h gf mg(),, tehát gf g h mg A g függvéy folytoos, így az mg függvéy is folytoos, tehát létezik primitívje Ebből következik, hogy a gf függvéyek is létezik primitívje 6 Bizoyítsuk be, hogy ha az f : függvéyek létezik primitív függvéye és a g : függvéy folytoos, akkor az f g függvéyek is létezik primitív függvéye! Megoldás Mivel f redelkezik primitív függvéyel következik, hogy f Darbou tulajdoságú Így f ( ) egy itervallum 0 f ( ), tehát f előjeltartó, azaz f > 0, vagy f < 0, Így f alulról vagy felülről korlátos Ugyaakkor g folytoos, tehát az 5 feladat alapjá, az f g függvéyek létezik primitívje Megjegyzés Egy függvéy primitív függvéye létezéséek vizsgálatakor célszerű a következőképpe jári el: Megvizsgáljuk, hogy a függvéy folytoos-e Ha ige, akkor létezik primitív függvéye Ha em folytoos megézzük, hogy Darbou tulajdoságú-e Ha em Darbou tulajdoságú, akkor ics primitív függvéye Ha Darbou tulajdoságú elleőrizzük, hogy létezik-e olya függvéy, amelyek ez a függvéy a deriváltja Ha ige, akkor va primitívje Ha em, akkor ics primitívje A feti lépéseket a következő logikai ábra tartalmazza:
15 A primitív függvéy és a határozatla itegrál Folytoos f a D-? NEM Darbou tulajdoságú f a D-? IGEN F : D úgy, hogy: F deriválható D- F ( ) f( ) D? NEM f-ek ics primitív függvéye D- IGEN NEM IGEN f-ek va primitív függvéye D- f-ek ics primitív függvéye D- F egy primitív függvéye f-ek D- Gyakorlatok és feladatok I Vizsgáld meg, hogy a következő függvéyekek milye halmazo va primitív függvéyük és ezekbe az esetekbe határozd meg a primitív függvéyeiket: f f f 4 f f 6 f f 8 f 9 f ( ) 0 f 5 f f 5 f sh ch 4 f sh( l ) 5 f sh 6 f si 7 f cos 8 f si 9 f si cos 4 0 f tg( ) f ctg f si cos ( π) ( ) 9 f ( ) 4 5 f 9 f ( ) 4 7 f 9 f ( ) 9
16 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 9 f 4 0 f ( ) 4 f 9 f ( ) 4 II Bizoyítsd be, hogy a következő függvéyekek va primitív függvéye: arctg, ha 0 f :, f π, ha 0 si, ha 0 f :, f, ha 0 l ha f :,, 0 f, ha 0 ( ) e, ha 0 4 f :, f l, ha 0 5 f : f ma,, { } cos, ha 0 6 f :, f 0, ha 0 ( si ), ha 0 7 f :, f 0, ha 0 e si, ha 0 8 f :, f 0, ha 0 cos, ha 0 9 f :, f arctg 0, ha 0 e si, ha 0 0 f :, f 0, ha 0 III Bizoyítsd be, hogy a következő függvéyekek ics primitív függvéye: f :, f sg f : f :, ha < 0, f cos, ha 0, f [ ]
17 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 4 f :, f { }, ha 5 f :, f, ha \ si cos, ha 0 6 f :, f, ha 0, ha 7 f :, f, ha \ si, ha 0 8 f :, f 0, ha 0 cos, ha 0 9 f :, f, ha 0 cos, ha 0 0 f :, f, ha 0 IV Adj példát két függvéyre, amelyekek ics primitív függvéye, de a szorzatukak va Adj példát két függvéyre, amelyekek ics primitív függvéye, de az összetett függvéyek va Bizoyítsd be, hogy ha az f :[ a, b] (ab,,a< b) függvéyek va primitív függvéye az [ ac, ] és [ cb, ] itervallumoko (c (,) a b ), akkor f -ek va primitív függvéye -e 4 Bizoyítsd be, hogy ha az f : függvéyek va primitív függvéye az I, k zárt itervallumoko, ahol I, akkor k k k függvéye -e 5 Határozd meg az α paraméter értékét úgy, hogy az π π f :, arctg, ha 0, f α, ha 0 függvéyek legye primitív függvéye 6 Határozd meg az α paraméter értékét úgy, hogy az si, ha 0 f :, f α, ha 0 függvéyek legye primitív függvéye f -ek va primitív
18 4 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 Határozd meg az α paraméter értékét úgy, hogy az si cos, ha 0 f :, f α, ha 0 függvéyek legye primitív függvéye 8 Bizoyítsd be, hogy ha az f :[0,] [0,] függvéyek va primitív függvéye és létezik α (0,) úgy, hogy f ( α ) 0, akkor f em ijektív 9 Bizoyítsd be, hogy ha az f : függvéy eseté f, > 0, akkor f -ek ics primitív függvéye 0 Létezik-e olya f : függvéy, amelyek va primitív függvéye és f f? Létezik-e olya f : függvéy, amelyek va primitív függvéye és f f a,, ahol a? Bizoyítsd be, hogy ha az f : függvéyek létezik primitív függvéye, a g : függvéy folytoosa deriválható, és g 0, eseté, a h : függvéy pedig az függvéy egy primitív függvéye, akkor az g f oh függvéyek is létezik primitív függvéye! Bizoyítsd be, hogy ha az f :( a, b) függvéyek folytoosak és, f, [, ] f f, akkor az f a b függvéyek ics primitív f, [ a, b]\ függvéye!
