festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

Átírás

1 Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit a agyobbik rész az egészhez. a b a a Tehát és legye x a b b, így x x 0 ahoa x. Az egyelet pozitív gyöke, (agy Phi, magyarul fi ). Haszálatos még a aráy is, vagyis 0, és a két számra teljesül, hogy. Tehát a b illetve b a ugyaazt fejezik ki, így ezért emlegetik midkét számot arayszámak. Mi a továbbiakba az araymetszés száma alatt az a számot értjük. Az araymetszés külöböz szerkesztésérl a []-be és a [6]-ba b olvashatuk. Az arayszám végtele láctört formájába, illetve végtele gyök formájába is elállítható, ézzük a következket:,,, és végül illetve...,, és végül... A két összefüggés alapjá a következ rekurziós képleteket állapíthatjuk meg: x, és x x, illetve y, és y y, és láttuk, hogy lim x lim y. Az ötágú csillagot, az araymetszés jellegébl adódóa fotos jelképkét haszálták. A Petagramma szó a görög petagrammo szóból származik, amely öt voal szót jeletett. A petagramma sidk óta fotos szimbólum, amelyek mágikus voásokat tulajdoítottak, a Pitagoreusok is ezt haszálták szimbólumkét. A petagrammába számos araymetszési szakasz, és arayháromszögek is megtalálhatók. (lásd késbb). A 6-ik századba Heirich Agrippa filozófus, egy széttárt karú embert rajzolt a körbe, kezei és lábai széttárva, és a feje meg a két keze éppe egy szabályos ötszög csúcsait alkották. Midez a petagrammal és a bee lev araymetszetekkel kapcsolatos. Az araymetszés egy olya matematikai aráy, amely egyarát megtalálható az építészetbe, a festészetbe, a zeébe, de em csak az emberi alkotásokba, haem a természetbe is. Fellelhet a övéyek részeiek bizoyos aráyaiba, állatok testrészeiek aráyaiba, építészeti remekmvek aráyaiba,

2 festméyeke és em utolsó sorba az emberi test külöböz aráyaiba. A következ képek magukért beszélek:

3 Az araymetszés fogalmával szoros kapcsolatba va az úgyevezett araytéglalap. Ez egy olya téglalap, amelyek az oldalaiak az aráya éppe az araymetszés szám, hisze ab a. Eek a téglalapak érdekes tulajdosága az, a b hogy ha levágjuk a maximális oldalú égyzetet, szité araytéglalap adódik. Ezt megismételve, ismét araytéglalap adódik, és így tovább. Potosa ez a szerkesztési eljárás segít hozzá az úgyevezett arayspirál megszerkesztéséhez. A mellékelt ábrá látható, hogy a levágott legagyobb égyzetbe egy egyed körívet húzhatuk. Ezutá a következ levágott égyzetbe húzuk ismét egy egyedkört, és az eljárást a végteleségig folytathatjuk. Az így kapott arayspirált evezik még Fiboacci-spirálak is, oha a kett em éppe ugyaaz. Az arayspirál egy sajátos logaritmikus spirál, amiek a tágulási faktora az arayszámhoz kötdik. Egyedi módo, egy aray spirál a faktorával szélesedik, vagy kerül távolabb kezdpotjától mide egyedkör utá, amit megtesz. A poláris egyelete rac, ahol a egy tetszleges pozitív álladó, és b c,..... a logaritmikus spirál eseté pedig c e ([], [4]). Ugyacsak az araymetszéshez kapcsolódik az úgyevezett arayháromszög. Ez olya egyel szárú háromszög, amelyek a csúcsáál lev szög 6 -os, az alapo fekv szögei pedig 7 -osak. Az arayháromszög elevezése abból adódik, hogy ha meghúzzuk az egyik alapo fekv szögéek a szögfelezjét, akkor ez, az egyik szárat araymetszési aráyba ossza. És még va egy érdekes tulajdoság, ugyais, a meghúzott szögfelez az eredeti háromszögbl egy olya háromszöget vág le, ami az eredetivel hasoló, tehát az is arayháromszög. Éppe ez teszi lehetvé, az el mitájára, egy újabb spirál szerkesztését, ami egybe logaritmikus spirál. Eek a szerkesztési folyamata a mellékelt ábrá látható. Úgy az arayspirál mit a kapott logaritmikus spirál mideütt jele va a természetbe. Megfigyelték az egyes virágok lapiiak az elredezdésébe, a virágok szirmaiak az elredezdésébe, a apraforgó magjaiak az elhelyezkedésébe, a feytobozoko, brokkoli, kaktuszféléke, meg egyéb övéye is, de jele va az Nautilus csigaházo, a légrvéyekbe, a fraktálokba, a galaxis redszerbe, és még sok sok más helye. Ezekbl éháy képes ízelítt mutatuk:

