Kvantitatív statisztikai módszerek

Átírás

1 Kvantitatív statisztikai módszerek 1. konzultáció tárgyjegyző Dr. Szilágyi Roland

2 Mérési skálák Számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez, bizonyos tulajdonságokhoz. 4 féle szabály alapján (erősségi fokozat szerint): - nominális skála - sorrendi skála - intervallum skála (különbség skála) - arány skála

3 1. Nominális skála (névleges) Számok kötetlen hozzárendelése Területi, minőségi ismérvek megfigyelésekor A szám csak azonosító Pl. rendszám, irányítószám Pl: kódolás: Szőke: 1, barna:, vörös: 3, fekete: 4 Férfi: 1, nő:

4 . Ordinális, sorrendi skála A sokaság egyedeinek egy közös tulajdonság alapján való sorba rendezése. A skálán az egyes egyedek nem feltétlen egyforma távolságra helyezkednek el egymástól. Pl. hallgatók osztályzata, országok hitelképességének sorrendje

5 3. Intervallum skála A két adat különbsége értelmezett, valós adat. Zérus pontja önkényes. A zérus pont nem jelenti azt, hogy az adott egyed nem rendelkezik az adott tulajdonsággal. De: nem értelmezhető a két adat összege, aránya, különbsége. Pl. Celsius fok

6 4. Arány skála A legerősebb mérési skála Zérus pontja természetesen adódik Bármely két érték aránya független a mértékegységtől Értelmezhető a két adat összege, aránya is Pl. hosszúság, pontszám

7 Összefüggés vizsgálat

8 Két változó közötti kapcsolat Független: Az X ismérv szerinti hovatartozás ismerete nem ad semmilyen többletinformációt az Y szerinti hovatartozásról. Sztochasztikus: Az egyik ismérv hatással van a másikra, de nem határozza meg egyértelműen annak értékeit/változatait. Függvényszerű (determinisztikus): A vizsgált egységek X szerinti hovatartozásának ismeretében egyértelműen megmondható azok Y szerinti hovatartozása is.

9 Sztochasztikus kapcsolatok fajtái Asszociáció (mindkét ismérv minőségi/területi ismérv, nominális skálán mérve). Vegyes (egyik ismérv mennyiségi, másik területi/minőségi, intervallum/arány és nominális skálán mérve. Korreláció (mindkét ismérv mennyiségi, intervallum/arány skálán mérve). Rangkorreláció (mindkét változó sorrendi skálán mérhető).

10 Az összefüggés vizsgálat eszközei Két nominális változó közötti kapcsolatot az asszociációs mérőszámokkal jellemezzük. Ordinális típusú változók összefüggését a rangkorrelációs mutatók mérik. Arány skála típusú változók összefüggését korreláció- és regresszió-analízissel elemezzük. Intervallum/arány és nominális skálán mért változók közötti összefüggést H;

11 A kapcsolatszorossági mutatókkal szemben támasztott követelmények Egyértelmű definíció Zárt intervallumban mozogjon Célszerű, ha: 0 < mutató < 1 0: teljes függetlenség 1: függvényszerű (determinisztikus) a kapcs. Monotonitás

12 Cramer asszociációs együttható B P A P B A P n f f f f f f χ 1 t 1 s n χ T j i * i r 1 i * i * i i A függetlenség feltételezésével számított gyakoriságokból indul ki. Csuprov mutató

13 T max 4 s 1 s t t 1 Cramer mutató C T T max n χ s 1

14 Egy vállalat dolgozóinak szakképzettség szerinti csoportosítása Szakképzettség Férfiak (fő) Nők (fő) Összesen (fő) Clerical Custodial Manager Összesen

15 Output Symmetric Measures Nominal by Nominal N of Valid Cases Phi Cramer's V a. Not assuming the null hy pothesis. b. Value Approx. Sig.,409,000,409, Using t he asy mptotic standard error assuming the null hy pothesis. 0 C 0,3 gyenge kapcsolat 0,3 C 0,7 közepesen erős kapcsolat 0,7 C 1 erős kapcsolat Közepesen erős a kapcsolat a nem és a munka típusa között.

