SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

Átírás

1 SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! ) k ) ) ) I. Megoldások ) S, S 5 ) S, S ) 5 5 S, S ) 5 5 S, S II. Határozza meg az alábbi umerikus sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét a parciális törtekre botás módszerével! ) ) ) ) ) 6) 7)

2 II. Megoldások ) S, S ) S, S ) S, S 4 4) S, 4 S ) S, S ) S, S ) S, S 4 4 III. Határozza meg az alábbi umerikus sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! ) ) ) 4) l 5) l III. Megoldások ) S, S ) S, S 8 8 ) S, S 4) S l, S l 5) S l, S l

3 IV. A kovergecia szükséges feltételére törtéő hivatkozással igazolja, hogy az alábbi sorok divergesek! 4 ) ) ) 4 IV. Megoldás: Nem teljesül a lim a 0 szükséges feltétel. V. Az összehasolító kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! 4 ) ) ) 4) l l 5) 6) 7) 8) 9) 0) l 5 5 ) ) ) 4) 5) 5 V. Megoldások ) Koverges ) Koverges ) Koverges 4) Diverges 5) Diverges 6) Diverges 7) Koverges 8) Diverges 9) Koverges 0) Diverges ) Koverges ) Diverges ) Diverges 4) Diverges 5) Koverges VI. A gyök kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! a ) ) ) 6 5 4) 5) 6) ) 8) 9) 0) ) ) l VI. Megoldások ) Koverges ha 0 < a < és diverges ha a ) Koverges ) Diverges 4) Koverges 5) Koverges 6) Koverges 7) Koverges 8) Koverges 9) Koverges 0) koverges ) Koverges ) Diverges

4 VII. A háyados kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! a! a e a !! l ) ), 0 )!! ) 5) 6) 4! 7) 8) 9)! 0) ) ) l! VII. Megoldások ) Koverges ) Koverges ha a < e és diverges ha a > e a = e eseté a kritérium em alkalmazható. ) Koverges 4) Diverges 5) Diverges 6) Diverges 7) Koverges 8) Koverges 9) Diverges 0) Koverges ) Koverges ) Koverges VIII. Az itegrál kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! l ) ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) e e l l VIII. Megoldások ) Diverges ) Diverges ) Koverges 4) Koverges 5) Koverges 6) Koverges 7) Diverges 8) Koverges IX. Külöböző kovergecia kritériumok felhaszálásával vizsgálja meg az alábbi pozitív tagú sorok kovergeciáját.!! ) ) ) 4)!! 5) 6) 7) l 8) l 9) 0) ) ) ) ) 5)

5 IX. Megoldások ) Diverges (háyados krit.) ) Koverges (háyados krit.) ) Koverges (háyados krit.) 4) Diverges (gyök krit) 5) Koverges (gyök krit.) 6) Koverges (gyök krit.) 7) Diverges (S felírása zárt alakba, és határérték számítás) 8) Koverges (S felírása zárt alakba, és határérték számítás) 9) Diverges (összehasolító krit.) 0) Koverges (összehasolító krit.) ) Koverges (összehasolító krit.) ) Koverges (összehasolító vagy itegrál krit.) ) Diverges (összehasolító krit.) 4) Koverges (összehasolító vagy itegrál krit.) 5) Koverges (háyados krit.) X. Igazolja, hogy az alábbi váltakozó előjelű sorok abszolút kovergesek! l! l ) ) ) XI. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok kovergeciáját! l cos ) ) ) 4) 4 XI. Megoldások ) Koverges ) Koverges ) Koverges 4) Koverges XII. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok kovergeciáját és abszolút kovergeciáját! l ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) l l l l XII. Megoldások ) Feltételese koverges ) Feltételese koverges ) Feltételese koverges 4) Feltételese koverges 5) Abszolút koverges 6) Abszolút koverges 7) Feltételese koverges 8) Feltételese koverges

6 XIII. Mutassa meg, hogy a következő váltakozó előjelű sorok esetébe em alkalmazható a Leibizféle kritérium, és vizsgálja meg a sorok kovergeciáját. )... ak, ak 4 4 k k )... 5 ak, a k k k )... a k, ak k 5 k 4)... ak, ak k 4k XIII. Megoldások ) Diverges ) Abszolút koverges ) Diverges 4) Feltételese koverges

7 . Függvéysorok, hatváysorok, Taylor-sorok XIV. A Weierstrass-kritérium segítségével bizoyítsa be, hogy a következő függvéysorok egyeletese kovergesek a megadott halmazo. ),, ), 0, ) cos,, e 4 4),, 5),, 6), 0, XV. Határozza meg a következő hatváysorok kovergecia sugarát! ) ) ) l 4) 5)! 6)! 5! k! 7) 8) 9)!!!... k! 0) e e... e XV. Megoldások ) R = ) R = 4 ) R = e 4) R = 5) R = e 6) R = 7) R = 5 8) R = 4 9) R = 0) R = k k XVI. A következő hatváysorok esetébe határozza meg a kovergecia halmazt, vizsgálja meg a hogy a kovergecia itervallum végpotjaiba a hatváysorsor koverges-e illetve abszolút koverges-e! ) ) ) 5 4) 5) 6) XVI. Megoldások ) R =, KH = [0, ] A sor midkét végpotba abszolút koverges 7 ) R,, KH A sor midkét végpotba diverges. ) R =, KH = ], ] A sor a bal oldali végpotba diverges, a jobb oldaliba feltételese koverges

8 4) R =, KH = [, 4[ A sor a jobb oldali végpotba diverges, a bal oldaliba feltételese koverges 5) R, KH, A sor a bal oldali végpotba feltételese koverges, a jobb oldali végpotba diverges. 6) R = e, KH = ] e, e[ A sor midkét végpotba diverges XVII. Nevezetes Taylor-sorok felhaszálásával határozza meg az alábbi függvéyek 0 pot körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor kovergecia sugarát! ) f ) f ) f e e 4) f e 5) f l 4 6) f 7) f arctg XVII. Megoldások!! ), R ), R!! 0 0 ), R 4), R!! 4!! !! ) l 4, R 6), R 7), R jelölés : 4 XVIII. A parciális törtekre botás módszerét alkalmazva határozza meg az alábbi függvéyek 0 pot körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor kovergecia sugarát! ) 54 5 f ) f ) f 5 6 4) f 5) f 6) f XVIII. Megoldások 7 ), R ), R 4 0 ), R 4), R ), R 6), R

9 XIX. Határozza meg az alábbi itegrálfüggvéyek 0 pot körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor kovergecia sugarát! t ch arctgt ) t sh tdt ) dt ) dt t t t t 4) dt 5) dt 6) l dt t t 0 t XIX. Megoldások 4 ), R ), R!! 0!! 4!! ), R 4), R 4 0!! 5...!! 4 5), R jelölés :!!! ) 0l 5l l, R 0 XX. Határozza meg az alábbi lieáris differeciálegyeletekre voatkozó kezdeti érték problémák megoldását hatváysor alakjába, majd a sor összegzésével adja meg a megoldásfüggvéyt! ) y y 0, y 0 y y ) 0, 0 0 ) y y 0 y 0 0, y 0 y y y y y y y y y 4) 0, 0 0, 0 5) 5 4 0, 0, 0 0 XX. Megoldások 0 0!!! ) y e ) y arctg! ) y si 4) y arcsi 0 0 0! 5) y!

10 XXI. A hatváysorok deriválására és itegrálására voatkozó tétel segítségével illetve evezetes Taylor-sorokra törtéő visszavezetéssel összegezze az alábbi függvéysorokat! l l ) ) )!! ) 5) 6) 7) 8) 9)! 0)! XXI. Megoldások ) S, 0 ) S, 0 ) S l, 4) S, 5) S, arctg 6) S, 7) S, 8) S, 9) S e, R 0) S e, R 4 XXII. Egy alkalmas Taylor-sorra törtéő visszavezetéssel határozza meg az alábbi umerikus sorok összegét! ) ) ) 4)!!! )... 6) XXII. Megoldások: ) S e ) S e ) S cos si 4) S 5) S 6) S XXIII. Egy alkalmas Taylor-sor felhaszálásával határozza meg a következő függvéyértékeket közelítőleg 0 4 potossággal! ) cos ) si0 ) 0 4) l, XXIII. Megoldások: ) 0,9998 ) 0,76 ) 5,0658 4) 0,8

