XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

Átírás

1 I. forduló 9. osztály. feladat: Mikor áll fe az egyelőség? a) Igazold, hogy + b) Igazold, hogy. feladat: Az..., bármely > 0 és eseté! +, bármely * eseté! sorozatot a következőképpe értelmezzük: és, bármely természtes szám eseté. Igazold, hogy: a) b) k, bármely természetes szám eseté; k k k, bármely természetes szám eseté! k k k 3. feladat: Az ABC háromszög oldalai felvesszük a következő potokat: A, A BC ; B, B AC, C C AB úgy, hogy, AC, AB BC, AC C B BA. Legye G az ABC háromszög súlypotja. Mutasd ki, hogy az ABC háromszög síkjáak bármely P potja eseté feáll a következő összefüggés: PA PA PB PB PC PC 6 PG 4. feladat: Adott 7 pot egy kör kerületé. Bármely 4 pot által meghatározott égyszög súlypotját összekötjük a maradék 3 pot által meghatározott háromszög magasságpotjával. Bizoyítsd be, hogy a kapott egyeesek egy poto meek át! Megjegyzések: - mukaidő 3 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

2 I. forduló 0. osztály. feladat: Oldd meg a következő egyeletet: feladat: Oldd meg a komple számok halmazá a következő egyeletet: z z z ², z. 3. feladat: Adott az ABC háromszög, amelybe A, B, C a BC, CA, AB oldalak felezőpotjait jelöli. Igazold, hogy a sík bármelyik M potja eseté feáll a következő egyelőtleség: 4MA MB MC MAMB MC MA MA MB MB MC MC 4. feladat: Mutasd ki, hogy bármely ABC háromszögbe feáll az alábbi egyelőtleség: a b c b a c c a b cosa cosb cosc. b c a c a b Mikor áll fe az egyelőség? Megjegyzések: - mukaidő 3 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

3 I. forduló. osztály. feladat Legye abc,, és Határozd meg az a c 0 a A 0 b c 0. a 0 a c A mátriot, ha *.. feladat Adott az a * p és a p a p a p, sorozat, ahol p, p. Igazold, hogy a sorozat mide tagja természetes szám! 3. feladat a) Határozd meg az a sorozat általáos tagját, ha a és ( )! a! a a a b) Számítsd ki a lim határértéket. 4 a, bármely eseté. 4. feladat Ha,, 3 harmadredű egységgyökök és A M ( ) 3, igazold, hogy det I A det I A det I A 3 det A Megjegyzések: - mukaidő 3 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

4 Miisterul EducaţieiNațioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al LiceelorMaghiare di Româia I. forduló. osztály. feladat a) Oldd meg a valós számok halmazá az egyeletet! b) Határozd meg azokat az f : függvéyeket, amelyekre f ( ) F( ) l 5 8 5ahol az F függvéy f-ek egy primitív függvéye.. feladat: * Legye G (0, ), k, k és (log ( y)) (log ) (log y) 3, ( ), ygeseté a) Bizoyítsd be, hogy ( G, ) Ábel féle csoport! b) Bizoyítsd be, hogy ( G, ) (, )! 3. feladat: Adott f : a, b az, ab itervallumo folytoos és ab, itervallumo deriválható függvéy úgy, hogy ( ) 0 ( ) a, b eseté és f ( a) f ( b) f ( ) a b f ( ) f. Igazold, hogy ( ) ab, úgy, hogy 4. feladat: Határozd meg az öszes f, g: (0, ) deriválható függvéyt, amelyekre : f f. cos g cos. e g g. si f si. e si cos Megjegyzések: - mukaidő 3 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

5 II. forduló 9. osztály. feladat: Szupercsiga egy függőleges falo mászik felfelé. Első ap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második apo 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik apo 6 cm-t mászik, éjszaka 9 cm-t csúszik vissza, és így tovább. Ha felér a fal tetejére, akkor megkapaszkodik, és em csúszik vissza. a) Háyadik apo ér fel a fal tetejére, ha az 40 cm magas? b) Legkevesebb háy cm és legtöbb háy cm lehet a fal magassága, ha a csiga a 5. apo ér fel a tetejére? Csak egész cetimétereket veszük figyelembe.. feladat: Egy szabályos hatszög alakú kertbe gyümölcsfacsemetéket ültettek úgy, hogy mide csemete a kerítés valamelyik két szomszédos oldalától illetve bármely más csemetétől azoos távolságra kerüljö. Háyféle módo ültethették el a csemetéket? Ha összese három csemetét ültettek el, és a kert területe csemete közötti távolság? 6 3 m, legtöbb meyi lehet két 3. feladat: Igazold, hogy -él kisebb ) külöböző természetes szám közül kiválasztható három úgy, hogy ezek közül kettő összege megegyezze a harmadikkal. darab ( 4. feladat: Adott a amelyekek köbei p prímszám, és az,, összege osztja a égyzetösszegüket! p abc olya p -él kisebb, külöböző pozitív egészek, -vel osztva ugyaazt a maradékot adják. Igazold, hogy az abc,, számok 5. feladat: Igazold, hogy tetszőleges háromszög belső szögfelezőiek metszéspotjá át bármelyik oldal tartóegyeeséhez húzott párhuzamosak a háromszög belsejébe eső szakasza kisebb, mit a háromszög kerületéek egyede! 6. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszögbe BD és CE magasságok, D ( AC), E ( AB) és F a BC oldal felezőpotja. Az AF és DE szakaszok a P potba metszik egymást. Igazold, hogy EP 4PD akkor és csakis akkor, ha AC AB. Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

