Analízis I. gyakorlat

Átírás

1 Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4.

2 Tartalomjegyzék Előszó Sorozatok és sorok Számsorozatok Feladatok Számsorok Feladatok Függvéysorozatok és függvéysorok Függvéysorozatok Feladatok Függvéysorok Feladatok Hatváysorok Hatváysorok kovergeciája Feladatok Taylor-sorok, Taylor-poliomok Feladatok Taylor-poliomok általi közelítés Feladatok Előszó A gyakorlati jegyzet a Szécheyi Istvá Egyetem mesterszakos mérökhallgatói számára, az Aalízis I. tárgyhoz készült. Célja, hogy kidolgozott típusfeladatoko keresztül segítse a hallgatók felkészülését az évközi és a vizsgazárthelyikre. A gyakorlati jegyzet legfrissebb példáya letölthető a oldalról, vagy a ~emetha/ oldal oktatás meüpotja alól. Észrevételeket és az elírások, hibák bejeletését a katihi@sze.hu vagy a emetha@sze.hu címre várjuk. A kidolgozásra került feladatok jeletős része Dr. Lotfi Abdelhakimtól származik, köszöet értük. Sorozatok és sorok Számsorozatok Defiíciók: Az a valós sorozat korlátos, ha található olya K R korlát, hogy a < K mide N idex eseté. Az a valós sorozat mooto övő ill. csökkeő, ha a a + ill. a a + mide N idex eseté. A sorozat szigorúa mooto, ha az állítás szigorú egyelőtleséggel is teljesül. Az a valós számsorozat koverges és határértéke a R, ha bármely ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N eseté a a < ɛ. Jelölése lim a = a. Egyébkét a sorozatot divergesek evezzük. Az a valós sorozat határértéke + ill., ha mide K R számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N eseté a > K ill. a < K. Jelölése lim a = ±. Az a valós sorozat Cauchy-sorozat, ha mide ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy a a m < ɛ mide, m > N idex eseté. Határérték tulajdoságai: Sorozat határértéke em függ az első éháy elemétől.

3 Valós számsorozat potosa akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. Mooto és korlátos sorozat midig koverges. Mooto sorozatak midig va határértéke. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b, akkor lim a + b ) = a + b. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b, akkor lim a b ) = a b. Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = a és lim b = b 0, akkor lim Ha a sorozat koverges, lim a = a és c R, akkor lim c a = c a. a b ) = a b. Ha a sorozat koverges, lim a = a és f : R R folytoos x = a-ba, akkor lim fa ) = fa). Ha a pozitív sorozat ullsorozat, azaz lim a = 0 és 0 b a mide N idexre, akkor b is ullsorozat, azaz lim b = 0 redőr-elv). Ha a és b sorozatok kovergesek, lim a = lim b = a és a c b mide N idexre, akkor a c sorozat is koverges és lim c = a redőr-elv). Ha a sorozat diverges és lim a = +, valamit a b mide N idexre, akkor b is diverges, és lim b = +. Nevezetes határértékek: + ha α > 0 lim α = ha α = 0 0 ha α < 0 lim α = + ha α > ha α = 0 ha α < diverges ha α lim α = α > 0) lim = lim! = + + ha α > α lim = 0 ha α k diverges ha α < α lim! = 0 lim! = + lim lim ) + k = e k + k r ) r = e k ameyibe r +

4 Feladatok a.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = + sorozatak? a = + ) + + ) = Mide N-re 0 < a < 0 így redőr-elv értelmébe a koverges és a 0. b.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = 4 + ) sorozatak? a = 4 + ) ) = = c.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = +3 ) sorozatak? a = + 4 ) ) = + 4 ) 8 4 e 8 d.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = ) sorozatak? a = ) Ahol ) e, ezért létezik N N küszöbidex, hogy mide > N idexre ) > e. Ekkor mide > N-re > a > e, így a redőr-elv értelmébe a koverges és a. e.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = + 3 sorozatak? a = + 3 < = = mide > idexre. Ugyaakkor a > mide N idexre így a redőr-elv értelmébe a koverges és a. f.) Koverges-e és ha ige, mi a határértéke az a = 3+ + ) 9 sorozatak? a = 9 + ) 9 9 = 9 9 Számsorok Defiíciók: Legye a egy valós számsorozat. Az a + a + + a + = a végtele összeget végtele számsorak, az a, a,... számokat pedig a sor tagjaiak evezzük. Az s k = k a kifejezés a sor k-adik részletösszege. 3

