Statisztikai alapfogalmak (2011. szeptember ) Statisztika I. GZM, EE, TV szakok (nappali tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak

Átírás

1 Témakörök Statisztika I. GZM, EE, TV szakok (nappali tagozat) es tanév I. félév Oktató: Dr. Csáfor Hajnalka tanszékvezető főiskolai docens Regionális és Környezetgazdaságtan Tsz. Statisztikai alapfogalmak Statisztikai elemzések viszonyszámokkal Statisztikai adatok és információk grafikus megjelenítése Mennyiségi ismérv szerinti elemzés (számított és helyzeti középértékek, szóródás mutatói, aszimmetria) Sztochasztikus kapcsolatok vizsgálata (asszociáció és vegyes kapcsolat) Indexszámítás (érték-, ár- és volumenindexek, területi indexek és indexsorok) (Részletesen a tantárgyi programban, ami a GTI honlapján érhető el.) Kötelező és ajánlott irodalmak Kötelező irodalom: Dr. Illyésné dr. Molnár Emese: Statisztikai feladatgyűjtemény I. Perfekt Kiadó Továbbá a zárthelyi dolgozatok anyagát képezik az előadásokon és szemináriumokon elhangzottak. Ajánlott irodalom: Korpás Attiláné dr.: Általános statisztika I. Nemzeti Tankönyvkiadó Hunyadi László Vita László: Statisztika I. BA tankönyv AULA Kiadó Bp Molnár Máténé dr. Tóth Mártonné dr.: Általános statisztika példatár I. Nemzeti Tankönyvkiadó Számonkérés és értékelés A gyakorlatokon való részvétel kötelező, a félév során igazolástól függetlenül legfeljebb 3 alkalommal lehet a gyakorlaton való részvételt elmulasztani. A félév folyamán két egyenként 50 pontos dolgozat megírására kerül sor. A félév végi harmadik, gyakorlati jegy pótló dolgozat egy 100 pontos az egész félév anyagát felölelő dolgozat. A gyakorlatokon való aktív részvétellel további pontok szerezhetők! A két zárthelyi dolgozat vagy azok sikertelensége esetén a pótló dolgozat és a szemináriumokon esetlegesen szerzett pontok alapján a féléves teljesítményértékelés a következőképpen történik: pont 5 (jeles) pont 4 (jó) pont 3 (közepes) pont 2 (elégséges) 50 pont alatt 1 (elégtelen) 1. ZH: október ZH: december 7.!!! Pót ZH: december 14. Statisztikai alapfogalmak Statisztikai alapfogalmak (2011. szeptember ) Statisztika fogalma, tárgya és szerepe Statisztikai sokaság és ismérv Mérési szintek Statisztikai adat és mutatószám Statisztikai sorok Statisztikai táblák Adatfelvétel, adatszerzési módok Kérdőívszerkesztés A statisztikai adatok pontossága 1

2 Statisztika fogalma Tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység: adatgyűjtés gyakorlati tevékenység adatfeldolgozás adatok elemzése tudományos módszertan a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése. Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.), vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.) Statisztika fogalma A statisztika tárgyát képező tömeges jelenségek között találunk a hétköznapi életben előforduló és a társadalmigazdasági jelenségeket is, ami alapján megkülönböztetünk: Általános statisztikát és Szakstatisztikákat (gazdaság-, népesség-, ágazati-, társadalomstatisztika, stb. A jelenségeket le lehet írni egyszerűbb eszközökkel és bonyolultabb matematikai-statisztikai módszerekkel. Ennek megfelelően megkülönböztetünk: Leíró statisztikát és Statisztikai következtetést Statisztika fogalma Egyidős az állammal Mo-on a XVIII.sz. az első összeírás XIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József) Központi Statisztikai Hivatal (KSH, 1867) 1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról 223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról Regionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye) Statisztikai sokaság és ismérv Statisztikai sokaság: A megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.) Egyedek, egységek: a sokaság legkisebb részei Sokaság fajtái: diszkrét folytonos (elkülönült egységek önkényes elkülönítés) álló mozgó (időpont időtartam) véges végtelen (véges sok elem végtelen sok elem) Statisztikai sokaság és ismérv Statisztikai ismérvek: Olyan vizsgálati szempontok, amelyek alapján a sokaság egységei jellemezhetők és egymást nem fedő részekre bontható. Egy adott ismérv szerinti lehetséges tulajdonságokat (előfordulási lehetségeit) az ismérv változatainak nevezzük. Statisztikai sokaság és ismérv Ismérvek fajtái: 1) Időbeli ismérvek 2) Területi ismérvek 3) Mennyiségi ismérvek 4) Minőségi ismérvek - Alternatív ismérvek (és több változattal rendelkezők) - Közös ismérvek - Megkülönböztető ismérvek Tárgyi ismérvek 2

3 Mérési szintek Csak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatók. Mérés: számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoz. Mérési szintek 4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk meg: Névleges/nominális mérési szint Sorrendi/ordinális mérési szint Különbségi/intervallum mérési szint Arányskálán történő mérés Mérési szintek Névleges/nominális mérési szint: Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az egységekhez. Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság egyedeinek azonosítását szolgálják. (azonosság és különbözőség) Közük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük számtani művelet nem végezhető. Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma Mérési szintek Sorrendi/ordinális mérési szint: A sokaság egyedeihez bizonyos közös tulajdonság alapján rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát. Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjét. A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), csak azoknak a rendje. Pl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása, katonai rendfokozat, stb. Mérési szintek Különbségi/intervallum mérési szint: Kezdőpontja önkényesen választott. A skálaértékek sorrendje és különbségei is információt hordoznak a sokaság egyes egyedeiről. A skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető. Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség ugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti különbség. Mérési szintek Arányskálán történő mérés: A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya is meghatározhatóvá válik. Adatain minden matematikai művelet végezhető. Az értékek különbségei bizonyos esetekben csak arányskálával egyetemben értelmezhetők: (200 emelkedés) Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága (amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik) 3

4 Feladat/1. Feladat/2. Sokaság A magyar népesség január elsején Egy konkrét egység Kiss Réka Ismérv Születési idő Ismérvváltozat Ismérvfajta/ Mérési skála 1976 Időbeli/ intervallum Lakóhely Budapest Területi/ nominális Nem Nő Minőségi/ nominális Életkor 29 Mennyiségi/ arány Adottak az alábbi sokaságok: Magyarország népessége jan.1-jén fő. A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2006-os VB idején. BCE oktatói szept. 4-én. Jótékonysági koncertek 2006-ban a Zeneakadémián. Feladat: Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit! Feladat/3. Statisztikai adat és mutatószám Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e! Nem (férfi, nő) Életkor Magasság Testsúly Családi állapot Iskolai végzettség Foglalkozás Bruttó havi fizetés Statisztikai adat: Az egyedekről szerezhető információ. (szám, vagy számszerű jellemző) fogalmi jegy időbeli azonosító térbeli azonosító számérték mértékegység (mérés vagy számlálás) Statisztikai mutatószám: Valamilyen statisztikai módszerrel a rendelkezésre álló adatokból számított származtatott statisztikai mérőszám. Például: (Havi) Átlagbér Magyarországon 2008-ban bruttó Ft/fő/hó Statisztikai sorok A sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése. Statisztikai sorok Sorkészítés célja szerint: Csoportosító sor Összehasonlító sor Valódi statisztikai sorok (azonos fajtájú adatokból) Leíró sor Nem valódi statisztikai sor (különböző fajtájú adatokból) Ismérvfajtáknak megfelelően: Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi + leíró sorok Sorok készítése: ismérvváltozatok számszerű értékek Csoportosító statisztikai sor: A sokaság belső összefüggéseit fejezi ki, csoportosítás céljából készül, adatai összegezhetők. (időbeli, területi, minőségi, mennyiségi) Ismérvváltozatok C1 C2.. Ci. Ck Összesen: Egységek száma f1 f2.. fi. fk N 4