19 Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk is deriválható és ( f g ) f g f g, ie következik, hogy ha az fg függvéyek va egy F : D primitív függvéye, akkor az f g függvéyek is va egy G : D primitív függvéye és G ( ) (f g F( )) Ha az f és g értelmezési tartomáya egy itervallum, akkor létezik c álladó úgy, hogy G f g F( ) c Az előbbiek alapjá írhatjuk, hogy f g d f g f g d Kijelethetjük a következő tételt: Tétel Ha az f és g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo és az fg : D függvéyek létezik primitív függvéye, akkor az f g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g d f g f g d Ezt a tulajdoságot gyakra haszáljuk primitív függvéyek meghatározásáál, mert em midig azoos ehézségű az fg és f g függvéyek primitív függvéyéek meghatározása Amikor ezt a tulajdoságot alkalmazzuk határozatla itegrál kiszámításáál azt modjuk, hogy az itegrált a parciális itegrálás módszerével számoljuk ki Következméy Ha az f : D és g : D függvéyek folytoosa deriválhatók a D tartomáyo, akkor létezek az f g : D és fg : D függvéy primitív függvéyei és f g d f g f g d Megoldott gyakorlatok Határozzuk meg az f :, f e függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az előbbi fejezetbe már kiokoskodtuk a primitív függvéyeket Próbálkozzuk a parciális itegrálás módszerével Ehhez el kell döteük, hogy az f, f és f e függvéyek közül melyiket tekitjük, mit, : egy másik függvéy deriváltját Látható, hogy ebbe az esetbe, ha az -et tekitjük, mit a g :, g ( ) függvéy deriváltját, akkor em egyszerűsödik a feladat, mert ekkor az g f d e d itegrált kell kiszámoluk, ami f
20 6 Itegrálási módszerek em tűik egyszerűbbek, mit az eredeti Ha pedig az azoal észrevesszük, hogy f f, tehát írhatjuk, hogy f -t tekitjük mit deriváltat, f d f f d f f f f d e e e e C Egyszerűbb írásmód lett vola a következő: ( e ) e d d e e d e e f e alakú függvéy primitívjeit akarjuk kiszámítai a par- Megjegyzés Ha ciális itegrálás módszerével, ahol f poliomfüggvéy vagy trigoometrikus függvéy, célszerű az e -t tekitei, mit derivált függvéyt Számítsuk ki az f :, f e si határozatla itegrálját Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos si ( e ) si e d d e si e ( si ) d C e si e cos d A második itegrálál újból a parciális itegrálás módszerét alkalmazva, kapjuk: cos ( e ) cos e d d e cos e ( cos ) d e cos e si d, tehát visszakaptuk az eredeti itegrált Így írhatjuk, hogy si d si e e e cos e si d e si e cos Ebből következik, hogy e si d C Számítsuk ki az f :, f ( ) l függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos l d l d l d l C 4 Számítsuk ki az f :, f l függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos ( ) l l d l l d d l l l l d ( ) l d l ( l ) ( ) l l l l 9 d d 9 l ( 9 9l l 6l ) l l C C 7 7
21 Itegrálási módszerek 7 5 Számítsuk ki az f :, f ( ) cos függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos I cos d cos ( si ) d cos si si d cos si ( cos ) d cos si I Ebből következik, hogy I c os si C, tehát cos cos si d C 6 Számítsuk ki az f :, f arctg függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos arctg d arctg d arctg d ( ) arctg d arctg l ( ) C arctg l C 7 Számítsuk ki az f :, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos ( ) I d d ( ) ( ) d ( ) d I d I d d d d d I l( ) Ebből következik, hogy I l ( ) l( ) C C, tehát I C Visszahelyettesítve az eredetibe kapjuk, hogy ahoa l 4I ( ) C, ( ) l( ) I C 4 8
22 8 Itegrálási módszerek 8 Számítsuk ki az f : \{ k k } π, f függvéy primitív si függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos Ha I \ { kπ k } itervallum, akkor eze az itervallumo f folytoos és d ( ctg ) d ctg ctg d ctg l si si C Ie az f egy tetszőleges primitív függvéye F : \ { k π k }, F ctg l si c, ( kπ, ( k ) π) alakú, ahol c álladók és k k k 9 Számítsuk ki az f :, f si( l ) függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos cos( l ) d cos( l ) d cos( l ) si( l ) d I si( l ) d si( l ) d si( l ) cos( l ) d Ezt visszahelyettesítve az eredetibe, kapjuk: I ( si( l ) cos( l ) ) I, tehát ( si( l ) cos( l ) ) si( l ) d C arcsi 0 Számítsuk ki az f :(,), f e függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos Tehát e d e d e e d arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi e e d e e e d arcsi arcsi arcsi e e e d C f π f si határozatla itegráljára Adjuk rekurziót az :(0, ), Megoldás si cos I d d I cos si si si d cos si cos I d I ( ) si si ( ) si
