= λ valós megoldása van.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "= λ valós megoldása van."

András Pintér
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt szokás külső tagak evezi. Mivel ez egy seciális lieáris egyelet mide igaz rá amit a lieáris egyeletekről modtuk. Tehát: Az álladó együtthatós ihomogé egyelet általáos megoldása: y ihom ált = y homált + y ihom art A homogé rész: y + a y + by= 0 karakterisztikus egyelete: λ + aλ + b A homogé egyelet általáos megoldásáak alaesetei:. A λ + aλ + b egyeletek λ λ valós gyöke va. Ebbe az esetbe már va is a homogé egyeletek két függetle megoldása y = e λ és y = e λ ekkor a homogé egyelet általáos megoldása yhom ált Ce λ λ = + Ce. A λ + aλ + b egyeletek λ = λ = λ valós megoldása va. Ekkor csak egy megoldás va e λ. y = e λ is megoldása a homogé egyeletek és lieárisa Beláthatjuk hogy függetle. e λ -hez (em kostas szorosa) Ekkor a homogé egyelet általáos megoldása. y + C e λ hom ált λ. A karakterisztikus egyeletek ics valós gyöke. Ebbe az esetbe kojugált komle gyökei vaak. Legyeek a gyökök λ = α + iβ λ = α iβ

2 Ekkor e λ és e λ függetle megoldások de em valósak α yhom ált si β + C cos β e = e λ ( α + i β ) A másodredű lieáris ihomogé differeciálegyelet általáos megoldása is a homogé egyelet általáos megoldása és az ihomogé egyelet egy artikuláris megoldásáak összege: y = y + y i hom ált hom ált i hom art Példa y + y y= Az ihomogé differeciálegyelethez tartozó homogé egyelet: y + a y + by= Példa y + y = 0 0 Másodredű álladó együtthatós ihomogé lieáris differeciálegyelet artikuláris megoldásáak megtalálása seciális külső tag eseté róba függvéyel. Az ihomogé egyelet egy artikuláris megoldását u. seciális külső tagok a esetébe (oliom e cos( b ) si ( b) és ezek szorzatáak összege) tudjuk köye meghatározi. Az y + a y + by= q egyeletbe q függvéyt szokás külső tagak evezi. Jelölések: az alábbi táblázatba jelöl egy kokrét -ed fokú oliomot P és Q edig egy ugyacsak -ed fokú de ismeretle együtthatós oliomot jelöl. λ és λ jelöli a karakterisztikus egyelet gyökeit. A seciális külső tagok lehetséges esetei a a. Ha a q külső tag e alakú (a valós) és az e kitevőjébe szerelő a em gyöke a karakterisztikus egyeletek akkor az ihomogé egyelet artikuláris megoldását P a e alakba keressük ahol P ismeretle együtthatós általáos -ed fokú oliom. a. Ha az e kitevőjébe szerelő a egyszeres gyöke a karakterisztikus egyeletek a azaz e megoldása a homogé differeciálegyeletek (egyszeres rezoacia) akkor az ihomogé egyelet artikuláris megoldását P a e alakba ha

3 kétszeres gyöke (kétszeres rezoacia) akkor P a e keressük ahol P ismeretle együtthatós általáos -ed fokú oliom. Ezt evezzük rezoaciáak. a a. Ha a q külső tag e sib vagy e cosb ( a bi) e + kitevőjébe szerelő a bi alakú (a b valós) és az + em gyöke a karakterisztikus egyeletek a akkor az ihomogé egyelet artikuláris megoldását P e sib a + Q e cosbalakba keressük ahol P és Q ismeretle együtthatós általáos -ed fokú oliomok. ( a bi). Ha az e + kitevőjébe szerelő a+ bi gyöke a karakterisztikus egyeletek a akkor az ihomogé egyelet artikuláris megoldását P e sib a + Q e cosb alakba keressük ahol P és Q ismeretle együtthatós általáos -ed fokú oliomok. Kidolgozott feladatok. y + y y = a homogé egyelet y + y y = 0 a karakterisztikus egyelet λ + λ = 0 megoldásai λ = λ = tehát a homogé egyelet általáos megoldása yhom ált + Ce az ihomogé egyelet artikuláris megoldását y = A + B+ Calakba keressük. (táblázat. sor) y = A+ B y = A az ihomogé egyeletbe helyettesítve A A B A B C redezve A + A B + A C + B és az együtthatókat összehasolítva kajuk hogy A = A B = 0 A C+ B=0 ie A = B = C = Tehát y = vagyis az ihomogé egyelet általáos megoldása: + Ce +. y + y = a homogé egyelet y + y = 0 a karakterisztikus egyelet λ + λ = 0 megoldásai λ = 0 λ = tehát a 0 homogé egyelet általáos megoldása y + C e = C + C e hom ált y A B C = + + azaz az ihomogé egyelet artikuláris megoldását y A B C = + + alakba keressük. (táblázat. sor) = A + B + A + B + C és redezve A + ( 6A + B) + B + C y A B C 6 y = A+ B az ihomogé egyeletbe helyettesítve

