( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

Átírás

1 Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes közép közötti egyelőtleség.. A kéttagú szmk felhaszálásával köye igazolható midkettő. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe ha a=b=c.. Alkalmazzuk a kéttagú szmk-t az egyes tagokra alábbi módo! y z ( y)( z) y z Ezt midhárom tagra felírva, majd a kapott egyelőtleségeket összeadva köye jö az állítás. Egyelőség potosa akkor áll fe, ha =y=z.. Alkalmazzuk a kéttagú szmk-t az egyes tagokra alábbi módo! ( a b)( c d) ab cd abcd Egyelőség akkor és csak akkor áll fe ha a=b=c=d.. A háromtagú égyzetes-harmoikus közép egyelőtlesége alapjá köye jö. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe ha a=b=c. 5. Alkalmazzuk a tíztagú szmk-t. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe ha a=b=c=d=. 6. Ez a feladat állatorvosi ló, több megoldást is aduk rá.. megoldás Adjuk hozzá az egyelőtleség midkét oldalához -at, majd hozzuk az alábbi alakra! y z y z z y y z y z z y y z y z y z y z z y 9 ( y) ( y z) ( z ) 9 y z z y Eze utóbbi egyelőtleség pedig köye bizoyítható a háromtagú szhk alapjá. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha =y=z. /8

2 . megoldás: y z y z Legye +y+z=d! Ekkor. Legye a, b, c, így a+b+c=. d d d d d d Ez alapjá y z y z d d d. y z z y y z z y b c c a b a d d d d d d Tehát már az elejé feltehetjük az általáosság megszorítása élkül, hogy +y+z=. Ezt evezik ormalizálásak. Alkalmazzuk az, y, z súlyokkal súlyozott szhk-t, majd ( y z) haszáljuk fel azt a közismert téyt, hogy y yz z. y z y z z y ( y z) y( z ) z( y ) y yz z y z. megoldás: a c b b a c b c a Legye a=+y, b=y+z, c=z+, ekkor, y, z. Így a bizoyítadó egyelőtleség y z a c b b c a y z z y b c a a c a b b c alakot ölti, ami ekvivales az 6 egyelőtleséggel, ami egy b c a pozitív szám és reciprokáak összegére voatkozó becslés alapjá köye igazolható. Ezt a helyettesítést a továbbiakba háromszög-helyettesítések evezzük, mert ilye jellegű kifejezések jeleek meg ha a beírt kör éritési potjai és a csúcsok közötti szakaszokat kifejezzük a háromszög oldalaival.. megoldás: Haszáljuk a. megoldásba szereplő ormalizálást! Ez alapjá a baloldal átírható y z y z y z z y y z alakba. Az : 0; ; f /8

3 függvéy szigorúa kove az értelmezési tartomáyá, így alkalmazhatjuk a Jese- egyelőtleséget. y z f ( ) f ( y) f ( z) f f. 7. Midhárom esetbe alkalmazzuk a háromszög helyettesítést, azaz legye =s-a, y=s-b, z=s-c! Ezutá az a) a kéttagú szk-val, a b) a háromtagú szhk-val, a c) pedig a háromtagú szk-val megoldható. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha a=b=c. 8. a) Osszuk végig az egyelőtleséget a+b+c-vel, ekkor az eredetivel ekvivales egyelőtleséghez jutuk. Ekkor a baloldalo az,, kifejezések a, b, c b c c a b a súlyokkal súlyozott számtai közepe jeleik meg. Ezutá alkalmazzuk a súlyozott szhk-t! b) Emeljük midkét oldalt -edikre, majd szorozzuk be kettővel és az így kapott, eredetivel ekvivales egyelőtleségél alkalmazzuk a jobboldalra a súlyozott szmk-t és haszáljuk fel, hogy ( ) ab bc ca! c) Alkalmazzuk a súlyozott szmk-t ab, bc, ca súlyokkal, és haszáljuk fel, hogy ab bc ca, valamit az epoeciális függvéy -él agyobb alap eseté szigorúa mooto övekvő! 9. a) Nézzük külö-külö a baloldali tagokat, alkalmazzuk a háromtagú szmk-t! a b a b b c b c c a c a a b b c c a A három egyelőtleséget összeadva megkapjuk a bizoyítadó állítást. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe ha a=b=c. b) Hasoló az előzőhöz. c) Beszorzás és redezés utá visszavezethető az a) és b) részre. 0. Az előző feladat c) része alapjá köye megoldható.. Alkalmazzuk a kéttagú szmk-t a jobboldalra, majd a 9. feladat a) és b) részét!. a) A 9. feladatba látott módszert alkalmazhatjuk. /8