23 Itegrálási módszerek 9 cos Tehát I I Ahhoz, hogy teljes legye a feladat megoldása, ki kell számoli az I -et és I ( ) si -t si cos I l d d si C cos cos I ctg d C si Gyakorlatok Határozd meg, hogy milye halmazo létezik primitív függvéye az alábbi függvéyekek és számítsd ki a primitív függvéyt vagy adj rekurziós összefüggést rá: f l f l( ) f sh 4 f sh 5 ( ) 7 f ( ) f e 6 f e l e 8 f l 9 f si 0 f si f 4 cos f arctg l f 4 f ( si cos ) e 5 f si 6 f si cos 7 f e si 8 f e ( si cos ) 9 f ( ) si 0 f ch si f cos( l ) α f l f si α 4 f e si 5 f sh 6 f ch 7 f si ( sh ch ) 8 f arcsi 9 f arccos( ) 0 f arctg f f f f 4 arcsi 5 f f si 7 f 8 f l e l( l ) 9 f 40 f arcsi
24 0 Itegrálási módszerek l 4 f ( ) 4 f e arcsi arccos 4 f e 44 f arctg arctg e f 46 f l( ) 45 ( ) l arcsi 47 f ( ) 48 f 49 f arctg 50 f cos ( l ) 5 f si, 5 f cos, 5 f cos, 54 f l, Helyettesítési módszerek A XI osztályból tudjuk, hogy ha az f : D E és g : C D (C, D és E em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók az értelmezési tartomáyuko, akkor az f o g : C E függvéy is deriválható C - és ( f og) ( f g) g ( o ) Az előbbiek alapjá, ha az f : D függvéy primitív függvéyeit keressük és létezik egy h : E primitív függvéyel redelkező valamit egy g : D E deriválható függvéy úgy, hogy f h( g ) g, akkor f -ek va primitív függvéye és egy primitívje a H o g :D függvéy, ahol H : E a h egy primitívje Vaak esetek, amikor az f : D függvéy esetébe köyebb egy ( f o g) g : E alakú függvéy primitívjét meghatározi Ha F egy primitívje ez utóbbi függvéyek és g : E D bijektív valamit a deriváltjáak ics valós gyöke a D -, akkor F o g primitív függvéye f -ek, mert F g f g g g g g f ( o ) ( o ) o o ( ) Kijelethetjük tehát a következő tételeket: Tétel (Az első helyettesítés módszere) Ha a h : E és g : D (D és E em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek a következő tulajdoságokkal redelkezek: g deriválható D -, h -ak va primitív függvéye E - és H : E egy primitívje, akkor az f ( ho g) g : D függvéyek va primitív függvéye és egy primitív függvéye a H o g :D függvéy
25 Itegrálási módszerek Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok, akkor írhatjuk, hogy ( ) ( h g g d H g ) C Tétel (A második helyettesítés módszere) Ha az f : D és g : E D (D és E em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek a következő tulajdoságokkal redelkezek: g bijektív, deriválható és a derivált függvéyek ics valós gyöke D -, a h ( f o g) g : E függvéyek va primitív függvéye E - és H : E egy primitívje, akkor az f : D függvéyek va primitív függvéye és egy primitív függvéye a H o g :D függvéy Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok, akkor írhatjuk, hogy ( f d H g ) C Tulajdoképpe a helyettesítési módszerekél változót cserélük az itegrálba Azaz az első helyettesítési módszer eseté a g -et helyettesítjük egy t változóval, vagyis a t g helyettesítést végezzük Ha ezt deriváljuk szerit, kapjuk, hogy dt g, amit a dt g d alakba is írhatuk, tehát d Ihelyett f d h( g ( ) g d h () t dt t g t dt dt g d Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok és H a h egy primitívje, akkor: Ihelyett ( ( ) () () t g t g t dt dt g d ( ) f d h g g d h t dt H t C H g C A második helyettesítési módszer eseté az g() t változócserét végezzük, ekkor d deriválással kapjuk, hogy g () t, amit d g () t dt alakba is írhatuk, tehát dt f d IIhelyett f ( g() t ) g () t dt g() t d g () t dt Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok és H a h ( f o g) g egy primitívje, akkor ez folytatható: C C f d II helyett f ( g() t ) g () t dt H () t H g g() t g() t d g () t dt t g Megjegyzés Az előbbi egyelőségek (a szürke hátterűek) em helyesek, mert az egyik oldalo álló függvéycsalád tagjai em ugyaazok, mit a másik oldalo megjeleő függvéycsalád tagjai Eek elleére gyakra haszáljuk ezt a jelölést, mert az egyelőség fölött (vagy külö) megadott helyettesítés egyértelműe mutatja, hogy az egyik oldalo megjeleő függvéyeket milye függvéyel kell összetei, ahhoz, hogy megkapjuk a másik oldalo megjeleő függvéyeket