5 Statisztikai sorok Statisztikai sorok Összehasonlító statisztikai sor: Összehasonlító adatok statisztikai sorba rendezve, összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők. (idősor, területi) Ismérvváltozat C1 C2.. Ci. Ck Számérték/ mértékegység adat adat.. adat. adat Statisztika sorok kellékei: Cím (sokaság pontos megnevezése, a közös ismérvek felsorolása) Tulajdonságok, ismérvváltozatok felsorolása Ismérvváltozatoknak megfelelő gyakoriságok felsorolása Összesen rovat (csak a csoportosító sor estében) A forrás megnevezése Statisztikai táblák Statisztikai sorok összefüggő rendszere. Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok) Nincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja. Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok) Egyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egy statisztikai sor tagja. Kombinációs tábla (csoportosító sorok) Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja. Statisztikai táblák Egyszerű statisztikai tábla Egy városban az orvosellátottság alakulása: Év Orvosok száma (fő) Lakosok száma (fő) Egy orvosra jutó lakosok száma , ,8 Statisztikai táblák Csoportosító statisztikai tábla Búzatermelés adatai 1991-ben: Körzet Termés (ezer tonna) Termésátlag (t/ha) Dunántúl ,2 Alföld ,31 Észak 705 4,71 Összesen 5705 Statisztikai táblák Kombinációs statisztikai tábla Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából 1991/1992 II. félév: Osztályzat A B C Összesen kar hallgatóinak megoszlása Összesen

6 Statisztikai táblák A statisztikai táblák részei: Oszlop (a táblázat egy oszlopa) Sor (a táblázat egy sora) Rovat (sor és oszlop találkozása) Fejrovat (a táblázat első sora, mely szövegesen tartalmazza az egyik ismérv változatait) Oszloprovat (a táblázat első oszlopa, mely szövegesen tartalmazza a másik szerinti ismérvváltozatokat) Összegrovat (a sorok és oszlopok összességét tartalmazza) Statisztikai táblák Dimenziószám: Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztika adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja. Táblakészítés szabályai: Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb) Oldalrovatok (fejrovat és oszloprovat) megnevezése Egy rovat sem üres (--, ( );, 0,0) Megjegyzés (ha valamely rovatában lévő adat eltérő mértékegységű) Forrásmegjelölés (!) Adatszerzési módok Teljeskörű felvétel Monográfia Véletlenen alapuló Részleges felvétel Reprezentatív megfigyelések Nem véletlen (kontrolált) Egyéb részleges adatfelvétel Kérdőívszerkesztés Alapos szakmai hozzáértés Tömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdések Főleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő választ igénylő) Ne legyen túl hosszú Ajánlott az anonim adatfelvétel Kompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzük Véglegesítés előtt: próbalekérdezés Ha nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány Adatok pontossága Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát Szignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthető számjegyek Például Mo. népessége (90-ben): ezer ± 500 fő : a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke Feladatok (statisztikai alapfogalmak) Perfekt Statisztika I. példatár: 57/4, 58/7, 59/9, 60/11, 60/13, 61/14, 61/15, 61/16, 63/20, 63/21, 64/23, 64/26 További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 11/2, 12/3 (sokaság fajtája) 12/4, 13/5, 13/6,13/7, 14/8, 14/9, 14/10, 15/11 (sokaság és ismérvfajták) 15/13 (százalék és százalékpont) 6

7 Viszonyszámok Statisztikai elemzések viszonyszámokkal (2011. szeptember ) Viszonyszám fogalma Viszonyszámok fajtái Megoszlási és koordinációs viszonyszámok Dinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggések Intenzitási viszonyszámok Viszonyszámok Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa (V), ahol A: a viszonyítás tárgya (viszonyítandó adat) B: a viszonyítás alapja Azonos adatokból (% v. együtthatós) Különböző fajta adatokból (int.) Viszonyszámok fajtái Csoportosító sorokból: Megoszlási viszonyszámok (Vm) Koordinációs viszonyszámok (Vk) Összehasonlító sorokból: Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb) Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt) Területi összehasonlító (Vö) Leíró sorokból: Intenzitási viszonyszámok (Vi) Viszonyszámok fajtái Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz viszonyított arányát fejezi ki Koordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát viszonyítja Dinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított hányados Viszonyszámok fajtái Megoszlási viszonyszám: Pl. 26 fiú és 32 lány jár a csoportba, összesen 58 hallgató (100%). Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévősokaság adataiból számított viszonyszám 45 % a fiúk aránya 55% a lányok arány Összesen: 100% 7

8 Viszonyszámok fajtái Koordinációs viszonyszám: Pl. mozilátogató nők: 1942 fő, mozilátogató férfiak: 1876 Viszonyszámok fajtái Koordinációs viszonyszámokból az eredeti adatok ismerete nélkül is számíthatók megoszlási viszonyszámok. A férfiak aránya: 1000 mozilátogató ffi-ra 1035 mozilátogató nő jut A nők aránya: 1000 mozilátogató nőre 966 mozilátogató ffi jut Dinamikus viszonyszámok Bázisviszonyszám: Láncviszonyszám: Dinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggések: 1. Az első (azaz nulladik) időszakra nem tudunk láncviszonyszámot számolni 2. Az állandó bázisul választott időszakban a bázisviszonyszám értéke 1, azaz 100% 3. Az állandó és a bázisul választott időszak után következő időszakban a bázis és a láncviszonyszám megegyezik 4. Láncból bázis: adott időszak bázisviszonyszáma kiszámolható az adott időszak és az azt megelőző időszakok láncviszonyszámainak szorzataként: 5. Bázisból lánc: adott időszak láncviszonyszáma kiszámítható az adott időszak és az azt megelőző időszak bázisviszonyszámának hányadosaként: Feladat/1. Megoldás Az alábbi táblázatban közötti idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók: Év Magyarországra érkező külföldiek ezer fő Külföldre utazó magyarok ezer fő Elemezze bázis- és láncviszonyszámokkal a Magyarországra érkező külföldiek és a külföldre utazó magyarok számának alakulását! Mutassa meg a viszonyszámok közötti összefüggéseket! 8

