Átírás

1 A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi Norbert tananyagainak a felhasználásával

2 Miért fontos a valószínűségszámítás és a statisztika? Mert el szeretnénk dönteni, hogy egy-egy konkrét esetben szerencsénk volt-e, pechünk volt-e, vagy épp a várható módon történt minden. o Ahogy odaértünk a megállóba, fél percen belül jött a busz. o Öt percet kellett várnunk a megállóban a buszra. Mert el szeretnénk dönteni, miért mennyit érdemes kockáztatni. o Minden második telefonáló 500 Ft-os könyvutalványt kap. A szerencsés nyertes pedig millió forinttal lesz gazdagabb. A hívás díja 800 Ft + ÁFA. o Melyik az a légitársaság, amelyikkel a legolcsóbban jutok el Londonba úgy, hogy nem késem le a koncertet?

3 Mert el szeretnénk dönteni, elhiggyünk-e valamit, amit olvasunk, vagy hogy észrevegyük, hol van benne a hiba. o A megkérdezettek 40%-a egyetért az Önkormányzat döntésével, 45%-a ellenzi azt, 0%-uk pedig nem nyilatkozott a kérdésről. o Az intelligenciatesztek során a gyerekek minden megyében jobb eredményt értek el az országos átlagnál. o A vizsgálati eredmények nem állnak ellentmondásban azzal a feltételezéssel, hogy az új és a hagyományos módszer esetén azonos a gyógyulási arány. Mert a vizsgálataink alapján olyan állításokat szeretnénk megfogalmazni, amelyek megfelelnek a valóságnak. o Hatásosabb-e az éppen tesztelt új gyógyszer? o Javítja-e a cukorbeteg kutyák állapotát a vizsgált táplálék-kiegészítő? o A májenzimszintek vizsgálatával előre megadható, hogy az állat reagál-e a gyógyszeres kezelésre?

4 Valószínűségszámítás Sok egyformán valószínű kimenetel esetén a kimenetelek számától függ egy esemény valószínűsége. kedvező esetek / összes esetek (néha nem éppen kedvező ) Példák: kockadobás : 6 szám, mind egyformán valószínű mindnek 6 a valószínűsége két kocka: 6 6 = 36 számpár mindegyiknek 36 a valószínűsége két kockán a két szám összege 0, annak 36 3 a valószínűsége (4+6, 5+5, 6+4) o Miért van a 4+6 és a 6+4 így is, úgy is, és az 5+5 csak egyszer?! tételhúzás (I. rész 9, II rész 8 tétel): 9 8 = 72 pár minden párnak a valósz. 72

5 Valószínűségi modellek Modellnek nevezzük azoknak a feltételezéseknek az együttesét, amelyek a keretet adják egy valószínűségszámítási vagy statisztikai probléma megoldásához, vagyis amelyeken a számolások alapulnak. Ezeket gyakran csak hallgatólagosan feltételezzük (azonban helyesebb, ha kimondjuk). Példa: Mennyi a valószínűsége, hogy egy pénzérmével egymás után négy fejet dobunk? Hallgatólagos feltételezések: az érme szabályos, azaz a fej valószínűsége minden egyes dobásnál 2 az egyes dobások eredménye egymástól független A feltételezéseken alapuló megoldás: = 6

6 Példa: Mennyi a valószínűsége, hogy négy nővér közül először a legidősebb megy férjhez, másodszor a második legidősebb, és így tovább? Hallgatólagos feltételezés: minden lehetséges sorrend egyformán valószínű A feltételezésen alapuló megoldás: 24 Realisztikus? Elfogadható? Ha már megvan a modell, a számítások nem nehezek (egy matematikus is segíthet), nehezebb egy valósághű modellt találni (abban a matematikus sem sokat tud segíteni).

7 A legfontosabb modell-típusok (hallgatólagos feltételezések) A klasszikus valószínűségi modell Feltesszük, hogy van néhány véges sok olyan esemény (atom, kimenetel, elemi esemény), amelyekből a kísérlettel kapcsolatos összes esemény felépíthető, feltesszük továbbá, hogy ezek mind egyenlően valószínűek. Lásd a fenti példákat (kockadobás, tételhúzás, sorrend). Gyakran szimmetria-megfontolások alapján választjuk ezt a modellt. Itt az esetek összeszámlálására a kombinatorika módszereit és eredményeit használjuk: klasszikus ~ elemi ~ kombinatorikus valószínűségszámítás.

8 A tapasztalati (empirikus) valószínűségi modell Sokszor megfigyeljük a történést vagy sokszor megismételjük a kísérletet, és az egyes eseményekhez a megfigyelt relatív gyakoriságuk szerint rendelünk hozzá valószínűségeket. Szubjektív valószínűségek Ha sem a klasszikus modell nem használható (mert semmi okunk nincs feltételezni, hogy egyenlő valószínűségű elemi események lennének a vizsgált folyamatban), sem pedig ismételt megfigyelésre nincs módunk (ilyen helyzetek például: tőzsdei döntések, állás elnyerésének, háború kitörésének esélyei stb.) akkor jobb híján kiindulhatunk az esélyek szubjektív megítéléséből is.

