1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
|
|
- Liliána Kisné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen. Egy kísérletnek több lehetséges kimenetel e van, melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. Példák. (a) Kockadobás. Feldobunk egy szabályos dobókockát. A lehetséges kimenetelek: 1-est dobunk, 2-est dobunk, -ast dobunk, 4-est dobunk, -öst dobunk, 6-ost dobunk (röviden 1, 2,, 4,, 6); mindegyik azonos eséllyel lehet a kimenetel. Érmedobás. Feldobunk egy szabályos érmét. A lehetséges kimenetelek: a dobás eredménye fej (röviden f), a dobás eredménye írás (röviden í); mindkettő azonos eséllyel lehet a kimenetel. (c) Véletlenszerűen kiválasztott ember testmagassága. Megmérjük az első szembejövő ember testmagasságát cm-ben. A lehetséges kimenetelek valós számok kb. az [0, 00] intervallumban. (d) Adott,,szép síkbeli halmaz egy pontjának véletlenszerű kiválasztása. A síkbeli halmaznak véletlenszerűen kiválasztjuk egy pontját (minden pontot azonos eséllyel választhatunk), pontosabban annak az esélye, hogy az adott halmaz valamely,,szép részhalmazából válaszjuk a pontot, egyenesen arányos a,,szép részhalmaz területével. A lehetséges kimenetelek az adott halmaz pontjai. 2. Alapfogalmak. Definíció. Eseménytér nek nevezzük a kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmazát, jele H. A kísérlet lehetséges kimeneteleit néha elemi eseményeknek is hívjuk. Az esemény és az eseményalgebra naiv fogalma: Eseménynek hívjuk az eseménytér bizonyos,,szép részhalmazait, vagyis egy esemény bizonyos lehetséges kimenetelekből álló halmaz. (A H eseménytér azon részhalmazainak valószínűségét fogjuk definiálni, melyek események.) Eseményalgebrának mondjuk az összes eseményből álló halmazt. Két nevezetes esemény a biztos esemény (H) és a lehetetlen esemény ( ). Példa. A kockadobásnál esemény E = páros számot dobunk, hiszen E = {2-est dobunk, 4-est dobunk, 6-ost dobunk}, és szintén esemény F = a dobás eredménye megalább, mert F = {-ast dobunk, 4-est dobunk, -öst dobunk, 6-ost dobunk}. Definíció. Ha H az eseménytér, akkor eseményalgebrának nevezzük (az események halmazának is mondjuk) az olyan H-beli halmazokból álló E halmazt, melyre teljesül az alábbi három tulajdonság: 1. H E (a biztos esemény valóban esemény). 2. E E E = H \E E (esemény ellentettje is esemény),. E n E, n = 1,2,... E n E (véges számú esemény uniója és események végtelen sorozatának uniója is esemény). Állítás. Ha E eseményalgebra, akkor (i) E (a lehetetlen esemény is esemény), (ii) E n E, n = 1,2,... E n E (véges számú esemény metszete és események végtelen sorozatának metszete is esemény). (iii) E,F E E \F E (események különbsége is esemény). Bizonyítás. (i) Az 1. axióma szerint H E, utána a 2. axiómát felhasználva = H E. (ii) A 2. axióma szerint E 1,E 2,... E, ezért a. axióma alapján E 1 E 2... E. Ismét a 2. axiómát alkalmazva E 1 E 2... E, végül de Morgan-azonosságból következik E 1... E n = E 1 E 2... E.
