Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Átírás

1 Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val. változó diszkrét, ha az értékkészlete megszámlálható, egyébként folytonos. Pl.: dobjunk föl egy pénzérmét -szer. Jelölje X a fej dobások számát. Ekkor X a valós számok halmazán veszi föl az értékkészletét, illetve az összes eseményt át is vetíti. Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f X () = P(X = k), azaz a sűrűségfüggvény azt mutatja meg, hogy a valószínűségi változó egy bizonyos értéket mekkora valószínűséggel vesz föl (folytonos esetben pontosan egy adott érték felvételének a valószínűsége, így itt úgy szoktuk értelmezni, hogy az adott érték nagyon kicsi, közvetlen környezetébe esne egy pont ekkora valószínűséggel). Az eddigi X-nél maradva f X (), =,,, : f X () = ( ) f X () = ( ) 9 f X () = ( ),58,5 f X () = ( ),5,5

2 f() Probability Density Function,4,,,8,6,4,,,8,6,4, Binomial (;,5) Sűrűségfüggvény alapvető tulajdonságai: a) f X () b) f X ()d = Az eloszlásfüggvény azt mutatja meg, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó egy adott értéknél kisebbet vesz föl, azaz F X () = P(X < ) Diszkrét esetben ez nyilván az -nél kisebb értékekhez tartozó valószínűségek összege, folytonos esetben azok integrálja adja meg. a) Diszkrét eset: F X () = k< f X (k) b) Folytonos eset: F X () = f X (k)d = k< f X () d c) Megfordítva: a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja Sűrűségfüggvényről diszkrét esetben nem igazán szoktunk beszélni, ott eloszlásnak hívjuk, de a koncepció alapvetően ugyanaz. Korábbi kockadobós probléma eloszlásfüggvénye:

3 F() Cumulative Distribution Function,9,8,7,6,5,4,,, Binomial (;,5) Fontosabb szabályok: a) P( X < y) = F X (y) F X () b) P( < X < y) = F X (y) F X ( + ) c) P( X y) = F X (y + ) F X () d) P( < X y) = F X (y + ) F X ( + ) Eloszlásfüggvény alapvető tulajdonságai: a) monoton nemcsökkenő b) balról folytonos c) lim F() = d) lim F() = A valószínűségi változó minden lehetséges értékének valószínűségeit összeadva -et kell kapnunk: P(X = i ) = i= f X ()d = Azaz egy sűrűségfüggvényt a teljes értékkészleten integrálva -et kell kapnunk.

4 Feladatok Bevezető feladatok. Példa Egy játszóházba -7 éves korig lehet gyerekeket vinni. A következő eloszlásfüggvény megadja az adott időpontban ott tartózkodó, különböző korcsoportú gyerekek kumulált arányát. Számítsa ki a következő valószínűségeket: a) P(X = 4) b) P(X < 5,5) c) P(,5 X 6,),,, < 4 F() =,4, 4 < 5,5, 5 < 6,7, 6 < 7 {, > 7 P(X = 4) = F(5) F(4) =,4, =, P(X < 5,5) = F(5,5) =,5 P(,5 X 6,) = P(X 6,) P(X,5) =,7, =,5. Példa Egy kockával dobunk. Jelölje X a dobott szám értékét. Adja meg az Y = X valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Y értékkészlete {,,,} P(Y = ) = P(X = ) + P(X = 5) = 6 P(Y = ) = P(X = ) + P(X = 4) = 6 P(Y = ) = P(X = ) = 6 Ezekből pedig P(Y = ) = P(X = 6) = 6

5 F Y (y) =, y 6, < y 6 + 6, < y 6 + 6, < y 5 { 6 + 6, y >. Példa Adjuk meg a 9/5-ös lottón kihúzott öt szám közül a legkisebb eloszlásfüggvényét a π helyen! Jelölje X a legkisebb kihúzott lottószámot. P(X < π) = P(X ), mivel csak egész számokkal tudunk ebben a diszkrét esetben dolgozni. Az, hogy a legkisebb szám kisebb, mint azzal ekvivalens, hogy az összes esetből kivonjuk azokat, amikor mind az 5 szám a [,9] tartományból származik. 9 ( ) P(X ) = 5 ( 9 5 ) 4. Példa Kiválasztunk 5 kártyát visszatevés nélkül véletlenszerűen egy csomag magyar kártyából. Az X valószínűségi változó jelentse a kiválasztott ászok számát: a) Adja meg X valószínűség-eloszlásának táblázatát! X értékkészlete: X {,,,,4} Ebből a valószínűségek: P(),488,467,976,75 4, P(X = ) = ( 4 5 ) (4 ) ( 5 ) b) Írja föl az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!