9 Kombinatorika Véges sok objektum (nem mindig egy halmaz elemei, néha egyenlők is lehetnek közöttük!) közül bizonyosak kiválasztása és/vagy sorba rendezése. Mindig gondolhatjuk úgy, hogy az objektumok természetes számok (hiszen megszámozhatjuk őket). Permutáció (csak sorba rendezés, az összes objektumot felhasználjuk) Ismétlés nélküli a permutáció, ha az objektumok mind különbözők. Ismétléses a permutáció, ha az objektumok között vannak azonosak. Példák: Az, 2, 3, 4, 5 számok egy permutációja: 2,, 5, 3, 4 (ismétlés nélküli) Az,, 2, 3, 4, 4 számok egy permutációja:, 2, 4,, 3, 4 (ismétléses)

10 Kombináció (csak kiválasztás, sorba rendezés nélkül) Ismétlés nélküli a kombináció, ha minden objektumot csak egyszer választhatunk ki. Ismétléses a kombináció, ha ugyanazt az objektumot többször is kiválaszthatjuk. Példák: az, 2,..., 0 számok egy harmadosztályú ismétlés nélküli kombinációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, ugyanaz a kombináció (mert ugyanazok a számok vannak kiválasztva) egy ötödosztályú ismétléses kombinációja: 3, 3, 6, 6, 9 o ugyanaz pl. a 3, 6, 9, 6, 3 is (ugyanazok a számok, mind ugyanannyiszor)

11 Variáció (kiválasztás és a kiválasztottak sorba rendezése, vagy sorban egymás utáni kiválasztás) Ismétlés nélküli a variáció, ha minden objektumot csak egyszer választhatunk. Ismétléses a variáció, ha ugyanazt az objektumot többször is kiválaszthatjuk. Példák: az, 2,..., 0 számok egy harmadosztályú ismétlés nélküli variációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, mind különböző variációk (bár a kiválasztás ugyanaz, a sorba rendezés más) egy ötödosztályú ismétléses variációja: 3, 3, 6, 6, 9 o a 3, 6, 9, 6, 3 nem azonos vele (ugyanazok a számok, de más a sorrend) FIGYELEM! Az angol szóhasználat más, ott a variációkat is permutációnak nevezik, és nem említik az ismétléses változatokat.

12 Állítás: n elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma P n = n! Bizonyítás: (intuitív, matematikailag nem teljesen precíz a következőkre is ugyanez érvényes): Az első elem számára n hely közül választhatunk, a második elem számára bármelyiket is választottuk elsőre a megmaradó n- hely közül,... végül az n-ik elem számára már csak egyetlen szabad hely marad. Állítás: n elem összes ismétléses permutációinak száma, ha az elemek között n azonos, n 2 n! szintén azonos, de az előzőektől különböző, stb. található: Pn, n2, L, n = k n! n! K n! Bizonyítás: Ha mind az n elem különbözne, akkor n! számú permutációjuk volna. Azonban most mindazok a permutációk megegyeznek, ahol azonos elemek egymás között vannak permutálva, ezek száma pedig n! n 2!. 2 k

13 Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma: V n, k = n! ( n k)! Bizonyítás: Az első helyre az n elem bármelyikét választhatjuk, a második helyre a megmaradó n- elem bármelyikét,... végül a k-ik helyre (n k+) elem közül választhatunk. Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétléses variációinak száma: V = i n, k n k Bizonyítás: Ha sorban egymás után k-szor választunk, és az ismételhetőség miatt mind a k alkalommal mind az n elem választható, akkor az összes lehetőségek száma nn n=n k. Nyilvánvaló, hogy P n = V n, n. A zsebszámológépeken (mert a nyelvük angol) V n, k helyett Pn,k sőt, még gyakrabban npk vagy npr szerepel.

14 Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma C n, k = n! ( n k)! k! Bizonyítás: V n, k = Cn, kpk, hiszen a variáció azt jelenti, hogy kiválasztunk k elemet és sorba rendezzük őket. A zsebszámológépeken C, helyett keressünk nck -t vagy ncr -t! nk

15 Állítás: C n, k = Pk, n k Bizonyítás: Modellezzük az n elem közül k darab kiválasztását úgy, hogy sorban felírjuk az n elemet, és mindegyik alá + vagy jelet írunk, aszerint, hogy választjuk, vagy nem. Tehát k db + jelet és (n k) db jelet használunk. Például: (n ) n Láthatóan egy ilyen jelsorozat kölcsönösen egyértelműen megfelel egy kiválasztásnak (a megfeleltetés oda-vissza egyértelmű). C n, k a lehetséges kiválasztások, Pk, n k a jelsorozatok száma, tehát egyenlők.

16 Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma i C n, k = Cn+ k, k Bizonyítás vázlata: Minden ismétléses kombinációnak megfeleltetünk egy k db jelből és n db jelből álló jelsorozatot, például ha n = 5 (az elemek, 2, 3, 4, 5) és k = 8, akkor ~ ~ ~ stb. Ez kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, tehát ugyanannyian kell, hogy legyenek.

17 Binomiális együtthatók Egy másik megszokott jelölés és elnevezés a binomiális együttható C, -ra: nk n k (olvasd: n alatt a k ), Az elnevezés hátterében a binomiális tétel áll: n n ( a+ b) = k= 0 n a k k b n k

18 Számítógép Excel n!= FAKT(n) P = VARIÁCIÓK(n;n) n V n, k C n, k R = VARIÁCIÓK(n;k) = KOMBINÁCIÓK(n;k) n!= factorial(n) P = factorial(n) n V n, k C n, k = factorial(n)/factorial(n-k) = factorial(n)/(factorial(n-k)*factorial(k))