2 (iii) Tudjuk, hogy E \F = E F. F E 2. axióma = F E E E } (ii) állítás = E F E. Definíció. Adott kísérlet egy végrehajtásakor egy esemény bekövetkezik, ha a kísérlet kimenetele a vizsgált eseményt alkotó valamelyik lehetséges kimenetel. A biztos esemény akkor következik be, ha H-beli lehetséges kimenetel következik be. A kísérlet minden végrehajtásakor ez történik, így a biztos esemény mindig (biztosan) bekövetkezik. A lehetetlen esemény akkor következik be, ha -beli lehetséges kimenetel következik be. Ilyen lehetséges kimenetel nincs, tehát a kísérlet egyetlen végrehajtásakor sem következik be a lehetetlen esemény. Ez magyarázza a nevét. Definíció. Az E és F eseményekre E F azt jelenti, hogy amikor E bekövetkezik, akkor F is bekövetkezik. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy E bekövetkezése maga után vonja F bekövetkezését. Példa. A kockadobásnál legyen E = 6-ost dobunk, F = páros számot dobunk. Ekkor E bekövetkezése maga után vonja F bekövetkezését. Definíció. Két eseményt egymást kizárónak mondunk, ha egyszerre nem következhetnek be. Néhány eseményt egymást páronként kizárónak hívunk, ha közülük semelyik kettő nem következhet be egyszerre. Néhány esemény teljes eseményrendszer t alkot, ha egymást páronként kizáróak, és a kísérlet minden végrehajtásakor valamelyik bekövetkezik. Példák a kockadobásnál. (a) Egymást kizáró események E = páros számot dobunk, F = 1-est dobunk. Egymást páronként kizáró események E = páros számot dobunk, F = 1-est dobunk, G = -ast dobunk, de E és F is. (c) Teljes eseményrendszert alkot (c/1) E = páros számot dobunk, F = páratlan számot dobunk. (c/2) E = a dobás értéke legfeljebb, F = a dobás értéke legalább 4. (c/) E 1 = a dobás értéke legfeljebb 2, E 2 = a dobás értéke vagy 4, E = a dobás értéke legalább. (c/4) E 1 = páros számot dobunk, E 2 = 1-est dobunk, E = -ast dobunk, E 4 = -öst dobunk. (c/) E 1 = 1-est dobunk, E 2 = 2-est dobunk, E = -ast dobunk, E 4 = 4-est dobunk, E = -öst dobunk, E 6 = 6-ost dobunk. A teljes eseményrendszer az eseménytér felosztása véges számú páronként diszjunkt eseményre. Bármely esemény és az ellentettje (E, E) kételemű teljes eseményrendszert alkot. Ha az eseménytér véges sok lehetséges kimenetelből áll, és minden lehetséges kimenetel esetén az abból álló egyelemű halmaz esemény, akkor azok teljes eseményrendszert alkotnak.. Műveletek eseményekkel: Definíció. Az E és F események összege (vagy uniója) az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor a két esemény közül legalább az egyik bekövetkezik. Jele E +F (vagy E F). Az E és F események szorzata (vagy metszete) az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor mindkét esemény bekövetkezik. Jele E F (vagy E F). Az E és F események különbsége az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor E bekövetkezik, de F nem következik be. Jele E F (vagy E \F). Az E esemény ellentett je (vagy komplementer e) az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor E nem következik be. Jele E (vagy E c ). Példák a kockadobásnál. Legyen E = páros számot dobunk, F = a dobás értéke legalább. (a) E +F = a dobás értéke páros szám vagy legalább = nem 1-est dobunk.