4 Az araymetszés aráya valamit az araytéglalap jele va olya építészeti remekmvekbe mit a Római Patheo, de számos mvészeti alkotásba mit például a Leoardo da Vici MoaLisa-ja, vagy Csotváry Kosztka Tivadar, Baalbek festméye, az arayspirál pedig a mai moder épületek külsejé és belsejébe, például a csigalépcskbe. 4

5 Az araymetszés fogalmához szorosa kapcsolódik az úgyevezett arayszög is. A megszerkesztése érdekébe itt is az araymetszési a b a eljárásából iduluk ki. Az aráypár alapjá: a b ahoa 60 7,0. A 60 szakirodalom zömébe ezt a szöget evezik arayszögek, lásd például a [7]-be. Ez a szög külöös fotossággal bír a övéyek levélállásáak a taulmáyozásába, amivel a phillotaxis foglalkozik (lásd például az []-be és a [4]-be). A szakemberek megfigyelték, hogy az egyes levelek a törzsö úgy helyezkedek el egy spirál meté, hogy az egymás utái levelek 7, -os szöget zárak be egymással. Ez gyakra érvéyes a virágszirmok elhelyezkedésére is. Az arayszöget illete, egyes források szerit másképpe is értelmezek (lásd például a []-ba) úgyevezett arayszöget. Arayszögek evezik azt a szöget, melyek kosziusza az araymetszés háyadosa, vagyis cos 0, Ez is szorosa kapcsolódik az araymetszéshez, és a szerkesztése például így törtéik: tekitsük két kocetrikus kört, amelyek sugaraiak az aráya legye éppe az araymetszési háyados. Legye Ab egy olya húr a agykörbe, r amelyik a kiskört a C potba ériti. Ekkor cos, ahoa azt kapjuk, hogy R co s 0, és ez akkor teljesül, ha 49'4". Látható, hogy az így értelmezett arayszög icse semmilye kapcsolatba az elbbi módo értelmezett arayszöggel, de a yomait eek is fellelhetjük a természetbe és a mvészetbe is. Az így értelmezett arayszöggel számos egyéb, jelképet hordozó relikviá, emléke találkozuk. Arayszöget zárak be az ismert Krisztus-moogram X jeléek szárai a P bet szárával, és arayszöget fedezhetük fel Szet Istvá királyuk REX ST (Rex Stephaus) betjeleket tartalmazó ligatúrás kézjegyé is Az araymetszéssel kapcsolatosa még értelmezek úgyevezett arayrombuszt is. Ez olya rombusz, amelyek az átlóiak az aráya éppe az araymetszés háyadosa. (lásd [0]). A további roko fogalmak közül külöös helyet foglal el az araygúla. Ez olya égyzet alapú egyees gúla, amelybe az apotéma az alap hosszáak a feléek a -szerese, vagyis a b (lásd például a [9]-ba).

