Matematikai statisztika

Átírás

1 Matematka statsztka 8. elıadás

2 Kétmtás eset: függetle mták = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású), alkalmazható a kétmtás u-próba m Y X u / / σ σ + = Krtkus tartomáy: mt az egymtás esetbe Ha smeretleek, de azoosak a szórások:

3 A szórás vzsgálata kétmtás esetbe: F-próba H 0 : σ =σ Két függetle,, lletve m elemő ormáls eloszlású mta alapjá a próbastatsztka: (a korrgált tapasztalat F = szóráségyzetek háyadosa) s s max(, s s Krtkus érték: az -,m- szabadságfokú F eloszlás -α/ kvatlse ( a számlálóbel, m pedg a evezıbel mta elemszáma). )

4 Kétmtás t-próba smét Alkalmazható, ha az F-próba elfogadja a szórások azoosságát. Ha em, akkor Welch-próba: H eseté közelítıleg t eloszlású f szabadságfokkal, ahol / / ' s s Y X t + = ) ( + = m c c f m s s s c / / / + =

5 Módosítás a véletleítés elkerülésére: szekvecáls próbák A valószíőségháyados elemő mtából V = = Addg veszük mtaelemeket, amíg V B vagy V A em teljesül Tehát az algortmus: V B: elutasítjuk H 0 -t. V A : elfogadjuk H 0 -t. B>V >A: új mtaelemet veszük. Ste tétele matt valószíőséggel véges az N, ahol N = m{ : V A vagy V B = f f 0 ( ( X X ) ) }

6 Kompromsszum a gyakorlatba: mıségelleırzés Kétlépcsıs tervek elemő mtára: X c : elfogadjuk a tételt X c : elutasítjuk a tételt Egyébkét tovább db mtaelemet veszük és akkor fogadjuk el a tételt, ha X +X c 3 teljesül. Az eljárás hatékoyságát mérı szám: várható mtaelemszám (ASN).

7 Nemparaméteres próbák Illeszkedésvzsgálat: Adott eloszlású-e a mta? (Például paraméteres próbákhoz kellhet.) Kolmogorov-Szmrov próba: a tapasztalat és az elmélet eloszlásfüggvéy eltéréséek maxmumá alapul. Ugyaerre az eltérésre más próbák s épülek (Aderso-Darlg, Cramér-vo Mses), melyek az eltérés (esetleg súlyozott) tegrálját haszálják.

8 Kolmogorov-Szmrov próba (homogetásvzsgálatra) A két tapasztalat eloszlásfüggvéy eltéréséek maxmumá alapul: D m x = max F ( x ) G ( x m, ) lm m, P D < y = m, + m m = ( ) e y

9 Tovább emparaméteres tesztek Elıjelpróba Wlcoxo próba (ragstatsztka): P(X>Y)=/ tesztelésére. Azt számoljuk össze, hogy háy olya pár va, ahol X >Y j. A kapott statsztka aszmptotkusa ormáls eloszlású, em érzékey a kugró értékekre.

10 χ-égyzet próba H 0 hpotézs: az A, A,..., A r teljes eseméyredszerre teljesül P(A )=p, P(A )=p,..., P(A r )=p r A tesztstatsztka: ( ν ) r = p p am aszmptotkusa r- szabadságfokú χ-égyzet eloszlású, ha gaz a ullhpotézs. Krtkus tartomáy: ha a statsztka értéke agyobb, mt az r- szabadságfokú χ-égyzet eloszlás - α kvatlse, elutasítjuk a ullhpotézst.

11 χ-égyzet próba (folytatás) χ χ Mért s ez a határeloszlás? r =, H : P ( A ) = p, ν : A gyakorsága kísérletbıl ξ = 0 ( ν p ) (( ν ) ( p )) ( ν p ) ( ν p ) ( ν p ) = + = + = p ( p ) p ( p ) p ( p ), ha az.kísérletél A bekövetkezk, 0 külöbe ν = ξ ξ = ξ = = =, E p, D p ( p ), ξ E ξ =,eloszlásba D ξ χ

12

13 Szám Példa (kockadobás) 36 kockadobás eredméye Megfgyelt p ν ( p ) p

14 = 36, r = 6 6 ( ) = 6 ( ) = P ν ν p p p p ( χ ) 5 ~ = χ > = Nem tudjuk a szabályosság hpotézsét elutasíta!

