a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

Átírás

1 Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C = A B \ C? b A B C = A B C? Nem Igen Itt A B := A \ B B \ A a szimmetrikus differenciát jelöli.. Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA + PB.. Mutassuk meg, hogy tetszőleges A, B, C, D és E események esetén P A B C D E P A + P B + P C + P D + P E.. Bizonyítsa be, hogy PA B PA C + PC B teljesül tetszőleges A, B és C eseményekre! Itt A B := A \ B B \ A a szimmetrikus differenciát jelöli.. Két szabályos kockával dobunk. Tekintsük az A = {az összeg páratlan} és B = {van -es} eseményeket. Írja le az A B és A B eseményeket és határozza meg a valószínűségüket! A B = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, }, A B = {,,,,,,,,,,, }, PA = 8, PB =, PA B =, PA B =. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? = 7. Szabályos kockával n-szer dobva mennyi a valószínűsége annak, hogy a legalább egy -os van? n b pontosan egy -os van? n n = n n n 8. Egy szabályos érmét 9-szer feldobunk. Tekintsük az A := {a dobott fejek száma páros} [ eseményt. Határozza meg a PA valószínűséget! ] 8 = 9 9. Egy szabályos érmét 9-szer feldobunk. Tekintsük az A := {a dobott fejek száma legfeljebb } [ eseményt. Határozza meg a PA valószínűséget! ] = 9 0. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az lapos kártyából lapot kiosztva full lesz az eredmény, azaz egyforma + egyforma? Például három -os és két király; színből különböző lap van. = Egy társaságot, mely n emberből áll, találomra két egyforma csoportra osztunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két legnagyobb személy különböző csoportba kerül?. Egy urnában fehér és piros golyók vannak. Visszatevéssel kihúzunk két golyót. Bizonyítsuk be, hogy legalább annak a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók egyforma színűek! Ha f darab fehér és p darab piros van, akkor a valószínűség f +p f+p n n

2 . Tíz pár cipő közül találomra kiveszünk darab cipőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott cipőkből összeállítható legalább egy pár cipő, ha a a cipők különböznek egymástól? b a cipők nem különböznek egymástól? Természetesen a balos és jobbos cipők ebben az esetben is különböznek egymástól! Egy szabályos érmével addig dobunk, míg egymás után azonos eredményeket nem kapunk. Adjuk meg ennek a kísérletnek egy valószínűségi modelljét! Ω = {II, F F, IF F, F II, IF II, F IF F,... }, A = Ω, egy k-hosszúságú elemi esemény valószínűsége Mennyi a valószínűsége annak, hogy k legfeljebb dobásra van szükség?. Egy egységnyi hosszúságú szakaszt két ponttal három szakaszra bontunk fel. Mennyi a valószínűsége, hogy lehet háromszöget szerkeszteni a kapott darabokból?. Hajótöröttek egy lakatlan, növényzet nélküli szigeten azt tervezik, hogy a viharban zátonyra futott eredeti vitorlás hajójuk darabjaiból új, kisebb hajót építenek. A vihar az árbocot véletlenszerűen három darabra törte. Tudjuk, hogy ha az eredeti 0m hosszú árbocnak maradt egy legalább 0m-es darabja, akkor a hajó megépíthető. Mi a valószínűsége, hogy amikor visszaúsznak a hajóroncshoz, találnak ilyen darabot? 7. Véletlenszerűen kiválasztunk két, 0 és közé eső valós számot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a a kiválasztott számok összege kisebb, mint /? 7 8 b a kiválasztott számok szorzata kisebb, mint /? +ln 8. Válasszunk ki két számot a [0,] intervallumban egymástól függetlenül és véletlenszerűen azaz egyenletes eloszlással. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott számok mértani közepe kisebb mint? +ln 9. Mennyi a valószínűsége, hogy valamely, találomra kiválasztott, az egységnél rövidebb élhosszúságú téglatest testátlója az egységnél kisebb? π 0. Legyen P A = /, P A B = / és P B A = /. Számítsuk ki a P A B és P A B valószínűségeket! P A B = 8, P A B =. Három szabályos kockával dobunk. Tekintsük az A = {legalább egy -os van} és B = {különbözők a számok} eseményeket. Határozza meg a PA és PA B valószínűségeket! PA = 0., PA B = =. Két szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7? Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy a dobott számok összege páratlan?, illetve. Feldobunk egy szabályos dobókockát, majd annyiszor lövünk egy céltáblára, amennyit a kockával dobtunk. A céltáblát minden egyes alkalommal valószínűséggel találjuk el. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább egyszer eltaláljuk a céltáblát? k = Két játékos, A és B a következő játékszabályok alapján játszik. A feldob egy szabályos dobókockát, azután pedig két érmét annyiszor dob fel, ahányat a kockával dobott. Ha e dobások során legalább egyszer két fejet dobott, akkor B fizet A-nak Ft-ot, ellenkező esetben A fizet B-nek Ftot. Melyiküknek előnyös a játék a játék annak előnyös, akinek nagyobb a nyerési valószínűsége? A-nak előnyös a játék, mert A nyerési valószínűsége + >. Két város között a távíró összeköttetés olyan, hogy a leadott távírójelek közül a pontok része vonallá torzul, a vonalak része pedig ponttá torzul. A leadott jelek 8 része pont. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha a vevő oldalon pontot kapnak, akkor az adó pontot továbbított? 8 k= =

3 . Egy dobozban két fehér és két piros golyó van. Összekeverés után kihúzunk két golyót visszatevés nélkül, és áttesszük azokat egy kalapba. Ezután összekeverés után kihúzunk egy golyót a kalapból. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kalapban maradt másik golyó piros, ha a kalapból kihúzott golyó fehér? + = 7. Egy dobozban egy golyó van, ami egyenlő valószínűséggel fehér vagy fekete. Beteszünk a dobozba egy fehér golyót, és összekeverés után kihúzunk egy golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az urnában eredetileg fehér golyó volt, ha a kihúzott golyó fehér? + 8. Egy dobozban N darab fehér és M darab piros golyó van. Valaki találomra kivesz egy golyót, amelynek nem tudjuk a színét. Ezután visszatevés nélkül kihúzunk két golyót, melyek fehéreknek bizonyulnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a legelsőnek kivett golyó is fehér volt? N N+M N N N+M = N+M + N N N+M N+M M N+M N+M N 9. Két érménk van: egy szabályos és egy,,cinkelt, aminél a fej valószínűsége kétszer akkora, mint az írásé. Kiválasztunk egyet a két érme közül egyenlő valószínűséggel és azt feldobjuk. Mi a valószínűsége, hogy a cinkelt érmével dobtunk, ha az eredmény fej lett? + 0. Tíz gyerek közül hárman zeneiskolába járnak, ketten sportolnak a zeneiskolások közt nincs sportoló. Véletlenszerűen sorbaállítjuk őket. Jelentse A azt az eseményt, amelyik akkor következik be, amikor a sorban a zeneiskolások egymás mellé kerülnek, B pedig akkor, amikor a sportolók nem kerülnek egymás mellé. Független-e a két esemény? PA =, PB =, PA B = 0, így A és B nem függetlenek. Egy urnában elhelyezzük az egész számokat -től 8-ig, majd véletlenszerűen kihúzunk egyet. Jelentse A a páros, A az ötnél kisebb és A a -nek, vagy egy -nél nagyobb számnak a kihúzását. Bizonyítsuk be, hogy a három esemény nem teljesen független egymástól, jóllehet P A A A = P A P A P A.. Egy ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei,,..., 0, eloszlása Pξ = j = a j, j =,,..., 0, = 7 = ahol a alkalmas valós szám. Határozza meg a értékét! Pξ k? k Milyen k pozitív egészekre teljesül. Egy részvény kiinduló ára egy peták. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy pedig felére csökken. Mindkét lehetőség ugyanolyan valószínűségű. A következő két évben ugyanez történik, és a változások függetlenek. Mi lesz három év múlva a részvényár eloszlása? Azaz milyen értékeket vehet fel milyen valószínűséggel? Lehetséges értékek:,, 8; a hozzátartozó valószínűségek: 8, 8, 8, 8 8,. Mi a lottón kihúzott öt szám közül a legkisebbnek, illetve a legnagyobbnak az eloszlása? A legkisebb kihúzott szám eloszlása: k 90, k =,..., k 90, k =,..., 8, a legnagyobb kihúzott szám eloszlása:. Egy szabályos dobókockát feldobunk. Az eredményt jelölje ξ. Határozza meg az E ξ várható értéket! E ξ = k= k. Legyen a ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású a {,, 0,,, } halmazon, és legyen η := ξ. Milyen értékeket és milyen valószínűséggel vesz fel η? Határozza meg η várható értékét, varianciáját! Az η egyenletes eloszlású a { 8,, 0,, 8, 7} halmazon, E η = 9 7, var η =.

