GRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens

Átírás

1 GRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens

2

3 Biometria fogalma The active pursuit of biological knowledge by quantitative methods Sir R. A. Fisher, 1948

4 BIOMETRIA NÉLKÜL?

5 Statisztikai alapok 1. Mi a biostatisztika? 2. Valószínűségi alapok áttekintése 3. Adat-skálák 4. Fontosabb eloszlások áttekintése 5. Adatredukció

6 Miért fontos a Biostatisztika a Kutatásban Kísérlet-tervezés Analízis tervezés Adat értelmezés Medicínában Klinikai Medicína Irodalom olvasás Evidence-based Medicine/Practice

7 Mi a Biostatisztika? Matematika Biostatisztika Medicina Statisztika Együttműködő tudományok

8 1. Valószínűség: Alapfogalmak Eseményeken értelmezett számértékű függvény (mérték). Jelölésben P(A)=p Kolmogorov axiómák: 0 P(A) 1 P(0)=0 és P(I)=1 Ha AB = 0 P(A+B) = P(A) + P(B) 2. Valószínűség-számítás és a statisztika kapcsolata (klasszikus minőségi modell) k kedvező esetek száma p = = n összes eset száma

9 Feltételes valószínűség P(AB) P(AB) = P(B) Teljes valószínűség tétele Ha a B 1, B 2, B 3,., B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B I )0, akkor tetszőleges A esemény valószínűségére igaz N P(A)= P(AB i ) P(B i ) i=1 Bayes-tétel Ha a B 1, B 2, B 3,., B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)0, és egy tetszőleges A esemény valószínűségére igaz P(A)0, akkor B i eseményekre igaz P(AB i )P(B i ) P(B i A) = N P(AB k ) P(B k ) k=1

10 FELADAT Véletlenszerűen kiválasztunk két különbözőt az 1, 2, 3, 4 és 5 számok közül. Mekkor annak valószínűsége, hogy köztük pontosan egy páros lesz. Lehetséges válaszok: a) 2/3 b) 2/5 c) 3/5 d) 5/6 e) 7/10

11 Az összes választási lehetőségek száma: Jó választások száma: 1 páros + 1 páratlan: A keresett valószínűség: p , %

12 FELADAT Egy populációs mintában az MN vércsoport-rendszerre nézve a következő megoszlást találták: MM: 30 MN: 50 NN: 20 Véletlenszerű párválasztást feltételezve számítsuk ki a következő nemzedék várható vércsoport-megoszlását.

13 MEGOLDÁS Az egyes vércsoportok előfordulási gyakorisága: MM 30 fő D=0,3 MN 50 fő H=0,5 NN 20 fő R=0,2 Az egyes allélek gyakorisága: P(M) = p = D + H/2 = 0,3 + 0,5/2 = 0,55 P(N) = q = R + H/2 = 0,2 + 0,5/2 = 0,45 A következő generáció várható gyakorisága: P(MM) = p 2 = 0,55 2 = 0,3025 P(NN) = q 2 = 0,45 2 = 0,2025 P(MN) = 2pq = 2 x 0,55 x 0,45 = 0,495

14 A vizsgált adatok jellege - nominális - ordinális - intervallum - arányskála

15 Valószínüségi változók Diszkrét Folytonos p k = P(A k ) = P( < x) Eloszlás függvény F(x) = P( < x) F(x) = f(x)

16 Diszkrét eloszlások Binomiális p k = P( = k) = ( )p k q n-k M() = n p D() = n p q Poisson k p k = P( = k) = e - M() = D() = n k k!

17 Feladat Egy fodrász délelőtt 10 munkát tud elvégezni. Mégis 12 embert jegyzett elő, mivel tapasztalatból tudja, hogy az esetek 15%-ában valamiért lemondják a fodrászt. Mekkora eséllyel fog a 12 előjegyzettből legfeljebb 10 eljönni?

18 Megoldás: A szituációt úgy modellezzük, hogy azt feltételezzük minden előjegyzett egymástól függetlenül 0,85 eséllyel jön el. Ezért annak az esélye, hogy éppen k személy jön, a binomiális eloszlással számolható, tehát: 12 0,85 k k 12 k 0,15 Esetünkben a legfeljebb 10, az 11 tag összegét jelentené, ezért egyszerűbb a komplementer vizsgálata.

19 Annak az esélye, hogy több, mint 10 vendég jön, az csak kimenetelből áll: 11 vagy 12 vendég. Ezek esélyei: 12 0, , illetve 0,85 Ezek összege: 0, ,1422 = 0,4334. Tehát a komplementer esemény esélye, vagyis hogy el tudja végezni a munkát csak 0,5666, tehát nincs egészen 57%.

20 FELADAT Egy kórházba bizonyos betegséggel évenként beszállított egyének száma Poisson eloszlást követ. Hetenként átlagosan egy személyt hoznak be. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten két személyt szállítanak be?