4 az együtthatókat összehasolítva kajuk hogy A = 6A+ B = 0 B+ C = 0 A = B = C = Tehát y = + vagyis az ihomogé egyelet általáos megoldása: = C + Ce + +. y + y y = e a homogé egyelet y + y y = 0 a karakterisztikus egyelet λ + λ = 0 megoldásai λ = λ = tehát a homogé egyelet általáos megoldása y + C e hom ált az ihomogé egyelet artikuláris megoldását y = A e alakba keressük. (táblázat. sor) y = A e y = A e az ihomogé egyeletbe helyettesítve A e A e Ae e + kiemelve e ( A+ A A) e ie következik hogy A = A = Tehát y = e vagyis az ihomogé egyelet általáos megoldása: + Ce + e. y + y y = e a homogé egyelet y + y y = 0 a karakterisztikus egyelet λ + λ = 0 megoldásai λ = λ = tehát a homogé egyelet általáos megoldása y + C e az ihomogé egyelet artikuláris megoldását (táblázat. sor) hom ált y = A e alakba keressük. y = A( ( ) e + e ) = Ae ( + ) ( ) y = A e + + e = Ae ( + ) az ihomogé egyeletbe helyettesítve ( ) ( ) Ae + + Ae + A e e kiemelve Ae ( + ) e azaz Ae ie következik hogy A = A = Tehát y Ce Ce = + e. y y + y = e a homogé egyelet y y + y = 0 e = e vagyis az ihomogé egyelet általáos megoldása:

5 a karakterisztikus egyelet λ λ+ = 0 megoldásai λ = λ = tehát a y + C e homogé egyelet általáos megoldása hom ált az ihomogé egyelet artikuláris megoldását y = A e alakba keressük. (táblázat. sor) y = A( ( ) e + e ) = Ae ( + ) ( ) y = A e + + e = Ae ( + ) az ihomogé egyeletbe helyettesítve ( ) ( ) Ae + + Ae + A e e kiemelve Ae ( + ) e azaz Ae ie következik hogy A = A = e Tehát y = e vagyis az ihomogé egyelet általáos megoldása: + Ce e 6. y y + y = e a homogé egyelet y y + y = 0 a karakterisztikus egyelet λ λ+ = 0 megoldásai λ = λ = tehát a y + C e homogé egyelet általáos megoldása hom ált az ihomogé egyelet artikuláris megoldását y = ( A+ B) e alakba keressük. (táblázat 6. sor) y = Ae + A+ B e = e A+ A+ B y ( ) ( ) e A A B e A e ( A A B) helyettesítve ( ) kiemelve e ( A A B A A B A B) e e ( A+ A+ B) e = = + + az ihomogé egyeletbe e A + A + B e A + A + B + A + B e e azaz ie következik hogy A = A+ B = 0 B = Tehát y = ( ) e vagyis az ihomogé egyelet általáos megoldása: y Ce C e ihom ált = + + ( ) e 7. y y + y = si a homogé egyelet y y + y = 0 a karakterisztikus egyelet λ λ+ = 0 megoldásai λ = λ = tehát a homogé egyelet általáos megoldása yhom ált + Ce a karakterisztikus egyelet λ + λ = 0 megoldásai λ = 0 λ = tehát a 0 homogé egyelet általáos megoldása yhom ált + Ce = C + Ce az ihomogé egyelet artikuláris megoldását y = Asi + Bcos azaz (táblázat 0. sor)

6 y = Acos Bsi y = Asi Bcos az ihomogé egyeletbe helyettesítve Asi Bcos Asi Bcos + Asi + Bcos si és Asi Bcos + 8Asi + 8Bcos + Asi + Bcos si Asi+ Bcos si redezve Asi si az együtthatókat összehasolítva kajuk hogy A B= A+ B = 0 A = B = 0 Tehát y = si vagyis az ihomogé egyelet általáos megoldása: = C + Ce + si Kidolgozott éldák Adja meg az általáos megoldást! y y + y = a + + és λ λ λ λ + = y + C e = hom ált y : Ae B C D = y = Ae + B+ C y = Ae + B 9 ( 9A 9A A) e ( B) ( C 6B) ( D C B) A = Tehát a + ( + ) B = C = D = ihom ált = y Ce C e e Adja meg az általáos megoldást! y + 8y + y = a A karakterisztikus egyelet 8 ± ± 6i λ + 8λ+ = 0 λ = = = ± i A homogé egyelet általáos megoldása y cos+ C e si hom ált 6

7 y = Ae (ics rezoacia akkor lee ha a külső tag e si lee) y = Ae y = 6Ae visszahelyettesítve kajuk hogy e cos vagy ( A A 6A) e e Tehát + azaz A = 9 y cos+ C e si + e 9 ihom ált 7

Hasonló dokumentumok

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például: