Nemparaméteres eljárások

Átírás

1 Nemparaméteres eljárások Bevezetés Az ntervallum vagy a hányados skálán végzett méréseknél az adatokból számolhatunk átlagot, szórásnégyzetet, szórást Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek a matematka, logka tulajdonságan; ezeket a módszereket paraméteres módszereknek nevezk Könnyű belátn, hogy például a nomnáls skálán mért adatok esetében nem helyénvaló átlagot számítan, és - következésképpen - nem alkalmazhatók a paraméteres statsztka módszerek Például, ha egy mntában csak ekete és szürke szőrű egyedek vannak, akkor a mntára vonatkozóan nem lehet átlagos színről beszéln A nomnáls és az ordnáls skálán mért adatokkal számos módszer alkalmazható, melyek egyk közös tulajdonsága, hogy nem kell hozzájuk az, hogy az adatokból átlag, vagy szórás számolható legyen Általában mondható, hogy ezek a módszerek nem az smert nevezetes eloszlás, a normáls eloszlás paraméterenek tulajdonságan alapulnak, ezeket nemparaméteres módszereknek szokták nevezn Vagys ha az eloszlás jellege smert, és a nullhpotézsünk az eloszlás valamely paraméterére vonatkozk, paraméteres próbáról, ellenkező esetben nemparaméteres próbáról beszélünk A nemparaméteres módszerek az alább esetek közül valamelykre vonatkoznak 1 Nomnáls skálán mért adatokon elvégezhető Ordnáls (rendezett) skálán mért adatokon elvégezhető 3 Intervallum skálán mért adatokon anélkül végezhető el, hogy azt kellene eltételeznünk, hogy az adatok egy adott tulajdonságokkal rendelkező eloszlásból származnak Ebben az esetben az adatokat rangtranszormácónak vetjük alá Ez azt jelent, hogy az ntervallum skálán tett meggyeléseket az ordnáls skálán értékeljük k Hogyan válasszunk a paraméteres és nem-paraméteres módszerek között? A nemparaméteres módszerek előnye Kevesebb eltételük van, így hbás alkalmazásuk esélye ksebb Nomnáls és ordnáls változókon s használhatók Próbastatsztkák számítása sokszor egyszerűbb Skálaérzéketlenek, azaz az adatok transzormálása nem beolyásolja a tesztek eredményét Kevésbé érzékenyek a kugró adatokra Nem csak az átlag különbséget tudjuk vzsgáln, hanem az eloszlás más tulajdonságának (például erdeség ellépése kezelés hatására) változását s A nemparaméteres módszerek hátránya: Erejük ksebb mnt a paraméteres megelelőknek (azok eltételenek teljesülése esetén) de ez sokszor nem jelentős Sok parametrkus tesztnek nncs meg a nem-parametrkus megelelője A paraméteres módszerek előnye Ha eltételek teljesülnek, a paraméteres próbák nagyobb erejűek, mnt a helyettük alkalmazható nem-paraméteres próbák 1

2 Ha az adatok normáls eloszlásúak, akkor ettől az normácótól való eltekntés jelentős normácó veszteséggel jár Ha nncs rá okunk, ne mondjunk le a paraméteres próbák előnyeről A paraméteres próbák esetében a nullhpotézsek gyakran többet mondanak, mnt a nemparaméteres próbák nullhpotézse A paraméteres próbák hátránya: Szűkebb az alkalmazás terület, csak bzonyos eloszlású sokaságok esetén alkalmazhatók Választás az alkalmazható nemparaméteres próbák között Ha csak az a kérdésünk, hogy két csoport között van-e bármlyen különbség, akkor bármelyk próbát alkalmazhatjuk Tudnunk kell azonban, hogy a nem-paraméteres próbák, ellentétben a t próbával, nem a két csoport átlagának a különbségét vzsgálják, hanem a csoportok más tulajdonságat, mégpedg próbánként különböző tulajdonságat Így aztán a szgnkáns különbség nem bztosan jelent azt, hogy a két csoport átlaga (várható értéke) s különbözk, mert lehet, hogy a két vzsgált populácó eloszlásának valamlyen más tulajdonsága különbözk (medán, eloszlás jellege) Eloszlásokra vonatkozó próbák (χ - próba) A sokaságok százalékos megoszlására vagy a valószínűség változó eloszlására vonatkozó hpotézs ellenőrzésére szolgál Dszkrét és olytonos valószínűség változó eloszlásának vzsgálatára egyaránt alkalmas oly módon, hogy osztályokat képezünk, és az osztálygyakorságokat, vagy a relatív osztálygyakorságokat, ll a megelelő valószínűségeket vzsgáljuk Feltételek ( : az -edk osztály meggyelt gyakorsága): Nagy mnta (n 50) Valamenny meggyelt osztályban az osztálygyakorság 1 Maxmum az osztályok 0%-ában lehet 5 Illeszkedésvzsgálat Tszta lleszkedésvzsgálat: a mnta eloszlását hasonlítjuk egy elmélet eloszláshoz Egy dobókocka szabályosságát szeretnénk ellenőrzn Mnden dobás egyorma (1/6) valószínűséggel következhet be H 0 : a kocka szabályos H 1 : a kocka nem szabályos 60 dobás eredménye: Érték Meggyelt gyakorság Várt gyakorság * ( ) χ, ahol * : az -edk osztály meggyelt gyakorsága * : az -edk osztály várt gyakorsága n : a mnta elemszáma