16 Output A nők 4,6%-a menedzser. A dolgozók 33,1%-a férfi hivatalnok. Minden custodial férfi. Elemszám (itt: dolgozói létszám)

17 Vegyes kapcsolatok szorosságának elemzése Szóráshányados: a kapcsolat szorosságának mérőszáma S k σk Szórásnégyzet-hányados: A mennyiségi ismérv szóródását mennyiben befolyásolja a csoportosító ismérv szerinti hovatartozás. H=H =0 függetlenség H=H =1 függvényszerű (determinisztikus) kapcsolat H H S Sk S σ σ σ k

18 H SS SS K σ σ K Szóráshányados: a kapcsolat szorosságát 0-1 közötti értékkel méri Vegyes kapcsolat vagy Ahol: H = H = 0 - függetlenség (nincs kapcsolat) H = H = 1 - függvényszerű kapcsolat 0 H 1 - sztochasztikus kapcsolat 0 H 0,3 gyenge kapcsolat 0,3 H 0,7 közepesen erős kapcsolat 0,7 H 1 erős kapcsolat 0 H 1 H SS SS K σ σ K Megmutatja, hogy a csoportosító (minőségi/területi) ismérv milyen hányadban, hány százalékban magyarázza a vizsgált mennyiségi ismérv szóródását.

19 Output Current Salary Gender Female Male Total Report Mean N Std. Dev iation $6, $7, $41, $19, $34, $17, Ez a táblázat a függő változó (current salary) középértékeit & szóródási mutatóit mutatja a független változó (nem) szerint csoportosítva. ANOVA Table Current Salary * Gender Between Groups Within Groups Total (S) (S B ) (Combined) (S K ) Sum of Squares df Mean Square F Sig.,8E+010 1,79E ,798,000 1,1E ,5 1,4E Measures of Association Current Salary * Gender Közepesen erős a kapcsolat a nem és a jelenlegi fizetés között. H Eta Eta Squared,450,0 H S S K %; hány százalékban magyarázza a független változó (nem) a függő változó (fizetés) szóródását

20 Korrelációs kapcsolat elemzése Van-e összefüggés az ismérvek között? Milyen irányú az összefüggés? Mennyire szoros a kapcsolat? Az egyik ismérv változása milyen hatással van a másik ismérv változására?

21 Alapfogalmak I. A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatot korrelációnak nevezzük. A korrelációszámítás: a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat szorosságának mérése. A regressziószámítás: a mennyiségi ismérvek egymásra gyakorolt hatásának számszerűsítésével, e hatások irányának és mértékének megállapításával foglalkozik.

22 Alapfogalmak II. Ha a korreláció mögött egyirányú okozati összefüggés állapítható meg: az ok szerepét betöltő ismérvet tényezőváltozónak, magyarázó-, független változónak (X), az okozat szerepét játszó ismérvet pedig eredményváltozónak, függő változónak (Y) nevezzük.

23 A korreláció fontosabb típusai

24 Korreláció hiánya A regresszió-függvény bármely X helyen azonos (közel azonos) értéket vesz fel. A függvény képe vízszintes vonal. ( Y független X-től, X nem befolyásolja Y értékét.)

25 A korreláció hiánya Y = E X 3 R - S q = 3. 4 % N i n c s k o r r e lá c i ó

26 Függvényszerű kapcsolat A korreláció hiányának logikai ellentéte a függvényszerű kapcsolat. Egy adott X értékhez csupán egyetlen Y érték tartozhat. Ilyenkor a pontdiagram pontjai a regresszió-vonalhoz illeszkednek, azaz a regresszióvonal körül nincs szóródás.

27 Pozitív korreláció Általában a regressziógörbe körül van szóródás. A regressziógörbe alakja a korreláció tartalmát fejezi ki. Ha nagyobb X értékekhez általában nagyobb Y értékek tartoznak, vagyis a tényezőváltozó növelése az eredményváltozó nagyságát növeli.

28 Pozitív korreláció Y = E X 3 R -S q = 6. 5 % P o z i t ív k o r r e l á c i ó

29 Negatív korreláció Az előbbi kapcsolat ellentéte természetesen a negatív korreláció, amelyet a regressziófüggvény ugyancsak szemléletesen jelez.