6 ,,488, < F() =,8948, <,994, <,9999, < 4 {, > 4 c) Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb kétszer választunk ászt? P(X ) = P(X < ) = F() =,994 d) Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott ászok számra páratlan? P(X páratlan) = P(X = ) + P(X = ) =,467 +,75 5. Példa Egy elromlott személygépkocsi javításához szükséges időtartam egy X valószínűségi változónak tekinthető, amelynek sűrűségfüggvénye az alábbi: f() = { 4 e 4, >, ahol a javítás befejezéséig szükséges időtartam hosszát jelöli órákban kifejezve. a) Ábrázolja a sűrűségfüggvényt! b) Adja meg X eloszlásfüggvényét! esetben: F() = dt = > esetben:

7 F() = f(t)dt = dt + t e 4 4 = (e 4 ) = e 4 dt = + ( ) t e 4dt = [e t 4 4] F() = { e 4, >, c) Ábrázolja az eloszlásfüggvényt! d) Számítsa ki a következő valószínűségeket! P(X 8), P(X 4), P(4 < X 48) Folytonos val. vált. esetén mindegy, hogy az intervallum végpontját hozzávesszük-e az intervallumhoz (mivel egy adott pont valószínűsége ) P(X 8) = P(X < 8) = F(8) = e 8 4 =,8 P(X 4) = P(X < 4) = F(4) = ( e 4 4) =,5488 P(4 < X 48) = P(X < 48) P(X < 4) = F(48) F(4) =, Példa Adott egy X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: a) Írja föl X sűrűségfüggvényét!, F() = {( ), <, >, < f() = F () = { ( ), <, > b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy X nagyobb mint -,5 és kisebb mint,5? P(,5 < X <,5) = P(X <,5) P(X <,5) = F(,5) F(,5) = (,5 )

8 7. Példa, Lehet-e az F() = {, < függvény egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye? 4 4+4, > Ellenőrizzük, hogy az eloszlásfüggvények alapvető tulajdonságai teljesülnek-e! a) monoton nemcsökkenő? Ez láthatóan teljesül és < <,5 tartományokon. >,5 esetén ( ) = 4(4 4) (4 )4 = (4+4) (4+4), tehát nem csökken itt sem. Azonban a töréspontok két oldalát is meg kell majd vizsgálni, mivel itt előfordulhat szakadás. b) lim F() =? c) lim F() =? d) balról folytonos? lim F() = lim = 4 lim F() = lim = Két töréspont van, = és =/. Ennek a két pontnak a bal és jobboldali határértékét kell összehasonlítanunk. =: =,5: lim F() = lim = lim F() = lim = + + lim F() = lim = 4 lim F() = lim = 6 Látható, hogy a függvény balról folytonos, azonban =,5-nél a szakadás csökkenő, márpedig az eloszlásfüggvények esetén csak nemcsökkenő tendencia engedhető meg, tehát ez a függvény nem eloszlásfüggvény! 8. Példa Állapítsa meg, hogy az alábbi függvény lehet-e sűrűségfüggvény:

9 ln, < f() = {, < <, > Ellenőrizzük, hogy a sűrűségfüggvények alapvető tulajdonságai teljesülnek-e rá! a) f X ()? Ez láthatóan teljesül, semelyik tartományban nem tudunk negatív értéket kapni. b) f X ()d =? f X ()d = ln d + d + d = lim [ ] b + [ ] = b Így ez nem lehet sűrűségfüggvény. = lim b ( b) + ( ( )) = +,5 = 9. Példa Az a paraméter mely értéke mellett lehet az alábbi függvény sűrűségfüggvény? Az f() integrálja -et kell adjon, így tehát: f()d = d +, < f() = { a ( ), > a ( ) d = a lim ( b b ) = a b = a lim ( ) d b = a lim b [( ) ] b Tehát a = esetén lehet sűrűségfüggvény (persze ez önmagában még nem elég ahhoz, hogy valóban sűrűségfüggvény is legyen, de a kérdés az volt mikor lehet, nem pedig hogy mikor lesz biztosan az).