5 Az a tagokból álló sorozatot kovergesek evezzük, ha az s k = k a részletösszegek által alkotott sorozat koverges, külöbe a sort divergesek modjuk. A lim k s k = s határértéket a sor összegéek evezzük. Az a tagokból álló sorozatot összege ±, ha az s k = határértéke lim k s k = ±. Sorösszeg tulajdoságai: Sor kovergeciája em függ az első éháy tagjától. k a részletösszegek által alkotott sorozat Ha az a sor koverges, akkor a a sor is koverges. Legye a egy koverges valós számsor és legye a = A, legye továbbá c R. Ekkor a ca sor is koverges és ca = ca Legyeek a és b koverges valós számsorok, továbbá jelölje sorösszegüket b = B. Ekkor a a + b ) sor is koverges és a + b ) = A + B Kovergeciakritériumok: a = A és Cauchy-féle kovergeciakritérium. A a végtele sor potosa akkor koverges, ha mide ɛ > 0 valós számhoz található olya N N küszöbidex, hogy mide > N és m > 0 egész eseté +m a k < ɛ. k= Kovergecia szükséges feltétele. Ha a a végtele sor koverges, akkor az a sorozat koverges és lim a = 0. Összehasolító kritériumok. Legyeek a és b emegatív tagú sorok és N N küszöbidex olya, hogy a b mide > N idexre. Ekkor ha a a sor diverges, akkor a b 0 sor is diverges miorás-kritérium) ha a b sor koverges, akkor a a 0 sor is koverges majorás-kritérium). Leibiz-kritérium. Legye a 0 mide N idexre, legye a mooto csökkeő és legye lim a = 0. Ekkor a ) a alteráló sor koverges. Gyökkritérium. Tegyük fel, hogy lim a = ρ. Ekkor ha ρ < ρ > ρ = akkor a a sor koverges akkor a a sor diverges akkor a kritérium em alkalmazható. 4

6 Háyadoskritérium. Tegyük fel, hogy lim a+ a ρ < = ρ. Ekkor ha ρ > ρ = akkor a a sor koverges akkor a a sor diverges akkor a kritérium em alkalmazható. Itegrálkritérium. Legye a > 0 és legye f : [, ) R + mooto csökkeő folytoos függvéy, melyre f) = a mide N-re. Ekkor a a sor potosa akkor koverges, ha az fx) dx improprius itegrál koverges és véges. Nevezetes sorok: Mértai sor Expoeciális sor Hiperharmoikus sor q k q q ha q < = ha q diverges ha q =k = q! = eq { α = koverges ha α > diverges ha α Feladatok a.) Koverges-e a! végtele sor? Diverges, mert a! sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. b.) Koverges-e a = Diverges, mert a + l c.) Koverges-e a + l végtele sor? sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. + végtele sor? Alkalmazzuk a majorás kritériumot sor is koverges. d.) Koverges-e a végtele sor? mide N-re, és a Alkalmazzuk a majorás kritériumot = 6 mide idexre, és a ezért a sor is koverges. sor koverges, ezért a sor koverges, 6 5

7 e.) Koverges-e a +8 végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot. +8 = 0 mide 8 idexre, és a ezért a +8 f.) Koverges-e a sor is diverges végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot ezért a g.) Koverges-e a sor is diverges. cos végtele sor? = 3 = 0 mide 3 idexre, és a 3 = sor diverges, sor diverges, Diverges, mert a cos sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. h.) Koverges-e a = cos végtele sor? Alkalmazzuk a majorás kritériumot az koverges, így a = i.) Koverges-e a cos cos = sor is koverges. + végtele sor? sorra. 0 cos Alkalmazzuk a miorás kritériumot. + mide -re, az + sor is diverges. j.) Koverges-e a Diverges, mert lim em teljesül. k.) Koverges-e a mide -re és a = végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = sor sor diverges, ezért a = lim 6) ) = +, a sor kovergeciájáak szükséges feltétele végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Koverges, mert két koverges mértai sor összege ) = 3 4 l.) Koverges-e a = +) Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel +) = s k = 9 ) = 35 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? k = = ) +), ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat + ) = + 4 k + ) k + )