3 ( 8 10) ( 6 10) ( 4 10) * ( ) Behelyettesítve a képletbe: χ , * Ha a meggyelt gyakorságok messze vannak a várttól, akkor ez az összeg nagy lesz, ha azonban közel, akkor kcs Így χ megad egy mértéket a meggyelt és a várt gyakorságok távolságának mérésére Természetesen a dobások véletlenszerűsége matt még szabályos kocka esetén sem ogunk pontosan χ 0-t kapn A χ értékre meg kell engednünk egy bzonyos ntervallumot, amelybe ha beleesk, akkor még elég nagy a valószínűsége annak, hogy a kocka szabályos Úgy s lehet ogalmazn: mekkora a valószínűsége annak, hogy szabályos kocka esetén lyen eredményt kapjunk Ehhez be kell vezetn a χ -eloszlásüggvényt, melynél a egy görbeseregről van szó Azt, hogy a görbeseregből melyket kell kválasztanunk, a szabadság ok mondja meg A szabadság ok lleszkedésvzsgálat esetén egyenlő az osztályok száma mínusz 1-gyel, esetünkben k Ezek után elő kell venn a χ -eloszlás táblázatát, és meg kell benne nézn a számolt χ értékhez tartozó valószínűséget A táblázatokban általában csak bzonyos valószínűségekhez tartozó χ értékeket adnak meg Ha 5%-os szgnkanca sznttel dolgozunk, akkor azt mondjuk, hogy akkor utasítjuk el a kocka szabályosságára vonatkozó hpotézsünket, ha szabályos kockát eltételezve ksebb, mnt 5% a valószínűsége annak, hogy olyan eredményt kapjunk, amlyet kaptunk, akkor k kell keresnünk a táblázatból az 5%-hoz és a megelelő szabadság okhoz tartozó értéket, és össze kell hasonlítan a számolttal Ha a számolt nagyobb a táblázatbel értéknél, akkor elutasítjuk hpotézsünket Példánkban χ számolt 14, χ táblázatbel 11,1, tehát a kockánkat nem teknthetjük szabályosnak Becsléses lleszkedésvzsgálat: csak az eloszlás típusa smert (normáls, exponencáls ), paraméteret a mnta alapján becsüljük, majd ezekre vonatkozóan végzünk lleszkedésvzsgálatot * ( ) ( np ) χ *, ahol np : az -edk osztály meggyelt gyakorsága * : az -edk osztály várt gyakorsága n : a mnta elemszáma p : az -edk osztály várt relatív gyakorsága Feltétel: a várható érték gyakorsága mnden osztályban érje el legalább az 5 értéket ( * > 5) és a mnta kellően nagy legyen Szabadság okok: tszta lleszkedésvzsgálatnál sz k-1, becsléses lleszkedésvzsgálatnál sz k-1-b, ahol a k : a csoportosítás során képezett osztályok száma b : a mntából becsült paraméterek száma Egy élelmszerrel kapcsolatos ogyasztás szokásokat meggyelve 60 ember esetében az alább táblázatban szereplő adatokat kapták Átlagos értékként 1037 dkg/dőszak, szórásként 116,3 dkg becsülhető Feltételezhető, hogy normáls eloszlású az adott dőszakra eső ogyasztás ebből az élelmszerből A eladat ennek ellenőrzése 3