6 II.forduló -0. osztály. feladat: a) Igazold, hogy 3 0 A B 0, ahol A, B. a. Igazold, hogy a a b) Legye , ahol a az a szám törtrészét jelöli.. feladat: Adottak az f, g :(0,),() f a ab b és () függvéyek, ahol a, b. a) Igazold, hogy f g f b) Igazold, hogy f k f, () eseté., (), k eseté. g a ab b 3. feladat: Határozd meg azt a legkisebb pozitív természetes számot, amelyre 5 5 számot! 06 5 osztja az 4. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszög BC oldalá felvesszük az M mozgó potot. Az E és F pot az AB illetve AC egyeese úgy helyezkedik el, hogy EB EM FC FM. Határozd meg az M pot helyzetét úgy, hogy az EMF háromszög területe maimális legye és számítsd ki e maimális területet az ABC háromszög oldalai és szögei függvéyébe. és Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

7 5. feladat: II.forduló -0. osztály Legye M egy ABC háromszög BC oldaláak egy tetszőleges potja valamit P és T az M pot vetületei az AB, illetve az AC oldalakra. A következő jelöléseket haszálva: AP t, AT l, m() MTP, m() MPT, AM k, igazold, hogy: a) l t tg tg k (). b) ha 60, akkor k 3 l t () tg tg. 6. feladat: Határozd meg azt a 4 darab egymásutái természetes számot, amelyek égyzetes középaráyosa természetes szám. Értelmezés szerit a, a, a3, a számok égyzetes középaráyosa: a a a,. Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

8 . forduló -. osztály. feladat: Oldd meg a valós számok halmazá a egyeletet.. feladat: Jelölje abc,, az R sugarú körbe írt háromszög oldalait. Igazold, hogy a b 4R c 8R a b. 3. feladat: Igazold, hogy az a 3 0 (ahol ) sorozat: a) végtele sok összetett számot tartalmaz, b) egyetle köbszámot sem tartalmaz! 4. feladat: Az ABC háromszögbe mbac 60. Legye A a BC szakasz felezőpotja, I a háromszögbe írt kör középpotja, és D az I pot A szeriti szimmetrikusa. Igazold, hogy: a) az ABDC égyszög körbeírható, b) DA DB DC. 5. feladat: Egy táblára felírjuk -től 05-ig a számokat. Két játékos felváltva letöröl lépésekét számot. 83 lépés utá a táblá szám marad. Ha a táblá maradt szám külöbsége 03, akkor az első játékos yer, külöbe a második játékos. Kiek va yerő stratégiája? 6. feladat: Háyféleképp lehet 0 darab egyforma méretű golyót sorbaraki, ha a golyók közül 4 zöld, 3 fehér és 3 piros, és ics két azoos szíű szomszédos golyó? Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

9 9. osztály -- I. forduló. feladat: Megoldás: a) Igazold, hogy + Mikor áll fe az egyelőség? b) Igazold, hogy, bármely > 0 és eseté! +, bármely Alkalmazzuk a számtai és mértai közepek egyelőtleségét: " " = vagy 0 ( pot) a. Az a) alpotba * eseté! Koziger Éva, Szatmárémeti Dávid Géza, Székelyudvarhely (4 pot) értékre kapjuk a kért egyelőtleséget. (3 pot)

10 . feladat: Az 9. osztály -- I. forduló sorozatot a következőképpe értelmezzük: és..., bármely természtes szám eseté. Igazold, hogy: Megoldás: a) b) k, bármely természetes szám eseté; k k k, bármely természetes szám eseté! k k k Becze Mihály, Bukarest Mivel a feltételbe szereplő összefüggés mide eseté igaz, felírhatjuk,... hogy... ( pot) A két összefüggést kivova egymásból azt kapjuk, hogy ( ) ( pot), ahoa ( ) ( ) ( pot),mide. Ie kapjuk, hogy ( ) mide eseté( pot). Ezt felhaszálva k k ( pot) k k k és k k k( k ) k k.( pot) k k k k Megjegyzés: ) Ha az első alpotál kért azoosságot a matematikai idukció módszerével próbáljuk igazoli, akkor az -ről ( ) -re való bizoyításaál azt kell igazoluk, hogy idukcióval igazolhatuk. ( ) mide eseté, amit szité

11 ) Az hogy 9. osztály -- I. forduló ( ) mide eseté, iduktív módo is megfejthető, felírva a feladat feltételébe szereplő összefügést redre,,3,4 -re. Így redre kapjuk, hogy 0, 3, 3 4, 3 4 5,...

12 9. osztály -- I. forduló 3. feladat: Az ABC háromszög oldalai felvesszük a következő potokat: A, A BC ; B, B AC, C C AB úgy, hogy Megoldás:, AC, AB BC, AC C B BA. Legye G az ABC háromszög súlypotja. Mutasd ki, hogy az ABC háromszög síkjáak bármely P potja eseté feáll a következő összefüggés: PA PA PB PB PC PC 6 PG Masta Eliza és Zákáy Móika, Nagybáya Legyeek M, N és Q potok az BC, AC, illetve AB oldalak felezőpotjai. PBC háromszögbe PM oldalfelező, ezért: PA PA PM.( pot) Hasolóa írhatuk még két összefüggést a PN és PQ oldalfelezőkre: PB PB PN, PC PC PQ.( pot) Összeadva az utóbbi három összefüggés megfelelő oldalait, kapjuk:

13 9. osztály -- I. forduló PB PC PC PA PA PB PA PA PB PB PC PC ( PM PN PQ) PA PB PC 3 PG Ie következik a kért összefüggés. (5 pot)

14 9. osztály -- I. forduló 4. feladat: Adott 7 pot egy kör kerületé. Bármely 4 pot által meghatározott égyszög súlypotját összekötjük a maradék 3 pot által meghatározott háromszög magasságpotjával. Bizoyítsd be, hogy a kapott egyeesek egy poto meek át! Borbély József, Székesfehérvár Megoldás: Legye a kör középpotja az origó, legye a 7 pot a körö A, B, C, D, E, F, G, a potok helyvektorai redre a,b,c,d,e,f,g. ( pot) Az ABCD égyszög súlypotjába mutató vektor ( pot), a GEF háromszög magasságpotjába mutató vektor g+e+f (a Sylvester-összefüggés miatt) ( pot). Tehát azo potok helyvektorai, amik rajta vaak az ABCD súlypotját és a GEF háromszög magasságpotját összekötő e egyeese, éppe t + (g+e+f). ( pot) Ha = -t, akkor t=4/5. ( pot) Ha t=4/5-öt helyettesítük, akkor azt kapjuk, hogy rajta va az e egyeese. ( pot) Betűcserével kapjuk, hogy a többi ilye egyeese is rajta va. ( pot) Általáosítás: db pot va a körö, bármely (-3) által meghatározott sokszög súlypotját összekötve a maradék három által feszített háromszög magasságpotjával, az így kapott egyeesek egy poto meek át.