8 m.) Koverges-e a 0.) végtele sor, ha ige, mi a sor összege? A mértai sor koverges, mert 0. <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 0.) = 0.) = 0..) Koverges-e a ) e végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = A mértai sor koverges, mert <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: e ) e = e ) e ) = e e +. = o.) Koverges-e a ) si π 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? A mértai sor koverges, mert si π <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 3 si π ) = 3 si π 3 = 3. p.) Koverges-e a ) cos π 3 végtele sor, ha ige, mi a sor összege? = A mértai sor koverges, mert cos π 3 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: cos π ) cos π = 3 3 cos π =. 3 = q.) Koverges-e a + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? 3 A mértai sor koverges, mert 3 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: + 3 = ) 6 = 6 3 = 8. 3 = r.) Koverges-e a 3 ) + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? 5 = A sor két koverges mértai sor összege, mert 5, 5 <. Alkalmazzuk a mértai sor összegképletét: 3 ) + 5 = 3 ) 4 + = 5) 3 ) ) + 5) 5 ) 4 = s.) Koverges-e a = = = l ) + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel l ) + = l+) l, ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat ) + s k = l = lk + ), vagyis a sor diverges. = 7

9 t.) Koverges-e a végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel + + = + sorozat k + + k s k = + = vagyis a sor koverges és összege u.) Koverges-e a = Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel által alkotott sorozat + = =. + +, ezért a sor részösszegei által alkotott k + k+, +) ++ ) végtele sor, ha ige, mi a sor összege? s k = k = vagyis a sor koverges és összege. v.) Koverges-e a = +)+) = + = +) ++ ) +) +, ezért a sor részösszegei =, + ) + + ) k + végtele sor, ha ige, mi a sor összege? Fejezzük ki a sor részösszegeit. Mivel +)+) = + + +, ezért a sor részösszegei által alkotott sorozat k s k = + ) + ) = k + + ) k + 4, = vagyis a sor koverges és összege 4. w.) Koverges-e a = + végtele sor? Alkalmazzuk a miorás kritériumot. + 0 mide -re, az + sor is diverges. x.) Koverges-e a = Diverges, mert a 3 3 y.) Koverges-e a 3 3 végtele sor? = sor diverges, ezért a sorozat em ullsorozat, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim a+ a = lim 3 + +)! 3! Másképpe, a sor koverges, mert expoeciális sor, összege z.) Koverges-e a 3 4) végtele sor? Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim = lim 3! = e = 0 <, így a sor koverges. 3 4 = 3 4 <, így a sor koverges. 8

10 aa.) Koverges-e a ) l végtele sor? A sor alteráló sor, alkalmazzuk a Leibiz-kritériumot. lim a = lim l = 0, így a sor koverges. ab.) Koverges-e a ) 3 végtele sor? A sor alteráló sor, alkalmazzuk a Leibiz-kritériumot. lim a = lim = 0, így a sor koverges. 3 ac.) Koverges-e a!) végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim +) + = 0 <, így a sor koverges. ad.) Koverges-e a + a+ a végtele sor? = lim +)!) +)!) = lim Diverges, mert a sor tagjai em alkotak ullsorozatot, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. ae.) Koverges-e a +)+)! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim +3 +) = 0 <, így a sor kover- ges. af.) Koverges-e a = 5 +3 a+ a végtele sor? Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim ag.) Koverges-e a = 3 l 3) végtele sor? = lim Alkalmazzuk a gyökkritériumot. lim a = lim ah.) Koverges-e a 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim ai.) Koverges-e a! a+ a végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim, így a sor koverges. aj.) Koverges-e a = cos a+ a végtele sor? = lim +)+3) +)! +)+)! = lim = 0 <, így a sor koverges. ) 3 l 3 = l 3 <, így a sor koverges. = lim +) 3 +)! 3! +)! +) +! = lim +) 3 = lim = 0 <, így a sor koverges. +) = lim Alkalmazzuk a miorás kritériumot. cos 0 mide -re, a sor is diverges. cos 9 = +) + = e < + sor diverges, ezért a