4 Időszakra eső ogyasztás (dkg) x a - x Osztályközbe eső emberek száma (db) Összesen: 60 Időszakra eső ogyasztás (dkg) x a - x Osztályközbe eső emberek száma (db) Transzormált osztályköz határ Alsó x a Felső x p np - ( ') ,47-1,61 0, , ,6-0,75 0, , ,74 0,11 0, , ,1 0,97 0, , ,98 1,83 0, , ,84,69 0, ,5 Összesen: 60 1, ,36 A várható gyakorságok kszámolásához először az egyes osztályközökbe esés valószínűségét kell meghatározn Ehhez a mntaeloszlás osztályköz határat standard normáls eloszlássá kell transzormáln (Várható érték 0, szórás 1) Becsléses lleszkedésvzsgálat esetén a várható értéket a mntaátlaggal ( x ), a szórást a mntabel szórással (s) becsülve, az új x x osztályköz határokat a következő módon kell kszámítan: x ' s x x A másodk osztályköz első határa esetében: x ' 0, 75 Ezek után s 116,3 az egyes ntervallumokba esés valószínűségét (p ) a standard normáls eloszlás táblázatából lehet meghatározn A χ táblázatbel érték α 5%-nál és szabadság oknál 7,815 Megállapítható, hogy a számított érték nagyobb, mnt a krtkus érték, ezért a nullhpotézst elvetjük, a mnta szgnkánsan eltér a normáls eloszlástól Homogentásvzsgálat Két üggetlen mnta eloszlásüggvényének összehasonlítására szolgál Kérdés: Származhat-e a két üggetlen mnta azonos eloszlásüggvényű sokaságból? A próbastatsztka kszámolásához a meggyelés egységeket mndkét n 1 ll n elemű mnta esetén azonos osztályokba soroljuk (k osztályt képzünk), melyekre gazak a alább összeüggések: 1 n1, n 4

5 A próbastatsztka értékének kszámolása: 1 χ n1n 1 + n n 1, szabadság ok: k-1, ahol n 1, n : a mnta elemszáma 1, : osztályonként gyakorságok mntánként k: az osztályok száma A két sokaság azonosnak teknthető, ha χ számolt χ táblázatbel Két szgeten egy pntyajta 4 színváltozatát gyelték meg Az első szgeten 345-öt gyűrűztek meg, a másodkon pedg 640-et Az alább táblázat mutatja az egyes színváltozatok előordulását Homogénnak teknthető-e a két populácó? Színváltozatok I szget ( 1 ) II szget ( ) A B C D Összesen Színváltozatok I szget ( 1 ) II szget ( ) χ részösszeg A ,5013 B ,669 C ,1900 D ,0860 Összesen ,404 1 χ n1n 6, n n, a szabadság ok 4-1 3, a krtkus érték 1 (α 0,05): χ táblázatbel 7,815 A két szgeten levő populácók azonosnak teknthetők Függetlenség vzsgálat Az alapsokaság két smérv szernt csoportosításakor s x t típusú kontngenca táblázatot kapunk (s db csoportot képeztünk az első, t db csoportot pedg a másodk szempont szernt) Vzsgálhatjuk, hogy az első szempont szernt eloszlás üggetlen-e a másodk szempont szernt eloszlástól χ ( * * ) : az -edk osztály meggyelt gyakorsága * : az -edk osztály várt gyakorsága n : a mnta elemszáma kl k n k l n l, ahol 5

