A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

Átírás

1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? 3 Számtai-mértai közép Bármely N és x,, x R, x k 0 k =,, választással x k x k és itt akkor és csak akkor va egyelőség, ha x = = x 4 Lássuk be, hogy tetszőleges, k N természetes számokra: + < + + ; i + < Korlátos-e alulról, ill felülről az A halmaz, ha { } { } A := x R : 0 < x < ; i A := R : N ; { } { ii A := x + x + R : x R ; iv A := } R : N ; v A := { x x R : 0 < x R}; v A := { x + x R : 0 < x R}? gyakorlat Határozzuk meg az heti gyakorlat 5 feladatába szereplő halmazok szuprémumát és ifimumát Az A := { x y R : 0 < x <, 0 < y < x } halmazt illetőe ld az feladatot 3 Mutassuk meg, hogy az A := {y R : y } halmaz em üres, felülről korlátos és az x := supa jelöléssel x = Vezessük be a -t Lássuk be, hogy / Q Eek alapjá idokoljuk meg, hogy Q-ba em teljesül a Dedekid-axióma 4 Mit modhatuk supa B-ről, supa B-ről, supa + A-ról, supaa-ról, ha A, B R és a R? Mi a kapcsolat supa és sup B között, ha A B? Nézzük meg ugyaezeket sup helyett if-re is

2 3 gyakorlat Számítsuk ki supa-t, if A-t; va-e az A halmazak maximuma, ill miimuma, ha { } { } A := R : N ; i A := m 3 + R : m, N, m ; ii A := { } { } x + 5 x + 3 R : x R ; iv A := x + 3x + R : x R Határozzuk meg az f g összetett függvéyt, ha fx := x +, gx := x 3x + x R; 0 < x 0 0 < x 0 i fx :=, gx := ; x 0 < x < + x 0 < x < + ii fx := x + R x /, gx := x + 3x 0 x R 3 Ivertálhatóak-e az alábbi függvéyek? Ha ige, akkor mide x R f mellett számítsuk ki f x-et: fx := x + 3 x R; i fx := x + x x R; x + 0 x ii fx := 5 x < x 4 gyakorlat Milye α R eseté lesz az αx + 0 x fx := α x < x αx + x < 0 ; i fx := αx 0 x függvéy ivertálható? Mi lesz ekkor D f, R f, ill f x x D f? Az fx := 3 + x x x R függvéy és a C := {0} halmaz eseté határozzuk meg f[c]-t és f [C]-t Milye A R halmazra lesz f[a] vagy f [A] számossága egy; i ulla? 3 Legye fx := 3x + x R, a, b R és a b, I := [a, b] Határozzuk meg az f[i], f [I] halmazokat

3 4 Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat mootoitás és korlátosság szempotjából: x := 0 < N ; i x := + N ; ii x := N; v x := iv x := N ; v x := + N; + + N ; vi x := N 5 Mit modhatuk mootoitás, ill korlátosság szempotjából egy számtai mérta sorozatról? 5 gyakorlat A defiíció alapjá lássuk be, hogy: lim = 0 ; i lim = 3 3 ; + ii lim + = ; iv lim + = 0 A kovergecia defiíciója alapjá számítsuk ki az alábbi határértékeket: + lim + + ; i lim ; ii lim + 3 A paraméterek milye értékei mellett koverges és ekkor mi a határértéke az α+d α, d R számtai, ill a βq β, q R mértai sorozatak? 4 Igazoljuk, hogy: α := limx = α = lim x ; i x 0 N, α := limx = α 0 és α = lim x 5 Általáosítsuk a 4/ii feladatot a következőképpe: x 0 N, α := limx, k N, = k α = lim k x 6 gyakorlat Legye q K, q <, k N Lássuk be, hogy lim k q = 0 Legye x R és lássuk be, hogy x lim!! = 0 ; i lim = 0 3

