Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés

Átírás

1

2 Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI

3 Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció elemzés Idősorok és grafikus ábrázolásuk Dinamikus viszonyszámok

4 Ismérv szerinti rendezés Minőségi (hajszín, nem, születési hely) Mennyiségi (magasság, kor, jövedelem) diszkrét véges, v megszámlálhatóan végtelen értéket vehet fel. Pl szobák száma lehet 1, 1.5, 2, 2.5, stb szobás. folytonos (egy adott intervallumon belül) bármilyen értéket felvehet. Pl alapterület: egy 54 nm-es lakás lehet valójában 53,78, vagy 54,003 nm-es is, vagy bármi 53,5 és 54.5 között. (a pontosság kedvéért: minden racionális szám (a tizedestörttel feĺırhatók is ide tartoznak) megszámlálható, a gond az irracionális számokkal van, pl ha a lakás kör alapterületű.) Rangsor Mennyiségi ismérv értékeinek monoton sorozata.

5 Gyakorisági sorok Csoportosító sor A sokaság egységeinek mennyiségi ismérv szerinti osztályozása. HA az ismérvváltozatok száma kicsi, 1-1 ismérvváltozat szerint. HA nagy, több ismérvértéket magukba foglaló intervallumok, ún. osztályközök szerint. Gyakoriság (f i ) Az egy-egy csoportba/osztályközbe tartozó egységek száma. Relatív gyakoriság (g i = f i N ) Az egy csoportba/osztályközbe tartozó egységek (százalékos) részesedése. Ha az osztályok 1 ismérvértékből állnak, (gyakorisági) eloszlás, osztályközök esetén (gyakorisági) megoszlás.

8 Gyakorisági sorok általános sémája Ismérvérték X i Gyakoriság f i X 1 f 1 X 2 f 2. X i. yí X k Összesen. f i. f k N

9 Gyakorisági sorok általános sémája Az osztályközök Gyakoriság Alsó határa Felső határa f i X 1 X 1 f 1 X 2 X 2 f 2... X i X i f i... X k X k f k Összesen N

10 Gyakorisági sorok általános sémája Ismérvérték X i Relatív gyakoriság g i X 1 g 1 X 2 g 2. X i. g i.. yí X k g k Összesen 1

11 Gyakorisági sorok általános sémája Az osztályközök Relatív gyakoriság Alsó határa Felső határa g i X 1 X 1 g 1 X 2 X 2 g 2... X i X i g i... X k X k g k Összesen 1

12 Osztályközök Az osztályközök meghatározása Minden ismérvérték pontosan 1 osztályba tartozzon Az osztályközök megadása Valódi határok : Hézagmentesen illeszkednek (45 50, 50 55,...). Minden ismérvérték besorolásra kerül. Közölt határok : Az intervallumok kezdőértékeit a mérési pontosság egységével eltoljuk ( 20.0, ,...). Egyértelmű besorolhatóság

13 Osztályközök Az osztályközök meghatározása Minden ismérvérték pontosan 1 osztályba tartozzon Számuk a legkisebb k, melyre 2 k > N Az osztályközök megadása Valódi határok : Hézagmentesen illeszkednek (45 50, 50 55,...). Minden ismérvérték besorolásra kerül. Közölt határok : Az intervallumok kezdőértékeit a mérési pontosság egységével eltoljuk ( 20.0, ,...). Egyértelmű besorolhatóság

14 Osztályközök Az osztályközök meghatározása Minden ismérvérték pontosan 1 osztályba tartozzon Számuk a legkisebb k, melyre 2 k > N Hosszuk h = Xmax X min k Az osztályközök megadása Valódi határok : Hézagmentesen illeszkednek (45 50, 50 55,...). Minden ismérvérték besorolásra kerül. Közölt határok : Az intervallumok kezdőértékeit a mérési pontosság egységével eltoljuk ( 20.0, ,...). Egyértelmű besorolhatóság

15 Osztályközök Az osztályközök meghatározása Minden ismérvérték pontosan 1 osztályba tartozzon Számuk a legkisebb k, melyre 2 k > N Hosszuk h = Xmax X min k

16 Osztályközök Az osztályközök meghatározása Minden ismérvérték pontosan 1 osztályba tartozzon Számuk a legkisebb k, melyre 2 k > N Hosszuk h = Xmax X min k Nagy X max X min különbség, egyenetlen eloszlás esetén nem egyforma osztályközök. Az osztályközök megadása Valódi határok : Hézagmentesen illeszkednek (45 50, 50 55,...). Minden ismérvérték besorolásra kerül. Közölt határok : Az intervallumok kezdőértékeit a mérési pontosság egységével eltoljuk ( 20.0, ,...). Egyértelmű besorolhatóság

17 Osztályközök Az osztályközök meghatározása Minden ismérvérték pontosan 1 osztályba tartozzon Számuk a legkisebb k, melyre 2 k > N Hosszuk h = Xmax X min k Nagy X max X min különbség, egyenetlen eloszlás esetén nem egyforma osztályközök. Az osztályközök megadása Valódi határok : Hézagmentesen illeszkednek (45 50, 50 55,...). Minden ismérvérték besorolásra kerül. Közölt határok : Az intervallumok kezdőértékeit a mérési pontosság egységével eltoljuk ( 20.0, ,...). Egyértelmű besorolhatóság Nyitott osztályköz : Egyik határa hiányzik; számolásokban ugyanolyan hosszú, mint a többi

18 Kumulatív gyakoriság Kumulatív gyakoriság (f i ) A felső értékhatárnak megfelelő, vagy kisebb ismérvértékek előfordulásának száma. Kumulatív relatív gyakoriság (g i ) A felső értékhatárnak megfelelő, vagy kisebb ismérvértékek előfordulásának aránya. Lefelé kumulatív (relatív) gyakoriság (f i (g i )) Az alsó értékhatárnak megfelelő, vagy nagyobb ismérvértékek előfordulásának száma (aránya).

19 Értékösszegsorok Értékösszegsor A mennyiség ismérv alapján kialakított osztályokhoz az odatartozó egységek ismérvértékeinek összegét (S i ) rendeli. A sokaság teljes értékösszege S = k i=1 f i X i. Osztályközös gyakoriság esetén... a tényleges értékösszeg csak az eloszlás ismeretében határozható meg. egyébként az osztályközépsőből (X i = x i +x i 2 ) becsüljük. A relatív értékösszeg az a megoszlási viszonyszám, ami az osztályok értékösszegét (S i ) a teljes értékösszeghez (S) viszonyítja.

20 Grafikus ábrázolás: Definíciók Hisztogram Hézagmentesen illesztett téglalapokkal szemléltet. Egyenlő osztályközök esetén területük arányos a relatív gyakorisággal. Különböző osztályközhosszúságok esetén magasságuk az egységnyi osztályközhosszra jutó gyakoriság (( fi h i ), vagy ( gi h i )) sűrűséghisztogram. Gyakorisági poligon Az osztályközepeknél felmért gyakoriságok pontjait egyenes szakaszokkal összekötő vonaldiagram.

21 Gyakorisági sorok grafikus ábrázolása Osztályok: bot-ábra Osztályközök: hisztogram

22 Gyakorisági sorok grafikus ábrázolása Osztályok: bot-ábra Osztályközök: gyakorisági poligon

23 Helyzetmutatók: Módusz Módusz (Mo) A leggyakoribb elem a sokaságban tipikus érték Mo Nyers módusz: a gyakorisági poligon maximumhelye. Folytonos/sokváltozatos mennyiségi ismérv esetén modális osztályköz. A modális osztályköz közepe: nyers módusz

26 Helyzetmutatók: Módusz Módusz (Mo) A leggyakoribb elem a sokaságban tipikus érték Szimmetrikus a megoszlás: modális osztályköz közepe.

27 Helyzetmutatók: Módusz Módusz (Mo) A leggyakoribb elem a sokaságban tipikus érték Szimmetrikus a megoszlás: modális osztályköz közepe. Amúgy Mo = mo + k 1 k 1 + k 2 h mo: a mod. osztályköz alsó határa k 1 (k 2 ): a mod. és megelőző (követő) osztályköz gyakorisága különbsége h: a modális osztályköz hossza.

28 Helyzetmutatók: Módusz Módusz (Mo) A leggyakoribb elem a sokaságban tipikus érték Szimmetrikus a megoszlás: modális osztályköz közepe. Amúgy Mo = mo + k 1 k 1 + k 2 h mo: a mod. osztályköz alsó határa k 1 (k 2 ): a mod. és megelőző (követő) osztályköz gyakorisága különbsége h: a modális osztályköz hossza.

29 Medián Medián (Me) Ugyanannyi kisebb és nagyobb érték. A = Me minimalizálja a N i=1 X i A -t Ha az elemszám páratlan a medián -edik ismérvérték. Ha páros, az N 2 és N edik ismérvértékek átlaga az N+1 2

32 Medián Medián (Me) Ugyanannyi kisebb és nagyobb érték. Osztályközös gyakoriság esetén az i-edik osztályköz tartalmazza, ha f i 1 N 2 f i Egyenletes elhelyezkedés esetén: Me = me + N 2 f me 1 f me h me: a med. osztályköz alsó határa f kumulált gyakoriság h: a mediánt tartalmazó osztályköz hossza.

33 Medián Medián (Me) Ugyanannyi kisebb és nagyobb érték. Osztályközös gyakoriság esetén az i-edik osztályköz tartalmazza, ha f i 1 N 2 f i Egyenletes elhelyezkedés esetén: Me = me + N 2 f me 1 f me h me: a med. osztályköz alsó határa f kumulált gyakoriság h: a mediánt tartalmazó osztályköz hossza.

34 Átlag Átlag (X ) Az ismérvértékek összegének és a sokaság elemszámának hányadosa; az ismérvértékek számtani átlaga. X = N i=1 X i N Gyakorisági sor esetén súlyozott átlag X = N i=1 f i X i N i=1 f i Megoszlásból becsült érték, súlyozott harmonikus átlag: X = N i=1 S i N S i i=1 X i (X i az osztályközép, S i az i-edik értékösszeg.)

37 Kvantilisek q-ad rendű, vagy q-adik kvantilis (Q q ) Az ismérvértékek rangsorát q : (1 q) arányban osztó ismérvérték Q q = X i, ha f i 1 N q f i Gyakori kvantilisek: Tercilisek: Q 1 3 Kvartilisek: Q 1 4 Q 3 4 = T 2 (felső kvartilis) Kvintilisek: Q i 5 Decilisek: Q i 10 = T 1 (alsó tercilis), Q 2 3 = Q 1 (alsó kvartilis), Q 2 4 = K i = D i Percentilisek: Q i 100 = P i = T 2 (felső tercilis) = Me (medián),

38 Kvantilisek q-ad rendű, vagy q-adik kvantilis (Q q ) Az ismérvértékek rangsorát q : (1 q) arányban osztó ismérvérték Q q = X i, ha f i 1 N q f i Gyakori kvantilisek: Tercilisek: Q 1 3 Kvartilisek: Q 1 4 Q 3 4 = T 2 (felső kvartilis) Kvintilisek: Q i 5 Decilisek: Q i 10 = T 1 (alsó tercilis), Q 2 3 = Q 1 (alsó kvartilis), Q 2 4 = K i = D i Percentilisek: Q i 100 = P i = T 2 (felső tercilis) = Me (medián),