26 Itegrálási módszerek Megoldott gyakorlatok Határozzuk meg az f :, f ( 4) 00 függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f folytoos -e, tehát létezik primitív függvéye A t 4 helyettesítéssel dt d azaz d dt, tehát t 4 ( 4) d t dt C C Határozzuk meg az f :, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás A :, g függvéy deriválható, g ( ), g és a h :, h függvéyek, H :, H ( ) l egy primitív függvéye Az f függvéy felírható, mit f h( g ) g, tehát ( ) egy primitív függvéye a H o g :, ( H og ) l Egyszerűbbe: f d d dt lt l ( ) C C t t t> 0 t dt d Határozzuk meg az f : \{,}, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás Ha I \{, } itervallum, akkor eze az itervallumo C C d dt l t l t t t dt ( ) d Tehát az f egy tetszőleges primitív függvéye: l c, ha < F : \{,}, F l c, ha (,) l c, ha > álladók c,, 4 Határozzuk meg az f :(0, π), f Megoldás Az f a (0, π) - folytoos és alakú, ahol si függvéy primitív függvéyeit si si d d d dt si si cos t t cos (,) dt si d t cos cos l C l C l C l tg C t cos cos
27 Itegrálási módszerek A helyettesítést helyese alkalmaztuk, mert a co s függvéy deriválható és a h() t t függvéyek va primitívje a (,) itervallumo A következő átalakításokat is végezhettük vola: tg d d d dt l t si C tg tg t tg ( 0, ) t tg dt d tg 5 Határozzuk meg az f : l tg C l tg C, ( ) f ( ) függvéy primitív függvéyeit Megoldás A függvéy folytoos az értelmezési tartomáyo, tehát létezik primitív függvéye 6 5 Az t helyettesítéssel d 6t dt, tehát 6 ( ) ( t ) 5 t t ( ) d t dt dt t t dt t t 4 t 6 6 t 6 4 t C C t 6 Azért választottuk az t helyettesítést, mert 6 a és legkisebb közös többszöröse és így a és kifejezésekből eltűik a gyök 6 Határozzuk meg az f :, f ( ) függvéy primitív függvéyeit 4 Megoldás A függvéy folytoos az értelmezési tartomáyo, tehát létezik primitív függvéye A t, (t (0, ) ) helyettesítéssel dt ld, tehát d dt t l l l arcsi arcsi 4 t C C dt Ha em tudtuk vola, hogy arcsit C, akkor ezt kiszámolhattuk t vola a t siu, ( u π 0, ) helyettesítéssel, ahoa dt cosudu és t si u cosu (mert cosu > 0 a 0, π itervallumo) Tehát dt cosu arcsi du du u t si u t t cosu C C π u arcsit u 0,
28 4 Itegrálási módszerek Ezt megtehettük vola akár az eredeti itegrál eseté a s iu helyettesítéssel, ahoa l d cosu du, és 4 cosu Ie d u du arcsi 4 l l l C si u C u arcsi π u 0, 7 Határozzuk meg az f :, f függvéy primitív függvéyeit 9 4 Megoldás A függvéy folytoos -e, tehát létezik primitív függvéye Már az első fejezetbe megadtuk az ilye típusú függvéyek primitív függvéyeit (lásd alapitegrálok táblázata), most viszot ki is fogjuk számoli Eek érdekébe először f alakra hozzuk a függvéyt Amit az előző példába a si cos azoosságra alapoztuk, most a ch sh azaz ch sh azoosságra alapozva a sht (t ) helyettesítést végezzük Ebbe az esetbe d chtdt és sh t ch t cht (mert cht > 0, t ) Tehát az itegrál a következővé alakul: t ch d t dt cht C A sh : függvéy bijektív és iverze az ar sh :, arsh l( t t t t ) függvéy (Ez az e e e e 0 másodfokú egyelet megoldásából adódik) Tehát esetükbe t arsh l l( 9 4 ) l Így d l 9 4 C Határozzuk meg az f : \,, f függvéy primitív 4 9 függvéyeit Megoldás A függvéy folytoos az értelmezési tartomáyá, tehát létezik primitív függvéye Az első fejezetbe megadtuk az ilye típusú függvéyek primitív függ-
29 Itegrálási módszerek 5 véyeit is Most a primitív függvéy meghatározásához f alakra hozzuk a függvéyt A primitívet előbb a, itervallumo számoljuk ki A ch sh, azaz sh ch azoosságra alapozva a cht (t (0, ) ) helyettesítést végezzük Ebbe az esetbe d shtdt és ch t sh t sht (mert sht > 0, t > 0 ) Tehát az itegrál a következővé alakul: t sh d t dt sht C A ch : (0, ) (, ) függvéy bijektív és iverze az arch : (, ) (0, ), arch l( ) függvéy (Ez az t t t t e e e e 0 másodfokú egyelet megoldásából adódik, felhaszálva, hogy t > 0 ) Tehát esetükbe t arch l l( 4 9) l Így l d C 9 Határozzuk meg az f : \ π ( k ) k, f tg függ- véy primitív függvéyeit π Megoldás Ha I \ ( k ) k itervallum, akkor f folytoos I -, tehát létezik primitív függvéye tg dt tg d d l( t t ) t tg C tg t dt ( tg ) d ( ) l tg tg C
