Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány

Átírás

1 Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány Játékszabályok Max gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén x pont: szorgalmi feladatok a pótzh-ig lehet beadni/beküldeni Mindkét ZH-n minimálisan 0 %-ot, azaz 5 pontot kell teljesíteni. Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuv-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. A ZH-kon használható: kell en buta, hagyományos számológép ( mobiltelefon) és egy A-es lapra (akár mindkét oldalára) KÉZZEL írott "puska". -es: 0,99 -es: 5 9,99 Osztályozás: -as: 50 6,99 -es: 65 79,99 5-ös: 80 0 Infók a gyakorlatvezet r l Név Varga László Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) Szoba D -09 vargal@cs.elte.hu Honlap vargal.elte.hu Ajánlott irodalom mindegyik példatár Bognárné Mogyoródi Prékopa Rényi Szász: Valószín ségszámítási feladatgy jtemény Denkinger Géza: Valószín ségszámítási gyakorlatok Arató Prokaj Zempléni: Valószín ségszámítás elektronikus jegyzet: elte.prompt.hu/sites/default/files/tananyagok/valszam/zempleni.pdf.) Egy urnában fehér, zöld és piros golyó van. Egymás után kiveszük golyót az urnából. Mik lesznek a kísérlet lehetséges kimenetelei (azaz az eseménytér elemei), ha a golyók kihúzásának sorrendjét a.) gyelembe vesszük; b.) nem vesszük gyelembe. Határozzuk meg az elemi események valószín ségét!.) számozott érmével dobunk, majd még annyi érmével, ahány fejet az els két érmével kaptunk. Mik lesznek az eseménytér elemei? Határozzuk meg az elemi események valószín ségét!.) Tegyük fel, hogy egy irodában titkárn dolgozik. Jelentse A i azt az eseményt, hogy az i-edik titkárn megbetegszik (i =,, ). Fejezzük ki az A i események segítségével a következ események valószín ségét: a.) az els titkárn megbetegszik; b.) csak az els titkárn betegszik meg; c.) mindhárom titkárn megbetegszik; d.) legalább titkárn megbetegszik; e.) legalább titkárn megbetegszik..) Aritmethiában az autók rendszámai ötjegy számok és között. Ezek közül találomra választunk egyet. Mennyi a valószín sége, hogy a.) van 6 a jegyek között; b.) minden számjegy különböz ; c.) minden számjegy egyforma; d.) csak két számjegy egyezik meg; e.) három, illetve kett számjegy megegyezik? 5.) A német labdarúgó válogatott edzésének megkezdése el tt, az edzésen résztvev 0 mez nyjátékost két csoportba osztják. Mi annak a valószín sége, ha találomra történik a szétosztás a két 0-es csoportba, hogy Schweinsteiger és Özil egymás ellen játszik? 6.) Mintavétel. Adott N különböz termék, amik között van M selejtes. Veszünk n elem mintát a.) visszatevés nélkül; b.) visszatevéssel. Mennyi a valószín sége, hogy az n termékb l pontosan k selejtest sikerült kiválasztanunk, amennyiben számít a kihúzás sorrendje? 7.) Egy magyarkártya-csomagból visszatevéssel húzunk lapot. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel húzunk pontosan egy piros szín lapot? c.) Milyen eséllyel húzunk legalább egy piros szín lapot? 8.) Tekintsük egy lottóhúzás (5-ös lottó) eredményét. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel lesz két találatom? c.) Milyen eséllyel lesz legalább két találatom? 9.) Adjuk meg annak a valószín ségét, hogy egy totószelvényt vaktában kitöltve, a mérk zés eredménye közül éppen -et találunk el! 0.) Bertrand-paradoxon, 889. Tekintsünk egy kört és válasszuk ki találomra az egyik húrját. Mennyi annak a valószín sége, hogy a húr hosszabb, mint a körbe írt szabályos háromszög oldala?.) Egy R sugarú körbe szabályos háromszöget írunk. Mi a valószín sége, hogy a körlapon véletlenül kiválasztva egy pontot, az a szabályos háromszög belsejébe fog esni?.) A (0, ) intervallumot felosztjuk két véletlenül rádobott pont segítségével részre. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindhárom szakasz hossza rövidebb -nél;

2 b.) a szakaszból háromszög alkotható; c.) a legrövidebb szakasz hossza rövidebb 5 -nél? SZ.) Egy urnában 50 cédula van, rajtuk az,,..., 50 számok. Orsi kivesz az urnából 5 cédulát. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott cédulákon lév számok között legalább 5 osztható 7-tel, ha Orsi a kihúzott cédulákat minden húzás után ha Orsi a.) visszateszi; b.) nem teszi vissza. (p) SZ.) Három egyforma rúd mindegyikéb l találomra letörnek egy-egy darabot. Mi a valószín sége, hogy a három szakaszból háromszöget lehet szerkeszteni? (p).) Egy tagú osztályban a diákok angolt, németet vagy franciát tanulhatnak. Tudjuk, hogy angolul 0-an tanulnak, németül -en, franciául pedig 9-en. Angolul és németül egyszerre 5-en, németül és franciául egyszerre -an, angolul és franciául -en, és senki nem tanulja mind a három nyelvet. Mekkora a valószín sége annak, hogy egy véletlenszer en választott tanuló legalább az egyik idegen nyelvet tanulja?.) Egy hattagú társaság az étteremben három pacalpörköltet, két mátrai borzas csirkemellet, és egy böllér tálat rendel. A pincér a megrendelt ételeket véletlenszer en osztja szét. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindenki azt kapja, amit rendelt; b.) senki sem azt kapja, amit rendelt? 5.) Gerike a Kinder csokoládéban lév új játékokat, 'Shali baba' gurákat gy jt. 0 különböz fajta ilyen baba van, mindegyik Kinder csokoládéba a 0 gura közül véletlenszer en kerül egy. Gerike nagymamája tudja, hogy ez a gyerek álma, ezért karácsonyra a Jézuskától 0-at rendel a kisúnak. Tegyük fel, hogy Gerikének még nincs otthon Shali babája. Mennyi a valószín sége, hogy Gerike mind a 0-féle Shali babát begy jti? 6.) Mennyi a valószín sége, hogy 0 ember közül van olyan hónap, amelyikben egyikük se született? 7.) Legyen (Ω, A, P ) valószín ségi mez, ahol Ω =,,, } és A = Ω. Rendeljünk az elemi eseményekhez olyan valószín ségeket, hogy az A =, }, B =, }, C =, } események páronként függetlenek legyenek, de ne legyenek teljesen függetlenek! 8.) Egy k gyerekes családnál (k ) a ú- és lánygyerek születésének valószín sége minden gyereknél megegyezik. Tekintsük a következ eseményeket: A k : a családban legfeljebb lány van; B k : minden gyerek egyforma nem ; C k : legalább egy gyerek ú. Milyen k-ra lesz a.) A k és B k független; b.) B k és C k független; c.) A k, B k és C k teljesen független? 9.) Milyen n>-re lesz független az a két esemény, hogy a.) A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: legfeljebb egy írás van; b.) A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: az els dobás fej? 0.) Két kockával dobunk. Tekintsük a következ három eseményt: A: dobtunk -est; B: az összeg 7; C: dobtunk 6-ost Mely eseménypárok függetlenek? Igaz-e, hogy a három esemény teljesen független?.) Osztozkodási probléma, 9. Hogyan osztozzon az 600 forintos téten két játékos, ha :-es állásnál félbeszakadt a k gy zelemig tartó mérk zésük? Tegyük fel, hogy az egyes játékok egymástól függetlenek, az els játékos p valószín séggel nyerhet az egyes játékoknál. Oldjuk meg a feladatot a következ esetekben: a.) k = ; p = / b.) k = ; p = /.) Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, / valószín séggel Aladár, / valószín séggel Béla nyer meg. A jelenlegi állás 0:9 Béla javára. Mennyi annak a valószín sége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos el ny mellett legalább pontot szerezni. SZ.) Pisti feldob egy (szabálytalan) érmét 0-szer egymás után, a fej valószín sége p. Nézzük a következ eseményeket: A: a dobott számok között nyolc fej van; B: a negyedik dobás eredménye írás. Van-e olyan p, amire A és B események függetlenek egymástól? (p) SZ.) Egy százszemélyes repül gépen száz ember utazik úgy, hogy mindenkinek van el re kiosztott helye. Az els utas ezzel nem tör dve véletlenszer en leül a száz közül egy helyre. Ezután minden utas a saját helyére próbál leülni, vagy ha az foglalt, véletlenszer en választ egy másikat. Mennyi a valószín sége annak, hogy a századik utas a helyére ül, ha egyszerre csak egy ember foglal helyet? (p).) Mennyi a valószín sége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás 6-os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyik dobás 6-os?.) Négyen l nek egymás után egy céltáblára. A résztvev k találati valószín ségei egymástól függetlenül, sorrendben,, és. Ketten érnek el találatot. Mi a valószín sége, hogy a második hibázta el a lövést? 5.) Három különböz kockával dobunk. Mekkora a valószín sége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege? 6.) Egy érmével annyiszor dobunk, mint amennyi egy szabályos kockadobás eredménye. Mi a valószín sége, hogy nem kapunk fejet? 7.) 00 érme közül 0 cinkelt, ezeknél csak / a fejdobás valószín sége. Egy érmét kiválasztva és azzal 0-szer dobva, k fejet kaptunk (k = 0,,..., 0). Ezen feltétellel mi a valószín sége, hogy a hamis érmével dobtunk? 8.) Egy diák a vizsgán p valószín séggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel, és / a jó válasz esélye. Feltesszük, hogy a diák tudása biztos (azaz ha tudja a választ, akkor az jó is). Határozd meg p értékét, ha /5 annak a valószín sége, hogy amennyiben helyesen válaszolt, tudta is a helyes választ! 9.) Vándorlásai közben Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyik út Athénbe, a másik Spártába, a harmadik Mükénébe vezet. Az athéniek keresked népség, szeretik ámítani a látogatókat, csak minden. alkalommal mondanak igazat. A mükénéiek egy fokkal jobbak: k csak minden második alkalommal hazudnak. A szigorú spártai neveltetésnek köszönhet en a spártaiak becsületesek, k mindig igazat mondanak. Odüsszeusznak fogalma sincs, melyik út merre vezet, így feldob egy kockát, egyenl esélyt adva mindegyik útnak. Megérkezve a városba, megkérdez egy embert, mennyi

3 , mire közlik vele, hogy. Mi a valószín sége, hogy Odüsszeusz Athénba jutott? 0.) Egy játékos annyiszor l het egy léggömbre, ahány hatost dobott egymás után egy dobókockával. Például ha els re hatost, másodikra kettest dob, akkor egyszer l het. Mennyi a valószín sége, hogy szétlövi a léggömböt, ha minden lövésnél /000 valószín séggel talál?.) Két érmét dobálunk egyszerre, ezt addig ismételgetjük, amíg mindkett vel fejet nem kapunk. Amennyiben tudjuk, hogy párosadik alkalomra adódott el ször a dupla fej, akkor mi a valószín sége, hogy a kísérlet befejezése el tt csupa írást kaptunk? SZ5.) Egy hamis érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószín sége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmad akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószín sége? (p) SZ6.) Egy dobozban cédulák vannak, melyekre a,,,,,, 6, 8, 8, 9 számokat írtuk fel (minden cédulán szám található). Marcsi visszatevés nélkül kihúz két cédulát. Annyit árult el, hogy a céduláin lév számok párosak. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy kihúzta a -est! (p).) Legyen Ω = ω, ω, ω, ω } eseménytér, A =, Ω, ω }, ω, ω, ω }}. Az alábbi függvények valószín ségi változók (Ω, A)-n? a.) X(ω i }) = i + 0 (i =,,, ); b.) X(ω }) = π, X(ω }) = X(ω }) = X(ω }) = e; c.) X(ω i }) = i (i =,,, ); Amennyiben valamelyik nem valószín ségi változó, határozd meg azt a legsz kebb F σ-algebrát, hogy (Ω, F)-en már valószín ségi változó legyen!.) Legyenek A, B, C, D, egy szabályos tetraéder csúcsai. Egy légy az A csúcsból indulva sétál a tetraéder élein, mégpedig minden csúcsból véletlenszer en választva a lehetséges három irány közül. Jelölje X azt a valószín ségi változót, hogy A-ból indulva, hányadikra érünk vissza el ször A-ba. Írjuk fel X eloszlását! Mutassuk meg, hogy ez valóban valószín ségi eloszlás!.) Adjuk meg annak a valószín ségi változónak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családban a úk számát adja meg. Tegyük fel, hogy mindig - a úk, ill. a lányok születési valószín sége, és az egyes születések függetlenek egymástól. 5.) Határozd meg X eloszlását, ha X: hagyományos lottóhúzásnál (90/5) a a.) találatok száma; b.) -mal oszthatók száma; c.) legnagyobb kihúzott szám; d.) k-adik legnagyobb kihúzott szám (k =,..., 5). Mutassuk meg, hogy ezek valóban valószín ségi eloszlások! 6.) Háromszor olyan valószín, hogy egy évben két ember öli magát a Dunába, mint az, hogy öt. Mi a valószín sége, hogy egy évben legfeljebb egy ember lesz így öngyilkos? 7.) Egy sportlöv p valószín séggel talál el egy léggömböt. Mi lövései számának eloszlása, ha az a.) els ; b.) ötödik találatig l? SZ7.) Legyen Ω = ω,..., ω n } eseménytér, A Ω σ-algebra. Mutasd meg, hogy c R esetén X(ω i }) = c (i =,..., n) valószín ségi változó (Ω, A)-n! (p) SZ8.) Egy villamosszerelvény három kocsijába utas száll fel, mindegyik találomra választott kocsiba lép be. Legyen X: az üresen maradt kocsik száma. Határozd meg X eloszlását, és mutasd meg, hogy az valóban valószín ség-eloszlás! (p) 8.) Számítsuk ki a kockadobás várható értékét és szórását, ha a.) a kocka szabályos; b.) a kocka szabálytalan: két -es, három -es, egy 6-os van rajta. 9.) Egy sorsjátékon darab Ft-os, 0 db Ft-os, és 00 db 000 Ft-os nyeremény van. A játékhoz db sorsjegyet adtak ki. Mennyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a nyeremény várható értéke megegyezik a sorsjegy árával? 0.) Jelölje X az ötöslottón kihúzott lottószámoknál a párosak számát. Adjuk meg X várható értékét és szórását!.) Két kockával dobunk. Egy ilyen dobást sikeresnek nevezünk, ha van 6-os a kapott számok között. Várhatóan hány sikeres dobásunk lesz n próbálkozásból?.) Egy 00 oldalas könyvben 0 sajtóliba található véletlenszer en elszórva. a.) Mennyi a valószín sége, hogy a 00. oldalon több, mint egy ajtóhiba van? b.) Hány sajtóhuba a legvalószín bb a 00. oldalon? c.) Mennyi a valószín sége, hogy a. és a. oldalon együtt több, mint két hajtóhiba van?.) n darab dobókockát egyszerre feldobunk. a.) Hány dobókocka esetén lesz a legnagyobb annak a valószín sége, hogy a kapott számok között pontosan egy hatos van? b.) Várhatóan mennyi lesz a dobott számok összege?.) Átlagosan hányat kell dobnunk a.) egy érmével, amíg fej és írás is lesz a dobások között? b.) egy kockával, amíg minden szám kijön? c.) egy kockával, amíg minden páros szám kijön? 5.) Legyen X binomiális eloszlású valószín ségi változó, amir l ismertek: EX = 8, DX =. Határozd meg a P (X < 6) valószín séget! SZ9.) Egy szerencsejátékot igazságosnak hívunk, ha a nyeremény várható értéke megegyezik a játékon való részvétel árával (sorsjegy, lottószelvény stb. ára). Vizsgáld meg, vajon a magyar ötöslottó igazságos-e! Útmutatás: nézz utána (internet) az aktuális heti nyereményösszegeknek és a lottószelvény aktuális árának! (p) SZ0.) Az,,..., n} számhalmaz összes részhalmazai közül r-szer választunk találomra. A kiválasztott részhalmazokat jelölje A,..., A r. Az X valószín ségi változó r legyen A i elemszáma. EX =? (p) i= 6.) Írd fel és ábrázold az eloszlásfüggvényt, ha X a.) indikátorváltozó p = / paraméterrel; b.) egy olyan kockadobás eredménye, ahol a kockán egy -es, két -es és három 5-ös van.

4 7.) Lehetnek-e egy X valószín ségi változó eloszlásfüggvényei a következ függvények? Ha igen, akkor van X-nek s r ségfüggvénye? Jelölje [x] az x szám egészrészét. 0 ha x 0 0 ha x 0 a.) F (x) = tg x ha 0 < x π c.) F (x) = 6 ha π 6 < x ( ha < x 6 8 b.) F (x) = x) ha x > 6 d.) F (x) = 0 ha x 0 8.) Legyen F (x) = cx ha 0 < x, ahol c valós paraméter. ha < x a.) Mely c értékek esetén lesz F (x) eloszlásfüggvény? b.) P ( < X < ) =? P (X ) =? c.) Mely c-re létezik s r ségfüggvény? Határozd meg! EX =? DX =? [x] ha 0 < x exp(x ) } ha x ha < x 0 ha x 9 9.) Legyen F (x) = a x + b ha 9 < x 6, ahol a és b valós paraméterek. ha 6 < x a.) A paraméterek mely értékeire lehet F az X valószín ségi változó eloszlásfüggvénye? b.) P (8 < X < ) =? P (X < 9) =? P (X 9) =? c.) A paraméterek mely értékeire lesz F abszolút folytonos? Határozd meg ekkor a s r ségfüggvényt, valamint X várható értékét és szórását! c sin x ha x ( ) 0, 50.) π Mely c-re lesz s r ségfüggvény f(x) =? 0 egyébként cx 5.) ha 0 < x < Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = a.) Határozd meg a c értékét és X eloszlásfüggvényét! b.) P (X < 0, 5) =? P (X < 0, 5) =? P (X <, 5) =? c.) D (X) =? x ha 0 < x < 5.) Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = 6 ha < x < c a.) c =? F (x) =? P (X > ) =? P (X = e) =? b.) E(X) =? D(X) =? 5.) Véletlenszer en választunk egy pontot az x + y < 5 kör belsejében. Jelölje Z a távolságát a középponttól. Adjuk meg Z eloszlás- és s r ségfüggvényét, valamint várható értékét! 5.) Legyenek X N(, ) és X N(, ) függetlenek. a.) P ( X < ) =? b.) Számítsuk ki b értékét, hogy P (X b) = 0, 7 teljesüljön! c.) P ( X X > 0 ) =? 55.) Tegyük fel, hogy az egyetemisták IQ teszten elért eredménye normális eloszlású 05 várható értékkel és 0 szórással. Mi a valószín sége, hogy valaki 0-nál több pontot ér el a teszten? 56.) Mennyi garanciát adjunk, ha azt szeretnénk, hogy termékeink legfeljebb 0%-át kelljen garanciaid n belül javítani, ha a készülék élettartama 0 év várható érték és év szórású normális eloszlással közelíthet? 57.) Egy vállalatnál a szellemi foglalkozásúak teszik ki a dolgozók 60%-át, az zetésük eloszlása (ezer Ft-ban) Z + 50, ahol Z Exp ( 00) ; a zikai dolgozóé pedig Y + 00, ahol Y Exp ( 00). a.) Mi az esélye, hogy egy véletlenszer en kiválasztott szellemi foglalkozású többet keres 50 ezer Ft-nál? b.) Egy véletlenszer en kiválasztott dolgozó átlagosan mennyit keres? SZ.) Adjuk meg a lottón kihúzott öt szám közül a legnagyobb eloszlásfüggvényének az értékét a 5 helyen! (p) SZ.) A c valós állandó mely értékére lehet az f(x) = c e x (x R) s r ségfüggvény? EX =? (p) 58.) Legyen X diszkrét valószín ségi változó az alábbi eloszlással: P (X = i) = 6, ahol i =,, 0,,,. a.) Határozd meg Y = X eloszlását és várható értékét! Igaz-e, hogy E(X ) = (EX)? ) = EX? b.) Igaz-e, hogy E ( X 59.) Határozd meg Y = log(x) s r ségfüggvényét, ha X valószín ségi változó a.) exponenciális eloszlású; b.) egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon. 60.) Legyen X E(, ) és Y = X. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! Igaz-e, hogy E( X ) = EX? 6.) Legyen X N(, ) és Y = X 5. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! 6.) Legyen X N(0, ). Adjuk meg a.) Y = σx + m, ahol σ > 0 és m valós számok; b.) Y = X. s r ségfüggvényét és várható értékét. P (Y < ) =? 6.) Egy egységnégyzetb l válasszunk ki egy tetsz leges pontot, jelölje X és Y a kiválasztott pont két koordinátáját. a.) U = X + Y b.) U = log(xy ) Határozd meg U eloszlás-, s r ségfüggvényét és várható értékét! SZ.) Legyen X E (, ) és Y = tgx. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! (p) SZ.) Legyen X N(, ) és Y = X +X +. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! (p)

5 A standard normális eloszlásfüggvény táblázata x Φ(x) = x π e t dt Φ( x) = Φ(x) 6.) Egy dobozban az,,, feliratú cédula van. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének a várható értékét! 65.) Egy dobozban cédula van, rajtuk az,, számok. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -est nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok szorzatának várható értékét! 66.) Egy bányász a bánya egyik termében rekedt, ahonnan öt út nyílik. Az egyik egy három perces út végén a szabadba vezet. A többi négy közül kett út esetén öt, másik kett esetén pedig hét percnyi séta után visszatér ugyanebbe a terembe. A bányász teljesen össze van zavarodva, minden alkalommal a többi választásától függetlenül egyenl valószín séggel választ egyet az utak közül. Legyen X a szabadba jutáshoz szükséges id. Mennyi X várható értéke? 67.) Egy szabályos kockát addig dobálunk, amíg a 6 és 5 számot nem kapjuk két egymás utáni dobás eredményeként. Adjuk meg a szükséges dobások számának várható értékét! 68.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FF sorozat megjelenik. Átlagosan mennyit (hány dobásnyit) kell erre várnunk? 69.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FFI vagy az FIF sorozat megjelenik. Mennyi a valószín sége, hogy FFI jön el bb? Mennyit dobunk átlagosan? SZ5.) Egy kockával addig dobunk, amíg valamelyik korábban dobott szám ismételten el fordul. Határozd meg a szükséges dobásszám várható értékét! (p) SZ6.) Egy érmével addig dobunk, amíg k hosszúságú fejsorozat vagy s hosszúságú írássorozat nem adódik. Mennyit dobunk átlagosan? (p) 70.) Az Y és X valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. X\Y X peremeloszlása Y peremeloszlása a.) Töltsd ki a táblázatot, ha EX = 7 és EY = 5! b.) X és Y függetlenek egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! c.) Add meg (X, Y ) T valószín ségi vektorváltozó kovariancia mátrixát és korrelációs mátrixát! d.) P (X < 7 Y < ) =? e.) E(Y X = 0) =? 7.) Az X és Y valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. Y \X 0 Y peremeloszlása X peremeloszlása

6 Határozd meg X és Y eloszlását, várható értékét, szórásnégyzetét! Függetlenek-e egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! 7.) Legyen X és Y független, azonos eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy véges szórásúak. R(X, ax + by ) =? 7.) Egy dobozban 0 piros, 0 fehér, 0 zöld, 0 kék cédula van, mindegyik -t l 0-ig számozva. Visszatevéssel húzunk kétszer. Legyen X a pirosak száma a kihúzottak között; Y a kékek száma; Z a 0-esek száma. Határozd meg a.) X és Y ; b.) X és Z együttes eloszlását és korrelációját! 7.) Egy szabályos kockával dobunk. Jelölje X a dobott számot, Y pedig azt, hogy a dobott szám hárommal osztva milyen maradékot ad. R(X, Y ) =? 75.) Egy szabályos érmét kétszer feldobunk. Legyen X értéke, ha az els dobás fej, és 0, ha írás. Legyen Y értéke, ha a második dobás fej, és 0, ha írás. Mutassuk meg, hogy X + Y és X Y korrelálatlanok, de nem függetlenek! 76.) Egy dobozban 5 piros és 5 kék golyó van, amib l 00-szor húzunk visszatevéssel. Jelölje X az els 50, Y az els 75, Z pedig az utolsó 0 húzásból a pirosak számát. Határozzuk meg X + Z és Y korrelációs együtthatóját! 77.) 00-szor húzunk visszatevéssel egy olyan dobozból, amelyben piros és fehér golyó van. X jelentse a kihúzott piros golyók számát az els 50, Y pedig az els 0 kísérletben. R(X, Y ) =? 78.) Egy kockát 0-szer feldobunk. X a dobott 6-osok száma, Y a dobott páratlan számok száma. Határozzuk meg X és Y korrelációs együtthatóját! 79.) Egy tízemeletes ház földszintjén 5 ember száll be a liftbe. Mindenki a többiekt l függetlenül /0 eséllyel száll ki az egyes emeleteken. Mennyi a megállások számának várható értéke és szórása? 80.) Mely c valós paraméter esetén lesznek kétdimenziós s r ségfüggvények az alábbiak? Adjuk meg az együttes eloszlásfüggvényt, valamint a perems r ségfüggvényeket! P ( X >, Y < ) =? Független X és Y? R(X, Y ) =? cxy ha (x, y) (0, ) a.) f(x, y) = c(x + y) ha x (0, ) b.) f(x, y) = c.) f(x, y)=ce x +y, (x; y) R x d.) f(x, y) = e y < x < c és 0 < y 8.) U és V valószín ségi változókról a következ ket tudjuk: R(U, V ) = 0, 75; EU = ; EV = 6; D(U) = D(V ) =. Becsüld alulról a P (7 < U + V < ) valószín séget! 8.) Hamis érmével dobunk, a fej valószín sége 0,5. a.) Becsüljük meg a Csebisev-egyenl tlenséggel, majd a centrális határértéktétel segítségével is annak a valószín ségét, hogy 0 ezer dobásból legalább 550 fej! b.) Hányszor kell dobni, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97,5 %-os valószín séggel több legyen, mint 0,505? 8.) Egy életbiztosító társaságnak 0000 biztosítottja van, tegyük fel, hogy k egyforma korúak és egészség ek. % annak a valószín sége, hogy egy ilyen személy az év folyamán meghal. Minden biztosított az év elején ezer Ft-ot zet be, halála esetén pedig hozzátartozói millió Ft-ot kapnak a biztosítótól. Mi a valószín sége, hogy a biztosító egy évben ezen biztosításra vonatkozóan nem lesz veszteséges? 85.) Legalább hány embert kell megkérdezni egy közvéleménykutatásnál, ha egy adott párt támogatottságát (az eltérést a várható támogatottságtól) legalább 95%-os valószín séggel 0,0nél kisebb eltéréssel szeretnénk megbecsülni? a.) Számoljunk a Csebisev-egyenl tlenséggel. b.) Számoljunk a normális eloszlással. 86.) Egy dobókockát 70-szor feldobunk. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a dobott 6-osok száma legalább 0, de 0-nél kisebb! 87.) Egy dobozban cédula van, rajtuk a -,0,, számok. 9-szer húzunk visszatevéssel a dobozból. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott számok összege legalább 08, de 6-nél kisebb! 88.) X i -k (i =,,...) független val. változók Hova konvergál és hogyan? a.) X i Ind(p) X X5 n n X +...+X n n b.) X i : az i-edik kockadobás eredménye c.) X i Exp() e X +...+e Xn 89.) Számítsuk ki a következ mennyiséget: lim n n n e n k=0 SZ9.) Egy szabályos kockát dobálunk. Hova tart és milyen értelemben a dobott számok mértani közepe? (p) SZ0.) Számítsuk ki n elem találomra választott permutációjában az m hosszú ciklusok számának eloszlását! Mihez tart ez az eloszlás n esetén? (p) Útmutatás: használd a Jordán-formulát! n k k! SZ7.) Legyen (X, Y ) diszkrét valószín ségi vektorváltozó, mely értéket vesz fel azonos valószín séggel: ( ; 0, 5), (0; ), (;, 5). R(X, Y ) =? Meglep -e az eredmény és miért? (p) SZ8.) Tegyük fel, hogy X, X,... azonos eloszlásúak, R(X i, X j ) = r i j esetén. Bizonyítsuk be, hogy r 0! (p) 8.) Megadható-e olyan 0 várható érték és szórású valószín ségi változó, amelyre P ( X ) 0, 5? 6