Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Átírás

1 . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =, a mértai sor összegképlete szerit. H agy, akkor már elhayagolhatóa kicsi, ezért s =, emiatt természetes azt modai, hogy A továbbiakba 4 =. a a... alakú ú. végtele sorokat vizsgáluk, ahol -ek valós számok. Ezt a végtele mértai sort a következőképpe jelöljük:.. defiíció (Végtele sor kovergeciája). A végtele sor -edik részletösszege: s = a a. Ha a részletösszegek sorozata az L számhoz kovergál, s = L, akkor azt modjuk, hogy a végtele sor koverges és összege L. Egyébkét a végtele sort divergesek modjuk. Példa:. Mutassa meg, hogy az ( )... végtele sor koverges és összege. Megoldás: Legye s = ( ) Mivel k(k) = k k, ezért s = ( ) ( 3 ) ( 3 4 =. ) ( ) Ie. Az s = = q q q... q < eseté koverges, egyébkét diverges, mert s = q q q = q q, ha q és q 0 akkor és csak akkor, ha q <. Megjegyzés: A kovergecia difiíciójából látszik, hogy a végtele sor kovergeciájá em változtat az, ha véges számú tagot hozzáaduk vagy ha elveszük.. tétel (Műveletek sorokkal). Ha és b koverges sorok, továbbá = A és b = B, akkor. ( b ) = A B. ( b ) = A B 3. k = ka, ahol k tetszőleges valós szám. Bizoyítás: Csak.-et bizoyítjuk. A ( b ) - edik részletösszege: s = (a b ) (a b ) ( b ) = (a a ) (b b b ) = A B. Mivel A A és B B, ezért s A B. Példa: Határozza meg a Megoldás: = 3 6 = = = 3 6 sorozat összegét! = = = 3, 6 a mértai sor összegképlete alapjá.. Kovergeciakritériumok A végtele sorral kapcsolatba két kérdés fogalmazható meg:. Koverges-e a végtele sor?. Ha a végtele sor koverges, akkor mi az összege? Az alábbi tétel egy szükséges feltételt ad a végtele sor kovergeciájára:

2 . tétel. Ha a végtele sor koverges, akkor Bizoyítás: Nyilvá = 0. = (a a ) (a a ) = s s Mivel a végtele sor koverges, ezért s = s = L valamely valós L szám eseté. Így = s s = s s = L L = 0 Következméy: Ha a em létezik vagy em véges, akkor a végtele sor diverges. Példák:. végtele sor diverges, mert =. = ( ) végtele sor diverges, mert em létezik a = ( ). Ha a végtele sor eseté = 0, akkor lehet, hogy a végtele sor koverges, de lehet, hogy diverges. Példák:. A = végtele sor koverges és = 0.. A = végtele sor diverges, mert s = ( 3 ) ( )... 8 ( ) =, ezért a részletösszegek sorozata a -hez tart. A sorozatokál taultuk, hogy egy mooto övő sorozat potosa akkor koverges, ha korlátos. Eek a tételek a következméye az alábbi: 3. tétel. Legye 0 mide pozitív egész eseté. a végtele sor potosa akkor koverges, ha az s részletösszegek sorozata korlátos. A következő kritérium azt mutatja, hogy gyakra a végtele sort egy alkalmas improprius itegrállal összehasolítva megválaszolhatjuk a kovergecia kérdését. 4. tétel (Itegrákritérium). Legye csupa pozitív tagból álló sorozat. Tegyük fel, hogy va olya pozitív egész N és az [N, ) félegyeese csökkeő f(x) függvéy, amelyre = f() mide N eseté. a végtele sor és az improprius itegrál vagy egyszerre N koverges vagy diverges. Bizoyítás: A bizoyításba az N = esetre szorítkozuk (az általáos eset bizoyítása hasolóa k törtéik). Mivel f(x) csökkeő, ezért a k k k, ha k. Ezért egyrészt a a másrészt a 3 k a a a 3 3 a s a = = Ebből látszik, hogy ha az koverges, ami most azt jeleti, hogy felülről korlátos, akkor s is felülről korlátos lesz, tehát koverges. Másrészt, ha diverges, akkor em lesz alulról korlátos, ezért s sem, tehát is diverges.

