Gyakorló feladatok II.

Átírás

1 Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz október

2 Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy az a : N R sorozat a felülről em korlátos, c em mooto övekedő, b em korlátos, d em mooto csökkeő. F2. Korlátosság és mootoitás szempotjából vizsgálja meg az alábbi sorozatokat: a számtai sorozat; c a := + =, 2,...; 2 d b mértai sorozat; a := e a := 2 N; f a := =, 2,...; N. F3. Igazolja, hogy ha az a, N valós számsorozat mooto, akkor a számtai közepekkel képzett sorozat is mooto. σ := a + a a =, 2,... Számsorozat határértéke F4. Mutassa meg, hogy ha egy sorozat- a ba véges számú tagot bárhogya megváltoztatuk, b ba véges számú tagot beiktatuk, c ból véges számú tagot elhagyuk, ez a sorozatak sem a kovergeciáját, sem a határértékét em befolyásolja. F5. Mit jelet az, hogy az a sorozatak 2 koverges? em határértéke? Lehet-e egy ilye sorozat F6. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy a : N R sorozat em koverges! Igazolja, hogy a, N sorozat em koverges, azaz diverges. F7. Tegyük fel azt, hogy az A R szám mide köryezete az a : N R sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az a sorozat koverges? F8. Mutassa meg, hogy ha egy sorozat koverges és a határértéke pozitív, akkor egy idextől kezdve a sorozat midegyik tagja szité pozitív. F9. Értse meg és jegyezze meg a kovergecia defiíciójába szereplő jelek jeletését. Ezek szite bármelyik más kombiációja külöbözik a kovergecia defiíciójától. Például: Tegyük fel, hogy az a : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz-e az, hogy 0 N, hogy ε > 0-ra és > 0 -ra a A < ε? 2

3 F0. A határérték defiíciója alapjá igazolja az alábbi egyelőségeket: + a lim + 2 = + ; 2 b lim = 3 ; c lim 4 = + ; d lim = ; e lim = ; f lim = ; g lim = + ; h lim = F. Igazolja, hogy lim a = 0 lim a = 0. F2. Tegyük fel, hogy a emegatív tagú a sorozat az A valós számhoz kovergál. Bizoyítsa be, hogy a A 0; b a a sorozat is koverges, és lim a = A. Mit lehet modai az a sorozat határértékéről akkor, ha az a sorozat + -hez tart? F3. Nevezetes sorozatok. A bizoyítással együtt jegyezze meg a következő állításokat: a Tetszőleges c R eseté a c N kostassorozat koverges, és lim c = c. b lim = 0, c A sorozat diverges. d Mértai sorozat. Legye q R. A q mértai sorozat potosa akkor koverges, ha q <, vagy q =, és lim q = 0, ha q <, ha q = +, ha q >. e Mide a > 0 valós számra az a sorozat koverges, és f Az sorozat koverges, és lim =. lim a =. g Ha k rögzített természetes szám és a > rögzített valós szám, akkor az k /a k sorozat koverges és lim a = 0. h Mide a R eseté az a a sorozat koverges, és lim! i Az! sorozat koverges, és j Az a := koverges. Legye! lim = 0.! = 0. + N sorozat mooto övekedő és felülről korlátos, tehát e := lim + N. 3

4 Megjegyzés. Az + / sorozat határértékére külö szimbólum bevezetéséek idoka a következő. Igazolható, hogy ez a határérték irracioális, sőt traszcedes szám. Ez utóbbi azt jeleti, hogy ics olya egész együtthatós poliom, amiek ez a szám gyöke lee. A 2 szám például irracioális, de em traszcedes szám, mert 2 gyöke az x 2 2 = 0 egyeletek. Az e számot Euler vezette be az 748-ba megjelet Itroductio i Aalysi Ifiitorum című mukájába. k Mide x R számra lim x + = e x. F4. A koverges sorozatokra voatkozó tételek alapjá határozza meg a következő sorozatok határértékét! 3 7 a a := N; b a := N; c a := N; d a := 3 2 N; e 3 ; f + ; g ; h ; i 2, N ; j , N ; 3 k a := 2 =, 2,...; l a := =, 2,...; m ; ; + o a := N; p a := N; + 3 q a := N; r a := N; + 5 F5. Határozza meg a következő sorozatok határértékét: a a := =, 2,...; b a := + 2+ N; 2 c a := + = 2, 3,...; d a := N; e a := = 2, 3,...; f a := = 8, 9, F6. Igaz-e, hogy ha a a koverges és a + b koverges b koverges; b a koverges és a b koverges b koverges; c a koverges és b diverges a + b diverges; d a koverges és b diverges a b diverges; e a diverges és b diverges a + b diverges; f a diverges és b diverges a b diverges? 4

5 Végtele számsorok F7. Nevezetes sorok. Bizoyítsa be és jegyezze meg a következő állításokat: a Mértai sor. Legye q R. A q mértai sor potosa akkor koverges, ha q < és + b A c A d A + q = + q + q 2 + q 3 + q 4 + = q + sor koverges és harmoikus sor diverges. sor diverges. + =. q <. e A + sor koverges és 2 2 < 2. f Hiperharmoikus sor. Legye α rögzített valós szám. A sort hiperharmoikus sorak evezzük. Eek kovergeciájára a következő teljesül: { koverges α > α diverges α. g A! sor koverges és + α! = + + 2! + 3! + 4! + = e. h A + = sor koverges Leibiz típusú sor. 4 F8. Sorok összegéek meghatározása: A részletösszeg-sorozat határértékéek meghatározásával adja meg az alábbi sorok összegét: a 5 4 ; b c ; d e + 2 ; f =3 g ; h i +! ; j F9. Mutassa meg, hogy a sor diverges ; ; 2 4 ; ; ! 5

6 F20. Kovergesek-e az alábbi sorok: a 0, ; b? F2. Lehet-e koverges a a + b sor, ha a koverges és b diverges? F22. Kovergecia szempotjából mit lehet modai a a + b sorról, ha a is és b is diverges? F23. Mutassa meg, hogy az összehasolító kritériumba a emegativitás feltétele em hagyható el. Adjo meg tehát olya a és b sorozatokat, amelyekre a b N teljesül, a b sor koverges, de a a sor diverges. F24. Kovergecia szempotjából vizsgálja meg az alábbi sorokat: a 2 ; b 2 2! ; c 2 ++ ; d ; + + e + 2 ; f. F25. Az alábbi sorok közül melyek kovergesek? a! 2 ; b 2 2 ; =2 c! 2 2! ; d =50 e! 2 ; f 2 2 ; g ; h i 2 + ; j + 2! 3 2!! ; ; + 2 ; k! ; l 2! ; k= m ; 4! +/ ; k= o ; p k= ; F26. Váltakozó előjelű sorok kovergeciáját a Leibiz-kritériummal vizsgálhatjuk. Sok esetbe a kovergecia téye következik abból is, hogy a szóba forgó sor abszolút koverges. Vizsgálja meg, hogy az alábbi sorok divergesek, feltételese kovergesek, vagy abszolút kovergesek-e? 6

7 a ; b ; c ; d F27. Koverges-e az sor? F28. Végtele tizedestörtek. a Adja meg az 3, 7 9, 2 5 számok tizedes tört alakját. b Írja fel p q alakba p, q N a következő számokat: 0, 23; 7, ; 0, 7; 0, ; 0, F29. Sorok összegéek közelítő meghatározása I. Igazolja, hogy az alábbi sorok kovergesek. Számítsa ki az s 4 részletösszeget, és becsülje meg s 4 -ek a sor összegétől való eltérését. Ezek alapjá adjo meg olya itervallumot, amelybe a sor összege bee va. a! ; b 2 ; c + 2 ; d!2. F30. Sorok összegéek közelítő meghatározása II. Mutassa meg, hogy az alábbi sorok kovergesek. Határozza meg, hogy milye idexű részletösszegei közelítik meg a sor összegét a megadott ε-ál kisebb hibával. Számítsa ki a megfelelő s részletösszeget, és ezek alapjá adja meg azt az itervallumot, amelybe a sor összege bee va. Háy tizedesjegyig potos a közelítés? a!, ε = 0 2 ; b 2, ε = 0 2 ; c +, ε = 0 4 ; d!!4, ε =