11 ak.) Koverges-e a Diverges, mert e + e + ) végtele sor? ) = e +) + +, vagyis a sor tagjai em alkotak ullsorozatot, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. al.) Koverges-e a 3! végtele sor? Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. lim + ) = e 3 <, így a sor koverges. am.) Koverges-e a!) )! Alkalmazzuk a háyadoskritériumot. koverges. a+ a végtele sor? lim a+ = lim a = lim +) )! 3! +)!) +)!!) )! = lim = lim 3 +) +)+) = 4 <, így a sor Függvéysorozatok és függvéysorok Függvéysorozatok Legye f 0, f, f,..., f,... : R R függvéysorozat. A függvéysorozat kovergeciahalmaza az a legbővebb H R halmaz, amelye mide függvéy értelmezett H D f mide N idexre), és mide x H-ra az f x) számsorozat koverges. A függvéysorozat határértéke az az f : H R függvéy, melyre fx) = lim f x) mide x H-ra. A kovergeciahalmaz és a limesz megállapítása a külöböző x R értékekhez tartozó f x) számsorozatok vizsgálatával törtéik. Feladatok a.) Határozzuk meg az f : x R + 0 3x + x) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! { ha x > 0 lim 3x = 0 ha x = 0 lim x) = + ha x > ha x = 0 ha x < A kovergeciahalmaz a [0, ] itervalum. A limeszfüggvéy: ha x = fx) = ha 0 < x < 0 ha x = 0. b.) Határozzuk meg az f : x e x 3) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < e x 3) x 3. A kovergeciahalmaz a, 3 ] itervalum. A limeszfüggvéy: { ha x = 3 fx) = 0 ha x < 3. 0

12 c.) d.) Határozzuk meg az f : x x ) ) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < x ) 0 x, x. A kovergeciahalmaz a [0, ] \ {}. A limeszfüggvéy: { ha x = 0 vagy x = fx) = 0 ha 0 < x < és x. Határozzuk meg az f : x ) x 3 4 függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < x 3 4 < x 7. A kovergeciahalmaz a, 7] itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = 7 fx) = 0 ha < x < 7. e.) Határozzuk meg az f : x R + 0 +x f.) Az f x) sorozat mide x R + -ra ullsorozat. A kovergeciahalmaz a [0, ) itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = 0 fx) = 0 ha 0 < x. függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Határozzuk meg az f : x π, π ) tg x függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x π, π )-re egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < tg x π 4 < x π 4. A kovergeciahalmaz a π 4, π 4 ] itervallum. A limeszfüggvéy: { ha x = π fx) = 4 0 ha π 4 < x < π. 4 g.) Határozzuk meg az f : x R \ {0} 3 x) függvéysorozat kovergeciahalmazát és limeszét! Az f x) sorozat mide x R \ {0}-ra egy mértai sorozat. A kovergecia feltétele: < 3 x 3 x vagy x < 3. A kovergeciahalmaz a, 3) [3, ) halmaz. A limeszfüggvéy: { ha x = 3 fx) = 0 ha 3 < x. Függvéysorok A f függvéysor kovergeciahalmaza a k f részletösszegek alkotta függvéysorozat kovergeciahalmaza, és a sor összegfüggvéye a részletösszegek alkotta sorozat limesze. A kovergeciahalmaz és az összegfüggvéy meghatározásakor a f x) számsorozatra alkalmazhatjuk a sorok kovergeciakritériumait.

13 Feladatok a.) Határozzuk meg a ) 3x + x) függvéysor x 0) kovergeciahalmazát és összegét! Ha x > 0, akkor a 3x + x) sorozat em ullsorozat, így a sor kovergeciájáak szükséges feltétele em teljesül. Ha x = 0, akkor a sort kapjuk, ami koverges. A kovergeciahalmaz a {0} halmaz. Az összegfüggvéy az f0) = 0 függvéy. b.) Határozzuk meg a e x 3) függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! A e x 3) sor mide x R-re egy mértai sor. A sor kovergeciájáak feltétele: < e x 3 < x < 3. A kovergeciahalmaz a, 3 ) itervalum. Az összegfüggvéy: fx) = e x 3. c.) Határozzuk meg az x ) ) függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! A x ) ) sor mide x R-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < x ) < 0 < x <, x. A kovergeciahalmaz a 0, ) \ {}. Az összegfüggvéy: d.) Határozzuk meg az A fx) = x ) ) = 4x x. x 3 ) 4 függvéysor kovergeciahalmazát és összegét! x 3 ) 4 sor mide x R-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < x 3 4 < < x < 7. A kovergeciahalmaz a, 7) itervallum. Az összegfüggvéy: e.) Határozzuk meg az fx) = ) x 3 = 4 7 x. 4 +x függvéysor x R+ 0 ) kovergeciahalmazát és összegét! Az x = 0 potba a sor diverges, mert a tagjai által alkotott sorozat em ullsorozat, így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. x R + eseté alkalmazzuk a miorás kritériumot. +x x 0 mide x R + -re és x-re, és az x sor diverges mide x R+ -re, így a +x függvéysor is diverges mide x R + -re. = A sor tehát diverges, a kovergeciahalmaz az. f.) Határozzuk meg az tg x függvéysor x π, π )) kovergeciahalmazát és összegét!

14 A tg x sor mide x π, π )-re egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < tg x π 4 < x < π 4. A kovergeciahalmaz a π 4, π 4 ) itervallum. Az összegfüggvéy: g.) Határozzuk meg az A 3. fx) = tg x = cos x cos x si x. 3 ) x függvéysor x R \ {0}) kovergeciahalmazát és összegét! 3 ) x sor mide x R\{0}-ra egy mértai sor. A kovergecia feltétele: < 3 x < 3 < x vagy x < A kovergeciahalmaz a, 3) 3, ) halmaz. Az összegfüggvéy: fx) = 3 x = x x 3. Hatváysorok Legye a valós sorozat, legye továbbá a R. A a x a) függvéysor eve a közepű hatváysor, az a számok a hatváysor együtthatói. Nevezetes hatváysorok: Expoeciális függvéy 0 közepű hatváysora: A sziusz függvéy 0 közepű hatváysora: si x = A kosziusz függvéy 0 közepű hatváysora: e x = cos x =! x ) )! x ) )! x. Mértai sor: x = x + x = ) x Midhárom hatváysor koverges a valós számok halmazá. 3

15 Hatváysorok kovergeciája Mide hatváysorhoz található egy r [0, ) valós, a hatváysor kovergeciasugara. A hatváysor koverges az {x : x a < r} halmazo és diverges diverges az {x : x a > r} halmazo. Az x = a r és x = a + r potokba külö meg kell vizsgáli a kovergeciát. Tegyük fel, hogy az a sorozatak va határértéke. Ekkor a kovergeciasugár az r = lim a = lim a képlettel Cauchy Hadamard-formula) számítható, ami a gyökkritérium következméye. A képletet a 0-tól külöböző együtthatókra kell alkalmazi, ha az a együtthatók között végtele sok 0 található. Hasolóa ha az sorozatak va határértéke, akkor a kovergeciasugár az a+ a r = lim a+ a = lim alteratív képlettel számítható, ami a háyadoskritérium következméye. Midkét képletet az 0 =, = 0 módo értelmezzük. Feladatok a.) Határozzuk meg a = Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x Az x = a r = potba a a a + hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! = a = lim =. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor diverges. A kovergeciahalmaz a [, ) itervallum. b.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara 3 x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = lim ) 3 =. Az x = a r = potba és az x = a + r = potba a 3 sor diverges, mert tagjai em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. c.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim =. Az x = a r = potba a ) sor, valamit az x = a + r = potba a sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. = 4

16 d.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x! hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a függvéysorokra voatkozó hatváykritériumot alkalmazva: lim +) +)! x = lim x! + = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, x! = e y y=x = e x ) amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. e.) Határozzuk meg a x )! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim )! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim +) +)! x = lim x )! +)+) = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. f.) Határozzuk meg a = x 5 Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 5 potba a hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! = a = lim 5 = 5. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = 5 potba a hiperharmoikus sor diverges. A kovergeciahalmaz a [ 5, 5) itervallum. g.) Határozzuk meg a = x ) Az a = közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 0 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim ) =. ) Leibiz-sor koverges. Az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor koverges. A kovergeciahalmaz a [0, ] itervallum. = = 5

17 h.) Határozzuk meg a 3 x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara a = lim 3 = 3. Az x = a r = 3 potba a ) sor, valamit az x = a + r = 3 potba a sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a 3, 3 ) itervallum. i.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara ) x 3 hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = 3. Az x = a r = 3 potba a sor, valamit az x = a + r = 3 potba a ) sor divergesek, mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a 3, 3) itervallum. j.) Határozzuk meg a x 3 3)! Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! 3 a 3 = lim 3 3)! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim 3+) 3+3)! x 3 = lim x 3 3)! 3+3)3+)3+) = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. k.) Határozzuk meg a Az a = 3 közepű hatváysor kovergeciasugara x 3)! hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim! =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x 3) Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim + +)! x 3) = lim x 3! + = 0 < mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, x 3) = e y! y=x 3 = e x 3 amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. 6

18 l.) Határozzuk meg a = ) + x 6) 3 Az a = 6 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = 3 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 3 = 3. Leibiz-sor koverges. A kovergeciahalmaz a 3, 9] itervallum. m.) Határozzuk meg a = x + Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = potba a hiperharmoikus sor diverges. Az x = a + r = 9 potba a = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! + a + = lim + = lim ) + =. = ) + hiperharmoikus sor, valamit az x = a + r = potba a hiperharmoikus sor divergesek. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum..) Határozzuk meg a ) x ) )! Az a = közepű hatváysor kovergeciasugara = hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim )! = lim )!) =. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. x ) Másképpe, a hatváykritériumot alkalmazva: lim + +)! x ) = lim x ) +)+) = 0 < mide x R-re, )! így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergecisugár pedig végtele. Másképpe, ) x ) = cos y )! y=x = cosx ) amely koverges mide x R-re, így a kovergeciahalmaz a valós számok halmaza, a kovergeciasugár pedig végtele. o.) Határozzuk meg a Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara x hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim =. Az x = a r = potba és az x = a + r = potba a sor diverges. A kovergeciahalmaz a, ) itervallum. p.) Határozzuk meg a = x) hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! 7

19 Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara a = lim =. Az x = a r = potba a = Leibiz-sor koverges. A kovergeciahalmaz a, ] itervallum. q.) Határozzuk meg a Az a = 3 közepű hatváysor kovergeciasugara hiperharmoikus sor diverges. Az x = a + r = potba a x 3 ) 4 hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim 4 = 4. Az x = a r = potba a ) sor, valamit az x = a + r = 7 potba a sorok divergesek, = mert tagjaik em tartaak 0-hoz. A kovergeciahalmaz a, 7) itervallum. Másképpe, a mértai sor koverges akkor, ha x 3 4 < x, 7), így a kovergeciahalmaz a, 7) itervallum, a kovergeciasugár pedig 4. A sor összege r.) Határozzuk meg a ) x 3 = 4 y x) +)+3) Az a = 0 közepű hatváysor kovergeciasugara Az x = a r = potba a kovergesek, mert +)+3) < [, ] itervallum. y= x 3 4 = 4 7 x. = = ) hatváysor kovergeciasugarát és kovergeciahalmazát! a = lim + ) + 3) =. +)+3) sor, valamit az x = a+r = potba a és a ) +)+3) sorok hiperharmoikus sor koverges. A kovergeciahalmaz a Taylor-sorok, Taylor-poliomok Legye f : R R sima függvéy a c R pot egy köryezetébe. Ekkor a f ) a) x a)! hatváysort az f függvéy a körüli Taylor-soráak evezzük. A 0 körüli Taylor-sor eve MacLauri-sor. Függvéyt a gyakorlatba potosabba a gyakorlato :-) ) előforduló példákba a kovergeciahalmazo előállítja a Taylor-sora. Ha a Taylor-sorak csak az első pár elemét tartjuk meg, akkor az f függvéy T x) = -edredű a körüli Taylor-poliomját kapjuk. k=0 f k) a) x a) k k! 8