3 Példa: A = p ha p, mivel f(x) = x p ha x ; f() = p koverges, ha p > és diverges, függvéy mooto csökkeő és az x dx improprius itegrál a p p-szabály alapjá koverges, ha p > és diverges, ha 0 < p. 5. tétel (Összehasolító kritérium). Legye olya végtele mértai sor, ahol 0.. Ha va olya koverges c sor és N pozitív egész, hogy mide > N eseté c, akkor végtele sor is koverges. (Majorás kritérium). Ha va csupemegatív tagból álló diverges d végtele sor és N pozitív egész szám, hogy mide > N eseté d, akkor sor diverges. (Miorás kritérium) Bizoyítás:. Az s = a, ( N) részletösszegre felső korlát a a a a N =N koverges végtele sor.. A végtele sorak ics felső korlátja, mert ha lee, akkor a d d d N =N felső korlátja lee d részletösszegeiek, tehát d is koverges lee, ami elletmodás. Példa. A sor koverges, mert 0 < és. a = = végtele sor koverges. végtele mértai sor diverges, mert = és a végtele sor diverges. = 6. tétel (Limeszes összehasolító kritériumok). Tegyük fel, hogy valamely pozitív egész N-re igaz, hogy > 0 és b > 0, h > N.. ha = c > 0, akkor és b egyszerre b kovergesek vagy egyszerre divergesek. c. ha b koverges. 3. ha b diverges. = 0 és b koverges, akkor is = és b diverges, akkor is Bizoyítás. Csak.-et bizoyítjuk. A feltétel miatt létezik egy M egész, hogy > M eseté b c < c, c < c < c b, c < b < 3c, c b < < 3c b. Ha b koverges, akkor 3c b is az, ezért az összehasolító kritérium alapjá sor is az. Ha b sor diverges, akkor c b is az, emiatt az összehasolító kritérium alapjá is diverges. Példák. A l = és. A = koverges. 3 = 3 sor koverges, mert = és a l = végtele sor diverges, mert = végtele sor diverges. 7. tétel (Háyadoskritérium). Legye csupa pozitív tagból álló végtele sor. Tegyük fel, hogy = ρ.. ha ρ <, akkor kovergese;. ha ρ >, akkor diverges; 3. ha ρ =, akkor a kritérium em alkalmazható. Bizoyítás.. Tegyük fel, hogy ρ <. létezik r, amelyre ρ < r < és N pozitív egész, hogy a < r, ha N. a N a N < r a N < ra N 3

4 a N a N < r a N < ra N < r a N és általába a Nm < r m a N. s felülről becsülhető a a a a N a N ra N r a N = a a a N a N ( r r... ) koverges sorral, így is koverges.. Ha ρ >, akkor létezik N, hogy N eseté 3. A ezért >, a N < a N < a N <... ezért a sorozat tagjai em tartaak a 0-hoz, így a a végtele sor diverges. és = = sorokra teljesül, hogy ρ = = és az első egy diverges, a második pedig egy koverges sor. Példák. A. A = = ()!, ezért = végtele sor koverges, mert = és ()! = = 0 <. végtele sor diverges, mert = = () és így () = >. 8. tétel (Gyökkritérium). Legye csupa pozitív tagból álló végtele sor. Tegyük fel, hogy a = ρ.. ha ρ <, akkor kovergese;. ha ρ >, akkor diverges; 3. ha ρ =, akkor a kritérium em alkalmazható. és Bizoyítás:. Ha a = ρ <, akkor egy rögzített ρ < r < eseté létezik N, hogy < r, < r, h N, alkalmas pozitív egész N eseté. Meg kell mutatuk, hogy s, ( N) felülről korlátos. Nyilvá:. Ha s = a a N a N a N < a a N r N r N r a a N r N r N a a N rn r. a = ρ >, akkor létezik N, hogy >, h N, ezért >, h N és így 0, ezért a végtele sor diverges. Példa: A végtele sor koverges, mert = = <. A következő tételbe ú. alteráló sorokkal foglalkozuk. Legyeek > 0. az a a a 3 a 4 váltakozó előjelű végtele sort alteráló sorak modjuk. 9. tétel (Leibiz-kritérium). A feti alteráló sor koverges, ha mooto csökkeő és = 0. Bizoyítás. A m-edik részletösszeg: s m = (a a ) (a 3 a 4 ) (a m a m ). s (m) = s m (a m a m ), ahol a mooto csökkeés miatt (a m a m ) 0. Igy az s m sorozat mooto övő. Másrészt s m = a (a a 3 ) (a 4 a 5 ) (a m a m ) a m a, megit csak a mooto csökkeés miatt. Mivel s m mooto ő és felülről korlátos, emiatt létezik a s m. De m s m = (s m a m) = m m s m a m = s m, m m m 4

5 ezért létezik a véges s. Példa: A ( ) = 3 4 = alteráló sor koverges, mert = mooto csökkeve tart a 0-hoz.. defiíció. A végtele sor abszolút koverges, ha koverges. Példa A = ( ) = végtele sor a Leibiz kritérium szerit koverges, és a tagok abszolút értékét véve a = = is koverges sor lesz az itegrál kritérium szerit, tehát az eredeti sor abszolút koverges. 3. defiíció. A koverges végtele sor feltételese koverges, ha diverges. Példa A = ( ) = sor a Leibiz-kritérium szerit koverges, de a tagok abszolút értékét véve a = = ú. harmoikus sor már diverges lesz az itegrálkritérium alapjá. 0. tétel. Ha a végtele sor abszolút koverges, akkor koverges is Bizoyítás. Legye c =. 0 c Mivel koverges, emiatt is koverges és így az összehasolító kritérium alapjá c is koverges végtele sor. De = ( ) = c és mivel két koverges végtele sor külöbsége is koverges, emiatt is koverges. 5