30 6 Itegrálási módszerek Egy tetszőleges primitív függvéye az f -ek π F : \ ( k ) k, F l( tg tg ) c, ha π ( ),( k ) k π k és c álladók k 4 arctg 0 Határozzuk meg az f :, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az tgt, π π t, helyettesítéssel d ( tg t) dt és arctg t, tehát 4 4 arctg t tg t 4 d ( tg t) dt t tg t dt tg t tg t t tg t ( tg t) dt t tg t dt t dt t ( tg t) dt t dt t tg t tg t t dt t ( tgt) dt t tg t t tg t( tg t) tgt dt dt t tgt tgtdt t tg t t tg t 4 l cos t t tg t C 6 arctg arctg l ( ) arctg C 6 Gyakorlatok Határozd meg, hogy milye halmazo létezik primitív függvéye az alábbi függvéyekek és számítsd ki a primitív függvéyt: f f e f 4 f e 5 f 6 f si cos 7 f 4 8 f ( ) 8 9 f 0 f 4 8
31 Itegrálási módszerek 7 5 f f ( l) l f 4 f l ( 6 ) l 5 f 6 f 4 7 f 8 f ( ) ( ) e 9 f 0 f e 6 6 si f f e cos 6 6 f cos 4 cos f 7 si 5 f si 6 f 7 f 8 f cos 9 f 0 f arcsi a si arccos l f f 9 arcsi tg f 4 f tg si arcsi 5 f 6 f cos si cos si 7 f 8 f 4 si cos cos e 9 f 40 f e si 4 f cos 4 f cos si 4 4 f 44 arctg f ( ) e 45 f f e
32 8 Itegrálási módszerek 47 f 49 f si 48 f 9 4cos si 9cos 4 si 9 4cos 50 ( ) f ( ) arctg 4( arctg) π Racioális törtfüggvéyek itegrálása Emlékeztetük, hogy racioális törtfüggvéy egy olya függvéy, amelyek számlálója és evezője is poliomfüggvéy Tehát egy racioális törtfüggvéy P R : D, R alakú, ahol P, Q [X] és Q( ) 0, D Q Az értelmezésből az is kiderül, hogy mide poliomfüggvéy racioális törtfüggvéy Már az eddigiekbe is találkoztuk éháy egyszerűbb racioális törtfüggvéyel A továbbiakba kiszámoljuk éháy ilye racioális törtfüggvéy határozatla itegrálját Példák Számítsd ki az R : I (I olya itervallum, amelye R értelmezett) határozatla itegrálját a következő esetekbe Megjegyzés Ha egy racioális törtfüggvéy értelmezett egy itervallumo, akkor folytoos is eze az itervallumo, tehát létezik primitív függvéye 4 R( ), I ( ) d C R, I \ 5 { } d dt l t l 5 5 t 5 C C t dt d R, I \ { } 4 d d d l C 9 4 R, I \{ } d 4 d 4 l C 5 R ( ), I \ { } d ( ) C
33 Itegrálási módszerek 9 6 ( ) R, \ { } I d d ( ) 7 7 ( ) 7 R, I \ ( ) { } d 4 d d d ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) C 8 R 5, I \{ } ( ) ( ) 5( ) 5 d 5 d ( ) ( ) d 5 4 d d ( ) ( ) 5 ( ) 5 4 ( ) ( ) 4( ) C 9 R 9, I \ { ± } d d l 9 6 C R, I \ ± 5 4 ( 5 ) d d l 5 5 C 5 R, I \{ ± } 4 ( 4) ( 4) 5 d d d l 4 d 4 5 l 4 l C 4 C C
34 40 Itegrálási módszerek R 4, I \{, } d d d 4 ( ) ( ) ( ) l d C R, { I \, } 6 d d ( ) d l d l l C 4 R 4, I d d dt 4 4 t t d dt arctgt C arctg C 5 R, I d d d t 4 4 dt t dt d 5 5 arctgt C arctg C R 9, I ( 9 ) d d l ( 9) 9 C 9
35 Itegrálási módszerek 4 7 R, I d d dt arctgt arctg( ) ( ) t C C t dt d 8 R, I d d ( ) 4 ( 4 8 ) ( ) d l 4 8 arctg C 9 R, I d d ( ) 0 R, I 4 l 6 0 5arctg C 4 d d d ( 4) ( 4) ( 4) ( 4 ) 4 6 d 4 4 ( ) d Látható, hogy a evező kitevője őtt Próbáljuk meg parciálisa itegráli az 4 törtet: d d d Tehát d arctg d d ( 4 ) 84 ( ) 8 C 4 8 ( ) 6 R, I d
36 4 Itegrálási módszerek d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d Az d kiszámításához parciálisa itegráljuk az -et: ( ) d 4 d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) 4 d d d ( ) ( ) ( ) 4 d d ( ) ( ) ( ) ( ) Tehát d d ( ) ( ) 6( ) ( ) Eek kiszámításához parciálisa itegráljuk az -et: d d d d d d Tehát d d Így d d 4 arctg C d
37 Itegrálási módszerek 4 d ( ) ( ) 6( ) 4 arctg C 4 arctg C 6( ) Tehát 4 arctg d ( ) ( ) C Láthattátok az előbbiekbe, hogy egyes racioális törtfüggvéyek határozatla itegrálját direkt úto is ki tudjuk számoli (egy egyszerű helyettesítéssel vagy egy rekurziós összefüggés felírásával), más esetekbe fel kell botai több racioális törtfüggvéy összegére Értelmezés Egy racioális R : I (I itervallum) törtfüggvéyt elemi törtfüggvéyek evezük, ha a következő alakok valamelyikébe írhatók fel: R( ) a a a a, a, i 0,,, I i 0 A b R, Aab,,, a 0,, I \ ( a b) a A B R, ABabc,,,,, a 0, b 4ac < 0,, a b c { } I Ezek határozatla itegráljai a következők: a a a ( a a a a 0 ) d a C 0 A A Ha, akkor d l a b C a b a Ha >, akkor b A A b A a d d ( a b) a a C a A C a( )( a b) Tehát A A d C ( a b) a( )( a b)