20 Feladatok a.) Számítsuk ki az fx) = si x cos x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x f0) = 0 f x) = cos x f 0) = f x) = 4 si x f 0) = 0 f x) = 8 cos x f 0) = 8 f x) = 6 si x f 0) = 0 T 4 x) = x 4 3 x3 b.) c.) Számítsuk ki az fx) = si x cos x függvéy 0 körüli harmadredű Taylor-poliomját! fx) = si 4x f0) = 0 f x) = 4 cos 4x f 0) = 4 f x) = 6 si 4x f 0) = 0 f x) = 64 cos 4x T 4 x) = 4x 3 3 x3 f 0) = 64 Számítsuk ki az fx) = e cos x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e cos x f0) = e f x) = si x e cos x f 0) = 0 f x) = cos x + si x) e cos x f 0) = e f x) = si x + 3 si x cos x si 3 x) e cos x f 0) = 0 f x) = si 4 x + cos x + 3 cos x 4 si x 6 si x cos x) e cos x f 0) = 4e T 4 x) = e e x + e 6 x4 d.) Számítsuk ki az fx) = e si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e si x f0) = f x) = cos x e si x f 0) = f x) = si x + cos x) e si x f 0) = f x) = cos x 3 si x cos x + cos 3 x) e si x f 0) = 0 f x) = cos 4 x + si x + 3 si x 4 cos x 6 si x cos x) e si x f 0) = 3 T 4 x) = + x + x 8 x4 e.) Számítsuk ki az fx) = l + x ) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! f x) = x + x = x y = x ) x = ) x + y= x l + x ) = fx) = f ) ) x) dx = C + + x+ = x = T 4 x) = x x4 9

21 f.) Számítsuk ki az fx) = e x) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = e x) = e y y=x =! x T 4 x) = + x + x4 g.) Számítsuk ki az fx) = si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x = si y y=x = ) + )! x)+ = 4) + )! x+ T 4 x) = x 4 3 x3 h.) Számítsuk ki az fx) = si x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = si x = si y y=x = T 4 x) = x ) + )! x4+ i.) Számítsuk ki az fx) = x l + x) függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! l + x)) = + x = y l + x) = x l + x) = + x dx = C + + x dx = = ) x y= x ) + x+ = ) + x+ ) + x+ T 4 x) = x x3 + 3 x4 j.) Számítsuk ki az fx) = xe x függvéy 0 körüli egyedredű Taylor-poliomját! fx) = x e y ) y= x = x x ) =!! x + T 4 x) = x x + x3 6 x4 0

22 Taylor-poliomok általi közelítés Legye a R rögzített, x R olya, hogy az f : R R függvéy + )-szer differeciálható az [a, x] itervallumo. Mide ilye x R-hez található olya ξ [a, x], hogy fx) = f ) a) x a) + f +) ξ)! + )! x a)+ = T,ax) f + f +) ξ) x a)+ + )! k=0 Taylor-formula Lagrage-maradéktaggal). Az fx) T f,ax) közelítés hibájára az alábbi becslés adható: fx) T,ax) f max ξ [a,x] f +) ξ) x a +. + )! Feladatok a.) Számítsuk ki az e 0. közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! e x =! x T 4 x) = + x + x + 6 x3 + 4 x4 T 4 0.) = e 0. = e x T 4 x) max ξ [0,x] e ξ x 5 = 5! e 0. T 4 0.) e0. 5! 0.5 < { e x 5! x 5 ha x 0 5! x 5 külöbe b.) Számítsuk ki a cos 0. közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! cos x = ) )! x T 4 x) = x + 4 x4 T 4 0.) = cos 0. = cos x T 4 x) max ξ [0,x] siξ) x 5 = 5! cos 0. T 4 0.) si < ! { si x 5! x 5 ha x [ π, π ] 5! x 5 külöbe A Taylor-sorba em jeleik meg x 5 -es tag, ezért jobb becslés is adható a hibára: cos x T 5 x) max ξ [0,x] cosξ) x 6 = 6! 6! x 6 cos 0. T 5 0.) 6! 0.6 <.4 0 9