15 I. forduló - 0. osztály. feladat: Oldd meg a következő egyeletet: Megoldás: Turdea Katali, Zilah Felírjuk a létezési feltételeket:5 4 0, , 3 5 0, Bevezetjük a következő jelöléseket: a 5 4, b 4 3 3, c 3 5, akkor a b c Így az eredeti egyelet a következőképpe alakul:, amely ekvivales az a b c a b c a bb cc a 0egyelőséggel....3p Ha ab 0 akkor az () egyeletet kapjuk. Észrevesszük, hogy 0 és kove függvéy és a megoldás, és mivel az f f : 0,, 5 4 g :, g 7 elsőfokú függvéy grafikus képéek legfeebb két közös potja lehet az () egyeletek csak ez a két megoldása va....p Ha bc 0, akkor az () egyeletet kapjuk. Észrevesszük, hogy megoldás. Mivel a () egyelet átírható a : 0,, alakba és a h h függvéy szigorúa csökkeő h egyeletek legfeebb egy megoldása va () egyeletek az egyedüli megoldása az....p Ha ca 0, akkor a 3 0 egyeletet kapjuk, melyek megoldása 3. Mivel 0,, és 3 teljesíti a létezési feltételeket az egyelet megoldáshalmaza 0,,,3....p

16 . feladat: I. forduló - 0. osztály Oldd meg a komple számok halmazá a következő egyeletet: z z z ², z. Megoldás: A z z z z dr.szekovits Ferec Kolozsvár z z 05 z z 05 03,... z 007 z 00 z 007 z 00 3 z 008 z 009 z 008 z 009 egyelőtleségeket összegezve: S z z z z ²....5p Egyelőség pedig akkor és csak akkor áll fe, ha az összes egyelőtleség egyelőségkét teljesül, amiek a feltétele: z, 06, 05008, , p Tehát a megoldások halmaza az 008,009 valós itervallum Megjegyzés: z a z b b a, a b, a, b z a, b....p

17 jelöli. 3. feladat: I. forduló - 0. osztály Adott az ABC háromszög, amelybe A, B, C a BC, CA, AB oldalak felezőpotjait Igazold, hogy a sík bármelyik M potja eseté feáll a következő egyelőtleség: 4MA MB MC MAMB MC MA MA MB MB MC MC dr.becze Mihály, Bukarest Megoldás: b c a c a b Jelölje Aa, Bb, C c, A, B, C illetve potokat és affiumait. Felírjuk az egyelőtleséget az affiumok segítségével: M t a megfelelő b c a c a b b c a c 4 t t t t a t b t c t a t t b t 4p a b t c t vagyis t b c t a c t a b t a t b t c t a t b c t b t a c t c t a b. Jelölje t a, y t b, z t c, akkor a feti egyelőtleség a következőképpe alakul: z y z y y z y z y z z y....p Igazoljuk, hogy y z z y yz y y z z y. Felhaszálva a a b a b, a, bc egyelőtleséget kapjuk, hogy : yz y z y z z y yz y z y z z y amely egyeértékű a kért egyelőtleséggel....3p

18 4. feladat: I. forduló - 0. osztály Mutasd ki, hogy bármely ABC háromszögbe feáll az alábbi egyelőtleség: a b c b a c c a b cos A cos B cos C. b c a c a b Mikor áll fe az egyelőség? Zákáy Móika és Masta Eliza, Nagybáya Megoldás: a b c b a c c a b cos A cos B cos C b c a c a b a b c cos A cos B cos C b c a c a b a b c cos A cos B cos C....3p b c a c a b Igazoluk kell, hogy cos c Acos B a b, cos a Bcos C b c illetve cos b Acos C a c, amelyek egyeértékűek a következő egyelőtleséggel: a b cos A cos B c, cos cos cos cos b c B C a illetve a c A C b....p Alkalmazzuk a Cauchy -Schwarz egyelőtleséget: cos cos cos cos a b A B a A b B c cos cos cos cos b c B C b C c B a cos cos cos cos a c A C a C c A b, amely összegéből következik a kért egyelőtleség....p vagyis Egyelőség akkor áll fe, amikor a Cauchy - Schwarz egyelőtleségbe is fe áll,

19 I. forduló - 0. osztály a b acos B bcos A a b. cos A cos B Hasolóa igazoljuk, hogy b c Tehát egyelő oldalú háromszög eseté áll fe az egyelőség....p

20 I. forduló. osztály. feladat Legye abc,, és Határozd meg az a c 0 a A 0 b c 0. a 0 a c A mátriot, ha *. Iakab Tibor, Sepsiszetgyörgy Megoldás: a 0 a Legye M 0 b 0 a 0 a Idukcióval igazolható, hogy. Ekkor A M c I3.. p a 0 a M 0 b 0, a 0 a k k k k k k 3 3 k0 k0 A M c I C M c C M c c I * 3 p.. p k k k k k k k C a c C a c a c c k0 k0... p Mivel ( ) és k 0 C b c ( b c) c.. p k k k a c c 0 a c c * Így A 0 ( b c) 0,... p a c c 0 a c c Hivatalból. p

21 I. forduló. osztály. feladat Megoldás: Adott az a * p és a p a p a p, sorozat, ahol p, p. Igazold, hogy a sorozat mide tagja természetes szám! Kocziger Éva, Szatmárémeti A sorozat értelmezéséből a p a p a következik, hogy * a, A sorozat első két tagja: a p, a p p A rekurziós összefüggés megfelelő égyzetre emeléséből: a pa a a p 0. p Felírva az összefüggést --re a pa a a p 0 p majd a két összefüggést kivova egymásból a a p a a a 0 egyelőséget kapjuk.. p a a a a p a 0... p Mivel a p a p a a 3 a a a, * Tehát a sorozat szigorúa övekvő p Így az () egyelőség csak akkor teljesül, ha a pa a.. p A kapott rekurecia reláció segítségével a matematikai idukcióval igazolható, hogy a sorozat tagjai természetes számok.. p Hivatalból.. p

22 I. forduló. osztály 3. feladat a) Határozd meg az a sorozat általáos tagját, ha a és ( )! a! a a a b) Számítsd ki a lim határértéket. 4 a, bármely eseté. Logáver Lajos, Nagybáya Megoldás: a) A sorozat tagjai az összefüggés alapjá ullától külöbözek p ( )!! Átírva a rekurziós összefüggést 4 a a.. p 4. p ( )!! a a p Összeadjuk a kapott összefüggéseket,, 3,, - értékekre és felhaszáljuk, hogy ( k ) ( k ) k k.! Így az összefüggést kapjuk p a!. p a! a b) Mivel lim 0. p! lim lim 0 p a! Hivatalból.. p

23 I. forduló. osztály 4. feladat Ha,, 3 harmadredű egységgyökök és A M ( ) 3, igazold, hogy det I A det I A det I A 3 det A dr. Becze Mihály, Bukarest Megoldás: det I A,,,. p 3 3 ahol det A... p i 3 i i i i i i i I A 3det A p Így det 3 Mivel,, 3 harmadredű egységgyökök i, i,3 p p és 3 0 p i 3 i i i i i i i det I A 3det A 33det A.. p, Így Hivatalból.. p

24 I.forduló. osztály. feladat a) Oldd meg a valós számok halmazá az egyeletet! b) Határozd meg azokat az f : függvéyeket, amelyekre f ( ) F( ) l 5 8 5, ahol az F fügvéy f-ek egy primitiv függvéye. Megoldás: dr.szekovits Ferec, Kolozsvár Masta Eliza, Nagybáya a) Tekitsük az f :, f ( ) függveyt. f akárháyszor deriválható -e, mivel elemi függvéy. f ( ) 5 l56 f( ) 5 (l 5) 6 3 f ( ) 5 (l 5) 0,( ) f szigorúa övekvő f -ek legfeebb egy zérushelye va (*) lim f( ) 6 0 és lim f( ) 0 és f folytoos (**) (*) és (**) f -ek egyetle zérushelye va -e f -ek legfeebb két zérushely va -e f -ek legfeebb három zérushelye va -e (Rolle tétel következméye) () Másreszt : észrevehető, hogy f ( ) f () f (0) 0 () () és () az adott egyeletek potosa három megoldása va :, 0, 3. b) Az f ( ) F( ) l5 8 5 egyelőség midkét oldalát szorozva hogy f ( ) 5 F( ) 5 l5 5 (8 5) F ( ) 5 F( ) 5 l 5 5 (8 5) [ ( ) 5 F ] 5 (8 5) F( ) 5 (8 5) 5 d (8 5) (5 ) d l 5 (8 5) 5 (6 ) 5 d l 5 l 5 (8 5) 5 (6 ) (5 ) d l 5 (l 5) 6 (8 5) 5 (6 ) 5 5 d l 5 (l 5) (l 5) 6 (8 5) 5 (6 ) 5 5 c, c 3 l 5 (l 5) (l 5) 6 f ( ) (6 ) c5, c l 5 (l 5) 5 -el kapjuk,

25 . feladat: * Legye G (0, ), k, k és (log 3( y)) (log 3 ) (log 3 y) 3, y G eseté. a)bizoyitsd be, hogy ( G, ) Ábel féle csoport. b) Bizoyitsd be, hogy ( G, ) (, ) Megoldás: a) Írhatjuk, hogy y log3 log3 3 3 y. Nyilvávaló, hogy 0, A valós számok összeadása kommutatív művelet, amiből következik, hogy dr.becze Mihály, Bukarest y G. () log log y log y log,, y G, azaz y y,, y G. Ie adódik, hogy a művelet kommutatív. () log3 log3 y 3 log3 z 3 log3 log3 y 3 Másrészt y z 3 z 3 log 3 log3 y log3 z 3 3 log3 log3 y log3 z 3 log3 y log3 z y z, y, z G, tehát a művelet asszociatív. (3) Semleges elem meghatározása e G, úgy, hogy e G eseté log3e log , G log e log 3 log, G log3 e log3 3 log 3, G log3 e 3 e 7 G (4) Ivertálható elemek meghatározása G, G úgy, hogy e. log3 log log log 3 3 log log log log 3 log 3 G (5) Az (), (), (3), (4) és (5) ből következik, hogy G, Abel-féle csoport. b) Tekitsük az f G f :, ( ) log 3 függvéyt. 3 f ( ) log3 0, G és páros eseté, tehát f szigorúa övekvő a l 3, itervallumoko, ugyaakkor folytoos az potba, tehát szigorúa övekvő a 0, és 0, itervallumo, azaz ijektív. (6) f folytoos a 0, itervallumo, lim f( ) és lim f( ), tehát f szürjektív (7) 0 f y log3 y 3 log3 log3 y 3 3 log3 3 log3 y 3 f ( ) f ( y),, y G (8) A (6), (7) és (8) összefüggésekből adódik, hogy f egy izomorfizmus G,,.

