Véges matematika 1. feladatsor megoldások
|
|
- Margit Deák
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a megoldás: = 2 b három 1-es és hét 2-es va; Ez ugyaaz, mit a három 1-es és hét 2 sorbarakásai, erre a tault képlet! 3!7! c három 1-es va; Először eldötjük, hol legye a három 1-es Ehhez a dobás közül hármat kell kiválasztai: 3 lehetőség Ha ez eldőlt, akkor a többi dobásról dötük egyekét, ezek midegyikére 5 lehetőségük va Mivel ezek függetle dötések, a megoldás: d három 1-es, két 3-as és öt 5-ös va;! Hasolóa a b feladathoz, ez is egy sorbaredezés, így a megoldás 3!2!5! e va 1-es; Az a megoldásához hasolóa látszik, hogy összese 6 sorozat va Hasolóa látható, hogy azo sorozatok száma, melyekbe ics 1-es, 5 A megoldás ezek külöbsége, azaz 6 5 f legfeljebb három 1-es va? Ezt csak esetszétválasztással lehet megoldai aszerit, hogy potosa háy 1-es va lehet ulla, egy, kettő vagy három Ezeket külö-külö a c megoldásához hasolóa lehet számoli, így a megoldás Háy szelvéyre va szükség a TOTÓ-, hogy biztosa 13/13 találatot érjük el tehát 1 mérkőzés ics? Mide meccsről egymástól függetleül döthetük 3-féleképpe 1,2 vagy x, így a megoldás = Háyféleképpe tehetük fel egy sakktáblára 8 egyforma bástyát úgy, hogy semelyik kettő e üsse egymást? Mide sorba potosa egyet kell teük Az első sorba 8 helyre tehetük Ha ez megva már, akkor a második sorba már csak 7 olya hely lesz, ahol az első em üti a másodikat,, végül a 8 sorba már csak egyféleképpe tehetjük le a bástyát Ezek függetle dötések, így a megoldás = 8! 4 Háy szelvéyre va szükség a LOTTÓ-, hogy biztosa 5 találatot érjük el? A 90 számak bármelyik 5-elemű részhalmaza lehet kihúzott számötös, így 90 5 szelvéyre va szükség 5 A 0, 1, 2, 3, 4, 5 jegyekből háy hatjegyű, 5-tel osztható számot képezhetük, ha mide jegy egyszer szerepel? És ha többször is szerepelhet? Akkor lesz egy szám 5-tel osztható, ha az utolsó jegye 0 vagy 5 A számolást megehezíti, hogy vigyázuk kell rá, hogy az első jegy em lehet 0 Ezt úgy a legegyszerűbb áthidali, hogy szétválasztuk két esetet aszerit, hogy 0-ra végződik-e a szám a Mide jegy csak egyszer szerepelhet Ha 0-ra végződik, akkor az első öt helyre valahogy sorba kell tei az 1, 2, 3, 4, 5 számokat, a lehetőségek száma 5! Ha em 0-ra
2 végződik, akkor 5-re kell végződie Ilyekor az első jegy 4 féle lehet 0 és 5 em, ha ezt eldötöttük, akkor a második megit 4 5 és az első helyre választott em, a harmadik helyre 3, a egyedikre 4, az ötödikre 1 lehetőségük va, így összese mivel függetle dötéseket hoztuk 4 4!-t kapuk A megoldás a kapott két szám összege, azaz 5! 4 4! b Többször is szerepelhet ugyaaz a jegy Itt em kell esetszétválasztás Az első jegyre 5, a második, harmadik, egyedik és ötödik jegyre 6, az utolsó jegyre két lehetőségük va, ezek függetleek, azaz a megoldás Egy 30 fős osztály diákbizottságot választ: elök, titkár, sportfelelős, kultúros, gazdasági felelős Háyféle eredméy lehet, ha Pistiek mideképpe szeretéek tisztséget adi? Először Pistiek aduk tisztséget: 5 lehetőség, majd egyekét a maradék tisztségekre választuk embereket 29, 28, 27, 26 lehetőség Így a megoldás Háy olya -betűs em feltétleül értelmes szó va, melybe 3 a, 5 b és 2 c szerepel és a két c ics egymás mellett? Az összes betűs szó a taultak alapjá! 3!5!2! Azo szavak száma, melyekbe egymás mellé kerül a két c úgy számolható, hogy összeragasztjuk a két c-t és egy betűek 9! fogjuk fel Így az ilye szavak száma 3!5!1! A megoldás a kapott két szám külöbsége, azaz! 3!5!2! 9! 3!5!1! 8 Egy trafikba féle képeslap kapható midegyikből korlátla meyiség Háyféleképpe küldhetük a egy barátukak 3 külöbözőt; A -féle lapból 3 külöbözőt kell választauk, így 3 lehetőség va b öt barátukak egyet-egyet; A barátokak küldött lapokról egymástól függetleül döthetük, így a megoldás 5 c öt barátukak 3 3 külöbözőt? Mide barátukál 3 -féleképpe döthetük a küldött lapokról Ezek a dötések függetleek, így a megoldás Háy olya 6-jegyű szám va, melyek potosa háromféle jegye va, mid páratla, midegyikből 2-2? Először eldötjük, melyik három jegy szerepelje az 1, 3, 5, 7, 9 közül, ez 5 3 lehetőség Ha ez már megva, akkor a kapott háromszor két számot akárhogy sorba kell tei, ezek 6! száma 2!2!2! Tehát a megoldás 5 6! 3 2!2!2! Háy olya 5-jegyű szám va, melybe a 15 szerepel egymás utái jegykét? Ezt csak esetszétválasztással lehet aszerit, hogy hol va bee a 15, rádásul arra is figyeli kell, hogy lehet bee kétszer is a 15, ezt em szabad többször számoluk Ha 15-tel kezdődik, akkor utáa 3 jegyre lehetőségük va, így a megoldás 3 Ha 15 alakú a szám, akkor az első jegy 9 féle, az utolsó kettő féle lehet, így ezek száma 9 2 Ha 15 vagy 15 alakú, akkor az előző esethez hasolóa midkettőél 9 2 lehetőség va Ha ezeket a számokat összeadjuk, akkor kétszer számoljuk a 1515, 1515 és 1515 alakúakat, így ezek számát le kell voi Az első kettő féle, az utosó 9 féle lehet A megoldás tehát
3 11 Háyféleképpe ültethetük le 30 embert a egy kör alakú, 30 személyes asztalhoz; Ha meg leéek számozva a székek, akkor az első székre ülő emberről 30-féleképpe, majd a másodikra ülőről 29 féleképpe,, az utolsóra ülőről 1 féleképpe dötheték, azaz 30! lee a megoldás Mivel az asztal köralakú, ezért em kell két esetet külöbözőek vei, ha csak elforgatottjai egymásak Mide egyes ültetések saját magát is beleszámolva 30 elforgatottja va, eyiszer számol tehát a 30! egy-egy esetet Így a megoldás 30! 30 b 6 kör alakú, 5 személyes asztalhoz, melyek külöböző szíűek; Először eldötjük, kik üljeek az első asztal körül, erre 30 5 lehetőségük va Ha ez megva, akkor leültetjük ezt az 5 embert, erre az a-hoz hasolóa 5! 5 lehetőség va Ezutá dötük a második asztal embereiről, ez 25 5 lehetőség, majd ezeket ültetjük le, 5! 5 lehetőség, Így a megoldás 30 5! 25 5! 20 5! 15 5! 5! ! 5 5 c 6 egyforma, kör alakú, 5 személyes asztalhoz? A megoldás a b feladat megoldása osztva 6!-sal Ugyais a c egy esetéhez a b-ek ayi esete tartozik, aháyféleképpe kiszíezhetjük az asztalokat 6 szíel 12 Háy szigorúa mooto függvéy va az {1, 2,, } halmazból az {1, 2,, 0} halmazba? A szigorú mootoitás miatt, ha eldötjük, kik leszek a képhalmazba, már automatikus, hogy melyik függvéyről va szó Tehát a megoldás 0 13 Egy dobozba cédula va, melyekre redre az 1, 2,, számokat írták Kihúzuk egymás utá 5 cédulát úgy, hogy mide húzás utá a kihúzott cédulát visszatesszük Háy olya eset va, melybe az így kapott számötösbe a számok em csökkeő sorredbe következek? Ha eldötjük, hogy az egyes számok háyszor szerepelek a kihúzottak között pl 3 darab 2-es, 2 darab 7-es, akkor már automatikus, hogy melyik esetről va szó Tehát valójába ismétléses kombiációkat kell számoluk: Háyféleképpe lehet jutalomköyvet 5 diákak kiosztai, ha midekiek legalább egyet akaruk adi és a a köyvek egyformák; Ez aalóg a pézosztással, így a megoldás 5 emberek forit: 9 4 b a köyvek külöbözők? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 15 Háy olya em feltétleül értelmes tizekét betűs szó készíthető az a, a, b, b, c, c, d, d, e, e, f, f betűkből, melybe szomszédos betűk em lehetek egyformák? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 16 Háy olya 0-jegyű szám va, melybe ics 0, de mide más számjegy szerepel legalább egyszer? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 17 Egy 52 lapos fracia kártya csomagot kiosztuk 4 játékosak
4 Legyeek a játékosok A, B, C és D úgy, hogy A ül szembe C-vel, B pedig D-vel a Háy leosztás va? Először dötük A lapjairól: lehetőség Ha ez megva, akkor B lapjairól: lehetőség A megoldás: Más godolatmeettel ez is kijöhet: 52! 13!13!13!13!, a kettő ugyaayi b Háy olya leosztás va, melybe midekiek jut ász? A égy ászt 4! féleképpe oszthatjuk ki Ha ez megva, akkor az a-hoz hasolóa aduk még midekiek 12 lapot A megoldás 4! c Háy olya leosztás va, melybe mide ász egy kézbe került? Eldőször eldötjük, kiek a kezébe kerüljeek az ászok, ez 4 lehetőség Ha ez megva, akkor kiosztjuk aak a lapját, akiél az ászok leszek: 48 9 lehetőség Utáa osztuk a korábbiak szerit a többiekek A megoldás tehát d Háy olya leosztás va, melybe mide figura két egymással szembe ülő játékoshoz került? Eldötjük, melyik két egymással szembe ülőél legyeek az ászok: 2 lehetőség Aztá osztuk azokak, akikek em jut ász: lehetőség Végül a maradék paklit ebbe most már bee vaak a figurák is kiosztjuk aak a két játékosak, akik mellett az első dötésél dötöttük: lehetőség A megoldás: e Háy olya leosztás va, melybe mide játékosak jut mide számból és figurából? Mide számból és figurából 4 va, így mideki mieből egyet kap A 2-eseket is, 3- okat is,, királyokat is, ászokat is 4!-féleképpe oszthatjuk ki, ezek egymástól függetleek, így a megoldás 4! 13 f Háy olya leosztás va, melybe mide játékosak jut legalább egy kőr? Csak szitával lehet, ezt még em taultuk 18 Bizoyítsuk be, hogy a Pascal háromszög bármely sorába a középső elemek a legagyobbak! Azt kell megézi, hogy mikor igaz, hogy k < k1 Beírva a faktoriálisos képletet, majd egyszerűsítve ez arra vezet, hogy k < 1 2 Ez pot azt jeleti, hogy a közepe előtt ő, utáa csökke mide sor Köye látható, hogy páratla eseté a két középső elem egyelő: = 1/2 ld következő feladat 1/2 19 Bizoyítsuk be az alábbi összefüggéseket! a k = k ; Akár a képletből, akár oa látható, hogy a k-elemű és k-elemű részhalmazok párba állíthatók: midekiek a komplemeter legye a párja b k k1 = 1 k1 A faktoriálisos képletet beírva és kicsit számolva kijö 20 Mutassuk meg, hogy 1 k = k1 1 Rajzoljuk le, mit jelet ez a Pascal háromszögbe! k-ra voatkozó idukció k = 1-re köyű elleőrizi Ha k-ig megva, akkor k 1-re: 1 k1 = 1 k k1 = k1 1 k1 = k Hozzuk zárt alakra a következő kifejezést:
5 Ez azt számolja, hogy háyféleképpe választhat egy tagú társaság akárháy de legalább 2 tagú bizottságot és azo belül elököt és titkárt esetszétválasztás a bizottság mérete szerit A megoldás más logikával számolva ugyaez: Igazoljuk a következő összefüggéseket! a = 2 1 ; Midkét oldal egy halmaz páros elemszámú részhalmazait számolja b m 0 k m 1 k 1 m k 0 = m k ; Midkét oldal a következő feladat megoldását adja: Háyféleképpe választhatuk férfi és m ő közül k embert? A jobb oldal ezt közvetleül számolja, hisze teljese midegy, ki férfi és ki ő A bal oldal esetszétválasztást csiál aszerit, hogy háy férfit és háy őt választuk c = 2 ; Ez átlakítható így: = 2 Ez viszot az előzőek speciális esete: férfi ő közül embert választuk d = 3 A biomiális tételt felírva 1 2 -re pot ez jö ki 23 A koordiátaredszerbe adott 5 olya pot, melyek koordiátái egészek ezeket szokás rácspotokak hívi Mutassuk meg, hogy va köztük kettő, melyek által meghatározott szakasz felezőpotja is rácspot! Egy rácspot két koordiátája 4 féle lehet paritás szempotjából: ps,ps, ps,ptl, ptl,ps, ptl,ptl Skatulya elv szerit lesz két egyforma pot, jelölje ezeket a, b és c, d Ekkor a felezéspot is rácspot lesz, mert a paritások egyezése miatt ac 2 és bd 2 is egész 24 Melyik az a legkisebb k, melyre igaz a következő állítás: k égyzetszám között midig va kettő, melyek külöbsége osztható 8-cal? Egy égyzetszám 8-cal osztva háromféle maradékot adhat Így k = 3 még kevés: 1, 4 és 64 jó ellepélda k = 4 viszot már elég, hisze skatulya elv miatt égy szám közt va kető melyek osztási maradéka ugyaaz 25 Mutassuk meg, hogy F 0 F 1 F = F 2 1, ahol F jelöli az Fiboacci számot! 26 Tegyük fel, hogy lépcsőfokot akaruk megmászi úgy, hogy egyszerre egy vagy két fokot léphetük Háy lehetőségük va? 27 Oldjuk meg az alábbi rekurziókat: a a 1 = 3, a 2 = 8, 3-ra pedig a = 2a 1 2a 2 ; b a 1 = 1, a 2 = 3, 3-ra pedig a = a 1 25a 2! 28 Háy betűs szó készíthető az a, b és c betűkből, ha a két b em lehet egymás mellett; b b utá közvetleül em jöhet c? 29 Oldjuk meg az alábbi rekurziót: a 1 = 1, a 2 = 3, 3-ra pedig a = 2a 1 3a 2!