4 7. Legyen a ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású a {,,, 0,, } halmazon, és legyen η := ξ. Milyen értékeket és milyen valószínűséggel vesz fel η? Határozza meg η várható értékét, varianciáját! Az η lehetséges értékei 0,,, 9; a hozzátartozó valószínűségek,,, ; E η = 9 9, var η =. 8. Egy részvény kiinduló ára egy peták. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy felére csökken, vagy pedig változatlan marad. Mindegyik lehetőség ugyanolyan valószínűségű. A következő évben ugyanez történik, az első évi változástól függetlenül. Mi lesz két év múlva a részvényár eloszlása? Azaz milyen értékeket vehet fel milyen valószínűséggel? Mennyi két év múlva a részvényár várható értéke? Lehetséges értékek:,,,, ; a hozzátartozó valószínűségek: 9, 9, 9, 9, 9 ; a várható érték 9 9. Az A és B játékosok a következő játékot játszák. Az A feldob egy szabályos dobókockát és annyit fizet B nek, amennyi a dobás eredménye. A B feldob egy szabályos érmét, és ha fej, akkor x forintot fizet A nak, ha írás, akkor x forintot fizet A nak. Mennyi x, ha a játék igazságos abban az értelemben, hogy A illetve B nyereményének várható értéke 0? x = 7 0. Határozzuk meg egy lottóhúzás során kihúzott legkisebb, illetve legnagyobb szám várható értékét! A legkisebb kihúzott szám várható értéke: 9, a legnagyobb kihúzott szám várható értéke: 9. Egy urnában N cédula van, melyek meg vannak számozva től N ig. Kihúzunk k cédulát visszatevés nélkül. Határozzuk meg a legnagyobb kihúzott szám eloszlását és várható értékét. A lehetséges értékek k, k +,..., N, a hozzátartozó valószínűségek k k N k, k k N k,..., N k N k, a k várható érték k+ N +.. Legyen ξ binomiális eloszlású valószínűségi változó, paraméterekkel. Határozza meg a Pξ = és P < ξ valószínűségeket! Pξ = = = 80, P < ξ = 0. Egy szabályos dobókockával tizenkétszer dobunk. Jelölje ξ a hármas dobások számát. Határozza meg ξ várható értékét! Pξ = k = k k k ha k = 0,,..., binomiális eloszlású, ezért E ξ = =. Csavarokat gyártó automata esztergagépen a selejtes csavar valószínűsége 0.0. Mi a valószínűsége, hogy a beindított gép a már elsőre selejtes csavart gyárt? 0.0 b csak másodikra gyárt selejtes csavart? c legfeljebb az első tíz csavar után gyártja az első selejteset? 9 d a tizedik csavar lesz a második selejtes? e legfeljebb az első 0 csavar után készül el a második selejtes? Egy üzemben elektromos biztosítékokat gyártanak. A tapasztalat szerint átlagban ezek %-a hibás. A hibás biztosítékok száma binomiális eloszlású. Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy 0 darab véletlenszerűen kiválasztott biztosíték között a nincs selejtes; b legalább egy selejtes van; c nincs l-nél több selejtes Egy életbiztosító társaságnak a többi között 0000 olyan biztosítottja van, akik egyforma korúak és szociális helyzetűek. Annak valószínűsége, hogy egy ilyen személy az év folyamán meghal, 0,00. A biztosítottak egymástól függetlenül halnak meg. Minden biztosított január -én Ft-ot fizet be, halála esetén hozzátartozóik 000 Ft-ot kapnak. Mekkora a valószínűsége, hogy

5 a a társaságnak nem lesz nyeresége; k k! e ; k=0 b legalább Ft-ja megmarad? k k! e ; k= k= k= k 0.00k k ; Poisson-eloszlással közelítve: 0000 k 0.00k k ; Poisson-eloszlással közelítve: A biztosítottak között a halálozások száma egy év alatt binomiális eloszlású, hiszen egymástól függetlenül halnak meg. 7. Annak valószínűsége, hogy egy diákszálló valamelyik lakója valamelyik napon beteg lesz, és a betegszobában ágyat foglal el: 0,00. A diákok egymástól függetlenül betegednek meg. Ha 00 lakója van a diákszállónak, hány ágyas betegszobát kell berendezni, hogy legfeljebb % legyen annak valószínűsége, hogy egy beteg nem kap ágyat? A betegek száma binomiális eloszlású, mivel a diákok egymástól függetlenül betegednek meg. A szükséges ágyszám olyan n, melyre Poisson-eloszlással közelítve: nem. k=n+ 00 k=n+ 00 k 0.00k k k k! e Ennek n = 7 már megfelel, n = még 8. Egy augusztusi éjszakán átlag 0 percenként észlelhető csillaghullás a csillaghullások száma Poisson eloszlású. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk?.! e Eloszlásfüggvények-e a következő függvények? a F x = + π arctanx, x R. Nem b F x = e e x, x R. Igen 0. Definiáljuk a ξ valószínűségi változó eloszlását a következőképpen: valószínűséggel, ξ = valószínűséggel, valószínűséggel, valószínűséggel. Adjuk meg ξ eloszlásfüggvényét készítsünk ábrát is!. Az alábbi függvények közül melyek sűrűségfüggvények? a b fx = fx = { sinx ha 0 < x <, 0 egyébként. { x ha x, 0 egyébként. Igen Nem. Egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye 0 ha x, fx = a x ha x >. Határozza meg az a együttható értékét! Számítsa ki, hogy milyen x értéknél lesz Pξ x =? a = 8, x =

6 . Válasszunk a [0,] intervallumon egyenletes eloszlással egy pontot. Jelölje ξ a pont távolságát a [0,] intervallum közelebbi végpontjától. Határozza meg ξ eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét! 0 ha x 0, { F ξ x = x ha 0 < x, ha 0 < x < f ξ x =, ha x >, 0 egyébként. Tehát ξ egyenletes eloszlású a 0, intervallumon.. Legyen ξ egyenletes eloszlású az [,] intervallumon. Határozza meg az E ξ várható értéket!. Legyen ξ abszolút folytonos eloszlású valószínűségi változó, sűrűségfüggvénye: π f ξ x = e x ha x 0, 0 ha x < 0. Határozzuk meg ξ szórásnégyzetét! π. Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, ] intervallumon. Határozza meg a P ξ = és P < ξ < valószínűségeket! Pξ = = 0, P = < ξ < = 7. Valaki egy sürgős telefonhívást vár. A hívás időpontja egy reggel 8 órakor kezdődő, ismeretlen hosszúságú intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó. A hívást váró fél tudja, hogya hívás 80% valószínűséggel 8 és 0 óra között befut. a Állapítsuk meg, mekkora annak valószínűsége, hogy a hívás / 0 és 0 óra között érkezik. b A hívás / 0-ig nem jött be. Mennyi a valószínűsége, hogy / 0 és 0 óra között még befut? Jelölje ξ a hívás időpontját. Ez a 8, b intervallumon egyenletes eloszlású. Mivel P8 ξ 0 = = 0.8, ezért b = 0.. Így P9. ξ 0 = 0., P9. ξ 0 ξ 9. = 0.. b 8 8. Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = paraméterrel. Határozza meg a Pξ = és P < ξ < valószínűségeket! Pξ = = 0, P < ξ < = e 9. Annak valószínűsége, hogy egy benzinkútnál a tankolásra percnél többet kell várni, a tapasztalatok szerint 0.. A várakozási idő hossza exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy véletlenszerűen a benzinkúthoz érkezve percen belül sorra kerülünk? Jelölje ξ a várakozási idő hosszát. Mivel Pξ > = e λ = 0., így Pξ < = e λ = Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó. Határozza meg a Pξ = π, Pξ > 0, és P ξ 0 valószínűségeket! Pξ = π = 0, Pξ > 0 =, Pξ 0 =. Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó, paraméterekkel. Határozza meg a Pξ = π, Pξ >, és P ξ valószínűségeket! Pξ = π = 0, Pξ > =, Pξ =. Tegyük fel, hogy bizonyos fajta izzólámpák élettartama normális eloszlású, m = 000 óra várható értékkel és σ = 00 óra szórással. Számítsuk ki, hogy az első 900 órában a lámpák hány százaléka megy tönkre. Jelölje ξ az izzólámpa élettartamát. Mivel Pξ < 900 = P ξ < = Φ = Φ 0.8, ezért az első 900 órában a lámpák közelítőleg 0.87 százaléka megy tönkre.. Legyen ξ egyenletes eloszlású a, 7 intervallumon. Legyen η := ξ. Határozza meg η eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét és várható értékét. 0 ha y, y + ha < y < 7, F η y = ha < y 7, f η y = x / 0 egyébként, ha y > 7, E η = 7 x dx = 77 8 vagy E η = 7 y dy = 77 8

7 . Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, ] intervallumon. Határozza meg az η := ξ +ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét, várható értékét! 0 ha y 0, y F η y = ha 0 < y y, f η y = y ha 0 < y <, ha y >, 0 egyébként, E η = 0 x / y dx = ln vagy E η = dy = ln + x 0 y. Legyen ξ egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Határozza meg ξ sűrűségfüggvényét! Határozza meg ξ sűrűségfüggvényét! f ξ y = { 0 ha y 0, λye λy ha y > 0, f ξ y = { 0 ha y 0, λy e λy ha y > 0.. Legyen ξ standard normális eloszlású. Határozzuk meg ξ sűrűségfüggvényét. e y/ ha y > 0, f ξ y = πy 0 egyébként. 7. Mennyi egy egységnégyzetben egyenletes eloszlással választott véletlen pont legközelebbi oldaltól való távolságának várható értéke? Mennyi ugyanez egy egységkockában?, illetve Legyenek ξ,..., ξ n független valószínűségi változók, E ξ k = 0, E ξk = és E ξ k < minden k =,..., n esetén. Legyen S n := ξ + + ξ n. Bizonyítandó, hogy ES n = n Eξk és ESn = k= n Eξk + nn. 9. A ξ, η kétdimenziós valószínűségi vektorváltozó együttes eloszlását a következő kontingencia táblázat tartalmazza: ξ η 0 p p p p p 0p a Mennyi p értéke? p = b Adjuk meg a peremeloszlásokat! Pξ = = 0 0, Pξ = =, Pη = =, Pη = 0 = 8, Pη = = c Független-e ξ és η? igen d Adjuk meg ξ + η eloszlását!, Pξ + η = = Pξ + η = =, Pξ + η = = 0 k=, Pξ + η = =, Pξ + η = 0 = 70. Válasszunk ki egy pontot véletlenszerűen a {0, 0, 0,, 0,,, 0,,,, 0} halmazból úgy, hogy mindegyik pont ugyanolyan valószínűséggel kerül kiválasztásra. Jelölje a kiválasztott pontot ξ, η. Határozza meg ξ és η várható értékét és a covξ, η kovarianciát. E ξ = E η =, covξ, η = 8. Függetlenek e a ξ és az η valószínűségi változók? Nem 7. Két szabályos pénzérme egyik oldalára nullát, a másikra egyet írunk. A két érmét feldobjuk. A ξ valószí-nűségi változó jelentse a dobott számok összegét, az η valószínűségi változó pedig a a dobott számok szorzatát. Számítsuk ki ξ és η korrelációs együtthatóját! 7. Két szabályos kockával dobunk. A ξ valószínűségi változó legyen ahány páros szám szerepel a dobások között, az η valószínűségi változó pedig ahány hatost dobunk. Számítsuk ki ξ és η korrelációs együtthatóját.

8 7. A ξ, η kétdimenziós valószínűségi változó lehetséges értékeit a P 0, 0, P 0,, P, és P, 0 pontok által meghatározott négyzet belsejében levő egész koordinátájú pontok alkotják. A ξ, η e pontokat egyenlő valószínűséggel veszi fel a négyzet középpontja kivételével, amely négyszer akkora valószínűséggel következik be, mint a többi. Számítsa ki a ξ és η korrelációs együtthatóját! Állapítsa meg, hogy függetlenek e a ξ és az η valószínűségi változók? A korrelációs együttható 0, tehát korrelálatlanok, de nem függetlenek. 7. Legyenek ξ és η független valószínűségi változók, E ξ = E η =, var ξ = var η = 9. Határozza meg corrξ + η, ξη értékét! 7. Határozza meg a c konstans értékét úgy, hogy az { c x + y ha x, y [0, ], fx, y = 0 egyébként függvény sűrűségfüggvény legyen! Határozza meg a koordináták korrelációs együtthatóját! korrelációs együttható. 7. Határozza meg a c konstans értékét úgy, hogy az { c x + y ha x, y [0, ], fx, y = 0 egyébként c =, a függvény sűrűségfüggvény legyen! Határozza meg a koordináták korrelációs együtthatóját! korrelációs együttható 7. c =, a 77. Két darab egységnyi hosszúságú botot véletlenszerűen eltörünk, és a keletkezett rövidebb darabokat összeragasztjuk. Mennyi az így kapott bot hosszának eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye és várható értéke? 0 ha x 0, x ha 0 < x F x =, x ha 0 < x, x ha < x, fx = x ha < x, 0 egyébként, ha x > 0, a várható érték 78. Egy szabályos érmét háromszor feldobunk egymás után, jelölje ξ az írások számát! Határozzuk meg ξ mediánját, móduszát és 0.-kvantilisét! Módusz: és, medián: [, ], 0.-kvantilis: 79. Egy irodában telefonkészülék van beszerelve. Annak a valószínűsége, hogy valamelyik készüléken egy órán belül hívás fut be rendre 0.7, 0. és 0.. A ξ valószínűségi változó jelentse, hogy egy órán belül hány készüléken jön hívás. Határozzuk meg ξ mediánját, móduszát és 0.-kvantilisét! Módusz:, medián:, 0.-kvantilis: 80. Legyenek a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei,,,..., eloszlása Pξ = k =, k =,,,.... kk + Határozzuk meg ξ mediánját, móduszát és 0.9-kvantilisét! Módusz:, medián: [, ], 0.9-kvantilis: [, ] 8. Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: x ha x, x+ 0 ha < x F ξ x =, ha < x, x ha < x. Határozzuk meg ξ mediánját és interkvartilisét! Medián:, interkvartilis: [ ln ln, ] ln ln

9 8. Legyen a ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [0, ] intervallumon, és legyen η := ξ. Határozza meg η várható értékét, mediánját, interkvartilisét! E η =, az η mediánja interkvartilise. 8. Legyen a ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [0, ] intervallumon, és legyen η := ξ. Határozza meg η várható értékét, mediánját, interkvartilisét! E η = 8, az η mediánja, interkvartilise. 8. Legyen ξ abszolút folytonos eloszlású valószínűségi változó, sűrűségfüggvénye f ξ x = Határozzuk meg ξ mediánját! ln { xe x ha x > 0, 0 ha x 0. ln 8. Határozza meg a λ-paraméterű exponenciális eloszlás mediánját és interkvartilisét! Medián: ln interkvartilis: λ. 8. Határozza meg az [a, b] intervallumon egyenletes eloszlás ferdeségét és lapultságát! A ferdeség 0, a lapultság. 87. Határozza meg a λ-paraméterű exponenciális eloszlás ferdeségét és lapultságát! A ferdeség, a lapultság., λ,