26 3. feladat: Legye f : a, b az, úgy, hogy ( ) 0 f a, b ab itervallumo folytoos és ab, itervallumo deriválható függvéy eseté és f ( a) f ( b). Igazold, hogy ab, úgy, hogy f ( ) a b. f ( ) Megoldás: Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Legye g : a, b, g( b) f ( b), tehát g( a) g( b). ( a)( b) g( ) e f ( ) függvéy, amely Rolle tulajdoságú. g( a) f ( a) és Akkor Rolle tételéből következik, hogy ab, úgy, hogy g( ) 0 legye. De ( a)( b) ( a)( b) g( ) e ( a b) f ( ) e f ( ). Akkor ( a)( b) ( a)( b) g( ) e ( a b) f ( ) e f ( ) 0. A jobboldali egyelőséget elosztva ullától külöböző számmal kapjuk, hogy ( a b ) f ( ) f ( ). Ez utóbbi a e ( a)( b) kifejezést elosztva f ( ) 0 számmal, kapjuk a bizoyítadó összefüggést: f ( ) a b. f ( ) Megjegyzés: a g függvéyre a következőképpe is ráérezhetük : Itegráljuk a bizoyítadó összefüggést helyett egy változót haszálva: f ( ) d f c a b d a b c f( ) l ( ) ( ). Elfogadjuk, hogy az ( ) pozitív, következik, hogy f a b c c f függvéy l ( ). Legye c c ab, hogy a jobboldalt tudjuk szorzattá alakítai. Akkor l f ( ) ( a)( b) lesz, vagyis 0 l ( ) ( )( ) l ( ) l l ( ) ( a)( b) ( a)( b) f a b f e f e. Ez utóbbi kifejezés pedig legye l g(, ) ekkor a l függvéyt elhagyva, em kell az f függvéy pozitívitásával foglalkozi.

27 4. feladat: Határozd meg az öszes f, g: (0, ) deriválható függvéyt, melyekre igazak a következő egyelőségek: f f. cos g cos. e g g. si f si. e si cos dr.becze Mihály, Bukarest Megoldás: Az egyeletredszer felirható a következő alakba is: si ( f. e ) g( ) si cos ( g. e ) f cos majd si f. e a g( ) si cos g. e b f cos, ahol ab, és végül f( ) si cos e g ( ) si cos e cos cos b e si a e cos si cos a e cos be si

28 II. forduló osztály. feladat: Szupercsiga egy függőleges falo mászik felfelé. Első ap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második apo 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik apo 6 cm-t mászik, éjszaka 9 cm-t csúszik vissza, és így tovább. Ha felér a fal tetejére, akkor megkapaszkodik, és em csúszik vissza. a) Háyadik apo ér fel a fal tetejére, ha az 40 cm magas? b) Legkevesebb háy cm és legtöbb háy cm lehet a fal magassága, ha a csiga a 5. apo ér fel a tetejére? Csak egész cetimétereket veszük figyelembe. Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy Megoldás: a) Szupercsiga haladása a következő: I. ap fel ap fel 4, le, le, II. ap fel3, le 3, azaz az -edik apo fel és le. Így az elért maimális, II ap 3 3, III. ap magasságok apokét: I ap, általába az -edik apo idukcióval igazoljuk. (3pot) Így ha az -edik apo ér fel a 40 cm magas fal tetejére, akkor 40, ahoa egyedül az 8 a megoldása. (3pot) b) Ha a 5. apo elérhető magasság cm, akkor 4,4,...,480 70, III., ezt, eek azaz , tehát azaz a lehető legkisebb magasság 4, a legagyobb pedig 480. (3pot)

29 II. forduló osztály. feladat: Egy szabályos hatszög alakú kertbe gyümölcsfacsemetéket ültettek úgy, hogy mide csemete a kerítés valamelyik két szomszédos oldalától illetve bármely más csemetétől azoos távolságra kerüljö. Háyféle módo ültethették el a csemetéket? Ha összese három csemetét ültettek el, és a kert területe 6 3 m, legtöbb meyi lehet két csemete közötti távolság? Császár Sádor, Csíkszereda Megoldás: Nyilvá, ha a csemeték közötti távolság azoos, a kertbe legkevesebb csemete, legtöbb három csemete lehet. (pot) Mivel a kerítés valamely két szomszédos oldalától egyelő távolságra vaak, a csemeték a hatszög köré írt kör sugará helyezkedhetek el mide esetbe, két illetve három csemete eseté is. (pot)

30 II. forduló osztály A feti ábráko látható a csemeték lehetséges elhelyezkedése. A kertbe való elhelyezkedésük az. ábra szerit 3, (középpot szeriti 60 -os szöggel való forgatás), a. és 3. ábra szerit 6 (középpot szeriti os szöggel való forgatás), az 4. ábra szerit, (középpot szeriti 60 -os szöggel való forgatás) külöféle módo lehetséges, összese tehát eset lehetséges a csemeték elhelyezésére. (pot) Három csemete eseté ezek egy egyelő oldalú háromszög csúcsaiba helyezkedhetek el. Mivel két szomszédos csemete és a csemete kerítéstől való távolsága azoos, a 6. ábrá látható módo felírható, hogy DA AB BE szakasszal, ahol AD és BE a hatszög egy-egy oldalára merőleges szakasz. Legye FG az O poto áthaladó, a hatszög oldalára merőleges szakasz, és a a hatszög oldalhossza. a 3 A hatszög területe: T 6. 4 a 3 Felírható: 6 3 6, ahoa a m. 4 Köye bizoyítható, hogy a D, A, B és E potok kollieárisak*, és DE párhuzamos az FG a 3 szakasszal **, amiek hossza: a 3. Tehát két csemete közötti távolság: a m. 3 3 * OAB és HAD szögek mértéke 30, tehát kogrues csúcsszögek. ** DE és FG ugyaarra az egyeesre merőleges szakasz, tehát párhuzamosak.