6 30 Adjuk meg olya rekurziót, melyek megoldása a = ! 31 Háyféleképpe juthatuk el az origóból a 18, 6 potba, ha mide lépésbe jobbra fel vagy jobbra le ugorhatuk? És a 18, 9 potba? És a 6, 8 potba? 32 Háyféle sorredbe mehet be 14 fiú és 23 láy a tácterembe, ha mide pillaatba legalább ayi láyak kell bet leie, mit fiúak és a fiúk, illetve láyok egymás közti sorredje em számít? 33 Háy olya 2 1 hosszúságú 1/1 sorozat va, melybe bármely kezdőszelet összege pozitív azaz a 1 > 0, a 1 a 2 > 0,,a 1 a 2 a 21 > 0 és a számok összege 1? 34 Egy kerek asztal körül 2 ember ül Háyféleképpe alkothatak párt úgy, hogy az egy párba lévők kezet foghassaak aélkül, hogy egy másik kezet fogó pár keze alatt vagy felett kellee átyúliuk? 35 Egy barlagászcsapatba 23 férfi és 15 ő va Olya sorredbe szeretéek egy barlag bejáratá bemászi, hogy mide pillaatba legalább ayi férfi maradjo kit, mit ő Háyféleképpe tehetik ezt meg? 36* Száz ember fejére egy-egy fekete vagy fehér sapkát aduk Semmilye jelzést em adhatak egymásak, de mideki körülézhet, tehát a sajátjá kívül midekiről tudja, hogy milye szíű sapka va a fejé Ezek utá sípszóra midekiek fel kell emelie a bal vagy jobb kezét El tudják-e éri, hogy pot a feketék emeljék fel a jobb kezüket és a fehérek a balt vagy esetleg fordítva, a fehérek a jobbat, a feketék a balt? Mielőtt a sapkát kapják, összebeszélhetek
Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
RészletesebbenEseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenKOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,
KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
Részletesebbenn akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
RészletesebbenKombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.
ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenElemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek
Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek
RészletesebbenKombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenAGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?
KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenKombinatorika feladatok
Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha
Részletesebben1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:
Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem
RészletesebbenK O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen
RészletesebbenKlasszikus valószínűségszámítás
Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van
Részletesebbenæ A GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek)
æ A3 6-7. GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek) 1. Az 1,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával hány különböző 5- jegyű szám készíthető? 2. A 0,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával
RészletesebbenFANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu
FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha
RészletesebbenFELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz
FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenVI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
RészletesebbenKombinatorika. Permutáció
Kombinatorika Permutáció 1. Adva van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegy. Hány különböző 9-jegyű szám állítható elő ezekkel a számjegyekkel, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? Mi van akkor, ha a szám
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
Részletesebben8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es?
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenI. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?
Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenKombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)
Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző
RészletesebbenKlasszikus valószínűségi mező megoldás
Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
RészletesebbenIsmétlés nélküli kombináció
Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
RészletesebbenDiszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA
A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenEGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A
BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
RészletesebbenKidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből
Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.
RészletesebbenFeladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika
Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 10.
PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Javítási útmutató 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika Írásbeli
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenFibonacci nyulai. 2. A második hónap végén születik 1 új pár, így most már 2 pár van
1 A Fiboacci- számok Leoardo di Pisa, ismertebb evé Fiboacci (1170-1250? olasz kereskedő és matematikus. Üzleti útjai lehetősége yílt megismerkedi az arab és hidu matematikával. Fiboacci legikább arról
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebben10. évfolyam, harmadik epochafüzet
0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
Részletesebben