10 ZH és vizsga feladatok. Példa Adjuk meg a 9/5-ös lottón kihúzott öt szám közül a második legkisebb eloszlásfüggvényének az értékét a π helyen. Jelölje X a második legkisebb kihúzott számot. F X (π) = P(X < π) Mivel X csak egész szám lehet, így P(X < π) = P(X ) X legalább kell hogy legyen, különben nem lehetne a második legkisebb. Tfh. X =, az első számjegy így kötött, a maradék pedig a [,9] tartományból kerül ki visszatevés nélküli húzással, azaz P(X = ) = ( 9 ) ( 9 5 ) Tfh. X =, ekkor az első szám lehet kétféle, a maradék pedig a [4,9] tartományból kerül ki, azaz Általánosan megfogalmazva tehát P(X = i) = P(X = ) = ( 9 ) ( 9 5 ) 9 i (i ) ( ) Ez tkp. az eloszlás, ebből fölírhatjuk az eloszlásfüggvényt: A megfelelő helyen kiértékelve: k ( 9 5 ), i =,, 87 P(X k) = P(X = i), k =,4, 88 i= F X (π) = P(X <.4) = P(X < ) = P(X ). Példa Egy dobozban piros, 4 fehér és zöld golyó van. Háromszor végrehajtjuk ugyanazt a kiválasztást: kiveszünk egyszerre golyót és feljegyezzük a pirosak számát, majd visszahelyezzük a golyókat a következő húzás előtt. Jelölje X i az i. kiválasztáskor kapott piros golyók számát. Adja meg Y = ma{x, X, X } eloszlását!

11 Y értékkészletét vizsgálva azt látjuk, hogy Y {,,,}. Tehát meg kell határoznunk a P(Y = ), P(Y = ), P(Y = ) és P(Y = ) valószínűségeket először, de ehhez kellenek az egyes X i valószínűségek: P(X i = ) = (6 ) ( 9 ), P(X i = ) = ( )(6 ) ( 9 ), P(X i = ) = ( )(6 ) ( 9 ), P(X i = ) = ( Y= akkor lehetséges, ha egyik húzásban sem volt piros. Mivel az egyes húzások függetlenek, így ennek a valószínűsége az egyes húzások valószínűségeinek a szorzata: ) ( 9 ) P(Y = ) = P(X = ) P(X = ) P(X = ) P(Y = ) = ( ) P(X =, X =, X = ) + ( ) P(X =, X =, X = ) + ( ) P(X =, X =, X = ) P(Y = ) = ( ) P(X =, X =, X = ) + ( ) ( ) P(X =, X =, X = ) + ( ) ( ) P(X =, X =, X = ) + ( ) P(X =, X =, X = ) + ( ) ( ) P(X =, X =, X = ) + ( ) P(X =, X =, X = ). Példa P(Y = 4) = (P(Y = ) + P(Y = ) + P(Y = )) Az A paraméter mely értékénél lesz az f() = Ae (+), R függvény sűrűségfüggvény? Egy függvény akkor sűrűségfüggvény, ha a teljes tartományon kiintegrálva -et ad. A e (+) d = π A = A = π = π Ehhez viszont magic integrálási skillek kellenek. Ha azunk nincs, de ismerjük a normál eloszlást, akkor észrevehetjük, hogy f() = Ae (+) = ( μ) πσ e σ Ebből leolvashatjuk, hogy μ = és = σ σ = 6 Ae (+) = π 6 e (+) ( 6 )

12 A ( π 6 ) e (+) = e (+) A ( π 6 ) = A ( π 6 ) = A ( π ) = A = π. Példa Egy benzinkút hetente kap üzemanyagot. A heti fogyasztást X jelöli ezer literben, melynek sűrűségfüggvénye f() = { 5( )4, < <, egyébként Mekkora legyen a tartály K kapacitása, hogy annak a valószínűsége, hogy a hét során kifogy a benzin kisebb legyen,-nél? Keressük azt a K-t, amire P(X > K) <,. P(X > K) = f()d <, K 5( ) 4 d = [ ( ) 5 ] K = ( [ K] 5 ) = ( K) 5 ( K) 5 5 <, K >, K 4. Példa Adjuk meg a 9/5 lottón kihúzott 5 szám közül a legkisebb eloszlásfüggvényének az értékét a 5 helyen! 4 P(X < 5) = P(X = i) = i= 4 i= 9 i ( 4 ) ( 9 5 )