6 kl : az első szempont k-adk és a másodk szempont l-edk osztálykombnácójába tartozó egyedek elmélet relatív gyakorsága k : az első szempont k-adk osztályának gyakorsága l : a másodk szempont l-edk osztályának gyakorsága A szabadság okok száma: sz: (s-1)(t-1) Egy kozmetka cég megbízásából elmérést készítettek arról, hogy a nők és a érak mlyen típusú dezodorokat használnak A elmérésben 00 nő és 150 ér adata szerepelnek Hasonlóak vagy eltérőek a nők és a érak szokása ezen a téren? (Függ-e a dezodorválasztás a nemtől?) Spray Golyós Krém Összesen: Nő Fér Összesen: Függetlenség esetén a 350 elemű mnta megoszlása az alábbak szernt alakulna * a b Peremgyakorságok: j, ahol N a -edk sor összege 1, b j j-edk oszlop összege j1,, 3 N 350, a mnta elemszáma Spray Golyós Krém Összesen: Nő 94,86 48,57 56,57 00 Fér 71,14 36,43 4, Összesen: χ emp 3 * ( j j ) ( 93 94,86) ( 46 48,57) ( 38 4,43) * j 1 1 j 94,86 48,57 4,43 1,1 Szabadság okok száma: (n a -1)(n b -1) 1 α 5% esetén χ krt 5,99 A próba nem szgnkáns χ krt > χ emp A különböző nemű vásárlók hasonlóan választották az egyes dezodorokat Előjel-próba Közvélemény kutatásokban gyakran vzsgálják azt, hogy egy mnta egyede két lehetőség közül melyket választják Például két smert márkájú hasonló termék közül melyket kedvelk nkább A két lehetőség között választás, vagy két (egymást kzáró) esemény előordulásának valószínűsége elvleg azonos jellegű probléma Például egy adott beteg populácóban a született gyermekek között a úk és a lányok aránya azonos-e? Mndezen vzsgálatok eredményét értékelhetjük az előjel próbával oly módon, hogy az egyk esemény előjelét poztívnak, a másk előjelét negatívnak nevezzük, és nem engedünk meg eldöntetlen esetet Az előjel próbának nncs elterjedt, smert megelelője a paraméteres próbák között Az előjel próbával értékelhető adatok esete lényegében véve azonos a bnomáls eloszlást mutató kísérletek vzsgálatával 6

7 Lehetnek olyan esetek, amkor nem lehet egyértelműen eldönten az előjelet Ezekben az eldöntetlen esetekben a meggyelést nem vesszük gyelembe egyk ajta előjelek számlálása során sem Két gyümölcs csomagolására és tárolására alkalmas módszert tesztelnek Tíz-tíz mázsás csomagot készítenek, és három hónap múlva megszámolják a romlott gyümölcsöket Van-e különbség a két eljárás között? Az adatokat az alább táblázat tartalmazza Csomagok I módszer II módszer H 0 : a két eljárás között nncs különbség H 1 : a két eljárás között van különbség Páros mntánk van, lyenkor vehetjük a két a eljárás során keletkezett romlott gyümölcsök különbségének előjelét Csomagok I módszer II módszer Előjel Vagys három plusz és hét mínusz jel Azt várnánk, hogy öt pluszt és öt mínusz jelet kapjunk Ez a probléma megegyezk azzal, hogy 10-szer eldobva egy érmét 3-szor ejet és 7-szer írást kapunk Vajon ez az érme szabályos-e? Tehát bnomáls eloszlással számolunk tovább n k n k P(ξ k) p q k P ( ξ k) 10 k k 10 k p P ξ p P ξ 1 1 p P ξ p P ξ 3 3 P ξ < p + p 0, 10 k ( 0) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) ( < ) p + p + p 0, P ξ Kétoldal próbával kell dolgoznunk, mert H 1 azt állítja, hogy különbség van a módszerek 1 között Ezért az 5%-os szgnkanca szntnél: 0,05 0, 05 a keresett valószínűség sznt 10 7