3 EF = a dobás értéke páros szám és legalább = 4-est vagy 6-ost dobunk. (c) E F = a dobás értéke páros szám, de nem legalább = 2-est dobunk. (d) F E = a dobás értéke legalább, de nem páros szám = -ast vagy -öst dobunk. (e) E = nem páros számot dobunk = páratlan számot dobunk. (f) F = a dobás értéke nem legalább = a dobás értéke kisebb, mint = 1-est vagy 2-est dobunk. 4. Definíció. Kísérletsorozat nak nevezzük azt, amikor egy adott kísérletet egymástól,,függetlenül többször elvégzünk. Valamely kísérletsorozatban egy esemény bekövetkezéseinek számát az esemény gyakoriságának mondjuk. A gyakoriságnak és a kísérletek számának hányadosát a vizsgált esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Példák az érmedobásnál. kísérletező dobások fejek relatív adatai száma száma gyakoriság Georges Buffon ( ) ,080 Karl Pearson ( ) ,016 Karl Pearson ( ) ,00 A valószínűség naiv fogalma: A relatív gyakoriságok egy bizonyos szám, az esemény valószínűsége körül,,ingadoznak. IX.2. Kombinatorikus valószínűség 1. Definíció. Ha egy kísérletnek véges sok lehetséges kimenetele van, és minden lehetséges kimenetel azonos eséllyel következik be, akkor az E esemény bekövetkezésének valószínűsége P(E) = E-beli lehetséges kimenetelek száma összes lehetséges kimenetel száma. Ezt a számot az E esemény kombinatorikus valószínűségének nevezzük. Itt az E-beli lehetséges kimeneteleket,,kedvező lehetséges kimeneteleknek is szokás mondani, így a kombinatorikus valószínűség képlete röviden P = kedvező összes. 2. Példák olyan kísérletre, ahol a valószínűség kombinatorikus valószínűség. (a) Kockabobás. A lehetséges kimenetelek: 1, 2,, 4,, 6. (c) Érmedobás. A lehetséges kimenetelek:,,fej (f),,,írás (í). Érmedobás kétszer egymás után, ill. két egymástól megkülönböztethető érmével egyszerre. A lehetséges kimenetelek: ff, fí, íf, íí. (d) Autoszómás recesszíven öröklődő tulajdonság szempontjából vizsgáljuk heterozigóta szülők utódának genotípusát. A négy lehetséges kimenetel a Punnett-táblán látható: A a A AA Aa a Aa aa IX.. Kombinatorikus valószínűségi feladatok 1. Mi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával egymás után háromszor dobva az összeg 17? Megoldás. Az összes lehetőség száma 6, a kedvezőeké, így P = 216 = (Ugyanez az eredmény, ha három különböző színű vagy három egyforma dobókockával egyszerre dobunk. 2. Egy urnában 10 piros és 10 zöld golyó van. Határozza meg az alábbi két esemény valószínűségét! (a) Visszatevéses eljárással (visszatevéses mintavétel) -ször húzva -szor kapunk pirosat. Visszatevés nélkül (visszatevés nélküli mintavétel) -ször húzva -szor kapunk pirosat. Megoldás. (a) Összes lehetőség: 20, kedvező lehetőség: ( ) , ezért P = ( 20! Összes lehetőség: 1!, kedvező lehetőség: ( )( ) ( 10 ) 2 20 = 10 2 = 0,12. ) ( , ezért P = ) ,48. 20! 1!
4 . Most az urnában 100 piros és 100 zöld golyó van. Határozza meg az előző feladatbeli két esemény valószínűségét! (a) Visszatevéses eljárással -ször húzva -szor kapunk pirosat. Visszatevés nélkül -ször húzva -szor kapunk pirosat. (c) Oldja meg a feladatot 1000 piros és 1000 zöld golyót tartalmazó urnával is. Megoldás. (a) Összes lehetőség: 200, kedvező lehetőség: ( ) , ezért P = ( 200! Összes lehetőség: 19!, kedvező lehetőség: ( (c) Visszatevéssel: P = ( )( ) ( 1000 ) = 10 2 = 0,12. Visszatevés nélkül: P = ( ) ! 199! )( ) ( 100 ) = 10 ) ( , ezért P = ) , ! 19! 2 = 0,12. 0,17. (Minden egyes húzáskor a piros golyó húzásának valószínűsége csak az urnabeli piros és zöld golyók arányától függ. Visszatevéses mintavétel során ez az arány változatlan marad minden húzás után, hiszen a kivett golyót a következő húzás előtt visszatesszük az urnába. Ezért azonos a feladatban kérdezett valószínűség 10-10, és golyó esetén. Visszatevés nélküli mintavétel közben húzásról húzásra változik a piros golyó húzásának valószínűsége, és különbözik a kérdezett valószínűség a visszatevéses mintavételétől. Ha a golyók száma az urnában nagyobb azonos piros-zöld arány mellett, akkor egy, ill. néhány golyó kihúzása után kevésbé