21 MEGOLDÁS Az eloszlás várható értéke = 1 A formula alapján k = 2 P 2 = (1 2 / 2!) e -1 = 0.18 = 18%

22 A normális eloszlás mint modell Ez a modell jól leírja a mérési értékeknek a középérték (várható érték) körüli szóródását. Jelölése N(μ, σ). (μ = elméleti középérték, σ = elméleti szórás). Standard normális eloszlás: N(0, 1)

23 f(x) Inflexiós pont ,1 % 34,1 % 13,6 % 13,6 % 0,1 % 2,2 % 2,2 % 0,1 % Normális eloszlás tulajdonságai

24 Sűrűségfüggvény f x 1 ( x) e

25 Normáleloszlás eloszlásfüggvénye ; ; ;

26 Eloszlásfüggvény F x 1 ( x) e 2 2 x 2 2 dx

27 (x) 1 ~ 0,4 2 inflexiós pont inflexiós pont 34,1 % 34,1 % 13,6 % 13,6 % 2,2 % 2,2 % 0,1 % 0,1 % z Standard normális eloszlás x i - z i =

28 Standardizálás z i x i

29 Standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye μ, medián, módusz

30 Standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye ( x) 1 e x 2 2 2

31 Standard normáleloszlás eloszlásfüggvénye ; ; ;

32 Standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye x 1 ( x) e 2 2 x 2 dx

33 A normál eloszlás nevezetes értékei α% μ ± σ 5 1,96 1 2,58 0,1 3,29

34 Standard normáleloszlás 95%-os valószínűségei %

35 A középérték 95%-os megbízhatósági tartománya (CI) 0,95 1,96 1,96 n x n x P 0,95 0,05 0,05 n s t x n s t x P Ismert σ: Ismeretlen σ:

36 Csúcsos és lapos eloszlás 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-3,00-2,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00

37 Egyéb normalitás vizsgálat Kolmogorov-Smirnov és Shapiro-Wilk próba Tests of Normal ity Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Talajmûv elés Statistic df Sig. Statistic df Sig. termés t/ha õszi szántás tav aszi szántás tárcsás a. Lillief ors Signif icance Correction

38 Expected Normal Grafikus normalitás vizsgálat 1. Normal Q-Q Plot of termés t/ha 3 For TALAJMUV= őszi szántás Observed Value

39 Dev from Normal Grafikus normalitás vizsgálat 2. Detrended Normal Q-Q Plot of termés t/ha.4 For TALAJMUV= őszi szántás Observed Value

40 Az eloszlás alakjának jellemzése Ferdeség (skewness, normális eloszlás=0 körüli érték) Csúcsosság (kurtosis, normális eloszlás=0 körüli érték)

41 POSITIVELY SKEWED

42 NEGATIVELY SKEWED

43 BI-MODAL

44 Az aszimmetria mérőszámai Az eloszlások következő típusaival foglalkozunk: -egymóduszú eloszlás szimmetrikus, aszimmetrikus (vagy ferde); -többmóduszú eloszlás.

45 Az aszimmetria mérőszámai Többmóduszú gyakorisági sorok általában heterogén sokaságokból származtathatók. A fősokaságot a heterogenitást előidéző ismérv szerint csoportosítva egy egymóduszú gyakorisági sorokhoz jutunk, ezért ezeket összetett gyakorisági soroknak is nevezzük. Az egymóduszú gyakorisági sorok poligonjának egy helyi maximuma (csúcsa) van. A helyzetmutatók elhelyezkedésétől függően az eloszlás szimmetrikus és aszimmetrikus lehet.

46 Asszimetria mérőszámai Az aszimmetria leggyakrabban használt mérőszámai a Pearson-féle mutatószám és az F mutató. A két mutatószám eltérő jellemzőkből kiindulva méri az aszimmetria mértékét és irányát.

47 Pearson-féle mutatószáma Az aszimmetria Pearson-féle mutatószáma (jele: A) a számtani átlag és a módusz egyes eloszlástípusok esetén jellemző nagyságrendi viszonyán alapul. A mérőszám (önmagában a számláló) előjele az aszimmetria irányát mutatja. Bal oldali, jobbra elnyúló aszimmetria esetén A 0, jobb oldali, balra elnyúló aszimmetria esetén A 0. Szimmetrikus eloszlás esetén A = 0. A mérőszám abszolút értékének nincs határozott felső korlátja, azonban már 1-nél nagyobb abszolút érték a gyakorlatban ritkán fordul elő és meglehetősen erős aszimmetriára utal. A x Mo

48 F mutató Az aszimmetria másik mérőszáma, az F mutató (jele: F) az alsó és felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul. Bal oldali, jobbra elnyúló aszimmetria esetén a medián az alsó (Q 1 ), míg jobb oldali aszimmetria esetén a felső (Q 3 ) kvartilishez esik közelebb. E mutatószám ugyanolyan feltételek mellett ad nulla, pozitív és negatív eredményt, mint az A mutató. Az F mutató lényegesen kisebb értékkel jelzi a már nagyfokúnak tekinthető aszimmetriát, mint az A. ( Q3 Me) ( Me Q1) F ( Q Me) ( Me Q ) 3 1

49 További folytonos eloszlások t-eloszlás Exponenciális eloszlás Egyenletes eloszlás F-eloszlás Gamma

50 t-eloszlás

51 Exponenciális eloszlás A valószínűségi változót paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye: ahol rögzített Az exponenciális eloszlásfüggvény

52 Exponenciális eloszlás Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye:

53 A Egyenletes eloszlás valószínűségi változót az intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye egyébként.

54 Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

55 F eloszlás f1 = (n1-1) f2 = (n2-1)

56 KÖSZÖNÖM A FIGYELMET