Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Átírás

1 Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa em tudjuk, de körül va, agy (1-α) valószíűséggel a feti itervallumba. Csak kicsi (α) valószíűséggel esik eze kívülre µ. Ezt az itervallumot a várható érték becslésére szolgáló 100 (1- α)% kofideciaitervallumak evezzük. eggyakrabba 90 v. 95%-os megbízhatósági szitet választuk (vagyis α 0,1 ill. 0,05). Kiszámítása: 1) Ha ismerjük σ -t, az átlag elméleti szórását: Mivel az átlag eloszlása ormális (vagy tart a ormálishoz a mita elemszámáak övelésével), ha levojuk az átlagból a saját várható értékét és osztjuk a szórásával stadard ormál eloszlású val. változót kapuk. Stadardizáljuk az átlag eloszlását, azaz µ µ σ σ ahol σ σ (stadard hiba) egye α5%. Ekkor 2,5% α/2 100 (1-α) α/2 2,5% 95% -1,96 0 1,96 vagyis 1-α 0,95 µ P(-1,96 1,96) σ P(-1,96σ ( µ ) 1,96 σ ) P(-1,96 σ ( µ ) 1,96σ ) P( - 1,96 σ µ + 1,96σ ) 1 2 Vagyis a keresett két küszöbérték: illetve 1 2 1, 96 σ + 1, 96 σ Tehát az 1 és 2 közötti itervallum az, amely 100 esetből 95-be tartalmazza a várható értéket. A probléma az, hogy általába em ismerjük az átlag elméleti szórását, kéyteleek vagyuk a becslésével beéri, ezért a feti módszer em alkalmazható ormál eloszlású helyett t-eloszlású lesz az átlag stadardizáltja, ld. köv. old. 5

2 2) Ha em ismerjük σ -t, az átlag elméleti szórását, csak a becsült s -ot: Az átlag várható értéke és variaciája sem ismert, midkettőt a mitából becsüljük. A ormális eloszlás csak σ ismeretébe haszálható kofidecia itervallum számításhoz (mivel ez kell a stadardizáláshoz), ha ezt is becsüljük ( s -al), akkor az átlag stadardizáltja a t-eloszlást követi, em a ormálist, potosabba az szabadságfokú t-eloszlást. Ekkor a bizoytalaságuk megő, egy agyobb kofidecia itervallumot tuduk kijelöli: µ µ s s Mide mitaagysághoz külö sűrűségfv. tartozik: eloszláscsalád A t-eloszlás tulajdoságai: 1) várható értéke 0 2) szimmetrikus 3) a t-eloszlás a (stadard) ormálishoz tart, ha. 4) a variacia agyobb 1-él, határtértékbe 1-hez közelít 5) ért. tart. -, 6) eloszlás-család, -1 a szabadsági fok, miél kisebb a mita (), aál agyobb a bizoytalaság, agyobb a szórás (Miél agyobb mitából becslük aál jobb lesz az átlag szórásáak becslése is.) Általába >30 eseté a kofidecia itervallum számításhoz (már) a ormális eloszlás táblázata haszálható; <30 eseté a t-eloszlásé. Tehát a kofidecia-itervallum általáos kiszámítása mitából becsült szórással: 1 2 t + t ( α, 1) ( α, 1) s s ahol -1 a szabadságfok, és t( α, 1) ú. t kritikus értéket a t táblázat α-hoz tartozó oszlopából és a szabadságfokak megfelelő sorból ézzük ki. Jeletése: csak α valószíűséggel esik egy -1 szabadságfokú t-eloszlású val. vált. értéke a [-, ] itervallumo kívülre, vagyis csak α valószíűséggel tér el eél jobba a 0-tól. t( α, 1) t ( α, 1) Nagyo agy mitáál a ormál eloszlást is haszálhatjuk: t 1, 96 a ormál eloszlásra jellemző érték. ( 0,05, 1) lim 6