31 II. forduló osztály 3. feladat: Igazold, hogy -él kisebb darab ( ) külöböző természetes szám közül kiválasztható három úgy, hogy ezek közül kettő összege megegyezze a harmadikkal. dr. Becze Mihály, Bukarest Megoldás: Legyeek a a... a ezek a számok. Képezzük az a a, a3 a,..., a a számokat, amelyek pozitívak, külööbözőek és kisebbek, mit. Így keletkezett természetes szám: a, a,..., a, a a, a3 a,..., a a, amelyek kisebbek, mit. A skatulyaelv értelmébe ezek közül kettő megegyezik, az egyik eleme a a a a halmazak, a másik pedig a a a a a a a,,...,,,..., halmazak. 3 Legyeek ezek ak és am a, így ak am a, azaz ak a am.

32 II. forduló osztály 4. feladat: Adott a p prímszám, és az abc,, olya p -él kisebb, külöböző pozitív egészek, amelyekek köbei p -vel osztva ugyaazt a maradékot adják. Igazold, hogy az abc,, számok összege osztja a égyzetösszegüket! Megoldás: p a b a ba ab b Mivel p em osztója a 3 3. b -ek, ezért p a ab b Hasolóa p a ac c és p b bc c.. (3pot) Ekkor p a ab b b bc c a ca b c Mivel a cem osztható p -vel, ezért p a b c. (pot). Borbély József, Székesfehérvár Sőt, p a b c a ab b b bc c a ac c a b c, tehát p a b c. (pot) Mivel a, b és a b c a b c c p -él kisebb pozitív számok, ezért összegük p vagy p lehet. Mivel és paritása megegyezik, ezért a b c a b c. (pot)

33 II. forduló osztály 5. feladat: Igazold, hogy tetszőleges háromszög belső szögfelezőiek metszéspotjá át bármelyik oldal tartóegyeeséhez húzott párhuzamosak a háromszög belsejébe eső szakasza kisebb, mit a háromszög kerületéek egyede! Bíró Béla, Sepsiszetgyörgy Megoldás: Legye MN AM AI MN BC, I MN AMN ABC és AMI ABA.(3pot) a AB AA A szögfelező tételét alkalmazva az ABC -be az AA szögfelezőre, valamit az ABA -be a BI Az szögfelezőre kapjuk, hogy BA és és egybevetéséből adódik, hogy abc Igazoli kell, hogy MN, 4 ami a ac AI b c b c AA a b c a b c MN 3. (pot) ab c 3 alapjá egyeértékű a.(3pot) 4ab 4ac a b c a b c 0, ami yilvávalóa igaz, mert a háromszögegyelőtleség miatt a b c. (pot)

34 II. forduló osztály 6. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszögbe BD és CE magasságok, D ( AC), E ( AB) és F a BC oldal felezőpotja. Az AF és DE szakaszok a P potba metszik egymást. Igazold, hogy EP 4PD akkor és csakis akkor, ha AC AB. Dávid Géza, Székelyudvarhely Megoldás: Az AED háromszög, hasoló az ACB háromszöghöz, ahoa kapjuk, hogy AE AC (pot). AD AB Redre felírható, hogy PE TAEP AE AP si EAP AE si EAP AC si EAP (3pot). PD TADP AD AP si DAP AD si DAP AB si DAP A B és C potokból az AF egyeesre húzott merőlegesek talppotjai jelöljük K és L -lel, Mivel F a BC oldal felezőpotja, következik, hogy a BKF és CLF hasoló háromszögek BK egybevágóak, tehát BK CL. Az AKB háromszögbe si EAP, az ACL AB CF háromszögbe si DAP, ahoa azt kapjuk, hogy si EAP AC AC si DAP AB (3pot). PE AC si EAP AC Ezt felhaszálva azt kapjuk, hogy (pot). PD AB si DAP AB Ie már azoal belátható, hogy EP 4PD akkor és csakis akkor, ha AC AB (pot).

35 II.forduló -0. osztály. feladat: a) Igazold, hogy 3 0 A B 0, ahol A, B. a. Igazold, hogy a a b) Legye , ahol a az a szám törtrészét jelöli. Mátéfi Istvá, Marosvásárhely Megoldás: a) A matematikai idukció módszerével bizoyítjuk. Elleőrizzük =-re, A B A B Feltételezzük =k-ra vagyis A, B. Bizoyítjuk =k+-re, Ak, Bk ,. 3 0 k 3 0 k 3 0 A k Bk. k Tehát 3 0 3A 0B 0 A 3B k k k k, ahoa kapjuk, hogy A 3A 0B és B A 3B. 4p k k k k k k b) 07 A07 B , ahol A, B 07 A07 B , hasolóa Összeadva a feti egyelőségeket: A 07, ahoa kapjuk, hogy 3 0 A A , tehát Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

36 A07 De II.forduló -0. osztály () 3p , () () és () kapjuk, hogy a a p Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

37 II.forduló -0. osztály. feladat: Adottak az f, g :(0,),() f a ab b és () függvéyek, ahol a, b. a) Igazold, hogy f g f b) Igazold, hogy f k f Megoldás:, () eseté., (), k eseté. g a ab b dr.becze Mihály, Bukarest a) 4 4 f g a ab b a ab b a ab b f b) az a) alpot godolatát ismételve kapjuk: f g f 3 f g f f g f... k k k f g f Összeszorozva a feti egyelőségeket kapjuk, hogy: k k f g g g f (). k...3p k k f g g g f 4p Tehát f k f (), k eseté. p Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

38 II.forduló -0. osztály 3. feladat: Határozd meg azt a legkisebb pozitív természetes számot, amelyre 5 5 számot! 5! E 5 5! 3 456(5 ) (5 5) 5 Megoldás:Az összefüggések alapjá látható, hogy természetes szám =06, amelyre 06 5 osztja az dr.szekovits Ferec, Kolozsvár p és, tehát a legkisebb olya pozitív 5 E E osztja az 5 (5) számot. 3p Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

