e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

Átírás

1 Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye: f (t) = 1 σ 2π (t µ) 2 e 2σ 2 Normális eloszlásfüggvény: F (t) = 1 σ 2π t e (t µ) 2 2σ 2 Normális eloszlás várható értéke: E (ξ) = µ Normális eloszlás szórásnégyzete: V ar (ξ) = σ 2 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: µ 4 = E ( (ξ E (ξ)) 4) = 3 σ 4

2 Beta eloszlás ξ valószínűségi változó Beta eloszlású. ξ Beta (N k + 1, k + 1) N + 1 darab [0, 1]-ben egyenletes eloszlású valószínűségi változó közül a nagyság szerinti k + 1-edik eloszlása Beta eloszlás sűrűségfüggvénye: f (t) = (N + 1)! (N k)! k! tk (1 t) N k ha 0 t 1 és f (t) = 0, ha t < 0 vagy 1 < t (N és k pozitív egész, k N ). Beta eloszlás várható értéke: E (ξ) = k + 1 N + 2 Beta eloszlás szórásnégyzete: V ar (ξ) = (N k + 1) (k + 1) (N + 3) (N + 2) 2

3 Binomiális eloszlás ξ valószínűségi változó N-ed rendű, p paraméterű binomiális eloszlású ξ B (N, p) (N pozitív egész, k nemnegatív egész, k N, 0 p 1) P (ξ = k): annak a valószínűsége, hogy egy p valószínűségű esemény N független megfigyelésben pontosan k alkalommal fordul elő. P (ξ = k) = ( N k ) p k (1 p) N k A binomiális eloszlás várható értéke: E (ξ) = Np A binomiális eloszlás szórásnégyzete: V ar (ξ) = Np(1 p)

4 Exponenciális eloszlás ξ valószínűségi változó λ-paraméterű exponenciális eloszlású. (λ > 0) ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. f (t) = { 0,ha t 0, λe λt,ha t > 0. ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. F (t) = { 0,ha t 0, 1 e λt,ha t > 0. Az exponenciális eloszlás várható éréke: E (ξ) = 1 λ Az exponenciális eloszlás szórásnégyzete: V ar (ξ) = 1 λ 2 Tehát az exponenciális eloszlás szórása és várható értéke megegyezik.

5 Gamma eloszlás ξ valószínűségi változó (λ,k)-paraméterű Gamma eloszlású, (ahol λ > 0 valós szám, K 1 egész szám): K darab független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó összege. A gamma eloszlás sűrűségfüggvénye: { 0,ha t 0, f K (t) = λ K (K 1)! e λt t K 1,ha t > 0. A gamma eloszlás várható értéke: E(ξ) = K λ A gamma eloszlás szórásnégyzete: V ar(ξ) = K λ 2

6 Lognormális eloszlás A ξ valószínűségi változó lognormális eloszlású, ha ξ e alapú logaritmusa (azaz log ξ) normális eloszlású. A lognormális eloszlásfüggvény, ha t > 0: F (t) = 1 σ 2π logt e (t µ) 2σ 2 2 dt A lognormális eloszlás sűrűségfüggvénye: f(t) = { 0,ha t 0, (logt µ) 2 e 2σ 2,ha t > 0. 1 tσ 2π A lognormális eloszlás várható értéke: σ2 µ+ E(ξ) = e 2 A lognormális eloszlás szórásnégyzete: V ar(ξ) = e 2µ+σ2 ( ) e σ2 1

7 Khi-négyzet eloszlás K számú standard normális eloszlású független valószínűségi változó négyzetének összegét K szabadságfokú χ 2 -eloszlásúnak nevezzük: χ 2 = ξ ξ ξ 2 K, ahol ξ 1, ξ 2,..., ξ K N (0, 1) eloszlású független valószínűségi változók. A K szabadságfokú χ 2 -eloszlás sűrűségfüggvénye: f K (t) = { 0,ha t 0, t K 2 1 e t 2 2 K 2 Γ( K 2 ),ha t > 0. A K szabadságfokú χ 2 -eloszlás várható értéke: E ( χ 2) = K A K szabadságfokú χ 2 -eloszlás szórásnégyzete: V ar ( χ 2) = 2K

8 Hipergeometrikus eloszlás A ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, ha P (ξ = b) = ( ) B b ( W N b A paraméterek jelentése: N különböző elemet választunk ki a T elemszámú alapsokaságól. Az alapsokaság B darab fekete és W darab fehér elemből áll és T = B + W. ξ azt jelöli, hogy a kiválasztott elemek között hány fekete van, lehetséges értékei b = 0, 1, 2,..., N Hipergeometrikus eloszlás várható értéke: ( T N ) ) E (ξ) = N p, ahol p = B T Hipergeometrikus eloszlás szórásnégyzete: V ar (ξ) = Np (1 p) ( 1 N 1 ) T 1

9 Poisson eloszlás A ξ valószínűségi változó λ-paraméterű Poisson eloszlású, ha ξ lehetséges értékei a nem negatív egész számok és: P (ξ = k) = λk k! e λ (k = 0, 1, 2,...). A Poisson eloszlás várható értéke: E (ξ) = λ A Poisson eloszlás szórásnégyzete: V ar (ξ) = λ Tehát a Poisson eloszlás várható értéke és szórásnégyzete megegyezik.

10 Egyenletes eloszlás A ξ valószínüségi változó folytonos egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumban (a < b). Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye: f (t) = { 1 b a,ha a < t < b, 0,egyébként. Az egyenletes eloszlásfüggvény: { 0,ha t a, t a F (t) = b a,ha a < t < b, 1,ha t b. Az egyenletes eloszlás várható értéke: E (ξ) = a + b 2 Az egyenletes eloszlás szórásnégyzete: V ar (ξ) = 1 12 (b a)2