Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21."

Virág Magyar
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X a Milye a számra igaz, hogy T X at 1 X torzítatla becslése b-ek? 10 b Igaz-e, hogy 1T 3 1 X + T 3 X torzítatla becslése b-ek? 4 c T 1 X és T X közül melyikek kisebb a szórása? 4 Expoeciális eloszlásból származó mita eseté igaz-e, hogy a mitaátlag kozisztes becslése a paraméter reciprokáak? 8 3 a p paraméterű geometriai eloszlású mitából adjuk torzítatla becslést a paraméterre! 8 b Az alábbi mita geometriai eloszlásból származik:, 1,, 7, 3, 3, 6,, 1, 1, 3, 1, 6 Meyi az a feladatba adott becslés értéke a mitá? gyerek magasságát mérjük meg cetiméterbe Feltételezzük, hogy midegyikük magassága egymástól függetle, N 130, 5 eloszlású valószíűségi változó Jelölje X a mért magasságok átlagát a Milye eloszlású X? 8 b Meyi P X < 15? 4 1 a Tudjuk, hogy függetle, elemű Z mitából E Z = EZ 1 ; D Z = D Z 1 Ezt = 100-ra és = 00-ra alkalmazva, továbbá felhaszálva, hogy X 1 eloszlása b paraméterű Poisso-eloszlás, azt kapjuk, hogy E b T 1 = EX 1 = b; E b T = EX 1 = b; D b T 1 = EX = b 100 ; D b T = EX 1 00 = b 00 Az utóbbi két összefüggésből a szóráségyzet defiícióját felhaszálva adódik, hogy E b T = D T + E b T = b b Tehát a megadott becslés várható értéke: E b T at1 = b b ab = b 1 + b 100 a A becslés akkor torzítatle becslése b-ek, ha várható értéke mide b-re b-vel egyezik meg Látható, hogy ez egyetle a-ra sem teljesül az összes b-vel egyszerre, tehát ics a feladat feltételeiek megfelelő a szám b Az a feladat eredméyeit és a várható érték tulajdoságait felhaszálva: 1 E b 3 T T = 1 3 E b T E b T = 1 3 b + 3 b = b teljesül mide b > 0-ra Tehát a megadott becslés torzítatla becslése b-ek c Az a feladat szerit a T X becslés szórása kisebb

2 A agy számok erős törvéye szerit ha X 1, X, függetle valószíűségi változók, azoos eloszlásúak, és várható értékük létezik, akkor X X / EX 1 1 valószíűséggel eseté Ha most X 1, X, függetle, expa paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változók, akkor egyrészt a tétel alkalmazható, másrészt E a X 1 = 1 Tehát a P a X1 + + X 1 a = 1 mide a > 0-ra teljesül, és ez defiíció szerit azt jeleti, hogy a mitaátlag kozisztes becslése a paraméter reciprokáak 3 a Ha X 1,, X p paraméterű geometriai eloszlású mita, akkor P X i = 1 = p a geometriai eloszlás defiíciója szerit Legye I i = 1, ha X i = 1, és 0 külöbe, i = 1,, -re Ez tehát aak idikátora, hogy az i mitaelem 1, várható értéke az X i = 1 eseméy valószíűsége, azaz p Legye most T X 1,, X = I 1++I Ekkor E p T X 1,, X = E p I1 + + I = p = p Ez teljesül mide p 0, 1-re, azaz a paraméter mide lehetséges értékére Ez azt jeleti, hogy T, azaz az 1 mitaelemek relatív gyakorisága torzítatla becslés b-re b Most = 13, és az a rész jelöléseivel hisze a mitaelemek között 4 egyes va T X 1,, X 13 = 4 13, 4 a Tudjuk, hogy függetle, elemű Z mitából E Z = EZ 1 ; D Z = D Z 1 Ugyaakkor függetle ormális eloszlású valószíűségi változók összege is ormális eloszlású, ezt rögzített számmal elosztva is ormális eloszlású valószíűségi változót kapuk Tehát ha Z 1,, Z 50 az egyes gyerekek testmagassága, akkor X is ormális eloszlású valószíűségi változó X várható értéke Z 1 várható értéke, azaz 130, szóráségyzete pedig 5 = 1 Tehát 50 X N 130, 1 b Mivel X N 130, 1, ismert állítás szerit P X < 15 = Φ / Φ Φ 707 1

3 Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 4 1 Egy pézérmével fejet és írást lehet dobi A fej dobásáak valószíűségét, p-t em ismerjük p 0, 1 Adjuk maximumlikelihood-becslést p-re, ha a mita a következő: 100 függetle dobásból 6 volt fej 1 X 1,, X függetle mita N m, 100 eloszlásból a Meyi a mitaközép várható értéke? 4 b Adjuk torzítatla becslést m-re! 8 c Meyi a megadott torzítatla becslés értéke az alábbi mitá? 4 16,1 17,9 17,6 168,9 159,1 18,7 3 A 0, a itervallumo egyeletes eloszlásból származó függetle X 1, X, mita eseté milye a a tapasztalati szóráségyzet c-szerese a -re torzítatla becslés, ha = 1000? 8 b c X 1 ++X kozisztes becsléssorozat a -re? 8 4 Függetle, b paraméterű Poisso-eloszlású mitából adjuk mometummódszeres becslést a paraméterre! 6 A megoldásokat idokoli kell, a teljes potszámhoz jó végeredméy és helyes idoklás szükséges Összese 50 potot lehet eléri, a várható pothatárok: 40, 61, 7, 83 Az elégséges határa 0 pot Az eredméyek az ETR ifosheet rovatába leszek elérhetők, a megoldások pedig itt: ages/gyak Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 4 1 Egy pézérmével fejet és írást lehet dobi A fej dobásáak valószíűségét, p-t em ismerjük p 0, 1 Adjuk maximumlikelihood-becslést p-re, ha a mita a következő: 100 függetle dobásból 6 volt fej 1 X 1,, X függetle mita N m, 100 eloszlásból a Meyi a mitaközép várható értéke? 4 b Adjuk torzítatla becslést 10m-re! 8 c Meyi a megadott torzítatla becslés értéke az alábbi mitá? 4 16,1 17,9 17,6 168,9 159,1 18,7 3 A 0, a itervallumo egyeletes eloszlásból származó függetle X 1, X, mita eseté milye a a tapasztalati szóráségyzet c-szerese a -re torzítatla becslés, ha = 1000? 8 b c X 1 ++X kozisztes becsléssorozat a -re? 8 4 Függetle, b paraméterű Poisso-eloszlású mitából adjuk mometum-módszeres becslést a paraméterre! 6 A megoldásokat idokoli kell, a teljes potszámhoz jó végeredméy és helyes idoklás szükséges Összese 50 potot lehet eléri, a várható pothatárok: 40, 61, 7, 83 Az elégséges határa 0 pot Az eredméyek az ETR ifosheet rovatába leszek elérhetők, a megoldások pedig itt: ages/gyak