9 Megoldás Viszonyszámok közötti összefüggések Magyarországra érkező külföldiek esetén: Pl.: Külföldre utazó magyarok esetén: Pl.: Viszonyszámok fajtái Pl. bázisévben (tavaly) 100 autót szereltem össze, erre az évre 120-at terveztem, de csak 110 lett belőle Feladatmutató viszonyszám: Viszonyszámok fajtái Területi összehasonlító viszonyszám: Teljesítménymutató viszonyszám: Pl. Heves megye és BAZ megye népességének összehasonlítása: Intenzitási viszonyszám Vi = A/B, megmutatja, hogy a vizsgált jelenség milyen intenzitással fordul elő valamely más jelenség környezetében. Sűrűségmutatók: Pl: népsűrűség, 1 négyzetkilométerre jutó lakosszám Ellátottságot kifejező mutatók: Pl: orvossal való ellátottság Színvonalmutatók: Pl: 1 főre jutó átlagkereset, 1 dolgozóra jutó termelési érték, 1 főre jutó GDP Arányszámok: Pl: 100 főre jutó születések száma, halálozási arányszám Intenzitási viszonyszám Egyenes intenzitási viszonyszám: A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int. viszonyszám növekedésével. Pl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő) Fordított intenzitási viszonyszám: Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int. viszonyszám értéke csökken. Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma 9

10 Intenzitási viszonyszám Nyers intenzitási viszonyszám: (a teljes sokasághoz viszonyítunk) Pl: tejhozam / tehenek száma dolgozók / hallgatók Népességstatisztikai definíciók (2011. szeptember ) Tisztított intenzitási viszonyszám: (csak a jelenséggel szorosan kapcsolatban álló részhez viszonyítunk) Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma oktatók / hallgatók Definíciók Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek, valamint az ugyanezen területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma. Természetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete. Definíciók Tényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a vándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet (+, ) összege. Gyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0 14 éves) a éves népesség százalékában. Idős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65 X éves) a éves népesség százalékában. Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0 14 éves) és az idős népesség (65 X éves) a éves népesség százalékában. Definíciók Öregedési index: az idős népesség (65 X éves) a gyermeknépesség (0 14 éves) százalékában. Házasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt két tanú jelenlétében kötött házasság. Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. Jogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ellen további jogorvoslatnak helye nincs. Definíciók Élveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az életnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés, illetőleg köldökzsinórpulzáció) adja, tekintet nélkül arra, hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig élt. Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életet. 10

11 Definíciók Halálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utáni megszűnése, a feléledés képessége nélkül. Halálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott. Definíciók Várható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy a különböző életkorúak az adott év halandósági viszonyai mellett még hány évi élettartamra számíthatnak. Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett halálozás. A halvaszülött és a születésének évfordulóján meghalt gyermek nem csecsemőhalott. Csecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt. Feladatok (viszonyszámok) Perfekt Statisztika I. példatár: 72/39, 73/41, 73/43, 76/48 66/28, 67/30, 68/32, 69/33, 75/47, 78/52, 78/53, 79/54, 80/56 Grafikus ábrázolás (2011. október ) További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 16/15, 17/18, 18/20, 19/23 15/13 (százalék és százalékpont), 43/81, 43/82, 41/77, 41/78, 42/79, 42/80 (viszonyszámok és összefüggéseik) Grafikus ábrázolás Az adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában. (megérteni és készíteni is fontos) Alapelvei: Áttekinthetőség (csak azt mutassa, amire szolgál) Célorientáltság és homogenitás Egyszerűség Rekonstruálhatóság Optikailag semleges méretezés Cím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks. Grafikus ábrázolás Bizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak. Általában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek. A grafikus ábrák fajtái: 1. Koordináta-rendszeren alapuló ábrák 2. Nem koordináta-rendszeren alapuló ábrák 11

12 Grafikus ábrázolás Koordináta-rendszeren alapuló ábrák: Pontdiagram Bot-ábra Vonaldiagram Oszlopdiagram (hisztogram) Szalagdiagram Sugárdiagram Grafikus ábrázolás Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása koordinátarendszerben. (idő és menny. sorok) Grafikus ábrázolás Bot ábra: gyakorisági soroknál, ha kevés és diszkrét a mennyiségi ismérv Grafikus ábrázolás Vonaldiagram: idősorok adatainak koordinátarendszerben való ábrázolása. Gyakorisági soroknál poligonnak nevezzük. Grafikus ábrázolás Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok magasságával. (összehasonlítás) Grafikus ábrázolás Osztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó oszlopon belül a megoszlás területarányos ábrázolása. 12

13 Grafikus ábrázolás Hisztogram: Mennyiségi sor esetén az oszlopok között nincs hézag Grafikus ábrázolás Szalagdiagram: Az oszlopdiagram az X és Y tengelyeinek felcserélésével kapjuk. Grafikus ábrázolás Korfa: A szalagdiagram speciális alkalmazása a korfa, amely egy összetett szalagdiagram. Grafikus ábrázolás Sugárdiagram: poláris koordináta rendszeren alapul, önmagában visszatérő ciklikus folyamatok esetében célszerű alkalmazni, vagy ha szerkezeti változásokat szeretnénk kiemelni. A magyar népesség korösszetételének változása Grafikus ábrázolás Néhány nem koordináta-rendszeren alapuló ábra: Kördiagram Kartogram Kartodiagram Ponttérkép Piktogram (figurális ábrázolás) Leveles ág Box & whiskers ábra (kvartilis eloszlás) Grafikus ábrázolás Kördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek segítségével. Mind szerkezetet, mind pedig abszolút nagyságot tud jellemezni (megoszlások, összehasonlítás) 13

14 Grafikus ábrázolás Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen, az egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a köztük lévő különbséget. Grafikus ábrázolás Kartodiagram: területi sorok esetén alkalmazható, az egyes földrajzi egységek adatait a térképen elhelyezett diagrammal ábrázolja. Grafikus ábrázolás Ponttérkép: a területi sorok szemléltetésére használható, a pontok sűrűsége az adott területhez tartozó adat nagyságára utal. Grafikus ábrázolás Piktogram: figurális ábrázolás, mely a jelenséget megtestesítő különböző nagyságú figurák alapján fejezi ki a nagyságrendi relációt. Grafikus ábrázolás Leveles ág: mennyiségi soroknál megadja a teljes csoportosítatlan sokaságot. Rangsorban való közléssel kiemeli az eloszlás alakját Grafikus ábrázolás Box & whiskers ábra: a kvartilis eloszlás (az adatok nevezetes osztópontjainak, jelen esetben negyedelő pontjainak a helyzetét) szemlélteti. 14

