1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

Átírás

1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000 Alkalmazva a háyados kritériumot ("egszer½usített változatát"): a ! a! ( + )!! ! + 0 < : Azaz a sor koverges. c) X a!!! e 6 0; em teljesül a kovergecia szükséges feltétele, azaz a sor diverges. d) X Az f() p függvéy teljesíti az itegrálkritrérium feltételeit f() > 0 és mooto csökke½o -t½ol), így alkalmazva azt adódik, hogy! Z Z p d! p p p " p d! #

2 A sor diverges. e) X (!) ()! Alkalmazva a háyados kritériumot ("egyszer½usített változatát"): a +! a! (( + )!) ()! ( + )! ( + )! (!)! ( + ) ( + )! Azaz a sor koverges. f) X + Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát): Azaz a sor koverges. g) p p a!! + < : X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. h) p a!! p X l < : Az f() függvéy teljesíti az itegrálkritrérium feltételeit (f() > 0 és l mooto csökke½o -t½ol), így alkalmazva azt adódik, hogy < : Z Z d l! d l [l jl! j] (l l l l )!

3 A sor diverges. i) X a +!! e 6 0; e em teljesül a kovergecia szükséges feltétele, azaz a sor diverges. j) és tetsz½oleges N eseté ja j X ( ) + + 0! + > ja +j ezért a Leibiz-kritérium alapjá a sor koverges. k) X 0 ( + ) + ( + ) ; Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. l) p a!! p 0 X + < : Az f() függvéy teljesíti az itegrálkritrérium feltételeit (f() > 0 és + mooto csökke½o -t½ol), így alkalmazva azt adódik, hogy Z 4 arctg! + d Z! p p 5 p! d p + p arctg arctg p p 6

4 Az improprius itegrál koverges, így a sor is koverges. P m) a ( ) + p a ( ) +!! p em létezik, azaz em teljesül a kovergecia! a 0 szükséges feltétele, a sor diverges. ) A cos értéke X cos vagy lehet, így a sor felülr½ol becsülhet½o (majorálható) a X X geometriai sorral, amely koverges (q ). a majorás sor koverges, így az eredeti (pozitív tagú) sor is koverges. o) a X ( ) p a ( ) p!! em létezik, azaz em teljesül a kovergecia! a 0 szükséges feltétele, a sor diverges. p) 0 si X si, így a sor felülr½ol becsülhet½o (majorálható) a sorral, amely koverges. (Az itegrálkritériummal: d ) X! h i d!! + a majorás sor koverges, így az eredeti (pozitív tagú) sor is koverges. 4

5 . Vizsgálja meg az alábbi váltakozó el½ojel½u sorokat feltételes illetve abszolút kovergecia szempotjából! a) X ( ) + Az. j) feladatba láttuk, hogy a sor koverges. A X ( ) + X + sorra alkalmazható az az itegrálkritrérium: Z Z d +! d + l! + l! + l l P A P ja j sor is koverges, így a a sor abszolút koverges. b) X ( ) + p Az ) m-be láttuk, hogy a sor diverges. c) és tetsz½oleges N eseté X ( ) p p 0! ja j p > ja +j q( + ) ; ezért a Leibiz-kritérium alapjá a sor koverges. A X ( ) p X p sorra alkalmazható az az itegrálkritrérium: 5

6 Z Z p d d p!! p +! P A P ja j sor is koverges, így a a sor abszolút koverges. d) X ( ) [ + ] + ( ) [ + ] ( ) [+ ] ( ) ; ha páratla ; ha páros a sor alteráló, így alkalmazható a Leibiz-kritérium: + 0! és tetsz½oleges N eseté bizoyítható (a hatváyozás elvégzésével és közös evez½ore hozva a két törtet), hogy ja j + > ja +j ezért a Leibiz-kritérium alapjá a sor koverges. A ( + ) ( + ) + ; X + ( )[ ] + X + sorra alkalmazható az az itegrálkritrérium: Z + d Z! + d l +! l! + l P A P ja j sor diverges, így a a sor feltételese koverges.. Számítsa ki az alábbi koverges sorok összegét! a) X ( + ) 6

7 A résztörtekre botás módszerét felhaszálva adódik tetsz½oleges N eseté, hogy ( + ) + : Azaz X ( + ) + + : : : : : : ) A sor :részletösszege Azaz a sor összege b) S S S!! + X Felhaszálva a geometriai sorra, valamit koverges sorok összegére voatkozó tulajdoságokat: X X + X c) X Felhaszálva a geometriai sorra, valamit koverges sorok külöbségére voatkozó tulajdoságokat: X X X d) X

8 X X ( ) ( 4) X : : : ) A sor :részletösszege S Azaz a sor összege S S +!! e) : : : X ) A sor :részletösszege Azaz a sor összege ( ) ( + ) X + S S S!! : : : : : : + f) X ( + ) ( + + ) X 0 0 ) A sor :részletösszege Azaz a sor összege + S S S!! : : : + + +: : : 8

9 4. Adja meg a 0; ::: végtele szakaszos tizedes törtet két egész szám háyadosakét! 0; ::: : : : : : : + Azaz a következ½o geometriai sor összegekét írható fel az adott végtele szakaszos tizedes tört: 0; ::: 45 X