6 Legye az alaplap és az oldallap lapszöge, így cos vagyis éppe az arayszög, ami 49'". Nagyo meglep egyezés, hogy az egyiptomi Gízai Nagy piramis eseté a= 9,; b=,, 9; h= 6,4 és így a, ezért a piramis aray gúla b és az oldallap és az alaplap szöge 0' - ' között va, ami agy potossággal közelíti meg az arayszöget. Az araymetszéshez szorosa kapcsolódak a Fiboacci számok is, ezek elválaszthatatlaok egymástól. Leoardo Pisao (70-0) olasz keresked-matematikus, a századforduló egyike volt azokak, akik a tízes alapú, helyi értékes redszerre épül számírási módot Európába meghoosították. Leoardo, ismertebb evé Fiboacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címe ismert mukájába foglalta össze. E híres mukájába található a következ probléma, amit Fiboacci yulaikét is gyakra emlegetek: Tegyük fel, hogy egy mez él egy újszülött yúl pár, egy hím és egy stéy. A yulak egy hóapos korukra leszek ivarérettek, így a második hóap végé már megszülethetek az els kicsiyek. Tegyük fel, hogy a mi yulaik soha em halak meg és hogy a stéyek midig új párt elleek ( hímet és stéyt) mide hóapba, a második hóaptól kezdve. Fiboacci problémája: háy pár yúl lesz egy éve belül?. Az els hóap végé még csak pár va.. A második hóap végé születik új pár, így most már pár va.. A harmadik hóap végé az eredeti stéyek születik a második pár yula, így már pár lesz. 4. A egyedik hóap végé az eredeti stéyek lesz újabb kicsiye, a második hóapba született stéy most elli az els kicsiyeit, így összese már pár yúl va, és így tovább. Az egyes hóapok végé lev yulpárok számát a következ sorozat tagjai adják:,,,,,,,,4,,9, Ez az úgyevezett Fiboacci-sorozat, ami valószíleg a legismertebb matematikai sorozat. (Sok más iformációt is lásd például a []-ba). 6

7 Észrevehet, hogy a sorozat tagjaira feállak a következ összefüggések: =+, =+, =+, =+, = +, ezért érvéyes a következ rekurziós összefüggés: * f 0 =, f = és f + = f + f - mide N eseté Számos más olya probléma va, amelyek ugyacsak a Fiboacci-sorozathoz vezet. Például, a mellékelt ábrá ha az A potból iduluk, és csak a yilak meté haladhatuk, akkor háyféle képe juthatuk el redre a B, C, D, E, F, G, H és I potokba. Belátható, hogy akkor ismét a Fiboacci-számokat kapjuk, ugyais a B potba csak az A-ból juthatuk, a C potba akár az A-ból, akár a B-bl eljuthatuk, a D potba a B potból egy úto, a C-bl pedig két úto juthatuk el, az E potba a D potból egy úto és a C potból két úto, és így tovább A yulak problémájával és az elbbi problémával is roko a következ probléma is: Tegyük fel, hogy egy fa úgy övekszik, hogy mide ág, a létrejöttét követ évbe csak övekszik, ezutá mide évbe egy új ágat hajt. Háy ága lesz a fáak,,, 4,, 6, év múlva, amit éppe most ültettük. Az ültetéskor egy ága va a fáak, és ez az is igaz, hisze ekkor még em hajt új ágat. A második évbe hajt egy új ágat, ekkor két ága lesz. A harmadik évbe az új ág még em, de a régi ág hajt egy új ágat, így három ága lesz. Mide évbe a legalább kétéves ágak hajtaak új ágat, az egyévesek em. Így az -edik évbe a fáak ayival lesz több ága, mit ameyi az (-)-edik évbe volt, aháy ága kétéves, vagyis aháy ága az (-)-ik évbe volt. Belátható, hogy az egyes évekbe az ágak száma megit a Fiboacci-sorozat tagjai. Az ábrá a hatodok eszted végé az ágak végére egy-egy virágot rajzoltuk. Az elbbiekbe láttuk, hogy a Fiboacci-sorozatot eddig csak rekurziós összefüggéssel adtuk meg. Számos próbálkozás született arra, hogy a Fiboacci számokat képlettel adják meg. Ebbl a célból írjuk fel a rekurziós összefüggés karakterisztikus egyeletét, ami em más, mit 0, ahoa megkapjuk az általáos tag képletét: f mide N eseté Az összefüggés matematikai idukcióval is bizoyíthatjuk. Ez a formula összefüggést teremt az arayszám és a Fiboacci-számok között, ugyais ( ) f A Fiboacci-sorozat egy másik fotos tulajdosága a következ: 0946 ;,;,666..;,6;...,6...; vagyis 676 7