15 LEÍRÓ statisztika Mennyiségi ismérv szerinti elemzés (1) (2011. október ) A leíró statisztika: olyan módszerek és mutatószámok, amelyek segítségével akár egy nagyobb sokaságot, akár egy mintát viszonylag könnyen és jól lehet valamilyen mennyiségi ismérv szerint tömören, egy mutatószámmal jellemezni. A sokaság (vagy minta) tömör jellemzése alapvetően 3 szempont szerint történhet: 1. Középértékek: a sokaság/minta jellemző értékének és értékeinek meghatározása 2. Szóródás: adatok különbözőségének vizsgálata 3. Alakmutatók: a gyakorisági görbe alakjának a vizsgálata Gyakorisági sorok A mennyiségi ismérv szerint csoportosító sorokat gyakorisági soroknak nevezzük. A gyakorisági sorok fajtái: Rangsor: ha kevés számú diszkrét mennyiségi ismérv szerint csoportosítjuk a sokaságot. (amikor az összes ismérvváltozat felsorolható a gyakoriságokkal.) Osztályközös gyakorisági sor: folytonos, illetve sok változattal rendelkező diszkrét ismérv szerinti csoportosításkor, a csoportokat osztályközökkel (intervallumokkal) adjuk meg. Gyakorisági sorok Példa rangsorra: Egy 20 fős szemináriumi csoport érdemjegyei statisztikából Érdemjegy (x) Hallgatók száma/fő (f) Összesen 20 x: átlagolandó érték f: gyakoriság Gyakorisági sorok Példa osztályközös gyakorisági sorra: Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban): Gyakorisági sorok Példa osztályközös gyakorisági sorra: Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban): Lakások értéke (millió Ft) (x) Lakások száma (db) (f) 3,0 4, ,5 6,0 20 6,0 7,5 30 7,5 10, , 0 13,0 11 Összesen 100 Osztályközepek (x)! Lakások értéke (millió Ft) (x) Lakások száma (db) (f) 3,75 3,0 4, ,25 4,5 6,0 20 6,75 6,0 7,5 30 8,75 7,5 10, ,50 10, 0 13,0 11 Összesen

16 Gyakorisági sorok 1) Középértékek Oszt. közép (x)! Lakásár (m Ft) (x) Lakások száma (db) (f) f f g (f%) g g s (fx) s s z (s%) z z 3,75 3,0 4, ,0 10,0 100,0 45,00 45,00 945, ,25 4,5 6, ,5 26,5 90,0 105,00 150,00 900,25 6,75 6,0 7, ,0 51,5 73,5 202,50 352,5 795,25 8,75 7,5 10, ,5 74,0 48,5 236,25 588,75 592,75 11,50 10,0 13, ,0 100,0 26,0 356,50 945,25 356, Összesen , , Számított középértékek (átlagok) számtani átlag harmonikus átlag mértani átlag négyzetes átlag Helyzeti középértékek: módusz medián kvartilisek Középértékekkel szembeni követelmények 1. közepes helyet foglaljon el az értékek között 2. tipikus érték legyen: álljon közel az előforduló értékek zöméhez 3. legyen pontosan definiálva 4. könnyen értelmezhető legyen 5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen Számtani Harmonikus Mértani Négyzetes Átlagok Súlyozatlan Súlyozott Ugyanazon pozitív értékekből számított átlagok nagyságrendje és és érzékeny a kiugróan alacsony értékekre érzékeny a kiugróan magas értékekre Példa: (egyszerű/súlyozatlan átlagok az értékek csak egyszer fordulnak elő, vagy ugyanannyiszor) Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8 az értékek egyszer fordulnak elő (vagy: 3, 3, 4,4, 5, 5, 8, 8 az értékek többször, de ugyanannyiszor fordulnak elő) Feladat a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a négyzetes átlagot! b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket! c) Állapítsa meg ugyanazon pozitív számokból számolt átlagok sorrendjét! d) Amennyiben az átlagolandó értékek között szerepelne még egy kiugróan alacsony érték (pl. 1), akkor mely átlagok reagálnának rá érzékenyen? e) Mely átlagok értékét befolyásolja jobban, ha az átlagolandó értékek között még egy kiugróan magas érték (pl. 32) is található? 16

17 Megoldás Példa: (súlyozott átlagok az értékek többször fordulnak elő és nem ugyanannyiszor) Számtani átlag: Harmonikus átlag: Mértani átlag: Négyzetes átlag: Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok: ( ) adatok: 3, 4, 5, 8 ( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1 Feladat: a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a négyzetes átlagot! Megoldás Számtani átlag Harmonikus átlag: Mértani átlag: Négyzetes átlag: A számtani átlag néhány tulajdonsága 1. az átlagtól vett eltérések (előjeles hibák) összege nulla 2. négyzetes minimum tulajdonság: minimum, ha A= 3. az átlagolandó értékek additív transzformációjával (ha minden átlagolandó értékhez hozzáadunk egy konstans értéket) az átlag is a transzformációnak megfelelően nő vagy csökken 4. az átlagolandó értékek multiplikatív transzformációjával (ha minden átlagolandó értéket megszorzunk egy konstans elemmel) az átlag is a transzformációnak megfelelően változik Számtani átlag előnyei Számítása egyszerű, tömör, világos Minden adathalmazból kiszámítható, és csak egy van belőle Ugyanazon típusú számszerű jellemzők összehasonlítását teszi lehetővé sokaság vagy minta esetén Kiszámításához nem szükséges az egyedi értékek számszerű ismerete, elegendő azok összegét tudni. Számtani átlag hátrányai Kiugróan magas, vagy kiugróan alacsony egyedi értékek (outlier-ek) esetén az átlag torz lehet, és nem jellemzi jól a sokaságot, ugyanis az adatok többségétől eltér Osztályközös gyakori sornál nem tudunk pontos átlagot számolni, az így kiszámított (osztályközepek felhasználásával) érték csak becslés/közelítés. Nyitott osztályközök esetén (amikor az osztályköz hosszúságát akkorának tekintjük, mint az alsó vagy a felső szomszédos osztályköz) az általunk meghatározott alsó vagy felső határnál kisebb vagy nagyobb értékeket figyelmen kívül hagyjuk. 17

18 Medián az az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték fele kisebb, fele nagyobb. (rangsorba rendezett adatok közül a középső elem) a) meghatározása egyedi adatokból a rangsorból az -edik érték (páros tagszám esetén, amikor a sorszám két érték közé esik, akkor az érintett 2 érték számtani átlaga) b) becslése osztályközös gyakorisági sorból: osztópont:, ahol : a medián osztályköznek a gyakorisága, Medián előnyei Egyértelműen meghatározható, minden adathalmaznak létezik mediánja, és csak egy van belőle. A medián rangsorba rendezett minőségi ismérvekből is megállapítható A medián értéke független a szélső értékektől. Kiugróan magas vagy alacsony értékek esetén (amelyekre nem érzékeny) jobban jellemzi a sokaságot mint a számtani átlag. Medián hátrányai Csak rangsorba rendezett értékekből állapítható meg Ha egy minta alapján akarunk következtetni a teljes sokaságra, akkor a számtani átlag matematikai-statisztikai szempontból alkalmasabb mutatószám. Módusz Rangsor (diszkrét ismérv) esetén: a leggyakrabban előforduló érték folytonos ismérv esetén: a gyakorisági görbe maximumához tartozó érték A módusz a kiugró, extrém értékekre érzéketlen nem mindig létezik (például, ha minden érték egyforma valószínűséggel fordul elő) Ha több különböző érték azonos gyakorisággal fordul elő, akkor több módusz is lehet. Módusz becslése osztályközös gyakorisági sorból Módusz előnyei és hátrányai, ahol : a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa : a móduszt tartalmazó osztályköz hossza Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámított gyakoriságok alapján történik. Előnyök: Mennyiségi jellemzők esetén is használható Hasonlóan a mediánhoz, nem érzékeny a szélső, kiugró értékekre Hátrányok: Sok esetben nem alkalmas a sokaság jellemzésére, mert nem minden esetben létezik, és van hogy több is van belőle. 18

19 Példa (egyedi értékek) Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás lakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft-ban: 75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70 Feladat: Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi rezsiköltségét az adott esetben felhasználható középértékekkel! (átlag, módusz, medián) Megoldás Számtani átlag: Rangsor készítése: 64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86 Medián: Módusz: Mo=75 ezer Ft A lakástulajdonosok előző havi átlagos rezsiköltsége 74 ezer Ft. Me=75 ezer Ft A lakástulajdonosok felének 75 ezer Ft-nál kevesebb, a lakástulajdonosok másik felének pedig 75 ezer Ft-nál nagyobb volt az előző havi rezsiköltsége. A legtöbb lakástulajdonos előző havi rezsije 75 ezer Ft. Példa (egyenlő osztályközök) Egy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint a személygépkocsik megoszlása a következő volt: Értékesített benzin mennyisége (liter) Gépkocsik száma Összesen 100 Feladat: Számítsa ki és értelmezze az átlagot! Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket! Megoldás Értékesített benzin mennyisége (liter) Gépkocsik száma Osztályközép Kumulált gyakoriság Összesen ,7 liter A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál az adott napon. Megoldás Medián: s me = és a 3. osztályközben van A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt, a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon. Módusz: 3. osztályközben van 32,86 liter 33,41 liter A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiséget tankolt az adott napon. Feladatok (középértékek) Perfekt Statisztika I. példatár: 128/1, 128/2 a), 130/5 a) b) (csak középértékek) További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 24/38, 24/39 (középértékek rangsorból súlyozatlan) 25/42 (középértékek rangsorból súlyozott) 26/45, 27/46, 29/51 (középértékek osztályközös gyakorisági sorokból egyenlő osztályköz esetén) 19

20 Példa (nem egyenlő osztályközök) Mennyiségi ismérv szerinti elemzés (2) (2011. október ) 1999-ben az átlagkeresetek alakulása egy vállalatnál Keresetek (ezer Ft) Létszám Összesen 115 Feladat: Számítsa ki és értelmezze az átlagot! Becsülje meg a mediánt, a móduszt és a kvartiliseket és írja le jelentésüket! Megoldás Keresetek (ezer Ft) (x) Létszám (f) Osztályközép (x) Kumulált gyakoriság (f ) f* (új oszt.köz= 20e Ft) (Q1),(Mo) (Me) (Q3) , ,2 Összesen Megoldás Medián: s me = Alsó kvartilis: (A Me 3. osztályközben van.) 75 ezer Ft A dolgozók fele 75 ezer Ft-nál kevesebbet keresett, a másik fele pedig ennél többet az adott évben. (A Q1 a 2. osztályközben van.) 58,375 ezer Ft A vállalatnál a dolgozók átlagosan 75,1 ezer Ft-ot keresnek. A dolgozók negyede 58,4 ezer Ft-nál kevesebbet keresett, a másik fele pedig ennél többet az adott évben. Megoldás Felső kvartilis: s q3 = (A Q3 4. osztályközben van.) 2) Szóródás Az értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük szóródásnak. Az értékek különbözősége egyrészt az értékek egymástól való különbözőségén, másrészt valamely középértéktől való eltérésében fejezhető ki. A dolgozók negyede 92,65 ezer Ft-nál többet keresett, a három negyede pedig ennél kevesebbet az adott évben. Módusz: (A Mo a 2. osztályközben van.) A dolgozók legtöbbje 57,27 ezer Ft-ot keresett az adott évben. 20

21 Szóródási mérőszámok Szóródási mérőszámok A legfontosabb szóródási mérőszámok: 1. Terjedelem, R (vagy IQR) 2. Átlagos eltérés, δ 3. Szórás, б (vagy s) 4. Relatív szórás, V 5. (Átlagos különbség, G) 1) Terjedelem: annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül az ismérvértékek elhelyezkednek. Interkvartilis terjedelem: annak az intervallumnak a hosszát fejez ki, amelyben az ismérvértékek középső 50%-át találjuk. Szóródási mérőszámok 2) Átlagos eltérés: az átlagtól vett eltérések számtani átlaga. Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól. Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével. Szóródási mérőszámok 3) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól. Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével. A szórás négyzetét varianciának hívjuk. A szórás néhány tulajdonsága Szóródási mérőszámok A szórás akkor és csak akkor nulla, ha minden ismérvérték egyenlő. Az x i ismérvértékek additív transzformációja után a szórás nem változik. Az x i ismérvértékek multiplikatív transzformációja után a szórás a transzformációnak megfelelően változik. 4) Relatív szórás különböző alapadatok vagy ismérvértékek szóródásának összehasonlítására szolgál. Mértékegység nélküli szám, általában százalékos formában adják meg. 21

22 Szóródási mérőszámok 5) Átlagos különbség, G (Gini-féle mutató) az ismérvértékek egymástól mért abszolút eltéréseinek a számtani átlaga. (Leginkább a koncentráció vizsgálatánál alkalmazható.) Szimmetrikus Egy móduszú eloszlás Empirikus eloszlások típusai Több módoszú eloszlás Aszimmetrikus Mérsékelten Erősen Bal oldali Jobb oldali J alakú Fordított J alakú Szimmetrikus eloszlás Aszimmetrikus eloszlások Aszimmetrikus eloszlások 22

23 3) Alakmutatók Aszimmetria mutatók arra szolgálnak, hogy tömör számszerű formában jellemezzék, hogy milyen tekintetben és milyen mértékben tér el az adott eloszlás a normális eloszlás gyakorisági görbéjéből. A-mutató Pearson-féle mutatószám: F- mutató (kvartiliseken alapul) Mértékegység nélküli mutatók. A abszolút értékének nincs korlátja, de ritkán vesz fel 1-nél nagyobb értéket. -1 F 1 Ha +, bal oldali aszimmetria -, jobb oldali aszimmetria 0, szimmetrikus az eloszlás Koncentráció Gazdasági életben: erőforrások tömörülése, összpontosulása Statisztikailag: ismérv Koncentráció: egy sokaság mennyiségi szerinti vizsgálata az értékösszeg jelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul Koncentráció Koncentráció: az ismérvértékek különbözősége következtében, a kisebb értékekkel rendelkező egységekhez az értékösszeg kisebb hányada tartozik, mint amilyen ezen egységeknek a sokaság egészében elfoglalt részaránya, a sokaság nagyobb ismérvértékekkel rendelkező egységeinél pedig fordított a helyzet. Koncentráció A koncentráció a relatív gyakoriságok ( ) és a relatív értékösszegek ( ) összehasonlításával elemezhető. Ha az egyes osztályközökhöz tartozó és értékek azonosak, az a koncentráció hiányaként értelmezhető, eltérésük viszont a koncentrációt jelzi. Koncentráció Abszolút koncentráció: az értékösszeg kevés egységére összpontosul (pl.: energiaiparban, gépkocsigyártásban) Relatív koncentráció: az értékösszeg relatív értelemben kevés egységnél összpontosul (pl.: személyi jövedelemben) 23

