1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

Átírás

1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k k= k k= és itt akkor és csak akkor va egyelőség, ha = = 3 Lássuk be, hogy tetszőleges, k N természetes számokra: + < + + ; i + < Mutassuk meg, hogy mide pozitív a, b, c valós számra feállak az alábbi egyelőtleségek: 8abc a + b b + c a + c 8 7 a + b + c3 gyakorlat Bizoyítsuk be, hogy mide a valós számra feáll az alábbi egyelőtleség: a 5 + a + a Korlátos-e alulról, ill felülről az A halmaz, ha { } { } A := R : 0 < < ; i A := R : N ; { ii A := } { R : R ; iv A := R : N v A := { + R : 0 < R}? Határozzuk meg a feladatba szereplő halmazok szuprémumát és ifimumát 3 Az A := { y R : 0 < <, 0 < y < } halmazt illetőe válaszoljuk meg a feladat kérdéseit } ; 3 gyakorlat Adjuk meg az f g összetett függvéyt, ha f := +, g := 3 + R; 0 < 0 0 < 0 i f :=, g := ; 0 < < + 0 < < + ii f := + R /, g := R Az f := 3 + R függvéy és a C := {0} halmaz eseté határozzuk meg f[c]-t és f [C]-t Milye A R halmazra lesz f[a] vagy f [A] számossága egy; i ulla?

2 3 Legye f = 5 + R és D :=, ] Számítsuk ki az f [D] halmazt 4 Ivertálhatóak-e az alábbi függvéyek? Ha ige, akkor mide R f mellett számítsuk ki f -et: f := + 4 ; i f := + R; ii f := ; iv f := + 8 < R 4 gyakorlat Milye α R eseté lesz az α + 0 f := α < α + < 0 ; i f := α 0 függvéy ivertálható? Mi lesz ekkor D f, R f, ill f D f? Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat mootoitás és korlátosság szempotjából: iv := := N ; i := N; ii := + N; + + N ; v := N 3 A defiíció alapjá lássuk be, hogy: lim = 0 ; i lim = 3 3 ; + ii lim + = ; iv lim + = 0 5 gyakorlat A kovergecia defiíciója alapjá számítsuk ki az alábbi határértékeket: Igazoljuk, hogy: lim ii lim ; i lim α := lim = α = lim ; i 0 N, α := lim = α 0 és α = lim

3 ii ha pozitív tagú ullasorozat, akkor lim = + 3 Az a R paramétertől függőe határozzuk meg a következő határértéket: lim + + a 6 gyakorlat Számítsuk ki az alábbi határértékeket: lim ii lim + 3 ; i lim ; ; iv lim Tegyük fel, hogy adottak az r, s N, a 0,, a r R, b 0,, b s R, b s 0 számok és tekitsük a P := r k=0 a k k, Q := s k=0 b k k R poliomokat Bizoyítsuk be, hogy P P r < s eseté lim = 0 ; i r = s eseté lim = a r Q Q b s 3 Legye R és lássuk be, hogy lim!! = 0 ; i lim = 0 4 A evezetes sorozatok határértékéről taultakat is felhaszálva határozzuk meg az alábbi limeszeket: lim ii lim ; i lim ; + ; iv lim! gyakorlat Bizoyítsuk be, hogy bármely 0 < α R eseté: lim α = ; i lim = Általáosítsuk az előbbi feladatot a következőképpe: ha az : N [0, + sorozat koverges és lim > 0, akkor lim = Mit modhatuk akkor, ha lim = 0; i az sorozat em koverges? 3 Kovergesek-e a következő sorozatok, ha ige, akkor mi a határértékük: ; i ; ii ; iv

4 4 A korábbi feladatok alapjá idokoljuk meg, hogy az e := lim + határérték létezik Ezt felhaszlva számítsuk ki a lim határértékeket + + ; i lim ; ii lim + 5 Legye : N 0, + olya sorozat, amelyre lim = + teljesül Bizoyítsuk be, hogy: lim + = e + 8 gyakorlat Számítsuk ki a következő határértékeket: lim ; i lim 5 ; i lim Legye :=, y := + +, N, ahol, y előbbi defiíciójába darab gyökvoás szerepel Adjuk meg rekurzív összefüggést az, ill az y sorozat tagjai között, és eek alapjá határozzuk meg lim -et és limy -et 3 Kovergesek-e az alábbi sorozatok? Amelyik ige, aak mi a határértéke: 0 0, + := N ; i a 0, 0 = 0, + := + a N? 9 gyakorlat Igazoljuk, hogy az alábbi végtele sorok kovergesek, és határozzuk meg az összegüket: ; i = = ; ii = + ; iv k=0 k k + ; v = Legye q R, q < és határozzuk meg az alábbi sorösszegeket: = q ; i = q 3 Az alábbi sorok közül melyik koverges: = 0 ; i =! ; ii = ; iv = + ; v = 00! ; v =!? 4

5 0 gyakorlat Cauchy-féle kodezációs elv A 0 a + a N feltétel mellett a a sor akkor és csak akkor koverges, ha a a is az Tehát a két sor ekvikoverges Milye p R eseté koverges a p sor? 3 Az alábbi sorok közül melyik koverges: = ; i = + ; ii =!! ; iv = + + ; v + ; = v = + 3 ; vi = + ; vii = + ; i = +? gyakorlat Milye R eseté kovergesek: iv = =0 4 ; i + =0 + ; v 0 < α R, ; ii = 3 ; α ; v 0 < α <, =0 α ; =0 vi 0 < a R,! =0 a ; vii 0 < p R, p = ; i =? + Határozzuk meg az alábbi hatváysorok kovergecia-sugarát és kovergecia-tartomáyát: =0!! + ; i 3 + ; ii + =0 =0 3 + ; iv a >, 5 =0 a gyakorlat Mutassuk meg, hogy bármely R, < eseté = = z R, < Az alábbi f függvéyeket vagy egy alkalmas leszűkítésüket állítsuk elő 0-körüli hatváysor összegekét: f := + R \ {, } ; i f := + 3 R \ {}; ii f := R \ {, } ; iv f := si ; 5

6 v f := + v f := + { } R \ 3 3 vii f := { R \, } ; vi f := R \ {} { R \, } 5 3 Milye, α k, β k, γ k R eseté igazak az alábbi egyelőségek: k=0 α k k = k=0 β k k ; i = k=0 α k k? k k=0 γ k=0 β k 5 k k 3 gyakorlat vizsgaayag Bizoyítsuk be, hogy k=0 k! = e ; i e k! = θ! k=0 0 < N, 0 < θ < ; iii e / Q Igazoljuk az alábbi azoosságokat: bármely, y R eseté si = si cos ; i cos = cos si ; ii cos + si = ; iv ep + y = ep ep y ; v ep = ep ; v ep y = ep ep y ; vep ı = cos + ı si 6