8 Mvel 0, < 0,05 < 0,054688, akkor utasítjuk el a H 0 hpotézst, ha a plusz jelek száma nulla vagy egy Itt azonban a három van, így 5%-os szgnkanca sznten nem utasíthatjuk el a H 0 -t, lyen sznten nncs különbség az eljárások között Mann-Whthney-Wlcoxon próba (U próba, rangösszegpróba) Két egymástól üggetlen mnta medán értékének összehasonlítására szolgál, ha a mntaelemek párosíthatók, tehát a kétmntás t-próba nemparaméteres megelelője Ordnáls változókra s használható Feltételek: Független mnták Azonos ormájú eloszlások Folytonos és dszkrét valószínűség változók esetében s használható Kísérlet elrendezés: Két üggetlen, véletlen mnta A gondolatmenet a következő: Elvégezzük a rang-transzormácót Rang-transzormácó: Az összes adatot (a csoporthoz való tartozástól üggetlenül) nagysága szernt sorba állítjuk, az adatok helyébe azok rangszámát helyettesítjük Ha két, vagy több azonos adatot találunk, akkor azok helyébe az átlagos rangszámokat írjuk Az így kapott rangszámokat az eredet csoportokra szétbontjuk Ez a transzormácó az eredet meggyeléseket az ordnáls skálán ejez k Ha a két csoport középértéke (medánja) között nncs különbség (azaz H 0 teljesül), akkor mnd a két csoportban lesznek alacsony és magas rangszámú meggyelések, és az átlagos rangszám értékek s közel azonosak lesznek Ha H 0 -t elvetjük, akkor az egyk csoportban nagy valószínűséggel nagyobb lesz az átlagos rangszám, mnt a másk csoportban Ha sok az azonos rangsorú érték, ezeket a teszt nem vesz gyelembe, és ezért lyenkor kssé alulértékel a szgnkanca szntet Kétmntás t-próbát célszerű alkalmazn, ha a két sokaság, amelyekből a két üggetlen mnta származk, normáls eloszlású Ha a normaltás nem áll enn, de a két populácó eloszlása azonos ormájú akkor e próba alkalmazása ajánlható Végezzük el a rangtranszormácót és számoljuk k mndkét mntára a sorszámok összegét Jelölje a két összeget R 1 és R ; N 1 és N pedg rendre a mnta-elemszámokat (N 1 N ) Az R 1 és R között szgnkáns különbség a két mnta között szgnkáns különbségre utal A teszteléshez használjuk az első mntához tartozó N1( N1 + 1) U N1N + R1 statsztkát U mntavétel eloszlása szmmetrkus, átlag és varancája a következő módon számolható: µ U N 1 N σ ( N + N 1) N1N 1 + U Ha N 1 és N s legalább 8, akkor U eloszlása közel normáls lesz úgy, hogy átlagú és 1 varancájú normáls eloszlást követ 1 U µ z U 0 Két tanulócsoport ugyanazt a dolgozatot írta meg A dolgozatokra kapott pontszámok a következők I csoport: 18; 17; 3; 17,5; 19; 5; 16; 4 II csoport: 1,5; 14; 0,5; 11; 15,5; 0; 13; 15; 1; 14 σ µ 8

9 H 0 : a két mnta ugyanabból a sokaságból származk (nncs különbség a két mnta között) Rendezzük az összes mntaértéket, és adjunk sorszámokat ezekhez az értékekhez Egyet a legksebbhez, tzennyolcat a legnagyobbhoz Kszámolva: R 1 106, R 65, N 1 8 és N 10, U 10; µ U 40; σ U 11,5; z -,67 Mvel a vzsgált H 0 hpotézs az, hogy nncs különbség a csoportok között, kétoldal próbát kell alkalmazn 5%-os szgnkanca sznten a döntés szabály: Elogadjuk H 0 -t, ha -1,96 z 1,96 Ennek alapján elutasítjuk a H 0 -t Kruskal-Walls próba (H próba) (ez előző általánosítása k számú mntára) Az eljárás célja összehasonlítan 3, vagy több populácót, melyekből véletlen egyváltozós mntát vettünk A H próba az egyutas osztályozás vagy egytényezős kísérlet varancaanalízsére ad általánosítható nem paraméteres módszert Ez a próba különösen érzékeny a medán változásara Hpotézs pár: H 0 : A mnták eloszlása nem különbözk egymástól H 1 : Legalább két eloszlás különbözk egymástól Ha elvetjük H 0 -t, akkor arra következtetünk, hogy a vzsgált populácók között vannak különbségek Feltételek: Véletlen mntavétel (bztosítja az egyes változók egyenlő eloszlását a H 0 ennállása esetén) Független mnták Legalább ordnáls skálán mérhető változó Tegyük el Hogy k számú mntánk van, egyenként N 1, N, N k mntanagyságokkal, és így az összes mnta N N 1 + N + + N k elemszámú Az összes mntát együtt kell rangsoroln, és a rangösszegek: R 1, R, R k 1 k R j H + 3( N + 1) N N + 1 N ( ) j 1 H mntavétel eloszlása közelítőleg k-1 szabadságokú χ eloszlást követ, eltéve, hogy az N 1, N, N k mndegyke legalább 5 Egy növénytermesztés kísérletben egy növényen 4-éle műtrágyát próbálnak k Mnden műtrágyával 5-5 parcellát kezelnek A terméseredmények q/területegységben kejezve az alább táblázatban olvashatók Van-e szgnkáns különbség az egyes műtrágyák hatása között? j Műtrágyák Terméseredmények A típus 18,4; 16,1; 19,; 17,; 18,6 B típus 17,5; 17,3; 15,4; 16,4; 17,9 C típus 19,3; 18,; 19,6; 0,0; 18,9 D típus 14,0; 15,4; 16,8; 17,6; 16,9 9