39 II.forduló -0. osztály 4. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszög BC oldalá felvesszük az M mozgó potot. Az E és F pot az AB illetve AC egyeese úgy helyezkedik el, hogy EB EM FC FM. Határozd meg az M pot helyzetét úgy, hogy az EMF háromszög területe maimális legye és számítsd ki e maimális területet az ABC háromszög oldalai és szögei függvéyébe. és Olosz Ferec, Szatmárémeti. Geometriai megoldás: Az EBM és FCM egyelő szárú háromszögek, így az alapjaiko fekvő szögek egyelők, tehát E A F B C D M C B o o m EMF 80 m EMB m FMC 80 B C A EM FM si A Az EMF háromszög területe T. 3p Legye D az A potak a BC -re eső vetülete és D -re ézve vett szimmetrikusa. E szerkesztés alapjá az EBM ABB' közös. ABB ' és B ', ACC ' egyelő szárú háromszögek. C ' a B illetve C potak a mert midkettő egyelő szárú háromszög és az alapo fekvő egyik szögük Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

40 EM BM EM Következik vagyis AB' BB' AB II.forduló -0. osztály BM, ahoa BD AB BM AB BM BM EM. Hasolóa FCM ACC ', ahoa BD AB cos B cos B FM CM cosc si A BM CM si A. Tehát T EM FM. 8 cos B cos C A mértai és számtai közép közti egyelőtleségből tudjuk, hogy BM CM BC BM CM, vagyis Egyelőség akkor áll fe, ha BM CM. A bizoyítást em befolyásolja, ha az, BC BM CM, így 4 E F az, B BC si A T. 4p 3cos B cosc AB AC szakasz belsejébe, vagy azo kívülre esik, vagy ha a háromszög egyelő szárú vagy egyelő oldalú. Az EMF háromszög területe maimális, ha M a BC T ma BC si A. 3cos B cosc. Trigoometriai megoldás: oldal felezőpotja, Az EBM és FCM egyelő szárú háromszögek, így az alapjaiko fekvő szögek egyelők, tehát o o m EMF 80 m EMB m FMC 80 B C A. E A M F C p EM FM si A Az EMF háromszög területe T. 3p Az EBM egyelő szárú háromszögbe alkalmazzuk a sziusztételt: EM BM o si B si 80 B, ahoa BM si B BM EM. si B cos B Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

41 Hasolóa FM CM cosc II.forduló -0. osztály si A BM CM si A. Tehát T EM FM. 8 cos B cos C A mértai és számtai közép közti egyelőtleségből tudjuk, hogy BM CM BC BM CM, vagyis Egyelőség akkor áll fe, ha BM CM. BC BM CM, így 4 Az EMF háromszög területe maimális, ha M a BC BC si A T 3cos B cosc oldal felezőpotja,. 4p T ma BC si A. 3cos B cosc p Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

42 II.forduló -0. osztály 5. feladat: Legye M egy ABC háromszög BC oldaláak egy tetszőleges potja valamit P és T az M pot vetületei az AB, illetve az AC oldalakra. A következő jelöléseket haszálva: AP t, AT l, m() MTP, m() MPT, AM k, igazold, hogy: a) l t tg tg k (). b) ha 60, akkor k 3 l t () tg tg. Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Megoldás: T a) az ATMP égyszög körbeírható, mert ()() m ATM m APM80. Ezért m()() MTP m MAP és m()() MPT m MAT. Legye MP és MT y, akkor tg t y l t () tg tg l t tg l t tg l t l t l t y. Tehát t l l t () tg tg l t y () és y tg. l Másrészt t k és l t y k y y k ()() k y y k k y y k l k y akkor figyelembe véve az ()-es relációt k Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

43 II.forduló -0. osztály Alkalmaztuk a számtai és mértai középaráyosok közötti egyelőtleséget. b). Legyeek U és V az M potak az AC, illetve AB oldalakra voatkozó szimmetrikusai. Ha TP u, akkor VU u, () m V AU () 0 és VA MA UA k. Alkalmazzuk a kosziusz tételt a VAU háromszögbe az A szögre: 5p k k 4u, ie 4u 3k k, vagyis k 3 u. Végül alkalmazzuk Ptolemaiosz tételét az ATMP körbeírható égyszögbe: AM TP AP TM AT MP. Alkalmazva a feti jelöléseket: k 3 l t y, k 3 figyelembe véve az ()-es összefüggést is, következik, hogy l t () tg tg.. 4p Megjegyzés : A feladat megoldható segédszerkesztés élkül az APMT égyszög körbeírhatóságára támaszkodva. Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

44 II.forduló -0. osztály 6. feladat: Határozd meg azt a 4 darab egymásutái természetes számot, amelyek égyzetes középaráyosa természetes szám. Értelmezés szerit a, a, a3, a, számok égyzetes középaráyosa: ( a a a ). Iakab Tibor, Sepsiszetgyörgy Megoldás: Legye p 4és a keresett számok,,..., p. Eze számok égyzetösszege: S p p p p p p p p p p 6 p p p p p p p p p Az,,, p számok égyzetes középaráyosa: p p Ez a szám akkor és csakis akkor természetes szám, ha létezik m úgy, hogy p p m. 4 Legye m, y ;, y. Ekkor 40 m p -re: y 40, ahoa y 40 azaz p y y 40. 4p Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

45 II.forduló -0. osztály Ie következik, hogy y. Ekkor jelöljük u y, v y ie u v, v u y u, v Ie következik, hogy u és v azoos paritásúak kell legyeek. De u v 40, tehát párosak kell legyeek. Legye u u, v v, u v. Ekkor u v 35, (35 57 vagy 35 35). Ugyaakkor y. v u, ahoa v u. Ie következik, hogy csak az u és De y v u v 35 lehetséges. Ekkor viszot y v u De y, ahoa 34, 3 u v Ugyaakkor m u v 36. Tehát a keresett számok: 4, 5,..., p Megjegyzések: - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

46 . forduló -. osztály. feladat: Megoldás Oldd meg a valós számok halmazá a egyeletet. Az adott egyelet átírható a következő alakba: dr. Becze Mihály, Bukarest Vagyis , 3,..., 06 05, melyek egy időbe csak eseté teljesülek, ami az egyelet egyetle megoldása.

