Eseményalgebra, kombinatorika

Átírás

1 Eseméyalgebra, kombiatorika

2 Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek em határozzák meg egyértelműe), hogy a lehetséges kimeetelek közül melyik következik be. Defiíció. A kísérlet lehetséges kimeeteleit elemi eseméyekek, az elemi eseméyek halmazát pedig eseméytérek evezzük. Az eseméyteret Ω-val, az elemi eseméyeket pedig ω-val jelöljük. Kockadobás két külöböző kockával Ω = {(i, j) : 1 i, j 6}

3 Eseméyalgebra Defiíció. A véletle eseméy az Ω eseméytér egy részhalmaza. Egy eseméy akkor következik be, ha a kísérlet sorá adódó elemi eseméy a szóba forgó részhalmaz eleme. Két külöböző kockával törtéő kockadobás eseté legye az A eseméy az, hogy a dobásösszeg em agyobb, mit 6. Ekkor A = {(i, j): i + j 6}. Az eseméyeket általába A, B, C,... betűkkel fogjuk jelöli. Defiíció. Biztos eseméy az az eseméy, amely a kísérlet kimeetelétől függetleül midig bekövetkezik. Nyilvá a biztos eseméy megfelel az Ω halmazak, ezért a biztos eseméyt is szokás Ω-val jelöli. Lehetetle eseméy ( ) az az eseméy, amely a kísérlet kimeetelétől függetleül sohasem következik be. Az A eseméy elletett eseméye (vagy komplemeter eseméye) az az eseméy, amely akkor és csak akkor következik be, ha A em.

4 Műveletek eseméyek között Defiíció. Az A és B eseméyek összege az A + B-vel jelölt eseméy, amely akkor és csak akkor következik be, ha A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. Az A és B eseméyek szorzata az A B-vel jelölt eseméy, amely akkor és csak akkor következik be, ha A is és B is bekövetkezik. Az A és B eseméyek külöbsége az A - B-vel jelölt eseméy, amely akkor és csak akkor következik be ha A bekövetkezik, de B em. Az A és B eseméyek egymást kizárják, ha A B =. Az A 1, A 2,..., A,... eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, ha (i = 1, 2,...,,...) és A i 1./ A A =, ha i j, továbbá 2./ i j A k k = 1 = Ω

5 Kombiatorika A kombiatorika a véges halmazok elméletével foglalkozik. Az általuk vizsgált problémák két fő területre oszthatók: 1./ külöböző sorredbe való elhelyezés, 2./ külöböző módo való kiválogatás. Az első kérdéskör a permutációk, a második a kombiációk, a kettő együtt pedig a variációk témaköréhez vezet.

6 Permutációk Ismétlés élküli permutációk Defiíció. Adott db külöböző elem. Eze elemek egy lehetséges sorredjét az elem egy permutációjáakak evezzük. Tétel. külöböző elem összes lehetséges permutációiak száma: P =! 1./ A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhaszálásával háy olya hatjegyű számot írhatuk fel, amelybe mide számjegy csak egyszer fordul első? 2./ Tíz regéy közül az egyik háromkötetes, a többi egykötetes. Háyféleképpe tehetjük fel a köyveket a köyvespolcra, ha a háromkötetes regéy köyveiek egymás mellett kell leiük? 3./ 10 házaspárt szereték leülteti egy egyees asztal mellé. Háyféle sorred lehetséges, ha a házaspárok egymás mellett ülek?

7 Ismétléses permutációk Defiíció. Az olya permutációt, amelybe a permutáladó elemek között egyelők is vaak ismétléses permutációkak evezzük. Tétel. Ha elemből k egyelő, a többi pedig ezektől és egymástól is külöböző, akkor eze elemek ismétléses permutációiak a száma: Általáosa: Ha elemből k egyelő, majd újabb l egyelő, melyek az előzőektől külöbözek, stb., akkor eze elemek ismétléses permutációiak a száma: Tétel. P k! l! m!... k, l, m,...! = 1./ Határozzuk meg az 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 elemek permutációiak számát! Ezek között háy olya va, amelybe az első helye a 2-es számjegy áll? 2./ Háy hatjegyű páros szám alkotható a 2, 2, 3, 5, 6, 6 számjegyekből? 3./ Háyféleképpe tölthetük ki egy TOTÓ szelvéyt - ha 13 mérkőzésre tippelük - úgy, hogy 8 darab 1-es, 2 darab x-es és 3 darab 2-es tipp legye rajta? P k =! k!

8 Variációk Ismétlés élküli variációk Defiíció. Legye adott külöböző elem. Válasszuk ki közülük k darabot (k ) és képezzük ezek egy permutációját. Ezt elem k-ad osztályú variációjáak evezzük. Tétel. külöböző elem k-ad osztályú variációiak a száma: ( 1) ( 2)... ( 1) V k = k + 1./ Háy olya ötjegyű szám va amelyek számjegyei külöbözőek? 2./ Háy 5-tel osztható ötjegyű számot írhatuk fel a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek felhaszálásával?

9 Ismétléses variációk Defiíció. Legye adott külöböző elem. Ha eze elemek k-d osztályú variációiak képzéséél egy elemet emcsak egyszer, haem többször is kiválaszthatuk, akkor az ily módo yert variációt elem k-ad osztályú ismétléses variációjáak evezzük. Tétel. külöböző elem k-ad osztályú ismétléses variációiak a száma: V k, i = k 1./ Háy olya egyedosztályú ismétléses variáció készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek felhaszálásával, melyek első jegye 1-es? 2./ Háy ötjegyű szám írható fel a 0, 1, 2 számjegyek felhaszálásával? 3./ Háyféleképpe lehet külöböző módo kitöltei egy egyhasábos TOTO szelvéyt?

10 Kombiációk Ismétlés élküli kombiációk Defiíció. Ha külöböző elemből kiválasztuk k darabot oly módo, hogy a kiválasztott elemek sorredjére em vagyuk kívácsiak, elem k-ad osztályú kombiációjáról beszélük. Tétel. elem k-ad osztályú kombiációiak a száma: C k = k 1./ A hatos, vagy az ötös LOTTÓ szelvéyből kell többet külöböző módo kitöltei, hogy biztosa legye egy hatos, vagy egy ötös találatuk? 2./ A 32 lapos magyar kártyából kiválasztuk 10 lapot. Háyféleképpe fordulhat elő ilye kiosztásba, hogy a 4 ász a 10 lap között legye?

11 Ismétléses kombiációk Defiíció. Ha külöböző elem k-d osztályú kombiációit úgy képezzük, hogy az elemeket többször is, mégpedig akárháyszor felhaszálhatjuk, akkor ismétléses kombiációkat kapuk. Tétel. külöböző elem k-d osztályú ismétléses kombiációiak a száma: C k, i = + k k 1 1./ Egy gyerek 5 külöböző fagylaltból választhat egy háromgombócos adagot. Háyféle lehetősége va a választásra? A tölcsérbe a gombócok sorredjére em vagyuk tekitettel. 2./ Egy piaci árusak háromféle almája va. 10 darab almát szereték vásároli. Háyféleképpe tehetjük ezt meg?

12 Gyakorló feladatok 1./ A 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből háy ötjegyű szám készíthető, ha mide számjegyet csak egyszer haszáluk fel? Ezek között háy olya szám va, amelybe a 0 a második helye szerepel? 2./ Háy olya permutációja va az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 elemekek, amelybe az első három helyet a 6, 7, 8 elemek foglalják el valamilye sorredbe, s az utolsó helye az 5-ös áll? 3./ Egy 34 fős szervezet 5-tagú vezetőséget választ: 1 titkárt és 4 vezetőségi tagot. Háyféle kimeetele lehet a választásak? (A titkárt a vezetőségi tagoktól megkülöböztetjük, de a 4 vezetőségi tag között em teszük külöbséget.) 4./ Magyarországo a 80-as évekbe a gépkocsik redszáma két betűből és utáa 4 számjegyből állt. 26 betű és 10 számjegy áll redelkezésükre. Háy gépkocsit lehetett megkülöbözteti, ha a 0000 számégyes em fordulhat elő? 5./ Egy pályázatra 10 pályamuka érkezett, és 6 egyelő díj va. Háyféleképpe lehet a díjakat kiadi, ha a díjak felezése, vagy megosztása tilos?

13 Gyakorló feladatok 6./ 100 csavar közül, amelyek között 10 darab selejtes, kiválasztuk 5-öt. a./ b./ c./ Háyféleképpe lehetséges ez? Háy olya eset va, amelybe a kiválasztottak mid 1hibátla csavarok? Háy olya választás létezik, amelybe 3 csavar jó és 2 selejtes? 7./ Egy futóverseye 14 futó vesz részt. a./ b./ Háy külöböző befutási sorred lehetséges? Háy olya külöböző befutási sorred lehetséges, amelybe két kiszemelt verseyző valamilye sorredbe, de az első két helye ér célba? 8./ Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva egymás utá háy esetbe fordulhat elő, hogy a a./ dobott számok összege 6? b./ dobott számok összege legalább 7? c./ dobott számok összege legfeljebb 6?