4 a bc b c a c ab c a b b c a c a b A három egyelőtleséget összeadva megkapjuk a bizoyítadó állítást. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe ha a=b=c. b), c) Az a) részhez hasolóa bizoyítható.. a) Az előző feladatba látott godolatmeetet általáosítjuk. A súlyozott szmk-t alkalmazzuk és meghatározzuk a súlyokat. Első egyelőtleség. Legyeek a súlyok a, b, c pozitív valós számok, melyek összege és botsuk három részre az egyelőtleséget! a c b a c b a y b y z c z y z yz Az egyelőség alapjá felírhatjuk az alábbi egyeletredszert. a c b a c b Eek megoldásai 9 a, b, c. Így y y z z yz y y z z yz y y z z y z. A kapott egyelőtleségeket összeadva megkapjuk a bizoyítadó egyelőtleséget. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha =y=z. A többi egyelőtleség hasolóa bizoyítható. A b) feladat az a)-hoz hasolóa oldható meg. /8

5 . Beszorzás utá alkalmazzuk az előző feladatokba látott módszert! a b c. 5. Mivel abc=, ezért abc. Így azt kell beláti, hogy Ezt pedig az előző feladatokhoz hasolóa bizoyíthatjuk, ugyais A többi tagra hasoló összefüggéseket felírva és azokat összeadva megkapjuk a bizoyítadó állítást. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha a=b=c. 6. a) Mivel a baloldal értéke függetle a változók előjelétől, jobboldalé pedig em csökke ha a számokat pozitívra változtatjuk, így elég azt az esetet megézi, mikor a számok pozitívak. A háromtagú szk miatt, másrészt, ezért. b) Visszavezethető teljes égyzetek összegére. c) Az a) részhez hasolóa oldható meg csak egyedredű hatváyközép és számtai közép közötti egyelőtleség felhaszálásával. 7. Tudjuk, hogy ekvivales azzal, hogy ( ab bc ca) ( ). Így az egyelőtleség Alkalmazzuk a háromtagú szmk-t! ( ) ( ) 9. ( ) a a b b c c 9 Egyelőség akkor és csak akkor áll fe ha a=b=c=. 8. Az szk alapjá a a b b c c a ( a) b ( b) c ( c) a a b b b b 5/8

6 9. Mivel a, b, c ]0;[, ezért abc abc és a b c a b c. A háromtagú szmk alapjá abc abc a b c a b c a b c, ezeket összeadva kapjuk az bizoyítadó egyelőtleséget. 0. A szhk alapjá a c b a c b c c. Alkalmazzuk ezt a baloldal három tagjára! ab bc ca ab bc ac b c a c a b a c b c a b a c a b b c Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha a=b=c.. Beszorzás és redezés utá a ekvivales az eredetivel. y z y z y z yz egyelőtleséget kapjuk., ami Szorozzuk midkét oldalt -mal, majd alkalmazzuk a szmk-t az alábbi módo! y z y y z z y z y z y z z y yz yz yz. -tagú közepek közötti egyelőtleség. Az -tagú szmk mellett alkalmazzuk az első db pozitív egész szám, égyzetszám, köbszám összegére voatkozó képletet!. Nézzük csak az első egyelőtleséget, a második ahhoz hasolóa bizoyítható be. Adjuk hozzá midkét oldalhoz -et, majd osszuk el az így kapott egyelőtleséget -el. Ekkor az eredetivel ekvivales egyelőtleséghez jutuk.... Ezt a jobboldal átalakításával, majd a szmk felhaszálásával igazolhatjuk. 6/8

7 Írjuk az egyelőtleséget az eredetivel ekvivales alakba! Gyökteleítsük a baloldalt és alkalmazzuk az -tagú szk-t A., 5., 6., 7., 8. feladat megoldása megtalálható Pitér Lajos Aalízis I. című köyvébe. 9. Azt kell beláti, hogy c egyelőtleség az eredetivel ekvivales c, ha >. Ha beírjuk a megfelelő tagokat, akkor az Alkalmazzuk -tagú szmk-t az alábbi módo!.... Eze utóbbi kifejezésről kell beláti, hogy kisebb, mit. 7/8

8 0 Szélsőérték feladatok közepekkel. Nézzük pl. a b) feladatot, a többi hasolóa oldható meg. b) g : \ 0, g( ) módo! 6 Alkalmazzuk a háromtagú szmk-t az alábbi 6 g( ) Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha 6.. Nézzük meg pl. a b) feladatot! b) g : 0;, g( ) Alkalmazzuk a égytagú szmk-t az alábbi módo! g( ) ( ) 7 6 Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha +=-, azaz =0,5. A.,., 5., 6., 7., 8. feladatba a szöveg alapjá meg kell adi a vizsgált függvéyeket és az előző két feladatba látott módszer valamelyikét alkalmazhatjuk! 8/8