Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2004. február )

Átírás

1 1. gyakorlat (2004. február ) Totó 1. Tekintsük a következı játékot: Anna úgy rak le egy érmét az asztalra, hogy Bálint nem látja. Bálint megpróbálja kitalálni, hogy írás vagy fej van felül. Ha az írást találja el akkor 3 forintot kap, ha a fejet akkor 1-et. Amennyiben nem találja el, akkor 2 forintot fizet. Kinek kedvezı ez a játék? 1, Annának 2, Bálintnak X, egyiküknek sem, a játék igazságos 2. Egy szabályos érmét százszor feldobva, melyik esemény a valószínőbb: hogy pontosan 50 fejet dobunk, vagy hogy legalább 60 fejet dobunk? 1, a pontosan 50 fej 2, a legalább 60 fej X, mindkettı egyformán valószínő 3. Egy televíziós vetélkedıben három zárt ajtó közül kettı mögött egy-egy kecske, a harmadik mögött pedig egy autó van. A játékos választ egy ajtót. A játékvezetı (aki tudja, hogy melyik ajtó mögött mi rejtızik) ekkor a maradék kettı közül kinyit egyet, és megmutatja, hogy ott kecske van. Felajánlja a játékosnak, hogy most még megváltoztathatja a választását. Érdemes-e élni ezzel a felkínált lehetıséggel? 1, igen 2, nem X, teljesen mindegy, így is, úgy is egyforma a nyerési esély programtervezı matematikus hallgató esetén kb. mekkora a valószínősége, hogy találunk legalább két hallgatót, akinek megegyezik a születésnapja (azaz a hónap és a nap, amikor született)? 1, 5% 2, 25% X, 50% 5. Feldobunk két szabályos dobókockát, melyik összeg valószínőbb, a 9 vagy a 10? (Lásd a Catan telepesei c. játékot!) 1, a 9 2, a 10 X, egyformán valószínőek 6. Egy társaság tagjai karácsonykor úgy ajándékozzák meg egymást, hogy mindenki visz egy ajándékot, melyeket aztán véletlenszerően osztanak ki egymás között. Mekkora az esélye, hogy senki sem kapja a saját ajándékát? 1, nagyon nagy, legalábbis ha a társaság sok tagú (50 embernél kb. 90%) 2, a tagok számától függetlenül kb 37% X, a tagok számától függetlenül kb 72% 7. Egy szabályos érmét százszor feldobva, átlagosan milyen hosszú lesz a leghosszabb futam, azaz a leghosszabb csupa írásból vagy csupa fejbıl álló blokk? 1, kb 3 2, kb 5 X, kb 7 8. Aranka addig dobál egy szabályos érmét, amíg három egymás utáni dobás eredménye FFI lesz. Bella és Cili ugyanezt a játékot őzik az IFI illetve az III sorozatokkal. Várhatóan melyik lánynak kell a legtöbbször dobni? 1, Arankának 2, Bellának X, Cilinek Elérhetıségeim: szoba, tel.: /8530, villo@ludens.elte.hu, honlap: Számonkérés: a félév során két db. 80 pontos ZH lesz, és 4 db. 10 pontos beadandó HF. Így összesen 200 pontot lehet elérni. A gyakorlati jegy ponthatárai: 70, 100, 130, 160. Feltétel még, hogy mindkét ZH-n legalább 20 pontot kell elérni.

2 2. gyakorlat (2004. február ) 1. Mennyi az esélye annak, hogy az A, A, A, A, B, L, M, betőket egymás mellé rakva, az ALABAMA szót kapjuk eredményül? Oldd meg ugyanezt a feladatot a saját keresztneveddel is! 2. Ha egy kockával négyszer dobunk, akkor elınyös arra fogadni, hogy a négy dobásból lesz legalább egy hatos. Két kockával dobva vajon hány dobás esetén elınyös arra fogadni, hogy lesz legalább egy dupla hatos? 3. Mennyi a valószínősége annak, hogy a kihúzott lottószámok mindegyike páros? Több köztük a páros mint a páratlan? A kihúzott számok a húzás sorrendjében növekvıek? 4. Van három szabályos kockánk, melyek közül az elsın a , a másodikon a , a harmadikon pedig a számok vannak. Az A játékos választ egy kockát, majd a B egy másikat. Ezután feldobják kockáikat, és az nyer, aki nagyobbat dobott. Kinek elınyös ez a játék? 5. Mennyi annak a valószínősége, hogy egy héten a lottóban kihúzott öt szám közti páronkénti különbségek mindegyike legalább öt? ben a 34. heti lottóhúzáson két pár egymás utáni számot is kihúztak a (31;32)-t és az (50;51)-et. Mi a valószínősége, hogy egy lottóhúzás eredménye ehhez hasonlóan alakul, azaz kihúznak két szomszédos számokból álló párt, de nem húznak ki három egymás utáni számot? 7. Sakktáblán találomra elhelyezünk 8 bástyát. Mi az esély arra, hogy egyik sem üti a másikat? 8. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyő van. Találomra kiveszünk 4 darabot. Mennyi a valószínősége, hogy lesz köztük legalább egy pár? És ha a párok különbözıek? 9. Mekkora annak a valószínősége, hogy 5 kockával dobva a) egy és csakis egy kockán legyen 6-os az eredmény, b) legalább egy kockán legyen 6-os az eredmény? 10. Egy körön találomra kiválasztunk három pontot. Mekkora annak a valószínősége, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza a kör középpontját? 11. Egy vékony fapálcát 3 részre törünk szét. Mekkora annak a valószínősége, hogy e részekbıl háromszöget alkothatunk?

3 3. gyakorlat (2004. március 1-5.) 1. Határozzuk meg, hogy milyen A,B eseményekre teljesülhetnek a következık: a, A B = A b, A B = A c, A B = A B d, A B = C B e, A ( B A) = B 2. Egy kisfiú Shali baba figurákat győjt. 10 fajta ilyen baba van. Mennyi a valószínősége, hogy a 20. Kinder-tojás elmajszolása után mind a 10 féle Shali babát begyőjtötte? 3. Egy bélyeggyőjtınek mind az 50 barátja a 8 aktuális bélyegsorozat egyikét küldi születésnapjára ajándékba (egymástól függetlenül, bármelyiket 1/8-ad valószínőséggel választják). Mennyi a valószínősége, hogy csak az utolsó boriték tartalmával együtt válik teljessé a győjteménye? 4. Egy érmét 3-szor (n-szer) feldobva, tekintsük az alábbi eseményeket: A: van fej és írás is; B: legfeljebb egy írás van. Függetlenek-e? 5. Mennyi a valószínősége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás hatos, feltéve, hogy tudjuk, hogy legalább az egyik hatos? 6. Egy kockával n-szer dobunk. Mennyi a valószínősége, hogy a dobások eredményeinek összege osztható hattal? 7. Véletlenországban a halálraítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húznak. Két urnát használnak erre, mindegyikben 25 fehér és 25 fekete golyó van. Az elítélt szemét bekötik, így választ egy urnát majd abból húz egy golyót. Ha az fehér, kegyelmet kap. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszés szerint átrendezhesse az urnák között (csak az a feltétel, hogy mindkét urnában legyen golyó). Kérését teljesítették. Hogyan célszerő átrendezni a golyókat? 8. Ali és Bea kockázik, felváltva dobnak két kockával. Ali kezd. Ha elıbb dob hatos összeget mint Bea hetes összeget akkor ı nyer, különben Bea. Méltányos-e ez a játék? 9. Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, 1/3 valószínőséggel Aladár, 2/3 valószínőséggel pedig Béla nyer meg. A jelenlegi állás 20:19 Béla javára. Mennyi annak a valószínősége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? (Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos elıny mellett legalább 21 pontot szerezni.) 10. Van három urna: az egyikben két fehér golyó van, a másodikban egy fehér és egy fekete, a harmadikban pedig két fekete. Találomra választunk egy urnát, és egymás után kétszer húzunk belıle visszatevéssel. Feltéve, hogy mind a kétszer fekete golyót húztunk, mennyi a valószínősége annak, hogy a két fekete golyót tartalmazó urnával van dolgunk? 11. Találomra választunk egy számot 1-tıl 8-ig. Vizsgáljuk a következı három esemény függetlenségét! A: a szám páros, B: a szám ötnél kisebb, C: a szám vagy kettı, vagy ötnél nagyobb. 12. Egy szekrényben 20 sapka és 15 sál van. Egymás után, visszatevés nélkül veszek elı 10 ruhadarabot. Mennyi a valószínősége, hogy a 6. darab sapka? Mennyi ez a valószínőség, feltéve, hogy az 5. darab is sapka volt? 13. Legyenek A 1, A 2,, A n tetszıleges események, és S k a szita-formulában szereplı mennyiség. Mutassuk meg, hogy P(A 1 A 2 A n ) = S 1-2S 2 + 4S (-2) n-1 S n, ahol A B a két esemény szimmetrikus differenciáját jelöli, vagyis az ( A \ B) ( B \ A) eseményt.

4 Prog. Mat. II., valószínőségszámítás - 1. beadandó HF (határidı: március 18.) Álljon egy véletlen kísérlet abból, hogy egy szabályos dobókockát 10-szer feldobunk. A, Írjuk fel annak a valószínőségét, hogy a dobott számok között 1-tıl 6-ig mind a hat lehetséges érték elıfordul! Számítsuk is ki e valószínőség közelítı értékét (számológéppel vagy szimulációval)! (3 pont) B, A kísérlet szimulációjával határozzuk meg közelítıleg annak a valószínőségét, hogy a dobott számok között pontosan m-féle érték fordul elı (m=1,2,,6)! (2 pont) C, Döntsük el, hogy a következı két esemény független-e egymástól: (3 pont) A: a dobások között pontosan 6 db. hatos van B: a dobott számok összege páros D, Adjunk meg ezzel a kísérlettel kapcsolatban egy 1/432 valószínőségő eseményt! (2 pont) Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 4. gyakorlat (2004. március 8-12.) 1. A kihúzott lottószámokat rendezzük nagyság szerint növekvı sorrendbe! Számítsuk ki az i-dik legnagyobb eloszlását, ahol i=1,2,..., Írjuk fel a legnagyobb és legkisebb lottószám különbségének eloszlását! 3. Addig lottózunk ugyanazzal az öt számmal, amíg ötösünk nem lesz. Mi a legvalószínőbb, hogy ez hányadik héten következik be? 4. Adjuk meg a lottótalálatok számának eloszlását! 5. Hány dobókocka esetén a legnagyobb a valószínősége, hogy a kockákat egyszerre feldobva, a kapott számok között pontosan egy hatos lesz? 6. Egy szabálytalan érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószínősége, hogy páros sokszor kell dobnunk, fele akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószínősége? 7. Döntsük el, hogy a következı véletlen jelenségek leírása melyik eloszláshoz vezet az alábbiak közül: binomiális, hipergeometriai, geometriai, negatív binomiális, Poisson! A, Mennyi a valószínősége, hogy egy 20 fıs évfolyamból legalább hárman születtek decemberben? B, Egy könyvben hány sajtóhiba van a legnagyobb valószínőséggel, ha tudjuk, hogy az átlagos hibaszám 15? C, Minden héten lottózunk. Mennyi a valószínősége, hogy legalább 10 hetet kell várnunk az elsı találatunkra? D, Egy 35 fıs osztályba 20 fiú és 15 lány jár. Találomra hívunk ki 4 felelıt. Mennyi a valószínősége, hogy 2 fiú és 2 lány lesz a felelık között? E, Minden nap 1/3 valószínőséggel kapunk levelet. Mennyi a valószínősége, hogy a 15. napon fogjuk megkapni az ötödik levelet? F, Villanyégıkbıl 6 elemő mintát veszünk visszatevéssel. Annak a valószínősége, hogy a minta 3 selejtet tartalmaz, 4/25. Mekkora a selejtarány?

5 8. Egy játékos annyiszor lıhet egy léggömbre, ahány hatost dob egymás után egy dobókockával. Mennyi a valószínősége, hogy szétlövi a léggömböt, ha egy lövésnél erre 1/1000 az esély? 9. A fınököt egy adott napon telefonon keresık száma lambda paraméterő Poisson eloszlású val.változó. A titkárnı minden hívást a többitıl függetlenül p valószínőséggel kapcsol be. Milyen eloszlású a bekapcsolt hívások száma? 10. Tíz ember társasjátékot akar játszani, és ehhez a kezdıembert ki akarják sorsolni. A házigazdát megbízzák, hogy tegyen bele egy kalapba néhány piros és néhány fehér golyót. A kalapból ciklikusan visszatevés nélkül húznak, és aki elsıként húz pirosat, az kezd. A házigazda az elsı húzó. Hogyan töltse meg a kalapot, ha nem nagyon szeretne kezdeni? Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 5. gyakorlat (2004. március ) 1. Legyen Y F eloszlásfüggvényő valószínőségi változó. Határozzuk meg az. a) ay + b, b) Y a /Y > 0/, c) max(y, 1/Y) /Y > 0/ valószínőségi változók eloszlásfüggvényét! 2. Legyen 0 < Y < 3 valószínőségi változó. Eloszlásfüggvénye ezen az intervallumon F(x) = cx 3. a) Mennyi c értéke? b) Számítsuk ki a P( 1 < Y < 1) valószínőséget! 3. Eloszlásfüggvények-e a következı függvények? a) F(x) = 1 (c/x) a, ha x > c, és 0 különben /a, c > 0/. b) F(x) = 0 ha x<0, F(x) = [x]/2, ha 0 x < 2, és 1 utána. c) F(x) = 2x / (x + 1), ha x > 0, és 0 különben. 4. Legyen Y f sőrőségfüggvényő valószínőségi változó. Határozzuk meg az ay+b és az Y 2 valószínőségi változók sőrőségfüggvényét! 5. Legyen Y standard normális eloszlású. Határozzuk meg Y 2 sőrőségfüggvényét! 6. Legyen X egyenletes eloszlású a [ 1, 2] intervallumon. Adjuk meg X, X és min(x, 1) eloszlás- és sőrőségfüggvényét. 7. Legyen X exponenciális eloszlású, a paraméterrel. Milyen eloszlású lesz Y = e X?

6 6. gyakorlat (2004. március ) ember 125 esernyıjét elkeverik, várhatóan hány ember megy haza saját esernyıjével? 2. Mennyi a lottón kihúzott számok összegének várható értéke? 3. Határozzuk meg két független normális eloszlású vv. összegének sőrőségfüggvényét! 4. Határozzuk meg két független különbözı paraméterő exponenciális eloszlású valószínőségi változó összegének eloszlását! 5. Legyenek X 1,...,X n független exponenciális eloszlású valószínőségi változók, p 1,..., p n paraméterekkel. Jelölje Y=min X i ezek minimumát. Milyen eloszlású Y? 6. Egy elásott kincs koordinátáit a síkon az (X,Y) vektorváltozó adja meg kilométerben, melynek sőrőségfüggvénye h(x,y)=cy 2, ha 0<x<1 és y <x, egyébként pedig 0. Határozzuk meg a c konstans értékét! Mi lesz a kincs koordinátáinak várható értéke (azaz EX és EY)? 7. Egy (X,Y) vektorváltozó sőrőségfüggvénye a következı: h(x,y)=c y, ha 0<x<1 és 0<y<x 2, egyébként pedig 0. Határozzuk meg a c konstans értékét! Határozzuk meg a peremeloszlásokat! Független-e a két koordináta? 8. Legyen az egységnégyzeten adva a következı eloszlásfőggvény: H(x,y)=x 3 y. Határozzuk meg azon téglalap valószínőségét, melynek átellenes csúcsai (1/4,1/4) és (3/4,1/2). 9. Egyenletes eloszlás szerint, egymástól függetlenől választunk két 0 és 1 közötti számot. Milyen eloszlású lesz a nagyobbik és a kisebbik hányadosa? 10. Egy ember villamossal és busszal jár egyetemre. A villamosra való X várakozási idı (percben) a [0,5] intervallumon, a buszra való Y pedig ettıl főggetlen, és a [0,10] intervallumon egyenletes eloszlású. A teljes várakozási idınek mi lesz az eloszlása és a várható értéke? 11. Kockával addig dobunk amíg valamelyik korábban dobott szám elıfordul. Hányat dobunk átlagosan? 12. Számítsuk ki a kihúzott legkisebb, ill. legnagyobb lottószám várható értékét! 13. Öt szabályos kockát feldobunk, ezek egy részével (vagy akár mindegyikkel) újra dobhatunk, majd ezek közül egy újabb csoporttal még egyszer dobhatunk. Így minden egyes kockával egyszer, kétszer vagy háromszor dobtunk. Minden kockánál az utolsó dobott érték számít. Ezek összegét X jelöli. Milyen stratégia mellett lesz X várható értéke maximális, és mennyi ez a várható érték?

7 7. gyakorlat (2004. április ) 1. Egy szabálytalan érmével addig dobunk, míg fejet nem kapunk. Ez átlagosan negyedikre következik be. Határozzuk meg a dobások számának szórásnégyzetét! 2. Egy szabályos kockánál átlagosan hányadik dobásra kapjuk az elsı hatost? És a k-adikat? 3. n-szer dobunk egy szabályos kockával. Átlagosan hány hatos lesz a dobott számok között? 4. Legyenek X 1 és X 2 független binomiális eloszlású valószínőségi változók, X 1 1/6 paraméterő és 10-edrendő, X 2 1/2 paraméterő és 5-ödrendő. Számítsuk ki X 1 +X 1 X 2 várható értékét és szórását! 5. Egy dobozban az 1, 2, 3, 4 feliratú 4 cédula van. Visszatevéssel húzunk, amíg 4-es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét! 6. Legyen π egy permutáció. π inverzióinak száma azon i<j párok száma, amelyek sorrendjét π megfordítja. Jelölje X az inverziók számát egy véletlen permutációban! E(X)=?, D 2 (X)=? 7. Egy csoportban 25-en tanulnak. Tegyük fel, hogy a tanulók születésnapjai függetlenek és az év tizenkét hónapjában egyenletes eloszlásúak. Számítsuk ki azon hónapok számának várható értékét és szórását, amelyekre egy születésnap sem esik. 8. Egy dobozban 9 cédula van, rajtuk a 11, 12, 12, 22, 23, 23, 31, 31, 33 számok. Találomra kihúzunk egy cédulát, X jelentse ennek elsı, Y a második számjegyét. Mutassuk meg, hogy X és Y nem függetlenek, de E(XY)=E(X)E(Y). 9. A fogorvosnál egy tömés 15, egy húzás 3 percet vesz igénybe. A Pista bácsi elıtt várakozók mindegyikének 1/5 valószínőséggel kihúzzák, 4/5 valószínőséggel betömik a fogát. A várakozók száma Poisson(6) eloszlású. Várhatóan mennyi ideig kell Pista bácsinak várakoznia? Beadandó házi feladat 3. (határidı: két hét múlva) Jelölje X r az r hosszú ciklusok számát az {1,2,...,n} halmaz egy véletlen permutációjában. (Pl.: legyen n=6, a permutáció pedig (123456) (254316). Ez a permutáció három ciklusból áll: a, az 1 képe a 2, a 2 képe az 5, az 5 képe az 1, az elsı ciklus bezáródott, hossza három b, a 3 képe a 4, a 4 képe a 3, a második ciklus is bezáródott, hossza kettı c, a 6 képe a 6, ez a harmadik ciklus, hossza egy. ) Számítsuk ki X r várható értékét (5 pont) és szórásnégyzetét (5 pont) (r=1,2)! Szorgalmi feladatok (lehet rá plusz pontot kapni!): 1, Mi a helyzet r=3,4,...,n esetén? 2, Az eredményt ellenırizzük számítógépes szimulációval!

8 8. gyakorlat (2004. május 3-6.) 1. Kockával n-szer dobunk. Jelölje X a dobott hatosok, Y pedig a dobott páratlan számok számát. E(XY) =? D 2 (Y X) =? 2. Véletlenszerően választunk egy (X,Y) pontot a (0,0), (1,0) és (0,1) csúcspontokkal megadott háromszögben. R(X,Y) =? 3. Legyenek X és Y függetlenek, t illetve s paraméterő Poisson eloszlásúak. Számoljuk ki X és X +Y korrelációs együtthatóját! 4. Két tetraéder alakú kockát feldobunk (a lapok 1-tıl 4-ig vannak megszámozva). Jelölje X a kisebb, Y pedig a nagyobb dobás eredményét ha mindkét dobás eredménye k, akkor legyen X = Y = k. Számítsuk ki az R(X,Y) korrelációs együtthatót! 5. Szeretnénk X és Y normális eloszlású val.változókat elıállítani adott várható értékekkel, szórásokkal és korrelációval. Hogyan tehetjük ezt meg, ha számítógépünk csak független standard normálisokat tud generálni? 6. Legyen X n a fejek száma egy n hosszú pénzérme dobássorozatban. Milyen nagyságrendő becslés adódik a P(X n /n > 0.6) valószínőségre a Csebisev egyenlıtlenségbıl, illetve a X n 0.6n P 1.5 > 1.5 azonosságból? P(X n > 0.6n) = ( ) 7. Legyenek az X i valószínőségi változók függetlenek és azonos eloszlásúak. Közös sőrőségfüggvényük c x, ha x [ 1/ 2,1/ 2], f ( x) = 0 egyébként. Határozzuk meg c értékét, és becsüljük meg a P(X X 100 > 15) valószínőséget a Csebisev-egyenlıtlenséggel! 8. Egy termék akkor fogadható el, ha a hossza 8.8 és 9.2 közé esik. A gépünk 9.1 várható értékő termékeket gyárt (tegyük fel, hogy a hossz normális eloszlású). Mekkora lehet a szórás, ha azt akarjuk, hogy a termékek 90%-a jó legyen? Beadandó házi feladat 4. (határidı: két hét múlva) 1. A véletlenszám-táblázatból (amelyben 0-tól 9-ig szerepelnek számjegyek) kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek hárommal oszthatók, mindaddig, amíg 100 ilyen számot nem találunk. Becsüljük annak a valószínőségét Markov-, illetve Csebisev-egyenlıtlenséggel, hogy ehhez legalább 1000 számot tartalmazó táblázatra van szükségünk! (2 + 4 pont) 2. Legyen X (egy készülék élettartama években) normális eloszlású, várható értéke 10, szórása 2. Hány év garanciát adhatunk, ha azt akarjuk, hogy legfeljebb a készülékek 5%-át kelljen javítani? (4 pont)