8 f lim ahol, éppe az araymetszés száma. Eek f az aráyak a természetbe való elfordulásáról a következkbe beszélük. Érdekes megfigyeli külöböz övéyekél a közös ágo elhelyezked levelek helyzetét. Ezek a levelek általába em potosa egymás felett vaak, tehát em egy egyees meté helyezkedek el, haem kicsit elcsavarodva, egy szabályos csigavoal meté. A botaikusok úgy találták, hogy létezik egy az egyes övéyfajtákra jellemz + tört, melyek a számlálóját úgy kapjuk, hogy megézzük, egy levél és egy potosa felette elhelyezked másik levél közé a csigavoal háy periódusa esik (háyszor csavarodik körül a száro), evezjét pedig úgy, hogy megszámoljuk, a csigavoal vizsgált részét az eze belül elhelyezked levelek háy részre osztják. Ez, a tört a hársfa és a szilfa eseté, az éger és bükk eseté, a tölgy, sárgabarack és csereszyefa eseté, a jegeye, yár és a körtefa eseté, a fz és madula eseté. Szembeötl, f hogy ezek em más mit az aráy tagjai. Egy másik szép példa a Fiboacci-számok f felbukkaására a feytoboz vagy aaász pikkelyeiek, a apraforgó magjaiak elredezdése, amelyhez hasoló termésszerkezet egy egész csomó övéye megfigyelhet (bogácsok, fészkesek, kelfélék, krózsafélék, kaktuszok, kalászok, stb.). Ezeke a terméseke a magok (vagy pikkelyek) külöböz spirálvoalak meté helyezkedek el, és ha megszámoljuk, hogy egyfajta spirálból háy darab va, akkor Fiboacci-számokat kapuk. Ezt szemlélteti az alábbi ábra, melye egy feytoboz felülézetét látjuk, mellette pedig a szerkezetét meghatározó spirálvoalak összességét. A rajzról leolvasható, hogy a legkisebb görbület spirálisból (szaggatott voal) darab va, a következ legkisebb görbületl (folytoos voal), a következl (folytoos voal) és a legagyobb görbületl (potozott voal). Más tobozfajtáko,,, spirált találhatuk, a apraforgó táyérjá pedig,, 4,, 9 darabot. A természet formavilágába még sok helye rábukkahatuk a Fiboacci-számokra, ellebe a példázattal megálluk itt, és visszatérük a matematika területére.