változik meg az arány. Ez magyarázza azt, hogy miért van egyre közelebb a visszatevés nélküli mintavétel során a keresett valószínűség a visszatevéses esetben kapott valószínűséghez, amikor a golyók száma nő.) IX.4. Példák nem kombinatorikus valószínűségre 1. Definíció. (Diszkrét valószínűség.) Tekintsünk egy olyan kísérletet, melynek véges számú vagy megszámlálhatóan végtelen sok lehetséges kimenetele van (ez azt jelenti, hogy a lehetséges kimenetelek egy véges vagy végtelen sorozatban felsorolhatók), és azok bekövetkezésének valószínűsége nem biztosan azonos. Az eseménytér legyen H = {h 1,h 2,...}, az eseményalgebra álljon H összes részhalmazából. Ha p i jelöli h i bekövetkezésének valószínűségét, akkor p 1 + p = 1. Ebben az esetben egy esemény valószínűsége az eseményt alkotó lehetséges kimenetelek valószínűségének összege, tehát pl. P({h 1,h 4,h 9 }) = p 1 +p 4 +p 9, P({h,h 6,h 9,h 12...}) = p +p 6 +p 9 +p Példa. Két A vércsoportú heterozigóta szülő utódának genotípusa lehet A 0 A AA A0 0 A0 00. Az utód genotípusára vonatkozó eseménytér H = {AA, A0, 00}, a valószínűségek P(AA) = 1 4, P(A0) = 1 2, P(00) = 1 4. Az utód fenotípusára vonatkozó eseménytér H = {A,0}, a valószínűségek P(A) = 4, P(0) = 1 4. Sem a H, sem a H eseménytéren a valószínűség nem kombinatorikus valószínűség. (Az allélek származását is figyelembe vevő négyelemű eseménytéren viszont a valószínűség kombinatorikus.) 2. Definíció. (Egydimenziós geometriai valószínűség.) Az [a, b] intervallumból kiválasztunk egy pontot úgy, hogy annak a valószínűsége, hogy a pontot az E halmazból választjuk, amikor az E [a,b] halmaznak van hossza. P(E) = E hossza [a,b] hossza, Ekkor mondjuk azt, hogy véletlenszerűen választunk az intervallumból, minden pontot azonos eséllyel.
5 . Definíció. (Kétdimenziós geometriai valószínűség.) A H R 2,,szép síkbeli halmazból kiválasztunk egy pontot úgy, hogy annak a valószínűsége, hogy a pontot az E halmazból választjuk, amikor az E H halmaznak van területe. P(E) = E területe H területe, Ekkor mondjuk azt, hogy véletlenszerűen választunk a síkbeli halmazból, minden pontot azonos eséllyel. IX.. A valószínűség definíciója és tulajdonságai 1. A valószínűség naiv fogalma: A valószínűség olyan függvény, amelyik minden eseményhez egy nemnegatív valós számot, az esemény valószínűségét rendeli. 2. Definíció. Jelölje H az eseményteret és E az eseményalgebrát, vagyis az események halmazát. Az eseményekhez számot rendelő P: E R függvényt valószínűségnek nevezzük, ha rendelkezik a következő három tulajdonsággal: 1. P(E) 0 minden E eseményre (a valószínűség nemnegatív). 2. Egymást páronként kizáró események tetszőleges véges vagy végtelen E 1,E 2,... sorozatára teljesül P(E 1 +E ) = P(E 1 )+P(E 2 )+... (egymást páronként kizáró eseményeken a valószínűség additív).. P(H) = 1 (a biztos esemény valószínűsége 1).. Állítás. A valószínűség néhány tulajdonsága: (i) P( ) = 0, P(H) = 1. (ii) P(E +F) = P(E)+P(F), ha E és F egymást kizáró események. (iii) P(E +F) = P(E)+P(F) P(EF) minden E és F eseményre (szitaformula két eseményre). (iv) P(E) = 1 P(E) minden E eseményre. (v) E F eseményekre P(F \E) = P(F) P(E). (vi) E F eseményekre P(E) P(F) (a valószínűség monoton növekvő függvénye az eseménynek). (vii) 0 P(E) 1 minden E eseményre. (viii) Ha E 1,..., E n teljes eseményrendszert alkot, akkor P(E 1 )+...+P(E n ) = 1. Bizonyítás. (i) és egymást kizáró események, ezért a valószínűség additivitása (2. axióma) szerint P(H) = 1 pedig a valószínűség. axiómája. P( + ) = P( )+P( ) P( ) = 0. }{{} (ii) Az állítás a valószínűség additivitása (2. axióma) két eseményre alkalmazva. (iii) Az E + F esemény felírható két egymást kizáró esemény összegeként, ezért E +F = E +(F E) = P(E +F) = P(E)+P(F E), és hasonlóan F = (F E)+EF = P(F) = P(F E)+P(EF) P(F E) = P(F) P(EF). Végül az utóbbi eredményt az előbbibe helyettesítve P(E +F) = P(E)+P(F E) = P(E)+P(F) P(EF). (iv) E és E egymást kizáró események, melyek összege a teljes eseménytér, így H = E +E = 1 = P(H) = P(E)+P(E) P(E) = 1 P(E).