23 c.) Számítsuk ki a si 5 közelítő értékét a függvéy 4-edredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! si x = ) + )! x+ T 4 x) = x 6 x3 π ) T 4 = π si = ) si x T 4 x) max ξ [0,x] cosξ) x 5 = 5! 5! x 5 π π ) π ) 5 si T 4 < ) 36 5! 36 d.) Számítsuk ki a tg 5 közelítő értékét a függvéy másodredű MacLauri-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! tg x) = cos x) tg x) = six) cos 3 x) tg x) = cos x) + 6 si x) cos 4 x) tg0) = 0 tg 0) = tg 0) = 0 T x) = x π ) T = π tg = ) 6 4 cos max ξ) ξ [0,x] cos tgx) T x) 4 ξ) x 3 = 3 cos x) 3! 3 cos 4 x 3 ha x < π x) ) π π ) 3 cos tg T 36) ) π 36 π ) cos ) 4 π < e.) Számítsuk ki az l 0.9 közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát!

24 l x) x=0 = 0 l x)) = x) l x)) x=0 = l x)) =! x) l x)) x=0 =! l x)) =! x) 3 l x)) x=0 =! l x)) = 3! x) 4 l x)) x=0 = 3! l x)) = 4! x) 5 T 4 x) = x x 3 x3 4 x4 T 4 0.) = l0.9) = ! max ξ [0,x] 5 ξ) l x) T 4 x) 5 x 5 x = 5 x) ha x 0 5! 5 x 5 külöbe l0.9) T 4 0.) < f.) Számítsuk ki az l.0 közelítő értékét a függvéy 3-adredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! l + x) x=0 = 0 l + x)) = l + x)) + x) x=0 = l + x)) =! + x) l + x)) x=0 =! l + x)) =! + x) 3 l + x)) x=0 =! l + x)) = 3! + x) 4 T 3 x) = x x + 3 x3 T 3 0.0) = l.0) = ! max ξ [0,x] +ξ) l + x) T 3 x) 4 x 4 4 = x4 ha x 0 4 4! x 4 +x) külöbe l.0) T 3 0.0) = g.) Számítsuk ki a.0 közelítő értékét a függvéy 3-adredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! 3

25 + x x=0 = + x) = + x) + x) x=0 = + x) = 4 + x) 3 + x) x=0 = 4 + x) = x) 5 + x) x=0 = x) = x) 7 T 3 x) = + x 8 x + 6 x3 T 3 0.0) = = max ξ [0,x] 6 + ξ) 7 + x T 3 x) x 4 = 4!.0 T 3 0.0) < { 5 8 x4 ha x x4 + x) 7 külöbe h.) Számítsuk ki a 0.9 közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! x x=0 = x) = x) x) x=0 = x) = 4 x) 3 x) x=0 = 4 x) = 3 8 x) 5 x) x=0 = 3 8 x) = 5 6 x) 7 x) x=0 = 5 6 x) = 05 3 x) 9 T 4 x) = x 8 x 6 x3 5 8 x4 T 4 0.) = = max ξ [0,x] 3 ξ) 9 x T 4 x) x 5 = 5! 0.9 T 4 0.) < { 7 56 x5 x) 9 ha x x 5 külöbe i.) 0.9 Számítsuk ki a közelítő értékét a függvéy 4-edredű Taylor-poliomja segítségével, és becsüljük meg a hibát! 4

26 ) x) = x) x) x) x) x) 3 ) 3 = 4 x) 5 ) 5 = 8 x) 7 ) 05 = 6 x) 9 ) 945 = x) 3 x) = x=0 ) x) = x=0 ) x) = 3 x=0 4 ) x) x) ) x=0 = 5 8 x=0 = 05 6 T 4 x) = + x x x x4 T 4 0.) = = max ξ [0,x] T 4 x) x ξ) x 5 = 5! T 4 0.) < { x5 x) ha x x 5 külöbe 5