39 Kvantilisek q-ad rendű, vagy q-adik kvantilis (Q q ) Az ismérvértékek rangsorát q : (1 q) arányban osztó ismérvérték Q j k meghatározása, mint a mediáné: Rangsorból [ kiindulva ] m = j k (N + 1) X m az { m-edik elem } a rangsorban t = j k (N + 1) = j k (N +1) m. Ekkor = X m + t(x m+1 X m ) Q j k

40 Szóródás Szóródás Azonos fajta számszerű adatok különbözősége. Léteznek abszolút és relatív mutatói. Gyakran használt mérőszámok: a szóródás terjedelme az átlagos eltérés szórás átlagos különbség relatív szórás

41 A szóródás terjedelme Szóródás terjedelme (R) Az előforduló legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége: R = X max X min. Interkvantilis terjedelemmutatók A két szélső kvantilis különbsége. Pl. D 9 D 1.

42 A szóródás terjedelme Szóródás terjedelme (R) Az előforduló legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége: R = X max X min. Interkvantilis terjedelemmutatók A két szélső kvantilis különbsége. Pl. D 9 D 1.

43 Átlagos eltérés Átlagos eltérés (δ) Az értékek számtani átlagtól vett abszolút eltérésének átlaga. Ha d i = X i X, illetve δ = N i=1 X i X = N k i=1 δ = f i X i X k i=1 f = i N i=1 d i, N k i=1 f i d i k i=1 f. i

44 Szórás Szórás (σ) Az értékek számtani átlagtól vett eltérésének négyzetes átlaga. Ha d i = X i X, σ = σ = N i=1(x i X) 2 N i=1 N = d2 i N k i=1 f i(x i X) 2 k = i=1 f i, illetve k i=1 f i di 2 k. i=1 f i A szórásnégyzet (σ 2 ) más néven variancia. Eltérés-négyzetösszeg: SS = N ( i=1 Xi X ) 2, illetve SS = N i=1 f ( i Xi X ) 2. Relatív szórás V = σ X

47 Szórás tulajdonságai δ σ. σ Xi +A = σ Xi σ B Xi = B σ B Xi 2 2 σ = X q X

48 Szórás tulajdonságai δ σ. σ Xi +A = σ Xi σ B Xi = B σ B Xi 2 2 σ = X q X

49 Átlagos különbség Átlagos különbség vagy Gini-féle szóródási mérőszám (G) Az ismérvértékek egymástól számított abszolút különbségeinek számtani átlaga. G = N N i=1 j=1 X i X j k k i=1 j=1 N 2 illetve G = f if j X i X j N 2

50 Az aszimmetria és mérőszámai bal oldali szimmetrikus jobb oldali aszimmetria eloszlás aszimmetria Mo < Me < X Mo = Me = X Mo > Me > X Q 3 Me > Me Q 1 Q 3 Me = Me Q 1 Q 3 Me < Me Q 1

51 Az aszimmetria és mérőszámai bal oldali szimmetrikus jobb oldali aszimmetria eloszlás aszimmetria Mo < Me < X Mo = Me = X Mo > Me > X Q 3 Me > Me Q 1 Q 3 Me = Me Q 1 Q 3 Me < Me Q 1 A > 0 A = 0 A < 0 Pearson-féle mutató A számtani átlag és a módusz viszonyán alapul: A = X Mo σ

52 Az aszimmetria és mérőszámai bal oldali szimmetrikus jobb oldali aszimmetria eloszlás aszimmetria Mo < Me < X Mo = Me = X Mo > Me > X Q 3 Me > Me Q 1 Q 3 Me = Me Q 1 Q 3 Me < Me Q 1 A > 0 A = 0 A < 0 F > 0 F = 0 F < 0 F-mutató Az alsó és felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul: F = (Q 3 Me) (Me Q 1 ) (Q 3 Me) + (Me Q 1 ) Kiszámítható más kvantilisből, pl. decilisekből is. Többmóduszú eloszlásoknál is alkalmazható

53 Koncentráció Koncentráció A sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős része kevés egységre összpontosul. (Általában: tömörülés, összpontosulás) A relatív gyakoriságok (g i ) és relatív értékösszegek (Z i ) összehasonĺıtásával mutatható ki. Lorenz-görbe kumulált relatív értékösszeg a kum. gyakoriságok függvényében. Koncentrációs együttható (K) koncentrációs terület aránya az átló alatti területhez. K = G 2X.

56 Idősorok Idősor (Y 1, Y 2,..., Y t,..., Y n ) Társadalmi/gazdasági jelenség egyenlő időközönként mért értékei. állapotidősor, v. tartamidősor

57 Idősorok Idősor (Y 1, Y 2,..., Y t,..., Y n ) Társadalmi/gazdasági jelenség egyenlő időközönként mért értékei. állapotidősor : álló sokaságok időbeli változását mutatja; állapotfelvételek eredménye. tartamidősor: mozgó sokaságok időbeli változását mutatja; időtartam folyamán bekövetkezett események.

58 Idősorok Idősor (Y 1, Y 2,..., Y t,..., Y n ) Társadalmi/gazdasági jelenség egyenlő időközönként mért értékei. állapotidősor tartamidősor Dinamikus viszonyszámok Bázisviszonyszám b t = Yt Y b Láncviszonyszám l t = Yt Y t 1

59 Idősorok Idősor (Y 1, Y 2,..., Y t,..., Y n ) Társadalmi/gazdasági jelenség egyenlő időközönként mért értékei. állapotidősor tartamidősor Dinamikus viszonyszámok Bázisviszonyszám b t = Yt Y b b t = l b+1 l b+2... l t = t i=b+1 l i Láncviszonyszám l t = Yt l t = Y t 1 bt b t 1

60 Idősorok grafikus ábrázolása Vonaldiagrammal, a vízszintes tengelyen az időszakok, a függőleges tengelyen az idősor adatai.

61 Idősorok elemzése: Átlagos értékek Tartamidősorok Az adatok összegezhetők. n t=1 Y = Y t n A jelenség egy időszakra jutó átlagos értéke. (Pl. egy weboldal átlagos látogatottsága) Állapotidősorok Az összegzésnek nincs értelme: kronologikus átlag Y k = Y k = Y 1 +Y Y n 1+Y n 2 n 1 Y n 1 t=2 Y t + Yn 2 n 1 Egyfajta súlyozott átlag.

62 Idősorok elemzése: Átlagos változás vizsgálata Fejlődés átlagos mértéke A bekövetkezett átlagos abszolút változás d = (Y 2 Y 1 ) + (Y 3 Y 2 ) + + (Y n Y n 1 ) n 1 = Y n Y 1 n 1 Fejlődés átlagos üteme A bekövetkezett átlagos relatív változás l = n 1 l 2 l 3 l n = n 1 n t=2 l t = n 1 Yn Y 1

63 Idősorok elemzése: Átlagos változás vizsgálata Fejlődés átlagos mértéke A bekövetkezett átlagos abszolút nominális változás d = (Y 2 Y 1 ) + (Y 3 Y 2 ) + + (Y n Y n 1 ) n 1 = Y n Y 1 n 1 Fejlődés átlagos üteme A bekövetkezett átlagos relatív változás l = n 1 l 2 l 3 l n = n 1 n t=2 l t = n 1 Yn Y 1

64 Idősorok elemzése: Átlagos változás vizsgálata Fejlődés átlagos mértéke A bekövetkezett átlagos abszolút nominális változás d = (Y 2 Y 1 ) + (Y 3 Y 2 ) + + (Y n Y n 1 ) n 1 = Y n Y 1 n 1 Fejlődés átlagos üteme A bekövetkezett átlagos relatív változás l = n 1 l 2 l 3 l n = n 1 n t=2 l t = n 1 Yn Y 1

65