6 (v) Tetszőleges E F eseményekre az E és F E egymást kizáró események összege F, ezért F = E +(F E) = P(F) = P(E)+P(F E) P(F E) = P(F) P(E). (vi) Az előző pont szerint az E F eseményekre 0 P(F E) = P(F) P(E) P(E) P(F). (vii) A valószínűség nemnegativitása az 1. axióma. Másrészt bármely E eseményre E H P monoton = P(E) P(H) = 1. (viii) Az E 1,..., E n teljes eseményrendszer elemei egymást páronként kizáró események, melyek összege a teljes eseménytér, emiatt 1 = P(E E n ) = P(E 1 )+...+P(E n ). 4. Feladat. Szemléltesse az állításokat a kétdimenziós geometriai valószínűség segítségével! IX.6. Házi feladatok 1. Tíz golyó van egy urnában, közülük 2 piros, a többi zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk golyót egyszerre. Mi a valószínűsége annak, hogy (a) egyik sem piros, éppen egy piros, (c) kettő piros köztük? Megoldás. Minden kiválasztás egy ismétlés nélküli kombináció, az összes lehetőség száma ( 10 2). (a) Ha a kihúzott golyók egyike sem piros, akkor mind az öt golyót a nyolc zöld közül választottuk, ami ( ) 8 lehetőséget jelent. Ezért ( 8 ) P(egyik sem piros) = ( 10 = ) 2 9. Amikoregypirosésnégyzöldgolyóthúzunk, akkorapirosat ( ( 2 1) = 2-féleképpen,anégyzöldet 8 4) -féleképpen választhatjuk. Mindkét pirossal együtt kihúzhatjuk bármelyik négy zöldet, ezért a kedvező lehetőségek száma 2 (8 ). ) 2 (8 4 P(éppen egy piros) = ) = 9. (c) ( Két piros és három zöld golyó húzásakor mindkét piros golyót kivesszük (egy lehetőség), a zöldeket pedig 8 ) -féle módon választhatjuk. A kedvező lehetőségek száma ( 10 1 (8 ) P(kettő piros) = ) = Tíz golyó van egy urnában, közülük 2 piros, a többi zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk golyót egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy (a) egyik sem piros, éppen egy piros, (c) kettő piros köztük? Megoldás. Minden ilyen kiválasztás egy ismétlés nélküli variáció, az összes lehetőség száma = (a) Az öt zöld golyót az urnában levő nyolc közül = féleképpen választhatjuk ki egymás után, ( 10 P(egyik sem piros) = = 2 9. Egymás után egy piros és négy zöld golyót ( 1) = módon húzhatunk, mert a pirosat az öt húzás bármelyike során kivehetjük ( ( 1) = lehetőség), akkor a két piros golyó valamelyikét választjuk (2 lehetőség), a másik négy húzás során a zöld golyókat pedig féleképpen. P(éppen egy piros) = ( 1 ) = (c) Hasonlóan két piros és három zöld golyót egymás után ( 2) = 6720-féleképpen húzhatunk, P(kettő piros) = ( 2 ) =
7 (Egyszerre, ill. egymás után húzva két piros és nyolc zöld golyó közül ötöt, a kihúzott piros golyók száma szerint három lehetőség van (egyik sem piros, éppen egy piros, kettő piros). Ezek valószínűsége nem függ a húzás módjától, mert mindegyik egyszerre történő kiválasztás ugyanannyiféleképpen, mégpedig! = 120 módon valósítható meg, ha a kiválasztáskor a golyók sorrendjére is tekintettel vagyunk.). Egy könyvespolcon tíz könyvet helyezünk el tetszőleges sorrendben, melyek közül hármat előre megjelöltünk. Mi a valószínűsége annak, hogy a megjelölt könyvek egymás mellé kerülnek? Megoldás. Az összes lehetőség száma 10!, a kedvezőké pedig 8!!, mert akkor a három előre megjelölt egymás melletti könyvet egynek tekintve a sorrendek száma 8!, és mindegyiknél!-féle sorrendben állhat a három előre megjelölt könyv egymás mellett. A valószínűség P = 8!! 10! = Egy szabályos érmét többször egymás után feldobunk. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy az eredmény az első, a második, a harmadik,..., az n-edik dobásnál lesz először írás? Mi a valószínűsége annak, hogy az első n dobás eredménye csupa fej? (c) Mi a valószínűsége annak, hogy az érmét egymás után végtelen sokszor feldobva minden dobás eredménye fej? Megoldás. (a) Ha az eredmény az n-edik dobásnál lesz először írás, akkor előtte (n 1)-szer a dobás eredménye fej volt. Minden dobásnak két kimenetele lehet, ezért az összes lehetőség = 2 n, közülük az egyetlen kedvező f...fí. A valószínűség kedvező kimenetelek száma P n = = 1 összes kimenetel száma 2 n. Az n dobás során az összes lehetőség most is 2 n, melyek közül csak f...f kedvező. Ezért a valószínűség P(f...f) = 1 }{{} 2 n. n db. (c) Ha minden dobás eredménye fej (E), akkor az első n dobás eredménye is csupa fej (E n ), így 0 P(E) P(E n ) = 1 2 n. P monoton Ebből n határértéket képezve kapható P(E) = 0. A (c)-beli esemény példa nulla valószínűségű, de nem lehetetlen eseményre.
1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
RészletesebbenKörnyezet statisztika
Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)
RészletesebbenAz ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.
Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget
RészletesebbenMatematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenFeladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 7. Bevezetés a valószínűségszámításba Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Definíciók, tulajdonságok Példák Valószínűségi mező
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenKlasszikus valószínűségszámítás
Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenMatematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999
RészletesebbenValószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.
Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak
RészletesebbenMatematika A4 I. gyakorlat megoldás
Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
Részletesebben(b) Legyen E: 6-ost dobunk, F: páratlan számot dobunk., de ha mártudjuk azt, hogy akísérletbenpáratlanszámotdobtunk, akkorazösszeslehetőség1, 3,
X. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, VALÓSZÍNŰSÉG A GENETIKÁBAN X.. Feltételes valószínűség. Példák a kockadobásnál. (a) Hogyan változik annak a valószínűsége, hogy 6-os a dobott szám, ha megtudjuk, hogy páros?
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenKlasszikus valószínűségi mező megoldás
Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos
RészletesebbenPélda a report dokumentumosztály használatára
Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
Részletesebben1. Kombinatorikai bevezetés
1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel
RészletesebbenNéhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6
Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost
RészletesebbenSzerencsejátékok. Elméleti háttér
Szerencsejátékok A következőekben a Szerencsejáték Zrt. által adott játékokat szeretném megvizsgálni. Kiszámolom az egyes lehetőségeknek a valószínűségét, illetve azt, hogy mennyi szelvényt kell ahhoz
Részletesebben8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es?
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a
RészletesebbenValószínűségszámítás I.
Valószínűségszámítás I. DEFINÍCIÓ: (Véletlen jelenség) Véletlen jelenség alatt olyan jelenséget értünk, amely lefolyását a körülmények (figyelembe vehető okok) nem határoznak meg egyértelműen. DEFINÍCIÓ:
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika a fizikában február 16.
számítás és statisztika a fizikában 2018. február 16. Technikai információk Palla Gergely / pallag@hal.elte.hu / ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék, Északi Tömb, 3.90. szoba Fogadó óra: hétfő, 16-18. Az
RészletesebbenMatematika B4 II. gyakorlat
Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenValószínűség számítás
Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenAzaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.