10 N 0 A rangösszegek: Rangok Σ A típus B típus 10 9, ,5 C típus D típus 1, ,5 1 k R H N( N + 1) N j 1 j j 3( N + 1) 1,8 k-1 3 szabadság oknál 5%-os szgnkanca sznten χ krt 7,81 Mvel 7,81 < 1,8 elvetjük a nullhpotézst, van különbség a műtrágyák között Fredman próba Ha egy olyan problémában, ahol kétszeres osztályozással szóráselemzést akarunk végrehajtan, de nem teljesül a normaltás, vagy a szórások egyenlősége, akkor a Fredman próbát alkalmazhatjuk Feltételek: Független mnták A mérések legalább ordnáls skálán történjenek A következő típusú problémát vzsgáljuk: n számú objektumra k különböző eljárást (kezelést) alkalmazunk A kísérlet célja: megállapítan, hogy van-e különbség a k számú (k>) kezelés között Ez tehát egy többmntás próba, ahol a blokkhatást szeretnénk kküszöböln, és a k kezelést összehasonlítan Blokkok A kezelések 1 n száma 1 X 11 X 1 X 1n X 1 X X n k X k1 X k X kn A modellünk megegyezk a varancaanalízsnél tárgyalt kéttényezős kísérletben szereplő modellel X j µ + α +β j + e j ahol µ a sokaság közös várható értéke α kezeléshatás β j blokkhatás e j a véletlen okozta eltérés α 0, β j 0, e j 0 H 0 : Mnden kezelés átlaga egyenlő (sorátlag) α 0; 1,,,k, 10

11 H 1 : nem mnden α egyenlő Ha H 0 -t elvetjük, akkor páros összehasonlításokkal kell elderítenünk a csoportok között esetleges különbségeket Erre az előjel próbát kell használnunk Mnden blokkban rendezzük nagyság szernt a k meggyelést és jelöljük r j -vel az X j rangját Legyen R r j n j 1 ( k 1) n n 1 n + 1 S 3 ( + 1) ( 1) R + 1 ( + 1) R n k nk k nk k 1 Ha H 0 -t gaznak tételezzük el, n pedg nagy, akkor Az S statsztka aszmptotkusan χ eloszlású (k-1) paraméterrel Az elogadás tartomány: S < χ k-1, α, ahol az α a próba szgnkanca szntjét jelent 10 borász öt bort mnősített egytől ötg terjedő pontozással Egy pontot ér a leggyengébb, és 5 pontot ér a legjobb mnőségű bor Különbözött-e a borok mnősége? Borászok bor bor bor bor bor Ennél a eladatnál a rang-transzormácót nem kellett elvégezn, hszen a borászok már a rangokkal értékelték k a borokat Rangösszegek 1 bor 34 bor 5 3 bor 8 4 bor 17 5 bor 46 ( k 1) [( 34 30) + ( 5 30) + + ( 46 30) ] 18, 8 n 1 n + 1 S ( 1) R nk k χ 5, 0,05 9,49 Mnthogy S 18,8 > 9,49, a nullhpotézst elvetjük, a borok között jelentős különbségek adódtak Irodalomjegyzék: Anonym: xenasotehu/hu/bosc/docs/bometr/course/ (1999) Baráth Cs Ittzés A Ugrósdy Gy: Bometra Mezőgazda Kadó 1996 Kss A Manczel J Pntér L Varga K: Statsztka módszerek alkalmazása a mezőgazdaságban Mezőgazdaság Kadó

12 Kovács István: Statsztka Szent István Egyetem Gazdálkodás és Mezőgazdaság Főskola Kar jegyzete Gyöngyös 000 Korpás Attláné dr szerkesztette, Krszt Varga Kenyeres: Általános statsztka II Nemzet Tankönyvkadó 1997 Fodor János: Bomatematka Meszéna György Zermann Margt: Valószínűségelmélet és matematka statsztka Közgazdaság és Jog Könyvkadó 1981 Murray R Spegel: Statsztka Elmélet és gyakorlat Panem McGraw Hll 1995 Szűcs István: Alkalmazott statsztka Agronorm Kadó 00 Vncze István Verbanova Mára: Nemparaméteres matematka statsztka Elmélet és alkalmazások Akadéma Kadó