24 Koncentráció ÉRTÉKÖSSZEG (s) tőke, vagyon, termelés, forgalom, eredmény export, import mezőgazdasági földterület, eszközállomány, állatállomány lakossági jövedelem, vagyon SOKASÁG (n) gazdasági szervezetek országok, termékek, gazdasági szervezetek gazdasági szervezetek, tulajdonosok lakosság, háztartások Lorenz-görbe Egységoldalú négyzetben elhelyezett ábra, amely a kumulált relatív értékösszegeket értékeket a kumulált relatív gyakoriságok értékeinek függvényében ábrázolja. Lorenz-görbe Koncentrációs együttható Koncentráció hiánya esetén a görbe egybeesik az átlóval. Minél távolabb esik a görbe az átlótól, annál nagyobb fokú a koncentráció. Felhasználása: relatív koncentráció szemléltetése interpoláció több ismérv koncentrációjának egybevetése adott ismérv koncentrációjának időbeli vagy térbeli egybevetése A Lorenz-görbe és az átló által bezárt területet koncentrációs területnek nevezzük. Ha koncentrációs területet a háromszög területéhez viszonyítjuk, akkor e hányados alapján következtetni tudunk a koncentráció mértékére. A koncentrációs terület arányát a koncentrációs együtthatóval mérjük. (ahol G: az átlagos különbség (Gini-féle mérőszám)) K értéke [0,1] intervallumban mozoghat, koncentráció hiány esetén K=0, és a K minél közelebb van 1-hez, annál erősebb a koncentráció. Idősorok elemzése átlagokkal Tapasztalati idősor: időtényező: megfigyelt érték: Idősorok elemzése átlagokkal Idősorelemzés egyszerű eszközei: dinamikus viszonyszámok (bázis-, és láncviszonyszámok): idősor adataiból számított hányadosok grafikus ábrázolás átlagok 24

25 Idősorok elemzése átlagokkal Idősorok elemzése átlagokkal Időegységre számított átlagok Változások átlaga Stock típusú idősor esetén: (számtani átlag) Flow típusú idősor esetén: (kronologikus átlag) Átlagos abszolút változás Átlagos relatív változás Feladatok (középértékek) Perfekt Statisztika I. példatár: 131/8, 134/13, 137/17, 139/23 További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: Mennyiségi ismérv szerinti elemzés (3) (2011. október ) 26/45, 27/46, 29/51 (osztályközös gyakorisági sorok egyenlő osztályköz esetén) Feladatok (mennyiségi ismérv szerinti elemzés) Perfekt Statisztika I. példatár: 134/12, 138/19, 138/20, 140/24, 141/25, 144/29, 145/32, 147/35,148/36,149/38 További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 26/44, 27/47, 28/48, 28/49, 29/50, 29/52, 32/56 (nem egyenlő osztályközök) 35/65 (koncentráció) Zárt helyi dolgozat (ZH1) (2011. október ) 25

26 ŐSZI SZÜNET (2011. november ) Stochasztikus kapcsolatok (1) (2011. november ) Ismérvek közötti kapcsolatok Statisztikai ismérvek: Minőségi ismérvek Mennyiségi ismérvek Időbeli ismérvek Területi ismérvek Eddig a sokaságokat egy ismérv szerint elemeztük, most a sokaságokat egyszerre két egymással valamilyen kapcsolatban álló megkülönböztető ismérv szerinti csoportosításban, azaz kombinációs táblába rendezve vizsgáljuk. A vizsgálat célja pedig az, hogy van-e és ha van, akkor milyen erősségű/jellegű a kapcsolat a vizsgált két ismérv között. Ismérvek közötti kapcsolatok a két ismérv (x és y) független egymástól, ha x ismérv szerinti hovatartozás nem ad semmiféle többletinformációt az y szerinti hovatartozásról. (ezekkel nem kell foglalkoznunk) a két ismérv között sztochasztikus összefüggés van, ha az egyik ismérvváltozathoz való tartozásból tendenciaszerűen, valószínűségi jelleggel következtethetünk a másik ismérv szerinti hovatartozásra. Statisztika a két ismérv függvényszerű kapcsolatban áll egymással, ha a vizsgált egységek x szerinti hovatartozásának ismeretében teljesen egyértelműen megmondható azok y szerinti hovatartozása is. (ezt a matematika vizsgálja) Sztochasztikus kapcsolatok Különböző okozati jellege lehet az egyes ismérveknek: x ismérv: ok (magyarázó változó) y ismérv: okozat (eredményváltozó) (pl. jövedelemnagyság és húsfogyasztás) Vannak olyan esetek, amikor az ismérvek kölcsönösen hatnak egymásra, vagyis az okokozati viszony nem egyértelmű, az okság kölcsönös. (pl. ár és kereslet) Ismérvek közötti kapcsolatok A két ismérv jellege szerint a következő sztochasztikus kapcsolatokat különböztethetjük meg: asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (pl.: nem (férfi,nő) dohányzás) vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi vagy minőségi ismérv, a másik mennyiségi (pl.: iskolai végzettség -1 főre jutó bruttó havi jövedelem) korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (pl.: 1 főre jutó bruttó havi jövedelem-1 főre jutó élelmiszerfogyasztás) egyszerre több ismérv között vizsgálható a sztochasztikus kapcsolat (II. félév anyaga) rangkorreláció: mindkét ismérv ordinális mérési szintű, vagyis sorrendi skálán mérhető. 26

27 Ismérvek közötti kapcsolatok Az asszociáció és a vegyes kapcsolat esetén egyszerre csak két ismérv közötti kapcsolatot vizsgálhatjuk. Arra keressük a választ, hogy a két ismérv között: van-e kapcsolat? ha van kapcsolat, akkor az milyen erős? Kontingencia tábla X/Y A korrelációs kapcsolat (mennyiségi ismérvek kapcsolatának a vizsgálata) több elemzési lehetőséget biztosít, hiszen itt azt is meg tudjuk vizsgálni, hogy az egyik ismérv milyen számszerű hatással van a másik (vagy több) ismérv alakulására. Kontingencia tábla együttes gyakoriságok, tényleges gyakoriság a kontingencia tábla i sorában és j oszlopában peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságai Az x ismérvváltozattal rendelkező elemek száma peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságai az y ismérvváltozattal rendelkező elemek száma Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése 1) Alternatív ismérvek esetén: 2 x 2 kontingencia tábla: X/Y y 1 y 2 Összesen x 1 f 11 f 12 f 1. x 2 f 21 f 22 f 2. Összesen f.1 f.2 n n = a sokaság elemeinek a száma A két ismérv függetlensége esetén Yule együttható (Y): Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése A Yule-mutató tulajdonságai: Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése 2) Általánosan alkalmazható mutatószám (alternatív és két ismérvváltozatnál több változattal rendelkező ismérvek esetén egyaránt): (ahol s az egyik ismérv változatainak, míg t a másik ismérv változatainak a számát jelenti): Csuprov-mutató (T): Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya Sztochasztikus kapcsolat,ahol Függvényszerű kapcsolat,ahol függetlenség esetén feltételezett gyakoriság a kontingencia tábla i sorában és j oszlopában 27