4 3 A korábbi feladatok alapjá idokoljuk meg, hogy az e := lim + Eek alapjá számítsuk ki a határértékeket lim + + ; i lim határérték létezik 4 Tegyük fel, hogy adottak az r, s N, a 0,, a r R, b 0,, b s R, b s 0 számok és tekitsük a Px := r k=0 a kx k, Qx := s k=0 b kx k x R poliomokat Bizoyítsuk be, hogy P P r < s eseté lim = 0 ; i r = s eseté lim = a r Q Q b s 5 Bizoyítsuk be, hogy bármely 0 < α R eseté: lim α = ; i lim = 7 gyakorlat Mutassuk meg, hogy lim + = Általáosítsuk a 6 gyakorlat 5 feladatát a következőképpe: ha az x : N [0, + sorozat koverges és limx > 0, akkor lim x = Mit modhatuk akkor, ha limx = 0; i az x sorozat em koverges? 3 Kovergesek-e az alábbi sorozatok, ha ige, akkor mi a határértékük: ; i 3 5? 4 Legye x :=, y := + +, N, ahol x, y előbbi defiíciójába darab gyökvoás szerepel Adjuk meg rekurzív összefüggést az x, ill az y sorozat tagjai között, és eek alapjá számítsuk ki limx -et és limy -et 5 Általáosítsuk az előbbi feladatot úgy, hogy az ott szereplő mide -es helyébe ugyaazt az a R számot próbáljuk íri Milye a-k eseté kapuk koverges sorozatokat? 6 Kovergesek-e az alábbi sorozatok? Amelyik ige, aak mi a határértéke: 0 x 0, x + := x N ; i a 0, x 0 = 0, x + := x + a N? 8 gyakorlat Legye a R, x 0 R \ {0} és x := ige, akkor számítsuk ki limx -et x + x a N Koverges-e az x sorozat? Ha A tágabb értelembe vett határérték defiíciója alapjá mutassuk meg, hogy + + lim = + ; i lim = + 4

5 3 Legye P poliom és határozzuk meg limp-et 4 Tegyük fel, hogy adottak az r, s N, r > s, a 0,, a r R, b 0,, b s R, b s 0 számok és tekitsük a Px := r k=0 a kx k, Qx := s k=0 b kx k P x R poliomokat Mit modhatuk a lim Q határértékről? 5 Bizoyítsuk be, hogy ha x pozitív tagú ullasorozat, akkor lim x = + 6 Tegyük fel, hogy α := limx, β := limy R, jeleti az összeadást szorzást osztást és létezik az x y sorozat Illusztráljuk példákkal azt, hogy midebből általába em következik a limx y határérték létezése Pl α = 0, β = +, de az x y szorzatsorozatak ics határértéke, stb 9 gyakorlat Koverges-e a k ; i k sorozat? Igazoljuk, hogy az alábbi végtele sorok kovergesek, és határozzuk meg az összegüket: ; i = = + 3 ; ii = + ; iv k k + ; v = Az alábbi sorok közül melyik koverges: = 0 ; i =! ; ii = ; iv = + ; v = 00! ; v =!? 0 gyakorlat Legye q R, q < és határozzuk meg az alábbi sorösszegeket: = q ; i = q Cauchy-féle kodezációs elv A 0 a + a N feltétel mellett a a sor akkor és csak akkor koverges, ha a a is az Tehát a két sor ekvikoverges 3 Milye p R eseté koverges a p sor? 4 Az alábbi sorok közül melyik koverges: = + ; i + ; ii = =!! ; iv =! ; v ; = v = + 3 ; vi = + ; vii = ; ix = +? 5

6 gyakorlat Milye x R eseté kovergesek: iv = =0 x + x 4 ; i + x ; v 0 < α R, vi 0 < a R, =0! =0 x x ; ii = x ; α x ; v 0 < α <, =0 a x ; vii 0 < p R, = x p? α x ; =0 Határozzuk meg az alábbi hatváysorok kovergecia-sugarát és kovergecia-tartomáyát: =0!! x ; i 3 + x ; ii + =0 iv a >, x 5 =0 a =0 3 + x ; 3 Adjuk meg olya hatváysort, amelyek a kovergecia-tartomáya az I itervallum, ahol I {,,, ], [,, [, ]}, ill adott a, b R, a < b eseté I {a, b, a, b], [a, b, [a, b]} gyakorlat Mutassuk meg, hogy bármely x R, x < eseté si x x = x + x x x x5 + ; i x = = A i feladatot vessük egybe a 0 gyakorlat i feladatával x z R, x < Az alábbi f függvéyeket vagy egy alkalmas leszűkítésüket állítsuk elő 0-körüli hatváysor összegekét: fx := + x x x R \ {, } ; i fx := + x x 3 x R \ {}; ii fx := x x v fx := x + x x x R \ {, } ; iv f := cos ; { x R \, } 3 Milye x, α k, β k, γ k R eseté igazak az alábbi egyelőségek: k=0 α kx k x = k=0 β kx k x ; i x 5x + 6 = k=0 α kx k? k k=0 γ x k=0 β kx 5 k k 6

7 3 gyakorlat vizsgaayag Bizoyítsuk be, hogy k=0 k! = e ; i e k! = θ! k=0 0 < N, 0 < θ < ; iii e / Q Igazoljuk az alábbi azoosságokat: bármely x, y R eseté si x = si xcos x ; i cos x = cos x si x; ii cos x + si x = ; iv expx + y = exp xexp y ; v exp x = exp x ; v expx y = exp x exp y 7