15 Példa (számítógépek épszerősége) 00 amerka dák Számítógép Megfgyelt p ( ν p ) p IBM Mactosh Egyéb

16 = 00, r = 3 3 ( ) = 3 ( ) = P ν ν p p p p ( χ ) ~ = χ 3.80 > 5.99 = 0.05 Elutasítjuk az egyforma kedveltség hpotézsét!

17 χ-égyzet próba lleszkedésvzsgálatra Illeszkedésvzsgálat: H 0 : ξ,..., ξ F eloszlásfüggvéyőek o Vsszavezetjük az elızı esetre { ξ } A = C, =,,..., r, C = { ξ } Dszkrét esetbe gyakra: A = = x, =,,..., r R

18 Kárszám Vezetık száma Példa M lehet egy vezetı által okozott károk számáak eloszlása? Posso eloszlású-e? >7 Összese

19 Becsléses χ-égyzet próba H 0 hpotézs: az A, A,..., A r teljes eseméyredszerre teljesül: P ( A ) = p ( ϑ,..., ϑ ), =,,..., r s ϑ,..., ϑ smeretle paraméterek. A tesztstatsztka: ( ) r ν ˆ p = r s = p ˆ ahol s χ χ p ˆ = p ( ˆ ϑ,..., ˆ ϑ ). s,

20 Kárszám Vezetık száma p Posso Np Neg. b. Példa (folyt.) , ,06 3,3 6 0,00 0,39 7 3E-05 0,05 >7 0 5E-07 0,006 Összese 48006

21 = 48006, r = 5 A = ξ =, = 0,,,3 A 4 4 { } { } ( ) = 0 4 ( ) = 0 4 Posso eset: ˆ=0.709 λ P = ξ ν ν p ˆ p ˆ p ˆ p ˆ ( χ ) 3 ~ > χ 5 00 > 7.7 = 0.05% Elutasítjuk Posso eloszlás hpotézsét!

22 Az lleszkedésvzsgálat alkalmazása folytoos eloszlásokra A teljes eseméyredszer a számegyees felosztása révé jö létre. Ügyeljük arra, hogy mde tervallum közel azoos valószíőségő legye. Ha paraméterbecslés szükséges, ML módszer alkalmazható.

23 χ-égyzet próba homogetásvzsgálatra Homogetásvzsgálat: H 0 : ξ,..., ξ és η,..., η m ugyaolya eloszlásúak o Hasolóa járuk el, mt korábba r = C = R { } { } ν = j : ξ C, µ = j : η C, =,,..., r, j j A tesztstatsztka: ν µ χ χ r m = m, m r = ν + µ

24 K taul jobba? 009. jauár 5-e vzsga Jegy Férf Nı Összese 86 Átlag, Összese ,7,

25 { ; }, { 3;4;5 } C = C = { } { } ν = j : ξ C, µ = j : η C, =,, j j ν = 58, ν = 8, µ = 5, µ = 6, = 86, m = A tesztstatsztka: χ P = 86 + = ( χ >.7) = 0% Nem tudjuk elutasíta az egyforma képesség hpotézsét!

26 χ-égyzet próba függetleségvzsgálatra H 0 hpotézs: az A, A,..., A r és B, B,..., B s teljes eseméyredszerekre teljesül a függetleség. ( ) ν j p q j p q, j j Krtkus tartomáy: ha a statsztka értéke agyobb, mt az rs- szabadságfokú χ- égyzet eloszlás - α kvatlse, elutasítjuk a ullhpotézst.

27 Becsléses eset Általába, ha az llesztedı eloszlást em smerjük csak a családját - becsüljük a paraméteret. Ekkor a próbastatsztka szabadságfoka ayval csökke, aháy paramétert becsültük. Függetleségvzsgálatál általába em smerjük a teljes eseméyredszer tagjaak valószíőségét, így r-+s- valószíőséget kell becsülük. A szabadságfok ekkor tehát rs--r-s+=(r-)(s-).

28 ν ν ν : A B gyakorsága j j : A gyakorsága : B gyakorsága j j A tesztstatsztka ν ν j ν j ν ν, j j r = s = esetbe χ ( r )( s ) ν ν ν ν ( ) ν ν ν ν χ

29 Itt két pdf fle lesz hozzácsatlakoztatva