28 Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése A Csuprov-mutató tulajdonságai: ha s=t esetén a Cramer-mutatót (C) használjuk: Esetén Y és T mutatók is alkalmazhatók, a T mutató alakja ebben az esetben: Feladatok (asszociáció) Perfekt Statisztika I. példatár: 240/2, 241/3, 248/1, 248/2, 249/3, 250/5, 250/6, 252/10, 254/13 255/14, 255/15, 257/17, 257/18, (ezeknél csak a kapcsolat szorosságát jelző mutatókat kell kiszámolni) További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 60/127, 60/128, 60/130, 60/132 Vegyes kapcsolat Stochasztikus kapcsolatok (2) (2011. november ) Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi vagy minőségi ismérv (azaz nem mennyiségi ismérv), a másik mennyiségi ismérv (pl.: iskolai végzettség - 1 főre jutó bruttó havi jövedelem) A vegyes kapcsolat elemzése során azt vizsgáljuk, hogy a mennyiségi ismérv szóródását mennyiben befolyásolja a minőségi vagy a területi ismérv szerinti csoportosítás. Heterogén sokaságok Heterogén sokaságok összetett, minőségileg különböző részekből állnak. Heterogén sokaság átlaga a részsokaságokra számított átlagok súlyozott átlaga. Jelölések: : j-edik csoport átlaga : j-edik csoport tagszáma : a csoportok száma : súlyarány Jelölések: = a sokaság tagszáma = a csoportok száma = a j-edik sokaság tagszáma = a j-edik csoport átlaga = a sokaság átlaga (főátlag) = a j-edik sokaság i-edik eleme : a teljes sokaságra számított átlag 28

29 Csoportok Elemszám Csoportátlag Csoportonkénti szórás Például: Egy vidéki nagyváros ingatlanügynökségén értékesítésre váró ingatlanok: Eladási ár (m Ft) Panellakások száma Nem panelből készült lakások száma Összes lakás (db) 6,1 8, ,1 10, ,0 15, ,0 20, ,1 25, Összesen 25,1 30, Összesen A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a számításokat táblázatba foglalhatjuk: Építőanyag Ingatlanok száma Csoportátlag (eladási ár m Ft) Csoportonkénti szórás Panel 90 13,872 4,72 Nem panel 60 18,358 5,93 Összesen ,670 5,68 Jelölések Szórásnégyzetek kiszámítása = teljes eltérés ( ) = belső eltérés ( ) = külső eltérés ( ) = teljes szórásnégyzet = belső szórásnégyzet = külső szórásnégyzet S: teljes eltérésnégyzetösszeg SB: belső eltérésnégyzetösszeg SK: külső eltérésnégyzetösszeg 29

30 Összefüggések Teljes eltérés Belső eltérés Külső eltérés Teljes szórásnégyzet Belső szórásnégyzet Külső szórásnégyzet Feladat: Egy főiskolán 4 szakon folyik bachelor képzés. Az alábbi táblázatban a hallgatók napi tanulásra fordított idejére vonatkozó adatok találhatók: Szak Napi tanulásra fordított idő (óra) Hallgatók átlaga szórása %-os megoszlása Emberi erőforrás 1,5 1,2 24 Gazdálkodás menedzsment 2,25 0,8 26 Nemzetközi gazdálkodás 1,75 1,5 20 Pénzügy-számvitel 2,75 1,3 30 Teljes eltérés négyzet összeg Belső eltérés négyzet összeg Külső eltérés négyzet összeg Számítsa ki a mérőszámokat és értelmezze azokat! Megoldás A vegyes kapcsolat mutatószámai Szórásnégyzet-hányados: megmutatja, hogy a minőségi vagy területi ismérv szerinti csoportosítás hány %-ban befolyásolja a mennyiségi ismérv szóródását. Szóráshányados: a szórásnégyzet-hányados négyzetgyöke, amely megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat a nem mennyiségi (csoportosító) és a mennyiségi ismérv között. A vegyes kapcsolat mutatóinak értelmezése Sztochasztikus kapcsolat Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya Függvényszerű, determinisztikus kapcsolat Feladatok (vegyes kapcsolat) Perfekt Statisztika I. példatár: 264/1, 267/2, 273/1, 273/2, 274/3, 274/5, 275/6, 275/7, 279/14, 280/15, 280/16, 281/18 (a 18-as feladat b) részének a megoldása hátul nem jó!) További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 63/137, 65/140, 66/141, 66/143, 67/144 30

31 Indexszámítás Indexszámítás (1) (2011. november ) Az indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de különnemű (különböző mértékegységű), közvetlenül nem összesíthető javak összességére vonatkozóan a mennyiségek (q), az árak (p) és az értékadatok (v) időbeli vagy térbeli összehasonlítására szolgálnak. Termékek azonos körére vonatkozó két időben (vagy térben területi indexek) különböző aggregátum hányadosai. Egy jószág(csoport) értékét a mennyisége és az egységára határozza meg: Egyedi indexek (egy jószágcsoportra egyfajta termékre vonatkozó indexek, tkp. viszonyszámok) Egyedi árindex: ahol: p 1 : tárgyidőszak egységára p 0 : bázisidőszak egységára Az érték változásának additív felbontása Az indexszámításban négyféle aggregátumot* használunk fel: Egyedi volumenindex: Egyedi értékindex: ahol: q 1 : tárgyidőszaki mennyiség q 0 : bázisidőszak mennyiség ahol: v 1 : tárgyidőszaki termékérték v 0 : bázisidőszaki termékérték valós aggregátum fiktív aggregátum 3. fiktív aggregátum valós aggregátum *Aggregálás: egy heterogén jószágcsoport értékben való összegzése. A tárgyidőszaki aggregát értéket (aggregátumot) folyóáras értékadatnak nevezzük. Együttes indexek aggregát formái (heterogén jószágcsoportra többféle termékre vonatkozó indexek) Értékindex: Értékindex-számítás Az értékindex a termékek bizonyos körére nézve az érték változását mutatja meg. (pl. árbevétel változás) Árindex: (a mennyiségek q adatok állandók) Volumenindex: (az árak, p adatok állandók) Az értékindex átlagformái: ahol a súlyok a valós aggregátumok/értékadatok és az egyedi értékindexek az átlagolandó értékek: 31

32 Árindex-számítás Az árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja a vizsgált termékek összességére vonatkozóan. Súlyozott, alapformulájú árindexek: Az árindex átlagformái (árindexszámítás egyedi árindexekből) ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi árindexek: Laspeyres árindex (bázisidőszaki súlyozású) : Paashe árindex (tárgyidőszaki súlyozású) : Fisher árindex: Volumenindex-számítás A volumenindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan a mennyiségek változását méri. Súlyozott alapformájú volumenindex: A volumenindex átlagformái (volumenindexszámítás egyedi volumenindexekből) ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi volumenindexek: Laspeyres volumenindex (bázisidőszaki súlyozású) : Paashe volumenindex (tárgyidőszaki súlyozású) : Fisher volumenindex: Feladat Feladat: Egy bolt három termékének forgalmára vonatkozó adatok láthatók az alábbi táblázatban: Termék Mértékegység Értékesítés Egységár (Ft) mennyisége I. vaj db II. kenyér kg Számítsa ki az egyedi volumen-, ár-, és értékindexeket! Hogyan változott a bolt összbevétele? Hogyan változott az értékesített termékek árszínvonala? Számítsa ki az együttes volumenváltozást! III. tej l

33 Egyedi indexek Aggregátumok Értékindex Laspeyres-féle árindex a megfelelő aggregátumok hányadosaként az egyedi értékindexek súlyozott számtani átlagaként: az egyedi értékindexek súlyozott harmonikus átlagaként: Paashe-féle árindex Fisher-féle árindex A Laspeyres-és a Paashe index súlyozatlan mértani átlaga 33

34 Volumenindexek Az érték-, volumen- és árindex közötti összefüggés Különbségfelbontás Feladatok (indexszámítás) Perfekt Statisztika I. példatár: 207/1(x), 217/1, 218/3, 219/5, 219/6, 220/7, 220/8, 221/10, 222/12, 223/14, 224/17 Összefüggések: További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 88/201, 88/202, 89/203, 89/204, 89/205, 90/207, 91/210, 91/211, 92/213 A november 24-i statisztika szeminárium pótlása (2011. november ) Indexszámítás (2) (2011. november ) 34

35 Indexszámok gyakorlati alkalmazása Cserearány-mutatók: a gazdálkodó szervezetek által eladott termékek árindexét viszonyítjuk a vásárolt termékek árindexéhez. Cserearány-index (terms of trade): az adott ország által exportált és az általa importált termékek árindexeinek a hányadosa. Egységnyi exportért, hányszor többet, vagy kevesebbet tudunk importálni a tárgyidőszakban a bázisidőszakhoz képest. Indexszámok gyakorlati alkalmazása Árolló: azt mutatja meg, hogy valamilyen bevételt biztosító termékek bázisidőszakival azonos volumenéért a tárgyidőszakban mennyivel nagyobb vagy kisebb volumenű másféle termék kapható cserébe. Agrárolló: a mezőgazdasági termelőiár-indexet osztjuk a mezőgazdasági ráfordítások árindexével. A fogyasztói árindex (CPI) A fogyasztói árszínvonal változását méri. Azt mutatja meg, hogy a lakosság által fogyasztási célra vásárolt termékek és szolgáltatások árai átlagosan hogyan változtak az egyik időszakról a másikra. Az infláció mérőeszközeként is használják, de ez nem jelent fogalmi azonosítást. A hazai fogyasztói árindex-számítás fő jellemzői (Consumer Price Index CPI) a teljes lakosságra vonatkozik a vásárolt fogyasztás (fogyasztói kosár) árváltozását tükrözi mintavételes módszerrel készül kínálati árakra épül (reprezentáns árak) havonta készül Laspeyres-típusú (bázisidőszaki súlyozású) a globális árindex mellett különböző termékcsoportokra és lakossági rétegekre is készül index a közzététel meghatározott szabályozás szerint történik Az indexszámítás adatforrásai Két alappillér: reprezentánsra vonatkozó ármegfigyelés 2. az indexszámításhoz tartozó súlyok meghatározása A 160 árucsoporthoz, az ún. alapsorokhoz tartozó súlyarányok a fogyasztás szerkezetét képviselik. A fogyasztói árindex-számítás harmonizációja az EU országokban A harmonizálás célja: Az egyes országok fogyasztói árindexeinek összehasonlítása A térségekre, országcsoportokra számított globális indexhez olyan alapadatok biztosítása, melyek egységesen kezelhetők Az egyes országok fogyasztói árindexszámításának módszertani javítása A CPI gyakorlatias és alacsony költségigényű meghatározása HICP:Harmonizált Fogyasztói Árindex 35

36 Ez a kép most nem jeleníthető meg. Indexsorok Kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata Indexsorok fajtái: a) Tartalma szerint - értékindexsor - árindexsor - volumenindexsor b) Viszonyítás rendje szerint - bázisindexsor - láncindexsor c) Súlyozás módja szerint - állandó súlyozású indexsor - változó súlyozású indexsor (B,T) Indexsorok Volumenindexsorok: Bázis Állandó súlyozású Változó súlyozású (B,T) Lánc Állandó súlyozású Változó súlyozású (B,T) Értékindexsorok: Bázis Lánc Árindexsorok: Bázis Állandó súlyozású Változó súlyozású (B,T) Lánc Állandó súlyozású Változó súlyozású (B,T) Indexsorok Értékindexsorok: Bázis-értékindexsor (0. év a bázis) Indexsorok Bázis volumenindexsorok: Állandó súlyozású bázis-volumenindexsor: (bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak ára) Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (B) (100%) Lánc-értékindexsor Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (T) Indexsorok Lánc volumenindexsorok: Állandó súlyozású lánc-volumenindexsor: (állandó súly: a 0. időszak ára) Indexsorok Bázis árindexsorok: Állandó súlyozású bázis-árindexsor: (bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak ára) Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (B) Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (B) Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (T) Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (T) 36

37 Indexsorok Lánc árindexindexsorok: Állandó súlyozású lánc-árindexsor: (állandó súly: a 0. időszak ára) Változó súlyozású lánc-árindexsor - (B) Változó súlyozású lánc-árindexsor - (T) Területi indexek Forgalom-, vagy termelésadatok térbeli összehasonlításának eredményeként jönnek létre Az eddig alkalmazott 0 (bázisidőszak) és 1 (tárgyidőszak) jelölések A-ra és B-re módosulnak (A és B a két terület jelölik) Az értékindexet területi összehasonlítás esetén nem értelmezzük! Az összehasonlításnak nincs egyértelmű sorrendje: felcserélhető a viszonyítandó és a viszonyítás alapjául szolgáló terület: A/B és B/A relációjú (területi) ár- és volumenindexeket is számolhatunk Eltérő valutájú országok esetén az árindex számlálója és a nevezője nem azonos mértékegységű, ezért nem %-os értékként értelmezzük A/B relációjú index esetén jelentése: B ország 1 valutaegysége A ország hány valutaegységével egyenértékű. B/A relációjú index esetén A ország egy valutaegysége B ország hány valutaegységével egyenértékű. A területi összehasonlításnál (eltérő valuták) a különböző súlyozású indexek közötti eltérés jóval nagyobb lehet, mint az időbeli összehasonlításnál, ezért a Fisher-formula használata kötelező. Területi volumenindex Legfontosabb alkalmazási területe a nemzetközi összehasonlítás Területi volumenindex azt fejezi ki, hogy az összehasonlítandó területen a termelés (értékesítés) mennyisége hányszorosa az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének (értékesítésének). Területi árindex Azonos valutájú országok esetén a területi árindex árszínvonal összehasonlítást jelent. Eltérő valutájú országok esetén a területi árindex a vásárlóerő paritást fejezi ki. Vásárlóerő paritás (PPP): azt mutatja meg, hogy egy adott ország egységnyi valutája a másik ország hány egységnyi valutájával egyenértékű a vizsgált termékek körében. A ország egységnyi valutája B ország ennyi egységnyi valutájával egyenértékű. B ország egységnyi valutája A ország ennyi egységnyi valutájával egyenértékű. Feladatok (területi indexek, indexsorok) Perfekt Statisztika I. példatár: 212/2, 217/2 (területi indexek) 230/28, 230/29 (indexsorok) További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból: 101/239, 102/240 (területi indexek) 97/230, 98/231, 98/232, 99/234 (indexsorok) Zárt helyi dolgozat (ZH2) (2011. december ) 37