30 Negatív korreláció Y = E X 3 R - S q = % N e g a t ív k o r r e lá c i ó

31 Görbevonalú kapcsolat A lineáristól eltérő típust görbe vonalú (nemlineáris) kapcsolatnak nevezzük. A nemlineáris kapcsolatok egy részénél továbbra is van értelme pozitív, vagy negatív irányzatról beszélni, feltéve, hogy a görbe monoton növekvő, illetve csökkenő irányzatot mutat az értelmezési tartományon belül. Nem lehet azonban pozitív vagy negatív irányról beszélni, ha a regresszió irányt változtat.

32 Görbevonalú kapcsolat Y = X X * * 4 0 R - S q = % N e m l i n e á r i s k o r r e lá c i ó

33 A kapcsolat szorosságának mérőszámai

34 A kovariancia Az X és Y mennyiségi változók közötti kapcsolat irányát mutatja meg. A megfelelő átlagtól vett ( x - x) és ( y - y) eltéréseken alapszik. C = d x d n -1 y = xy n -1 - x y C r s x s y

35 Kovariancia tulajdonságai A kovariancia nulla, ha a pozitív és a negatív előjelű eltérésszorzatok összege kiegyenlíti egymást. Kovariancia előjele a kapcsolat irányát mutatja. A kovariancia abszolút mértékének nincs határozott felső korlátja. A kovariancia a két változóban szimmetrikus, X és Y szerepe a formulában felcserélhető.

36 Dolgozó Egy vállalat dolgozóinak keresete és havi megtakarítása Bér (Ft/fő) Havi megtakarítás (Ft/hó) d x d y d x d y d x d y Összesen

37 Kovariancia C = d x d n -1 y = xy n -1 - x y ,8 Értelmezés: a dolgozók keresete és a havi megtakarított összege közötti kapcsolat pozitív irányú.

38 A korrelációs együttható A korrelációs együttható a lineáris korreláció szorosságának legfontosabb mérőszáma. A kapcsolat hiányát (korrelálatlanság) az r = 0 érték jelzi. Az r előjele a korreláció irányát mutatja. Tökéletes (függvényszerű) lineáris kapcsolatnak - az iránytól függően - az r = +1, illetve r = -1 értékek felelnek meg. A szélsőséges helyzetek között az együttható abszolút értéke a kapcsolat szorosságáról tájékoztat.

39 Lineáris korrelációs együttható (Pearson) d d = xy - n x y x y d = x n x x d = y n y y ) )( ( y x y x y x y n y x n x y x xy- n d d d d C = r s s

40 Lineáris korrelációs együttható Dolgozó Bér (Ft/fő) Havi megtakarítás (Ft/hó) d x d y d x d y d x d y Összesen r = s x C dxd y s y dx d y ,954 Értelmezés: a dolgozók keresete és a havi megtakarított összege közötti kapcsolat pozitív irányú és erős.

41 Determinációs együttható A determinációs együttható megmutatja, hogy a magyarázóváltozó hány %-ban befolyásolja az eredményváltozó szóródását. Jele: r A determinációs együttható jellemzi: A regressziós függvény illeszkedését, A modell magyarázó erejét.

42 Determinációs együttható r 0,954 0, ,98% Értelmezés: a dolgozók keresete 90,98%- ban befolyásolja a havi megtakarított összeg szóródását.

43 A rangkorreláció Létezhetnek a statisztikai sokaság egységeinek olyan kvantitatív jellegű tulajdonságai, amelyek számszerűen egyáltalán nem, vagy csak nehezen mérhetők. A mutatószám értéke r-hez hasonlóan természetesen -1 és 1 között helyezkedik el. Ha a kétféle rangsorszám rendre megegyezik, akkor = 1, ha a sorszámok a két ismérv szerint következetesen ellentétesen alakulnak, akkor = -1. 6di = 1- n(n 1)

44 Rangkorreláció Egy régió vállalatainak gazdálkodására vonatkozó adatok Régió Árbevétel (MFt) Nyereség (MFt) 16 10, x y d d di 646 = 1-1 0,71 n(n 1) Értelmezés: a vállalatok árbevétele és nyeresége között közepesnél szorosabb, pozitív irányú kapcsolat van.

45 Köszönöm a figyelmet! roland.szilagyi@uni-miskolc.hu