38 44 Itegrálási módszerek A B A a b ( d ) ( d C d a b c a a b c) ( a, b c) Ab ahol C B a a b ( a b c) d d ( a b c) C ( a b c) ( )( a b c) Az I ( a b c) d itegrálra pedig > esetbe rekurziós összefüggést írhatuk fel az I d parciális itegrálásával a b c Ha, akkor a b I d d arctg a b c a C, b a a ahol b 4ac < 0, tehát > 0 Ha >, akkor I d d ( a b c) ( a b c) a b ( ) d a b c a b c a b c b c d ( a b c) ( a b c) ( a b c ) b a b I d I a b c a a b c a b I I a b c a a b c a a b I I aa b c a a b a ( ) Tehát I I ( )( 4ac b )( a b c) ( )( 4ac b ) Sajátos esetbe, ha I d, akkor ( a ) I I a a a
39 Itegrálási módszerek 45 Az előbbi példák között volt olya is, amely em elemi törtfüggvéy volt Ezekbe az esetekbe felbotottuk elemi törtfüggvéyek összegére Felvetődik a kérdés, hogy tetszőleges racioális törtfüggvéy felbotható-e elemi törtfüggvéyek összegére? Erre ad választ a következő tétel, amit most em bizoyítuk, haem példákkal illusztráljuk Tétel (Elemi törtekre botás) P Ha R : I, R Q k l i ( a b i i) ( c j j j) Q d e d 4ce < 0, j j j alakba: i j R egy racioális törtfüggvéy, mj PQ, [ X], ahol a, b, c, d, e, a, c 0 és i i j j j i, k, j, l, akkor R egyértelműe felírható a következő C A A A a b a b ( a b) A A A a b a b ( a b) A A A k k k k a b a b a b k k k k k k B C B C B C c d e c d e m m m ( c d e) ( ) B C B C B C c d e c d e m m ( c d e) B C B C B C l l l l lm lm l l, m l c d e c d e c d e k l l l l l l l l l k m i A l i B C ij ij ij Rövidebbe R C j i j a b i j c d e i m j i i i i i j I ahol C [ X] (a P poliom Q poliommal való osztási háyadosa) és A, B, C meghatározhatók az egyelő együtthatók módszerével ij ij ij és, I, Példák Botsuk elemi törtfüggvéyekre az R : I (I olya itervallum, amelye R értelmezett) racioális törtfüggvéyt és számítsuk ki a határozatla itegrálját a következő esetekbe:
40 46 Itegrálási módszerek R, I \ { 0, ± } R ( )( ) A B C ( )( ) ( )( ) () A ( )( ) B( ) C( ), I ( A B C) ( B C) A, I Tehát együtthatója: A B C 0 együtthatója: B C 0 0 együtthatója: A Így B C, tehát ( )( ), következik, hogy d l l C l C Ilye esetbe, ha a evezőek csak egyszeres valós gyökei vaak úgy is eljárhatuk, hogy az () összefüggésbe behelyettesítjük a gyököket (Ha két poliomfüggvéy egyelő egy itervallum mide potjába, akkor egyelők -e) 0 eseté A eseté B eseté C Látható, hogy így rövidebb úto jutottuk ugyaazokhoz az értékekhez R, I \ {, } ( )( ) ( ) 9 R Tehát 7 9 d l d ( )( ) A B ( )( ) ( )( ) A ( ) B ( ), I -et helyettesítve A és -t helyettesítve kapjuk, hogy B, tehát ( )( ) Így 7 9 C d l l
41 Itegrálási módszerek 47 R, I A evező irreducibilis téyezőkre botása a következő: Tehát az R elemi törtfüggvéyekre botása A B C D E alakú 5 Ie 4 A B C D E 0 helyettesítéssel kapjuk, hogy A Itt is helyettesítheték továbbra az és komple gyökeit, de az boyolultabb számolásokhoz vezete, ezért elvégezzük a jobboldalo a műveleteket: 4 B D B C D E ( ) B C D E C E B D ( D B) C E Tehát meg kell oldauk az egyeletredszert, ahoa B D ( E C) 0 C E 0 B, C, D, E ( ) ( ) Tehát 5 4 4, ie d d d d d 4 l l( ) l( ) d d 4 5 l l l( ) l( ) 8 8 arctg arctg 4 C
42 48 Itegrálási módszerek l l( ) l( ) 8 8 arctg C 4 l l( ) l( ) 8 8 arctg 4 C R, I 6 4 A evező irreducibilis téyezőkre botása: ( ) ( ) Tehát az R elemi törtfüggvéyekre botása A B C D E F 6 4 alakú ( ) Ie A B C D E F Mivel itt a gyökök 0, ± i, megpróbáluk ezek behelyettesítésével éháy együtthatót kifejezi: 0 eseté B és i eseté ie F E 0 és F Ezeket behelyettesítve a () összefüggésbe, kapjuk: ( ) 5 4 A C D : A C D 0 A i i C id ( 4 8 ) d l( 4 8) arctg C és D Tehát ( ) Az itegrál pedig: d l arctg 6 4 d
43 Itegrálási módszerek 49 Az d az parciális itegrálásával kapjuk meg: d d d ( ) d d arctg d d ( ) ( ) C ( ) Tehát arctg d l 6 4 Gyakorlatok C Határozzuk meg a következő racioális törtfüggvéyek határozatla itegrálját egy olya itervallumo, ahol a evezőek ics gyöke: R 9 R R 4 R 6 5 R R R 8 R ( ) 9 R 0 R ( ) ( )( )( ) R R R 4 R 4 0 ( ) 5 5 R 6 R ( )( ) 4 ( ) 7 R R 4