9 A matematikába az ( ab), ( ab),..., ( a b) biomok kiszámolásáál fotos szerepet tölt be az úgyevezett Pascal-háromszög, ezek tagjai adják a kifejtésbe az együtthatókat. Érdekességkét megjegyezhet, hogy a Fiboacci-számok szoros kapcsolatba vaak a Pascal-hárimszög számaival, ugyais ahogya a mellékelt ábrá látható, a Fiboacci-számok megjeleek a Pascalháromszögbe, éspedig átlósa. És végül ézzük a Fiboacci-számokkal kapcsolatos érdekes geometriai paradoxot. A mellékelt ábrá látható módo feldarboltuk egy égyzetet az ott látható alakzatokra, amelyek méretei között szerepelek a,, Fiboacci számok. Ezekbl az alakzatokból rakjuk ki az ábrá látható ABCD téglalapot, amelyek a méretei szité Fiboacci számok. Számítsuk most ki a két alakzat területét. Látható, hogy a égyzet területe 64 egység, míg a téglalapé 6. Vajo hol a hiba? Ha alaposa szemügyre vesszük a problémát, akkor rájöhetük, hogy a téglalap egyik átlója meté éppe egy egységyi rés található, ami szabad szemmel em érzékelhet, tehát a darabok em illeszkedek egymáshoz potosa. Ezt úgy modjuk, hogy az adott égyzetük em darabolható át a téglalapba, mert a területeik em egyformák (bvebbe lásd például a [6]-ba). Érdemes megjegyezük, hogy ha a,, Fiboacci-számok helyett három egymásutái Fiboacci-számot veszük, vagyis az f, f, f számokat, akkor is érvéyes az elbbiekbe megállapított paradoxo. Ugyacsak a Fiboacci-számokkal kapcsolatos egy másik érdekes paradoxo, a Curry paradoxoak a Marti Garder-féle változata. Az ábrá látható módo daraboljuk fel az,, oldalhosszú derékszög háromszöget a látható módo. Figyeljük meg a Fiboacci számokat, a legkisebb háromszög befogói és, a középsé és, és a kirakott legagyobbé pedig és, az L alakú alakzat hosszúsága illetve szélessége és, tehát mid-mid Fiboacci-számok. Ezutá redezzük át az alakzatokat az ábra szerit. Meglepetésükre most egy kis ézetyi üres részt kapuk. Hova tt el egységyi terület? A paradoxo kulcsa ezúttal is ugyaaz mit az elbbiekbe vagyis, az els háromszög em hézagmetese va összerakva. (lásd például a [7]-be). Befejezésül megjegyezzük, hogy a Fiboacci-sorozatról csak ízelítt adtuk, ugyais a téma jellegébl adódóa, gomba módra szaporodak az idevágó cikkek, dolgozatot, weboldalak, publikációk, köyvek hisze ez a témakör kimeríthetelül sok érdekességet és meglepetést tartalmaz úgy a matematikába mit azo kívül. D A M C B 9

10 Szakirodalom [] Alfred S. Posametier, Igmar Lehma: The Fabulous Fiboacci Numbers Prometheus Books, 007 [] Búzás Ferec: Az araymetszés vizuális világa, 00 [] Dr Ro Kott : Fiboacci Numbers ad the Golde Sectio,00 [4] Falus Róbert: Az araymetszés legedája, Magvet Kiadó, Budapest, 9 [] H.S.M. Coxeter: A geometriák alapjai, Mszaki Köyvkiadó, Budapest, 97, 6-79 old [6] Kobilárcsik György: Az araymetszés taításáak egyik lehetsége a szakközépiskolába, A Matematika Taítása /9, 9- old [7] Mario Livio: The Golde Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astoishig Number, Broadway 00 [] Michael Jardie: New Frotiers i Fiboacci Tradig: Chartig Techiques, Strategies&Simple Applicatios, Marketplace Books, 00 [9] Nikolai N Vorobev: Fiboacci Numbers, Probus Publishig Co. 96 [0] R. A. Dulap: The Golde Ratio ad Fiboacci Numbers, World Scietific Publishig Compay, 99 [] Selyem Edit: Araymetszés matematikaórá, MatLap /009, 9-94 old [] Székely J. Gábor: Araymetszés, Természet Világa 7/9, - old [] Steve Vajda: Fiboacci ad Lucas Numbers, ad the Golde Sectio, Dover Publicatios, 007 [4] Tél Tamás: Miért Fiboacci-számok? (A övéyi szimmetriákról), Természet Világa /9, -60 old [] Török Judit: A Fiboacci-orozat, Taköyvkiadó, Budapest, 94 [6] Tuzso Zoltá: Hogya oldjuk meg aritmetikai feladatokat? Ábel Kiadó, old [7] [] [9] [0] [ ] [] [] [4] [] [6] [7] 0