3 BEVEZETÉS A HIPOTÉZISVIZSGÁATBA A biológiába (biometriába) mide megfigyelés sztochasztikus igadozással terhelt, így em adhatók ige-em típusú válaszok, csak vszg-ek. Nullhipotézis: pl. az átlag ( ) egy adott µ becslése H o : M ( - µ ) 0 az alteratív hipotézis: pl. az átlag em az adott µ becslése H 1 : M ( - µ ) 0 Szigifikacia: - teljes bizoyosság csak teljes eumerációval modható, - hipotézisük a mitá alapszik, H o elvetését abba az esetre is megegedjük, amikor valójába igaz: ez a hiba α valószíűségű (ld. később). A hipotézisvizsgálat meete: - megfogalmazzuk H 0 -t és H 1 -et; pl. H 0 : az átlag becslése egy adott eloszlásból származik.. - megadjuk α-t, vagyis a szigifikacia szitet, ami mellett vizsgálóduk; - megállapítjuk a kritikus érték(ek)et: ha a statisztikával számolt értékük az elfogadási régióba esik elfogadjuk H 0 -t, α szig. szite ha a számolt értékük a kritikus régióba esik elvetjük H 0 -t és helyette H 1 -et fogadjuk el. Va egy statisztikák, pl. az átlag. Eek eloszlása: α szigifikacia-szit 100 α/2% 100 (1-α)% 100 α/2% Hibalehetőségek kritikus tartomáy 1 elfogadási tartomáy 2 kritikus tartomáy H 1 H 0 H 1 1) "Elsőfajú" hiba (Type I error): H o -t elvetjük, habár igaz. Mértéke α. Az ábrá a jobbra csíkozott terület. Az értékük H 0 kritikus régiójába esik ( és µ külöbsége túl agy), ezért H 0 -t em fogadjuk el, bár valójába igaz. Mértékét mi határozzuk meg ( állítjuk be ) α megadásával. 7

4 2) "Másodfajú" hiba (Type II error): Elfogadjuk H o -t, habár em igaz. Jele β. Eek meghatározása csak az alteratív hipotézis eloszlásáak ismeretébe lehetséges. Az ábrá a balra csíkozott terület. Az értékük H 0 elfogadási régiójába esik, ezért elfogadjuk, bár valójába egy másik eloszlásból származik. Mértéke a 2 eloszlás átfedéséek mértékétől függ, és igaz rá, hogy β < 95% (ha α5%). Megj.: ha a mitaagyság agyo kicsi em midig tudjuk eldötei, hogy az értékük 2 eloszlás közül melyikbe tartozik, azoba a mitaagyság övelésével mide esetbe megbízhatóbb lesz a hipotézis vizsgálat (a két eloszlás átfedése csökke). elfogadjuk H o elvetjük igaz helyes I H o hamis II helyes Próbák Kétoldalú próba: az eltérés midkét iráyba érdekes 100 α/2% 100 α/2% Egyoldalú próba: pl. H : az átlag em őtt o H 1 : az átlag NŐTT 100 α% 8

5 Egymitás t-próba Egymitás t próbát alkalmazuk aak megállapítására, hogy egy mita átlaga becslése-e egy előre adott várható értékek, HA a változó ormális eloszlású és a populáció szórása em ismert, tehát azt az s korrigált szórással becsüljük. H o : a mitából kapott átlag µ becslése H o : M ( - µ ) 0 (em tér el szigifikása µ-től) H 1 : az átlag em a µ becslése H 1 : M ( - µ ) 0 Mivel a populáció variaciája em ismert, ezt is becsülük kell, vagyis t-eloszlással számoluk. tˆ µ s α adott (5%), szabadsági fok -1 2,5% 2,5% - t krit 0 +t krit Tehát a t-eloszlás táblázatából vissza kell keresi a megfelelő α értékhez és szabadsági fokhoz (df -1) tartozó t krit értéket. Ameyibe a számolt t értékük abszolút értéke kisebb, mit t krit abszolút értéke, úgy a ullhipotézist 1-α szigifikacia szite elfogadjuk; ellekező esetbe elvetjük. [ Egyoldalú egymitás t-próba H o : a mitából kapott átlag µ becslése H o : M ( - µ ) 0 H 1 : az átlag em a µ becslése, aál agyobb várható értéket becsül H 1 : M ( - µ ) > 0 α adott (5%), df -1 95% 5% t krit ] 9