1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb
RészletesebbenValó szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
RészletesebbenA biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Részletesebbensemelyik kivett golyót nem tesszük vissza később az urnába. Hányféle színsorrendben tehetjük ezt meg?
VIII. KOMBINATORIKA VIII.1. Kombinatorikai alapfeladatok 1. Példa. Egy urnában egy piros golyó P, egy fehér golyó F és egy zöld golyó Z van. Egymás után kihúzzuk a három golyót, semelyik kivett golyót
RészletesebbenDr. Vincze Szilvia;
2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
RészletesebbenMatematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x
Matematika érettségi emelt 8 október ( ) lg( 8) 8 8 nem megoldás lg( 8) 8 9 ] ; [ ] ; [, M {;} Matematika érettségi emelt 8 október 6 I. eset II. eset ;[ ] 5 5 6 ;[ ], [ [; 5 5 6 [ [; 4, {;} M Matematika
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Részletesebben2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!
1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenGyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018
Gyakorlat (Geometriai valószínűség, feltételes valószínűség) September 24, 2018 Geometriai valószínűség 1 Az A és B helységet 5 km hosszú telefonvezeték köti össze. A vezeték valahol meghibásodik. A meghibásodás
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
RészletesebbenTartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17
Valószínűségszámítás Földtudomány szak, 2015/2016. tanév őszi félév Backhausz Ágnes (ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék)1 Tartalomjegyzék 1. Valószínűségi mező 3 1.1. Példák valószínűségi
RészletesebbenMatematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
RészletesebbenMatematika A4 II. gyakorlat megoldás
Matematika A4 II. gyakorlat megoldás 1. Feltételes valószínűség Vizsgálhatjuk egy A esemény bekövetkezésének valószínűségét úgy is, hogy tudjuk, hogy egy másik B esemény már bekövetkezett. Például ha a
RészletesebbenValószín ségszámítás közgazdászoknak
Valószín ségszámítás közgazdászoknak Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2015. szi félév Bevezetés Tudnivalók a kurzusról Tudnivalók a kurzusról Az el adás és a gyakorlat külön kreditelt,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
Részletesebben(6/1) Valószínűségszámítás
(6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenValószínűségszámítás
European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenMatematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenVALÓSZÍN SÉG-SZÁMÍTÁS
VALÓSZÍN SÉG-SZÁMÍTÁS oktatási segédanyag Harmati István Árpád SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MATEMATIKA ÉS SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY TANSZÉK. Ez egy másik kávéház. Tartalomjegyzék. A valószín ségszámítás axiómái 5..
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenBodó Beáta - MATEMATIKA II 1
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P
RészletesebbenFelte teles való szí nű se g
Felte teles való szí nű se g Szűk elméleti összefoglaló 1. P(A B) = P(AB) P(B) 2. 0 P(A B) 1 3. P(A A) = 1 4. P(A ) = 0 5. egymást kizáró események esetén: P( A I B) = P(A i B). A és B események függetlenek,
RészletesebbenAGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?
KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenBiometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Az alábbi kísérletek közül melyek tekinthetőek valószínűségi kísérleteknek? A: Feldobunk egy érmét. B: Leejtünk egy i. e. 6. századi kínai vázát. C: Eldobunk egy hatoldalú dobókockát. D:
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
Részletesebben1. Feladatsor. I. rész
. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható
Részletesebben2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika
Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 2. MA3-2 modul. Eseményalgebra
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 2. MA3-2 modul Eseményalgebra SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
RészletesebbenValószínűségszámítás 1. jegyzet matematikusoknak és fizikusoknak
Valószínűségszámítás. jegyzet matematikusoknak és fizikusoknak Balázs Márton és Tóth Bálint 2. január 4. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Előszó Ez a jegyzet elsősorban a Budapesti Műszaki
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
RészletesebbenEredmények, megoldások
Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;
Részletesebben