Gazdaságtudományi Kar. Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet. Korreláció-számítás. 1. előadás. Döntéselőkészítés módszertana. Dr.

Átírás

1 Korrelácó-számítás 1. előadás Döntéselőkészítés módszertana Dr. Varga Beatr

2 Két változó között kapcsolat Függetlenség: Az X smérv szernt hovatartozás smerete nem ad semmlen többletnformácót az Y szernt hovatartozásról. Sztochasztkus: Az egk smérv hatással van a máskra, de nem határozza meg egértelműen annak értéket/változatat. Függvénszerű (determnsztkus): A vzsgált egségek X szernt hovatartozásának smeretében egértelműen megmondható azok Y szernt hovatartozása s.

3 A kapcsolat mérőszáma Két nomnáls változó között kapcsolatot az asszocácós mérőszámokkal jellemezzük. Ordnáls típusú változók összefüggését a rangkorrelácós mutatók mérk. Arán skála típusú változók összefüggését korrelácó- és regresszó-analízssel elemezzük. Intervallum/arán és nomnáls skálán mért változók között összefüggést H;

4 Korrelácós kapcsolat elemzése esetén a következő kérdésekre keressük a választ Van- e valamlen összefüggés az smérvek között? Mlen ránú az összefüggés Mennre szoros a kapcsolat? Az egk smérv változása mlen hatással van a másk smérv változására?

5 A mennség smérvek között kapcsolatot korrelácónak nevezzük. A korrelácószámítás: a mennség smérvek között kapcsolat szorosságának mérése. A regresszó-számítás: a mennség smérvek egmásra gakorolt hatásának számszerűsítésével, e hatások ránának és mértékének megállapításával foglalkozk.

6 Ha a korrelácós kapcsolat mögött egránú okozat összefüggés van akkor: az ok szerepét betöltő smérv a ténezőváltozó, (magarázóváltozó), jele: az okozat szerepét betöltő smérv az eredménváltozó, jele:

7 A korrelácó fontosabb típusa

8 Korrelácó hána A regresszó-függvén bármel X helen azonos (közel azonos) értéket vesz fel. A függvén képe vízszntes vonal. Y független X-től, X nem befolásolja Y értékét.

9 A korrelácó hána Y = E X 3 R - S q = 3. 4 % N n c s k o r r e l á c ó

10 Függvénszerű kapcsolat A korrelácó hánának logka ellentéte a függvénszerű kapcsolat. Eg adott X értékhez egetlen Y érték tartozhat. A pontdagram pontja a regresszó-vonalhoz lleszkednek, A regresszó-vonal körül nncs szóródás.

11 Poztív korrelácó Y = E X 3 R - S q = 6. 5 % P o z t ív k o r r e l á c ó

12 Negatív korrelácó Y = E X 3 R - S q = % N e g a t ív k o r r e lá c ó

13 Nem lneárs korrelácó Y = X X * * 4 0 R - S q = % N e m l n e á r s k o r r e lá c ó

14 A kapcsolat szorosságának mérőszáma

15 A kovaranca Az X és Y mennség változók között kapcsolat ránát mutatja meg. C = d d n -1 = n -1 - C r s s

16 Kovaranca tulajdonsága A kovaranca nulla, ha a poztív és a negatív előjelű eltérésszorzatok összege kegenlít egmást. Kovaranca előjele a kapcsolat ránát mutatja. A kovaranca abszolút mértékének nncs határozott felső korlátja. A kovaranca a két változóban szmmetrkus, X és Y szerepe a formulában felcserélhető.

17 A korrelácós egüttható A korrelácós egüttható a lneárs korrelácó szorosságának legfontosabb mérőszáma. A kapcsolat hánát (korrelálatlanság) az r = 0 érték jelz. Az r előjele a korrelácó ránát mutatja. Tökéletes (függvénszerű) lneárs kapcsolatnak - az rántól függően - az r = +1, lletve r = -1 értékek felelnek meg. A szélsőséges helzetek között az egüttható abszolút értéke a kapcsolat szorosságáról tájékoztat.

18 Korrelácós egüttható ) )( ( n n - n d d d d C = r s s d d = - n d = n d = n

19 Determnácós egüttható A determnácós egüttható megmutatja, hog a magarázóváltozó hán %-ban befolásolja az eredménváltozó szóródását. Jele: r A determnácós egüttható jellemz: A regresszós függvén lleszkedését, A modell magarázó erejét.