4 1 Legye I i = 1, ha az i dobás fej, 0 külöbe I 1,, I 100 függetle mita a p paraméterű idikátoreloszlásból Maximumlikelihood-módszerrel felírjuk a likelihood-függvéyt: f p I 1 = k 1,, I 100 = k 100 = p P 100 ki 1 p 100 P 100 k i ; f p = p P 100 Ii 1 p 100 P 100 Azt a p-t kell tehát választauk, amelyre f maximális f-be csak a mitaelemek összege szerepel, tehát a mitaelemek összege elégséges statisztika A logaritmusfüggvéy szigorúa mooto övő, tehát ehelyett a loglikelihood-függvéy maximumhelyét is elég megkeresi: l p = log f p = I i log p I i log 1 p Eek deriváltja: Eek ullhelye: l p = l p = 100 p p I i 1 p = 100 I i p I i = 100p p = Ugyaakkor l folytoosa differeciálható, lim p 0 l p = lim p 1 l p = globális maximuma va a deriváltjáak ullhelyébe: ˆp = 100 dobás közül 6 volt fej Ez tehát a maximumlikelihood-becslés P 100 = Tehát g-ek = 0, 6, beírva, hogy a a A mitaközép várható értéke függetle mita eseté a mitaelemek közös várható értéke, azaz az N m, 100 eloszlás várható értéke: m b Mivel mide m-re E 10 X = 10E X = 10m az a feladat szerit, 10 X torzítatla becslés 10m-re c A megadott mitá 10 X 1697, 17 3 a A kérdés, hogy milye c számra lesz E a cs = a a > 0 Mivel a mita függetle, U 0, a eloszlású: E a cs = cea s = c 1 D X 1 = c 1 a 1 Tehát c = 1 1 = , 01 jó választás b A agy számok erős törvéye szerit a mitaközepekből álló sorozat 1 valószíűséggel kovergál a várható értékhez függetle, azoos eloszlású, véges várható értékű valószíűségi változókról va szó Tehát a mitaközepekből álló sorozat mide a-ra 1 valószíűséggel kovergál a/-höz Ezért a mitaközepek égyzetéből álló sorozat mide a-ra 1 valószíűséggel kovergál a/ -hez Ebből következik, hogy a mitaközepek égyzetéek égyszereséből álló sorozat mide a-ra 1 valószíűséggel kovergál a -hez, azaz kozisztes becslést ad a -re Tehát a 4 jó, és látható, hogy más megoldás ics 4 A b paraméterű Poisso-eloszlás várható értéke b Ezért azt a b-t kell választauk, amelyre a mitaközép a tapasztalati eloszlás első mometuma megegyezik b-vel: X = b, b mometummódszeres becslése a mitaátlag

5 Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 4 1 Legye X 1,, X függetle, expa eloszlásból származó mita Számítsuk ki a mitaközép várható értékét és szórását! 8 X 1,, X függetle mita N m, 100 eloszlásból a Meyi a mitaközép várható értéke? 4 b Adjuk torzítatla becslést m-re! 8 c Meyi a megadott torzítatla becslés értéke az alábbi mitá? 4 16,1 17,9 17,6 168,9 159,1 18,7 3 A 0, a itervallumo egyeletes eloszlásból származó függetle X 1, X, mita eseté milye a a tapasztalati szóráségyzet c-szerese a -re torzítatla becslés, ha = 1000? 8 b c X 1 ++X kozisztes becsléssorozat a -re? 8 4 Függetle, b paraméterű Poisso-eloszlású mitából adjuk torzítatla becslést be b -re! 10 A megoldásokat idokoli kell, a teljes potszámhoz jó végeredméy és helyes idoklás szükséges Összese 50 potot lehet eléri, a várható pothatárok: 40, 61, 7, 83 Az elégséges határa 0 pot Az eredméyek az ETR ifosheet rovatába leszek elérhetők, a megoldások pedig itt: ages/gyak Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 4 1 Legye X 1,, X függetle, expa eloszlásból származó mita Számítsuk ki a mitaközép várható értékét és szórását! 8 X 1,, X függetle mita N m, 100 eloszlásból a Meyi a mitaközép várható értéke? 4 b Adjuk torzítatla becslést m-re! 8 c Meyi a megadott torzítatla becslés értéke az alábbi mitá? 4 16,1 17,9 17,6 168,9 159,1 18,7 3 A 0, a itervallumo egyeletes eloszlásból származó függetle X 1, X, mita eseté milye a a tapasztalati szóráségyzet c-szerese a -re torzítatla becslés, ha = 1000? 8 b c X 1 ++X kozisztes becsléssorozat a -re? 8 4 Függetle, b paraméterű Poisso-eloszlású mitából adjuk torzítatla becslést be b -re! 10 A megoldásokat idokoli kell, a teljes potszámhoz jó végeredméy és helyes idoklás szükséges Összese 50 potot lehet eléri, a várható pothatárok: 40, 61, 7, 83 Az elégséges határa 0 pot Az eredméyek az ETR ifosheet rovatába leszek elérhetők, a megoldások pedig itt: ages/gyak

Hasonló dokumentumok

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18. Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati