A figurális számokról (IV.)

Átírás

1 A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe láttuk, hogy az -edik k-szögszám képlete S ( k) [( ) ( 4) ] k k mide k és eseté.. feladat: Igazoljuk, hogy S () + S () = S (4). Ez a tulajdoság azt fejezi ki, hogy két egymás utái háromszögszám összege éppe égyzetszám, potosabba az -edik és az (-)-ik háromszögszám összege éppe az -edik égyzetszámmal egyel. Az ókori Görögök ezt az =4 értékre így bizoyították: Az összefüggés helyessége természetese ellerizhet az S ( k ) képlet segítségével.. feladat: Igazoljuk, hogy S (4) =8 S () + (Diophatosz, vagy Plutarch formula). Ez a tulajdoság azt fejezi ki, hogy az -edik háromszögszám 8-szorosa meg, éppe a (+)-ik égyzetszámot adja. Az = esetet az ókori Görögök így ábrázolták: Az összefüggés helyessége természetese ellerizhet az S ( k ) képlet segítségével.. feladat: Igazoljuk, hogy S () = S () (a hatszögszám tétele) Ez a tulajdoság azt fejezi ki, hogy mide hatszögszám egybe háromszögszám is, potosabba az -edik hatszögszám egyel a (-)-ik háromszögszámmal. A következ ábra az = esetet szemlélteti: Az összefüggés helyessége természetese ellerizhet az S ( k ) képlet segítségével.

2 4. feladat: Igazoljuk, hogy S (8) = S () + (a yolcszögszám tétele) Ez a tulajdoság azt fejezi ki, hogy az (-)-ik háromszögszám hatszorosáak és az -ek az összege éppe az -edik yolcszögszámot adja. Az = 4 esetet az ókori Görögök így reprezetálták: Az összefüggés helyessége természetese ellerizhet az S ( k ) képlet segítségével.. feladat: Igazoljuk, hogy S ( m ) = S ( m ) + S () (Nicomachus formula) Ez a tulajdoság azt fejezi ki, hogy az -edik m-szögszám felírható az -edik (m-)-szögszám és az (-)-ik háromszögszám összegekét. Ezt az ókori Görögök =m=4 esetbe így szemléltették: Az összefüggés helyessége természetese ellerizhet az S ( k ) képlet segítségével.. feladat: Igazoljuk, hogy S ( m ) = S () + (m-) S () (Bachet de Mézirac formula). Ez az összefüggés azt fejezi ki, hogy az -edik m-szögszám felírható az -edik háromszögszám és még (m-)-szor az (-)-ik háromszögszám összegekét. Az m= és = esetet az ókori Görögök így ábrázolták: Az összefüggés helyessége természetese ellerizhet az S ( k ) képlet segítségével. A következkbe rátérük éháy sajátos összegek a figuratív módszerrel törté kiszámolására, esetekét több megoldást is mutatuk. Sajátos összegek kiszámolása 7. feladat: Igazoljuk, hogy 9... (4) () S ()

3 Az összefüggés tulajdoképpe azt mutatja, hogy az -edik hatszögszám mikét írható fel,,,4 esetek reprezetálása már megadja a bizoyítás ötletét: összegkét. Az 8. feladat: Igazoljuk, hogy (... )... Az összefüggést úgy is igazolhaták, hogy kiszámítsuk a baloldali és a jobboldali összegeket, ellebe most egy roppat ötletes összefüggést haszáluk, amely az egyelséget szemlélteti = eseté. Ebbl lehet következteti az általáos bizoyításra: 9. feladat: Határozzuk meg a 00-adik háromszögszámot, vagyis a H összeget!. Megoldás: Sokak számára már em újdoság az, ahogya Karl F. Gauss (777 8) émet matematikus, mide idk egyik legagyobb matematikusa, még elemi iskolai tauló korába ámulatba ejtette taítóját, mert fejbe kiszámolta olya összegek eredméyét, amelyek em azoaliak. Egy ilye példa éppe az összeg eredméye, amely tulajdoképpe a H 00 -at jeleti. Gauss godolatmeetéek a léyege a következ volt: ha az összeg kétszeresét vesszük, akkor redre a következ egyeletek írhatók fel: ( ) ( ) ( ) ( 00) ( 99)... (99 ) (00 ) Tehát () Eek mitájára igazolható, hogy bármely pozitív egész szám eseté ( ).... () ( ) Ezáltal megkaptuk az -edik háromszögszám képletét: H. A továbbiakba bemutatjuk, hogy a háromszögszámok segítségével a H meghatározása még szemléletesebb.. Megoldás: Illesszük egymással szembe két, azoos típusú háromszögszámot, ahogya a következ ábrák mutatják. Így egy-egy téglalapszámot kapuk:

4 4 4 4 Hasoló módszerrel azoal belátható mid az (), mid a () reláció is. Észrevehet, hogy a. módszerbe a figurális számokkal ugyaazt tettük, mit az. módszerbe, ugyais midkét esetbe szembehelyeztük egymással a számokat. 0. feladat: Számítsuk ki a összeget! Megoldás: Nyilvávaló, hogy kiemelve mide tagból a -t, a feladatot máris visszavezettük az elbbiekre. Így szemléletesebbe is bizoyíthatuk. A tágabb értelembe vett gómoszámokból rakjuk ki redre a következ téglalapszámokat: A szemléltetett elredezés alapjá köye belátható, hogy valamit az is, hogy általába mide * eseté 4... () ( ).. feladat: Számítsuk ki az összeget!. Megoldás: Ezúttal is egy szemléletes megoldást mutatuk be. A gómoszámokból rakjuk ki redre a következ égyzetszámokat: A feti elredezések alapjá köye belátható, hogy , valamit az is, hogy általába mide * eseté... () ().. Megoldás: Hasoló szemléletes bizoyítás olvasható le a következ ábráról is.. 4 Eek alapjá igazolható, hogy... ( ) ( ) Megjegyzés: Megfigyelhet, hogy az elbbiekbe olya összegeket számoltuk ki, amelybe az egymás utái tagok külöbsége álladó (például 4..., stb). Ezért az 9. feladat. megoldása sorá alkalmazott módszerrel köye bizoyítható, hogy ( ) ( ar) ( a r)... ( ar) a r, ahol r 0 és *. Így eljutuk az ú. számtai haladváy (sorozat) els tagjáak az összegképletéhez, amit már Babilóiába Kr. e. a VI III. századba, a hiduk az V XII. századba, a kíaiak pedig a VI IX. századba ismertek.. feladat: Számítsuk ki az összeget!. Megoldás: Érdemes megjegyezi, hogy a égyzetszámok összegezési eljárását a babilóiai matematikusok már i. e. 00 és i. sz. 00 között ismerték. Kíába 00-be Csö Huo (0 07) határozta meg elször az els égyzetszám összegét. Az összegezési eljárás Se Ko (XI. sz.), Jag Huj (XIII. sz.) és Csu-Si-Kie (XIV. sz.) mveibe is megtalálható (lásd az alábbi eljárást). Az idiai matematikusok az V. és XII. század között szité ismerték az összegezés módját. 4

5 Jag Huj és Csu-Si-Kie a mellékelt ábrá látható téglalapról olvasta le az összeget, miutá megfigyelték, hogy: ; ; ; 4 7; ; összegezéssel felírták, hogy: (*) Az ábra az 4 összeg háromszorosát szemlélteti: a sötét potok eek az összegek a (*) alakú átredezését, míg a karikák a égyzetszámok kétszeres összegét. Al-Kashi szamarkadi perzsa matematikus (a XV. sz. elejé) A számítások kulcsa cím köyvébe = 00-ra a következ bizoyítási eljárást haszálja: (*) ( ) ( ) ( ) ( 00 00) (99 99)... ( 98) ( 99) (... 00) Tehát , és eek alapjá, teljese hasolóa bizoyítható, hogy: ( )... ( ).. Megoldás: Készítsük el a bal oldali ábrá látható darabokat. (Az = eset szemléltetését, azaz csak az 4 összeg képletéek a szemléltetését mutatjuk be.) Ameyibe ezeket a darabokat összerakjuk, a középs ábrá látható testet kapjuk. Ha ilye testet összerakuk, a jobb oldali ábrá látható térfogategységyi testet kapjuk: 4. Megoldás: Az alábbiakba az 4 összeg szemléletes kiszámolását látjuk:

6 Ez a módszer a kíai Csebgcsu Togbia Szuabao (. század) matematikustól származik, és tulajdoképpe azt szemlélteti, hogy (... ) ( )( ) Az elbbiekkel roko ötlet alapjá kiszámíthatjuk az els háromszögszám összegét is feladat: Számítsuk ki a t 00 H H... H összeget! Megoldás: Végezzük el a következ átalakítást, és figyeljük meg a mellékelt ábrát: ; ; ; 0 4; összegezéssel felírható, hogy: t (**) Az ábrá a sötét pottal jelölt rész jeleti = 4-re a t 4 -et a (**) átredezés szerit. A karikával jelölt rész t 4 -ek a kétszeresét jelöli, két azoos típusú háromszögszámot téglalapszámmá illesztve össze. A (**) alapjá az el ábra a következ bizoyítást sugallja: t00 ( ) ( 0) 99 ( 00)... (99 ) (00 ) 0 (... 00) 0000 Tehát t 00. Hasolóa bizoyítható, hogy mide pozitív egész szám eseté: ( ) ( )( ) ( )( ) 0..., vagyis az -edik tetraéderszám képlete: t. 4. feladat: Számítsuk ki az összeget! Megoldás: Jól megfigyelve a szemléltetett sajátos esetet, ez a következket sugallja: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) Tehát. Ez alapjá, ugyacsak az ábrát követve igazolható, hogy, Tehát ( ) A (*) alapjá hasolóa bizoyítható, hogy mide * eseté ( )... (... )

7 Befejezésül megjegyezzük, hogy az elbbiekbe bemutatott reprezetációk alapjá az érdekl Olvasó még sok más, hasoló összefüggés bizoyítását megkísérelheti. Forrásayag: [] [] [] [4] [] [] [7] [8] [9] [0] [] [] [] [4] [] Tuzso Zoltá: Hogya oldjuk meg aritmetikai feladatokat, Ábel kiadó, Kolozsvár, 0 7