44 50 Itegrálási módszerek 4 Irracioális függvéyek itegrálása Már az eddigiekbe is találkoztatok olya függvéyek itegrálásával, amelyek tartalmazak gyököket is Ebbe a paragrafusba megpróbáluk betekitést yújtai külöböző gyökös kifejezéseket tartalmazó függvéyek itegrálási módszereibe Példák A következő irracioális függvéyek eseté meghatározzuk a határozatla itegrált (vagy visszavezetjük más függvéyek itegráljára) olya itervallumo, ahol létezik primitív függvéye: f : I, I, 5, f ( ) 5 t tdt A t 5 0 helyettesítéssel és d, tehát látható, hogy 5 5 racioális törtfüggvéyt kapuk: 5 4 t t 5 d ( t ) t dt ( t t ) dt 5 5 C t 5 t ( 5 ) 0 ( 5 ) C C f : I, I,, 6 4 f ( ) ( 6 4) A ( t )( t t ) Tehát 6 4 t 4 t 4t d dt t 6 4 dt ( 6 4) t t 4t t 4 6 tdt d t 4t ( t )( t t ) törtet elemi törtekre botjuk: ( t )( t t ) dt 4t A Bt C t t t 4t ( A B) t ( B C A) t A C A B 0, B C A 4, A C A, B, C 4t t t t t t t t 6 4 t t 5 d dt l ( t ) ( 6 4) ( t t ) ( ) t l t l t t 0 t arctg 9 C
45 Itegrálási módszerek 5 ( ( ) ) 6 4 l 6 4 l arctg 9 C 4t d racio- f : I, I (,) (, ), f Itt is a t helyettesítés t t t és ális törtfüggvéyhez vezet: 4t d dt t ( t ) Ez utóbbi törtet elemi törtekre kell botai Viszot mielőtt ezt a klasszikus módo elkezdeék, próbáljuk meg egyszerűsítei Észrevesszük, hogy 4t t t ( t ) t t t 4 ( t ) ( t ) ( t ) t ( t ) t ( t ) Tehát l t l t d C t C t t t t t l C l ( )( ) ( )( ) C 4 f : I, I \[,], f ( t ) t 6t d dt t ( t ) ( t ) t 6t dt d t ( t ) A racioális törtfüggvéy itegrálását rátok bízzuk 5 f : I, I (,), f 4
46 5 Itegrálási módszerek A evezőbe a gyökjel alatt 4 szerepel Mivel (, ), létezik potosa egy t π π, úgy, hogy si t legye ( vagy t ( 0, π), cos t ) Ez a helyettesítés vola célszerű a cos t si t azoosságra alapozva Ekkor sit és d cost dt, tehát 6 si tcost d dt 8 si tdt 4 cost Egy másik godolatmeet lehetett vola az is, hogy a 4 -et egy olya függvéyel helyettesítsük, hogy a égyzetre emelés utá a szabadtag vagy a másodfokú téyező kiesse (azért, hogy a változócsere elsőfokú legye) vagy hogy egyszerűsíthessük Mivel itt az együtthatója egatív ezért célszerű úgy helyettesítei, hogy a szabad- tag esse ki Ez pedig megtörtéik a 4 t helyettesítéssel, ahoa 4 t 4t 4t 4 ( t ) 4t, tehát, ami racioális t törtfüggvéyhez vezet Mivel 4 ( )( ), próbálkozhatuk a 4 t( ) vagy a 4 t( ) helyettesítéssel is Az első esetbe kapjuk, hogy 4 ( ) t t, ahoa t ( ), ie Látható, hogy racio- t ális törtfüggvéyhez vezet Hasolóa járuk el a második helyettesítésél is Az olya helyettesítéseket mit az utóbbi kettő, Euler-féle helyettesítések evezzük 6 f : I, I, f Ezt az itegrált is többféleképpe ki fogjuk számoli: Ami a legszembetűőbb, hogy az t helyettesítésél megjeleik a derivált szorzótéyezőkét, ekkor dt d t Tehát d tdt C C A ch sh azoosság azt sugallja, hogy érdemes az sht helyettesítést végezi Ekkor d chtdt ch t Tehát d sht sh t cht dt ch tshtdt C Az Euler helyettesítés haszálható ( ) C t vagy t alakba
47 Itegrálási módszerek 5 7 f : I, I, f ( 4 9 ) Az előbbi feladat alapjá itt a következő helyettesítések valamelyike ajálott: sht 4 9 t vagy 4 9 t 5 8 f : I, I \[,], f ( módszer) Itt is észrevehető, hogy az t helyettesítéssel a számlálóba megjeleik a derivált Ekkor dt d, tehát 5 5dt d 5 t 5 C C t Egy másik helyettesítés a sh ch azoosságra alapul: cht, d sht dt, tehát 5 5chtsht d dt 5chtdt 5sht C 5 C ch t Itt is lehet alkalmazi az Euler helyettesítést is: t( ), t( ) vagy t f : I, I \,, f A következő helyettesítések ajálottak: 4 cht, 6 5 t 4, 6 5 t( 4 5), 5 0 f : I, I \(,4), 6 5 t( 4 5) f 4 5 A gyök alatti kifejezés -re alakítható és ekkor lehet az helyettesítést végezi Itt az Euler helyettesítések a következők: 4 t cht 5, 4 t( ), 4 t( 4) f : I, I, f 4 5 A gyök alatti kifejezés ( ) -re alakítható és ekkor lehet az sht helyettesítést végezi Itt az Euler helyettesítések a következők: 4 5 t, 4 5 t 5