11 XXIV. Az alábbi feladatokba alkalmazza a megfelelő Taylor-sort közelítő értékek meghatározására! ) Határozza meg közelítő értékét három tizedes potossággal az f arcsi függvéy 0 = 0 6 pot körüli Taylor-soráak felhaszálásával. ) Háy tagot kell figyelembe vei az f cos függvéy Taylor-sorából, hogy a cos8 függvéyértéket három tizedes potossággal kapjuk? ) Háy tagot kell figyelembe vei az f si függvéy Taylor-sorából, hogy a si5 függvéyértéket égy tizedes potossággal kapjuk? 4) Háy tagot kell figyelembe vei az f e epoeciális függvéy Taylor-sorából, hogy az e Euler-féle álladó értékét égy tizedes potossággal kapjuk? 5) Háy tagot kell figyelembe vei az f l függvéyértéket kettő illetve három tizedes potossággal kapjuk? függvéy Taylor-sorából, hogy az l 6) Számítsa ki 7 közelítő értékét két tizedes potossággal az f 8 függvéy 0-körüli Taylorsoráak felhaszálásával. 7) Mutassa meg Taylor-sorfejtés alkalmazásával a eek felhaszálásával adja meg a a közelítő formula helyességét, majd a közelítő értékét és számítso hibát! 8) Számítsa ki 4 9 közelítő értékét három tizedes potossággal! XXIV. Megoldások ) 5 0, ) Elég két tagot figyelembe vei 8 helyettesítésével 0 ) Elég két tagot figyelembe vei 5 helyettesítésével 4) Nyolc tagot kell figyelembe vei: 7 e! 5) Redre 99 db illetve 999 db tagot kell figyelembe vei az előírt potossághoz. 6),9 7) 4,8 a hiba: R 0,005 8),087

12 XXV. Az itegradus 0-körüli sorfejtésével számítsa ki az alábbi függvéyek f d határozott itegrálját 0 potossággal! sh ) f cos ) f ) f 4 XXV. Megoldások: ) 0,905 ),057 ) 0,97 0 XXVI. Számítsa ki a következő határozott itegrálok értékét 0 potossággal! 0 e arctg l arcsi ) d ) d ) d 4) d XXVI. Megoldások: ),057 ) 0,488 ) 0,84 4) 0,507

13 . Fourier-sorok XXVII. Fejtse trigoometrikus Fourier-sorba az alábbi periodikus függvéyeket! A megadott itervallum mide esetbe a függvéy egy periódusa. a, 0 ) f ) f a, 0 A, 0 l, 0 ) f 4) f A /, l a 0, l itervallumo, 0 0 l l b, 0 5) f 6) f a, 0 a 7) f sg 8) f 9) f 0) f e ( a 0) ) f e ) f si a ( a Z) ) f si 4) f cos XXVII. Megoldások 4a si si ) f ) f 0 5 cos si ) f 5 4 A A 4 cos 4) f si 5) f l cos ba si 6) f b a a b 4 7) f si 8) f 4 cos 9) f si 0) f sh a a cos si a a e si a e 4 ) f cos ) f 4 si a cos 6 ) f cos 4) f si 4

14 XXVIII. Fejtse komple Fourier-sorba az alábbi periodikus függvéyeket! A megadott itervallum mide esetbe a függvéy egy periódusa. ), 0 f ) f e, 0 ) cos, 0, 0 f 4) f 0, 0, 5) L, 0 f L, 0 6) f ch( ) 0, 7), 0 T f 0, T 8) f si 0, XXVIII. Megoldások i i e sh i ) f ) f e i 0 0 i i L i i i e ) f e 4) f e i 4 i e sh 5) f e 6) c i 7) it i e f T e 0 i i i i i e e e e 8) c 0 ha c, c azaz f i i i