20 A rangkorrelácó Létezhetnek a statsztka sokaság egségenek olan kvanttatív jellegű tulajdonsága, amelek számszerűen egáltalán nem, vag csak nehezen mérhetők. A mutatószám értéke r-hez hasonlóan természetesen - 1 és 1 között helezkedk el. Ha a kétféle rangsorszám rendre megegezk, akkor = 1, ha a sorszámok a két smérv szernt következetesen ellentétesen alakulnak, akkor = -1. = 1-6 n(n d 1)

21 A korrelácós hánados A görbevonalú kapcsolatok szorosságának mérőszáma. A mutatószám kalakításának gondolatmenete: csoportosítjuk a megfgelt értékeket a ténezőváltozó értéke vag osztálköze szernt, és kszámítjuk az eredménváltozó részátlagat az eges csoportokban. S K () B () 1 1 S K() / () () ( ) S S B () ()

22 A korrelácós hánados A korrelácós hánados négzetét defnáltuk, mvel az csupán a kapcsolat ntenztását jelz, ránát nem. Megoszlás vszonszám jellegénél fogva a korrelácós hánados négzete mndg nulla és eg közé esk. Előjelét nem értelmezzük, megállapodásszerűen poztív számként kezeljük. A korrelácós hánadost nem szokták százalékos formában kfejezn. Általában / / tehát nem szmmetrkus az X és Y változókban. X csupán mnt csoportképző smérv szerepel.

23 Eg vállalat dolgozónak keresete és hav megtakarítása Dolgozó Bér (Ft/fő) Hav megtakarítás (Ft/hó) d d d d d d Összesen

24 Kovaranca C = d d n -1 = n , 8 Értelmezés: a dolgozók keresete és a hav megtakarított összege között kapcsolat poztív ránú.

25 Korrelácós egüttható Dolgozó Bér (Ft/fő) Hav megtakarítás (Ft/hó) d d d d d d Összesen r = s C d d s d d ,954 Értelmezés: a dolgozók keresete és a hav megtakarított összege között kapcsolat poztív ránú és erős.

26 Determnácós egüttható r 0,954 0, ,98% Értelmezés: a dolgozók keresete 90,98%- ban befolásolja a hav megtakarított összeg szóródását.

27 Rangkorrelácó Eg régó vállalatanak gazdálkodására vonatkozó adatok Régó Árbevétel (MFt) Nereség (MFt) 16 10, d d d n(n 1) = 0,773 Értelmezés: a vállalatok árbevétele és neresége között közepesnél szorosabb, poztív ránú kapcsolat van.

28 Regresszó-számítás célja: A ténezőváltozónak () az eredménváltozóra () gakorolt hatását valamlen matematka modell segítségével fejezzük k.

29 A leggakorbb regresszó-függvének lneárs regresszó, hatvánktevős regresszó, eponencáls regresszó, parabolkus regresszó, hperbolkus regresszó

30 A kétváltozós lneárs regresszó modellje Legen X eg ténezőváltozó és Y eg eredménváltozó. Tételezzük fel, hog X lneárs törvénszerűség szernt fejt k hatását Y-ra, lletve közrejátszk eg véletlen mozzanat s. A két változó kapcsolatának a formulája: Y = regresszós egütthatók véletlen változó

31 Az ε véletlen változóról feltételezzük: várható értéke 0 szórása állandó ε változók páronként korrelálatlanok

32 A becsült regresszó függvén: ˆ b b 0 1 Ahol: b 0 és b 1 a regresszós egütthatók becsült értéke

33 Regresszós egütthatók becslése ŷ = b 0 b 1 A becsült regresszós egütthatók kszámításához a legksebb négzetek módszerét alkalmazzuk.

34 b 0 és b 1 paraméterek becslése a legksebb négzetek módszerével: Szélső értéke adott helen akkor lehet, ha b b 1 0 ˆ , n b b b b f b b b f b b b f

35 Ebből átalakítás után nert normálegenletek: X b X b X b n b b b d d d b

36 Azonos tevékenséget végző vállalkozások adata Vállalkozás Reklámkadás Árbevétel (X) 100eFt (Y) MFt d d A 8 0,5 0,9,5 6,5 0,81 B ,5-3,1-4,65,5 9,61 C ,5-4,1 6,15,5 16,81 D ,5-5,1 1,75 6,5 6,01 E ,5-0,1 0,05 0,5 0,01 F 4 1, -1,5-6,9 10,35,5 47,61 G ,5-1,1 0,55 0,5 1,1 H 7 4 1,5 4,9 7,35,5 4,01 I ,5-3,1 7,75 6,5 9,61 J 5-0,5,9-1,45 0,5 8,41 K 9 8 3,5 8,9 31,15 1,5 79,1 L 6 5 0,5 5,9,95 0,5 34,81 Összesen 66 9, , 41 58,1 n= 1 ȳ=9,/1=19,1 ẋ=66/1=5,5

37 ˆ 9,0131, 834

38 Elasztctás egüttható Y relatív változása hánszorosa az X relatív változásának E ; lm 0 Lneárs regresszó esetén az elasztctás egüttható: E : ; b1 b0 b1 d d Átlagos sznten: E b ; 1

39

40 n Rezduáls változó ˆ ˆ ˆ 1 1 e n ˆ ˆ e e n 1 A megfgelt Y értékek eltérés négzetösszege S ˆ S = + S e A regresszó által magarázott eltérésnégzetösszeg A rezduáls eltérés (maradék) eltérésnégzetösszege

41 r r 1 0 A fent összefüggésből a korrelácós hánadoshoz hasonló mérőszám defnálható, amel azonos a determnácós egütthatóval. S ˆ e r 1 r b1 S S S Az Y ngadozását teljes mértékben a regresszóval magarázzuk Az Y szóródása csak a véletlentől függ A b 1 előjelét rendeljük hozzá. s s

42 Reklámk. (X) 100eFt Árbevétel (Y) MFt ,5 0,81 1,06 13,58 3, ,5 9,61 7,569 34,37 1, ,5 16,81 7,569 1,819 16, ,5 6,01 1,06 0,65 14, ,5 0,01 0,841 0,668 18, , 16,5 47,61 7,569 17,1 16, ,5 1,1 0,841 0,033 18, ,5 4,01 7,569 4,617 1, ,5 9,61 1,06,06 14, ,5 8,41 0,841 14,570 18, ,5 79,1 41,10 6,153 5, ,5 34,81 0,841 4,830 0, , ,1 137,98 10,19 9, S e

43 A regresszós modell tesztelése H 0 : β 1 =0 a lneárs regresszó fennállásának tagadása H 1 : β 1 0 A H 0 ellenőrzésére alkalmas próbafüggvén: (ν 1 =1 és ν =n-) Ha F<F krt H 0 -t elfogadjuk Ha F>F krt van szgnfkáns kapcsolat F S s ˆ e S ˆ Se n

44 s e n ˆ Varanca-analízs tábla kétváltozós regresszó-számításnál Összetevő Négzetösszeg Szabadságfok Szórásnégzet Regresszó (SSR) 1 Hbaténező (SSE) Teljes (SST) n- n-1

45 s S ( n 1)

46 Az F-eloszlás táblázata (p=0,95) ,45 199,50 15,71 4,58 30,16 33,99 36,77 38,88 40,54 41,88 45,95 48,0 51,14 51,77 5,0 53,04 53,5 54,3 1 18,51 19,00 19,16 19,5 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,43 19,45 19,47 19,48 19,48 19,49 19,49 19, ,13 9,55 9,8 9,1 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,70 8,66 8,59 8,58 8,57 8,55 8,55 8, ,71 6,94 6,59 6,39 6,6 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,86 5,80 5,7 5,70 5,69 5,66 5,66 5, ,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,6 4,56 4,46 4,44 4,43 4,41 4,40 4, ,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,8 4,1 4,15 4,10 4,06 3,94 3,87 3,77 3,75 3,74 3,71 3,70 3, ,59 4,74 4,35 4,1 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,51 3,44 3,34 3,3 3,30 3,7 3,7 3, ,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3, 3,15 3,04 3,0 3,01,97,97, ,1 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,18 3,14 3,01,94,83,80,79,76,75, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3, 3,14 3,07 3,0,98,85,77,66,64,6,59,58, ,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,01,95,90,85,7,65,53,51,49,46,45, ,75 3,89 3,49 3,6 3,11 3,00,91,85,80,75,6,54,43,40,38,35,34, ,67 3,81 3,41 3,18 3,03,9,83,77,71,67,53,46,34,31,30,6,5, ,60 3,74 3,34 3,11,96,85,76,70,65,60,46,39,7,4,,19,18, ,54 3,68 3,9 3,06,90,79,71,64,59,54,40,33,0,18,16,1,11, ,49 3,63 3,4 3,01,85,74,66,59,54,49,35,8,15,1,11,07,06, ,45 3,59 3,0,96,81,70,61,55,49,45,31,3,10,08,06,0,01 1, ,41 3,55 3,16,93,77,66,58,51,46,41,7,19,06,04,0 1,98 1,97 1, ,38 3,5 3,13,90,74,63,54,48,4,38,3,16,03,00 1,98 1,94 1,93 1, ,35 3,49 3,10,87,71,60,51,45,39,35,0,1 1,99 1,97 1,95 1,91 1,90 1, ,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,37,3,18,10 1,96 1,94 1,9 1,88 1,87 1,81 1 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,34,30,15,07 1,94 1,91 1,89 1,85 1,84 1,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,3,7,13,05 1,91 1,88 1,86 1,8 1,81 1, ,6 3,40 3,01,78,6,51,4,36,30,5,11,03 1,89 1,86 1,84 1,80 1,79 1, ,4 3,39,99,76,60,49,40,34,8,4,09,01 1,87 1,84 1,8 1,78 1,77 1, ,08 3,3,84,61,45,34,5,18,1,08 1,9 1,84 1,69 1,66 1,64 1,59 1,58 1, ,03 3,18,79,56,40,9,0,13,07,03 1,87 1,78 1,63 1,60 1,58 1,5 1,51 1, ,00 3,15,76,53,37,5,17,10,04 1,99 1,84 1,75 1,59 1,56 1,53 1,48 1,47 1, ,94 3,09,70,46,31,19,10,03 1,97 1,93 1,77 1,68 1,5 1,48 1,45 1,39 1,38 1, ,9 3,07,68,45,9,18,09,0 1,96 1,91 1,75 1,66 1,50 1,46 1,43 1,37 1,35 1,5 10 3,84 3,00,60,37,1,10,01 1,94 1,88 1,83 1,67 1,57 1,39 1,35 1,3 1,4 1, 1,00

47 A regresszós egüttható (β 1 ) tesztelése H 0 : β 1 =0 valójában nncs korrelácó H 1 : β 1 0 A H 0 ellenőrzésére alkalmas próbafüggvén: t v Ha t <t (1-α/) H 0 -t elfogadjuk Ha t >t (1-α/) H 0 -t elvetjük, van kapcsolat X és Y között b s b n 1

48 Student s Gazdaságtudomán t-test Kar Df 0,55 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0, ,158 0,35 0,77 1,000 1,376 3,08 6,31 1,71 31,8 63,66 0,14 0,89 0,617 0,816 1,061 1,89,9 4,30 6,96 9,9 3 0,137 0,77 0,584 0,765 0,978 1,64,35 3,18 4,54 5,84 4 0,134 0,71 0,569 0,741 0,941 1,53,13,78 3,75 4,60 5 0,13 0,67 0,559 0,77 0,90 1,48,0,57 3,36 4,03 6 0,131 0,65 0,553 0,718 0,906 1,44 1,94,45 3,14 3,71 7 0,130 0,63 0,549 0,711 0,896 1,4 1,90,36 3,00 3,50 8 0,130 0,6 0,546 0,706 0,889 1,40 1,86,31,90 3,36 9 0,19 0,61 0,543 0,703 0,883 1,38 1,83,6,8 3,5 10 0,19 0,60 0,54 0,700 0,879 1,37 1,81,3,76 3, ,19 0,60 0,540 0,697 0,876 1,36 1,80,0,7 3,11 1 0,18 0,59 0,539 0,695 0,873 1,36 1,78,18,68 3, ,18 0,59 0,538 0,694 0,870 1,35 1,77,16,65 3, ,18 0,58 0,537 0,69 0,868 1,34 1,76,14,6, ,18 0,58 0,536 0,691 0,866 1,34 1,75,13,60, ,18 0,58 0,535 0,690 0,865 1,34 1,75,1,58,9 17 0,18 0,57 0,534 0,689 0,863 1,33 1,74,11,57, ,17 0,57 0,534 0,688 0,86 1,33 1,73,10,55, ,17 0,57 0,533 0,688 0,861 1,33 1,73,09,54,86 0 0,17 0,57 0,533 0,687 0,860 1,3 1,7,09,53,84 1 0,17 0,57 0,53 0,686 0,859 1,3 1,7,08,5,83 0,17 0,56 0,53 0,686 0,858 1,3 1,7,07,51,8 3 0,17 0,56 0,53 0,685 0,858 1,3 1,71,07,50,81 4 0,17 0,56 0,531 0,685 0,857 1,3 1,71,06,49,80 5 0,17 0,56 0,531 0,684 0,856 1,3 1,71,06,48,79 6 0,17 0,56 0,531 0,684 0,856 1,3 1,71,06,48,78 7 0,17 0,56 0,531 0,684 0,855 1,31 1,70,05,47,77 8 0,17 0,56 0,530 0,683 0,855 1,31 1,70,05,47,76 9 0,17 0,56 0,530 0,683 0,854 1,31 1,70,04,46, ,17 0,56 0,530 0,683 0,854 1,31 1,70,04,46, ,16 0,55 0,59 0,681 0,851 1,30 1,68,0,4, ,16 0,54 0,57 0,679 0,848 1,30 1,67,00,39, ,16 0,54 0,56 0,677 0,845 1,9 1,66 1,98,36,6 0,16 0,53 0,54 0,674 0,84 1,8 1,645 1,96,33,58

49 Regresszós becslés pontossága

50 Paraméter Becslő függvén Standard hba 0 b 0 s e n( ) 1 b 1 ( ) s e 0 ŷ 0 s e 1 n ( 0 ( ) ) Y 0 ŷ 0 s e 1 1 n + ( 0 ( ) ) s e n ˆ

51 Köszönöm a fgelmet! stcsera@un-mskolc.hu