48 54 Itegrálási módszerek f : I,, I f 5 ( ) Szabaduli kellee a sok kitevőtől, gyöktől Ezért először végezzük a t helyet- t tesítést Így t, ahoa d dt Tehát 5 5 ( ) ( ) d t t t dt t t dt Ebbe az itegrálba, hogy az t kitevője is legye egész az t u helyettesítést hajtjuk végre Így dt u du, tehát amit már egyszerű kiszámoli f : I,, f I ( ) ( ) 5 d u u Az előző feladathoz hasolóa járuk el: 4 t 4 4 du, 4 t d t ( t) t dt t ( t) dt d 4 t dt Tehát 4 Ie pedig az t u helyettesítéssel folytatjuk 4 f : I,, f ( 4 ) I 4 4 Először a t helyettesítést végezzük Ebbe az esetbe t és d 4t dt, 4 ie 4 ( ) d 4 t ( t ) t dt 4 t ( t) dt Ezt már ki lehete számoli, elvégezék a műveleteket, de ézzük meg mi törtéik, ha a t kitevőjéből el akarjuk tüteti a evezőt Helyettesítsük a következő módo: t u dt u du 4 Tehát ( ) d u 5 ( u ) du, ez pedig egy poliomfüggvéy 5 f : I,, f ( ) I t A t helyettesítéssel t és d dt, így ( ) d t6( t) t dt t ( t) dt Az utolsó itegrálba egyik kitevő sem egész, viszot az összegük az Emeljük ki a zárójelből t -t: t t t t ez pedig olya típusú, mit a példa ( ) d t t dt dt,
49 Itegrálási módszerek 55 Az előbbiekbe láttuk éháy példát irracioális függvéyek itegrálására, a továbbiakba összefoglaljuk általáosa is: Az R (, a bd ), \{} alakú itegrál R (, a b) az és az a b racioális törtfüggvéyét jelöli Az és pél- t b dáál találkoztuk ilye itegrállal A t a b helyettesítéssel és a t d, tehát az itegrál racioális törtfüggvéy itegráljává alakítható a Az R, a b d c d, \{} alakú itegrál A és 4 példáál találkoztuk ilye itegrállal A a t b helyettesítéssel c d dt b, tehát az itegrál racioális törtfüggvéy itegráljává alakítható a ct ) Az R (, a dalakú itegrál Nyilvávaló, hogy az értelmezési tartomáy I [ a, a] Az 5 példáál találkoztuk ilye itegrállal Itt több helyettesítés is szóba jöhet A cos si azoosságra alapozva célszerű az sit vagy cost a a, azaz asit vagy a cost helyettesítés Ekkor a acost vagy a asit (a megfelelő itervallumo) Egy másik helyettesítés, amit itt haszáltuk az Euler helyettesítés, amelyek célja, hogy égyzetre emelés utá egyszerűsödjö a kifejezés: a a( t ) a t( a ) t, a t a a( t) a t( a) t, a t a a t t a at t Midhárom eset racioális törtfüggvéyhez vezet ) 4 Az R (, a dalakú itegrál Az itt alkalmazható helyettesítések: a sht (a ch sh azoosságra alapozva) valamit az Euler helyettesítések: a a t ) alakú itegrál 5 Az R (, a d a t vagy
50 56 Itegrálási módszerek Az értelmezési tartomáy I \[ a, a] Az itt alkalmazható helyettesítések: (a ch sh azoosságra alapozva) valamit az Euler helyet- a t( a ), a t( a) vagy a t acht tesítések: ) alakú itegrál 6 Az R (, a b cd Itt több esetet külöböztetük meg: Ha > 0, akkor a gyök alatti kifejezés b a b c a a a b alakba írható Itt ha a > 0 az a cht helyettesítéssel eltütetjük a gyököt ha a pedig a < 0, akkor b b c a a a b b sit vagy cost helyettesítésekkel tűik el a gyök a a a a Ha < 0, (ebbe az esetbe a > 0, mert másképp em léteze a gyök) akkor b a b c a a a b és a megfelelő helyettesítés: sht a a 0 esetet em tárgyaljuk, mert akkor em irracioális a kifejezés Az ilye típusú itegrálra alkalmazható az Euler helyettesítés is: Ha a > 0, akkor függetleül a előjelétől a a b c t a helyettesítéssel racioális törtfüggvéy itegrálására vezetjük vissza Valóba, ekkor a b c t a a b c t a t c b a Ha c > 0, akkor függetleül a előjelétől a a b c t c helyettesítéssel racioális törtfüggvéy itegrálására vezetjük vissza Valóba, ekkor a b c t c c a b t c b c t a Ha > 0, akkor létezek az valós gyökök, így, ( a b c a )
II. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
Részletesebben194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenI. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL
A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenAZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I
BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenKITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA
Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Legye A egy véges halmaz, amelyre A. Határozd meg az A elemeiek számát úgy, hogy létezze f : A A P(A) bijektiv függvéy.
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
RészletesebbenB1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke
B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
Részletesebben2.2. Indukció a geometriában
.. Idukció a geometriába... Számítási feladatok... Feladat. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt, oldalú szabályos sokszög oldalhosszát! Megoldás eseté a oldalú szabályos sokszög a égyzet; az R sugarú
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
Részletesebben