47 . forduló -. osztály. feladat: Jelölje abc,, az R sugarú körbe írt háromszög oldalait. Igazold, hogy a b 4R c 8R a b. Zákáy Móika és Masta Eliza, Nagybáya Megoldás a b c A sius tétel alapjá R, az egyelőtleség átírható mit: si A si B si C 4R si A si B 4R 4R si C 8R 4R si A si B si A si B si C si A si B si C si A si B si Asi B si C si A si B cos A cos B amit elegedő igazoli. Valóba a Cauchy-Schwartz egyelőtleség alapjá si A si Bcos A cos B si Acos B cos Asi B si Asi B cos A cos B si A B si Asi B cos A cos B si C amit igazoli kellett.

48 . forduló -. osztály 3. feladat: Igazold, hogy az a 3 0 (ahol ) sorozat: a) végtele sok összetett számot tartalmaz, b) egyetle köbszámot sem tartalmaz! Bíró Béla, Sepsiszetgyörgy Megoldás a) Tekitsük a következő részsorozatot: a k k (ahol k természetes szám) osztható el bármely természetes szám eseté. Másrészt 6 f( ) 3 ( természetes) függvéy szigorúa övekvő epoeciális függvéy, ezért i j eseté f ( i) f ( j) részsorozat tagjai az a. Következésképpe az a részsorozat tagjai párokét külöbözek, s így eze 6 sorozatba végtele sok összetett számot geerálak. b) Ismeretes, hogy mide köbszám (egész szám köbe) 9k vagy 9k alakú, ahol k egész szám. Viszot a sorozat tagjai: a k alakúak (ahol k természetes szám), ha. Tehát eseté a sorozatba icse köbszám. Hasolóa a0 és a 3 sem köbszámok.

49 4. feladat:. forduló -. osztály Az ABC háromszögbe mbac 60. Legye A a BC szakasz felezőpotja, I a háromszögbe írt kör középpotja, és D az I pot A szeriti szimmetrikusa. Igazold, hogy: a) az ABDC égyszög körbeírható. b) DA DB DC. Megoldás Először megmutatjuk, hogy az ABDC égyszög körbeírható. mbcd m ABC és mcbd m ACB. Ie m ABC m ACB mbac 0. m BDC m BCD m CBD Ie következik, hogy ABDC égyszög körbeírható. Legye E a BD egyeese, D legye a BE szakasz belsejébe úgy, hogy DE DC. Ekkor ECD háromszög egyelő oldalú. A BCE háromszögbe alkalmazzuk a si tételt: BE BC, de si BCE si BEC mb 60 és mbec 60 m BCE BE BC B si 60 si 60. () Az ABC és ABD háromszögbe, így Iakab Tibor, Sepsiszetgyörgy BC BC AD AD AD R si 60 si A si ABD C B si B si 60 Itt felhaszáltuk azt, hogy mabd mabc mcbd mb 80 m A 0 mb mb mc m C m B m B m B 60. Az () és () összefüggésekből következik, hogy DA BE. Viszot BE DB DE DB DC, így DA DB DC. ()

50 . forduló -. osztály 5. feladat: Egy táblára felírjuk -től 05-ig a számokat. Két játékos felváltva letöröl lépésekét számot. 83 lépés utá a táblá szám marad. Ha a táblá maradt szám külöbsége 03, akkor az első játékos yer, külöbe a második játékos. Kiek va yerő stratégiája? Szilágyi Judit, Kolozsvár és Szilágyi Emőke, Marosvásárhely Megoldás A számokat párosítjuk úgy, hogy a külöbségük 03 legye. A párok: (,04), (,05),..., (00,05). Pár élkül maradak az 003, 004,..., 03 számok. Az első játékosak va yerő stratégiája: első lépésbe leveszi a pár élküli számot. Ezek utá bármelyik számot veszi le a második játékos, ő leveszi ezek közül a pár élkül választott számok párját és a többit párosával. Így az ő lépései utá midig csak i, 03 i párok maradak a táblá. Mivel 83 lépés va, utolsóak az első játékos lép, így a táblá egy előző típusú pár marad és így a külöbség 03.

51 . forduló -. osztály 6. feladat: Háyféleképp lehet 0 darab egyforma méretű golyót sorbaraki, ha a golyók közül 4 zöld, 3 fehér és 3 piros, és ics két azoos szíű szomszédos golyó? Róka Sádor, Nyíregyháza Megoldás Először elhelyezzük a 3 fehér és 3 piros golyót, majd közéjük helyezzük a 4 zöld golyót. A 3 fehér és 3 piros golyó elhelyezési lehetőségei 3 C6 0. Jelöljük f el a fehér golyók helyét, p vel a piros golyók helyét, z vel a kötelezőe behelyezedő zöld golyók helyét, illetve * al a zöld golyóklehetséges helyeit. Az első tíz lehetőség: Elhelyezési red Lehetőségek száma f z f zf pz p z p * f z f * p * f * p z p * * f z f * p z p * f * p * * f z f * p z p z p * f * * f * p * f z f * p z p * * f * p * f * p * f * p * * f * p * f * p z p * f * * p * f z f z f * p z p * * p * f z f * p * f * p * C5 0 C5 0 C4 4 C5 0 4 C C6 0 C4 4 3 C6 0 * p * f z f * p z p * f * C5 0 Összese: 4 A fehér és piros golyókat felcserélve ugyaeyi esetet kapuk. Így a lehetséges esetek száma: 4 48.