XXIV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY

Átírás

1 SZABÓ CSILLA DR. KOLUMBÁN JÓZSEF CSAPÓ HAJNALKA MÁTÉFI ISTVÁN SZILÁGYI JUDIT PÁLHEGYI FARKAS LÁSZLÓ DR. BENCZE MIHÁLY DÁVID GÉZA BÍRÓ JUDIT MÉSZÁR JULIANNA KOVÁCS BÉLA MASTAN ELIZA XXIV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Németh László Elméleti Líceum Nagybáya Feladatok és megoldások MARIA MONTESSORI KIADÓ NAGYBÁNYA, 04

2 Műszaki szerkesztés: Csapó Hajalka, Madarassy Kiga, Májercsik Rudolf A feladatokat összeállító bizottság tagjai: Szabó Csilla, Nemzeti Oktatási Miisztérium, Bukarest dr. Kolumbá József, Babes-Bolyai Tudomáyegyetem, Kolozsvár dr. Becze Mihály, Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Biró Judit, Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Csapó Hajalka, Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Cziprok Adrás, Kölcsey Ferec Főgimázium, Szatmárémet Dávid Géza, Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Egyed Géza, Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Kocsis Attila Levete, Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Kocziger Éva, Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémeti Kovács Béla, Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémeti Masta Eliza, Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Mátéfi Istvá, Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Mészár Juliaa, Aray Jáos Elméleti Líceum, Szalota Nemes Adrás, Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Pálhegyi Farkas László, Mihai Emiescu Főgimázium, Nagyvárad Rema Ildikó, Adrei Mureșau Főgimázium, Beszterce Szilágyi Judit, Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Vad Márta, Petőfi Sádor Elméleti Líceum, Székelyhíd Vadra Mária, Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Titkár: Májercsik Rudolf, Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Descrierea CIP a Bibliotecii Naţioale a Româiei XXIV. Erdélyi Magyar Matematika Versey : Németh László Elméleti Líceum Nagybáya / coord.: Szabó Csilla, dr. Kolumbá József, Csapó Hajalka,... - Baia Mare : Editura Casei Corpului Didactic Baia Mare "Maria Motessori", 04 ISBN I. Szabó, Csilla (coord.) II. Kolumbá, József (coord.) III. Csapó, Hajalka (coord.) 5(075.35)

3 Tartalomjegyzék Előszó... 4 A versey szervezésébe részt vállaltak... 5 A verseybizottság tagjai... 6 I. forduló feladatai... 7 II. forduló feladatai... I. forduló megoldásai... 7 II. forduló megoldásai A verseye résztvevő taárok évsora A verseye résztvevő diákok évsora Támogatóik

4 ELŐSZÓ A XXIV. Erdélyi Magyar Matematikaversey házigazdája 04. február 6-9 között a agybáyai Németh László Elméleti Líceum volt. A agybáyai festő iskola szíességébe, a törtéelem szépségekét beilleszkedett idé a matematika is. Németh Lászlót, a város szülöttjét idézve Maga a feladat segít és véd beüket. Köszöet Váradi Izabelláak, a Németh László Elméleti Líceum igazgatóőjéek, hogy felvállalta eze versey szervezését, hasolóa Masta Eliza matematika taárőek, és a líceum taári karáak, és végül az egész város magyarságáak, hogy példamutató összefogásukkal egy csodálatos verseye vehettük részt. Ez a versey része aak a tehetséggodozó mozgalomak, melyet dr. Becze Mihály brassói matematikataár kezdeméyezett 5 évvel ezelőtt, és amely egybe a 04. március -6 között Csíkszeredába sorra kerülő XXIII. Nemzetközi Magyar Matematikaversey erdélyi válogató szakasza is. Amióta a romá taügymiisztérium hivatalos verseye lett, megegedhetjük, hogy vádorverseykét Erdély evezetes magyar iskolái redezhessék. A matematikai ituíció lágja éppe hogy pislákol a gyermek agyába. Meg kell erősítei és fe kell tartai, hogy féye mide számtai tevékeységre rávetülhesse. (Staislas Dehaee) Dr. Kolumbá József a verseybizottság elöke, a matematika taárok egykori egyetemi taára, a Magyar Tudomáyos Akamémia hazai képviselője, felvetette a matematika taárképzés és a matematika taítás várható válságát, és eek megelőzésére ösztöözte a résztvevő ifjú matematikusokat. A Bolyaiak által elídított matematikákak jövője kell legye, és ez rajtuk és verseyző diákjaik jövőbeli hozzáállásá múlik. Pach Jáos következő idézetét fáklyakét emelem a jövőbe: Aki matematikát taul, az a tűzzel játszik. A matematika köye leyűgözi, elcsábítja, rabul ejti az embert. Csodálatos titkokat rejt, melyek egyikemásika kis szerecsével és keméy mukával megfejthető. A megvilágosodás pillaatáak katarzisa semmivel sem összehasolítható, felemelő érzés. Szabó Csilla A romá Oktatásügyi Miisztérium taácsosa, az Erdélyi Magyar Középiskolák Matematikaverseyéek ügyvezető elöke 4

5 A VERSENY SZERVEZÉSÉBEN RÉSZT VÁLLALTAK dr. Váradi Izabella - igazgató Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Bogya Emese Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Czol Erzsébet Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Czumbil Csaba Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Dávid Erzsébet Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Dejerá Melida Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Elekes Izabella Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Farkas Aamária Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Fülöp Gabi Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Ivás Edith Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Logáver Lajos Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Madarassy Kiga Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Masta Eliza Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Staharóczky Kiga Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Szkiba Sádor Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Tasádi Ella Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Veress Noémi Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Zákáy Móika Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Májercsik Adrea Domokosi Általáos Iskola, Domokos Balogh Eikő Felsőbáyai Műszaki Iskola, Felsőbáya Dembrovszki Károly Hosszúmezői Általáos Iskola, Hosszúmező Takács Attila Leövey Klára Elméleti Líceum, Máramarossziget Bálit Beáta Nicolae Iorga Általáos Iskola, Nagybáya Kiss Luca Adrea Nicolae Iorga Általáos Iskola, Nagybáya Lapsászky Edith Nicolae Iorga Általáos Iskola, Nagybáya Lojszli Sára Nicolae Iorga Általáos Iskola, Nagybáya Toth Melida Nicolae Iorga Általáos Iskola, Nagybáya Ujlaki Zita Nicolae Iorga Általáos Iskola, Nagybáya Moață Aamaria Petőfi Sádor Általáos Iskola, Koltó Bálit Tüde Petre Dulfu Általáos Iskola, Nagybáya Csedes Móika Petre Dulfu Általáos Iskola, Nagybáya Csurka Tüde Petre Dulfu Általáos Iskola, Nagybáya Niács Mária Petre Dulfu Általáos Iskola, Nagybáya A Németh László Elméleti Líceum mukaközössége

6 A VERSENYBIZOTTSÁG TAGJAI Elök: dr. Kolumbá József, Babes-Bolyai Tudomáyegyetem, Kolozsvár Ügyvezető elök: Szabó Csilla, Nemzeti Oktatási Miisztérium, Bukarest Alelök: dr. Becze Mihály, Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Tag: Biró Judit, Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Tag: Csapó Hajalka, Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Tag: Cziprok Adrás, Kölcsey Ferec Főgimázium, Szatmárémet Tag: Dávid Géza, Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Tag: Egyed Géza, Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Tag: Kocsis Attila Levete, Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Tag: Kocziger Éva, Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémeti Tag: Kovács Béla, Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémeti Tag: Masta Eliza, Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Tag: Mátéfi Istvá, Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Tag: Mészár Juliaa, Aray Jáos Elméleti Líceum, Szalota Tag: Nemes Adrás, Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Tag: Pálhegyi Farkas László, Mihai Emiescu Főgimázium, Nagyvárad Tag: Rema Ildikó, Adrei Mureșau Főgimázium, Beszterce Tag: Szilágyi Judit, Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Tag: Vad Márta, Petőfi Sádor Elméleti Líceum, Székelyhíd Tag: Vadra Mária, Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Titkár: Majercsik Rudolf, Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya 6

7 FELADATOK FELADATOK I. FORDULÓ IX. OSZTÁLY. Oldd meg az ( )( ) ( x, y) R R egyeletet! x + x + 4 6y + 4y + = 8xy, Igazold, hogy az A ( ) Mátéfi Istvá, Marosvásárhely = szám osztható 396 -tal! Becze Mihály, Bukarest 3. Adott a következő sorozat: ,,,,,,,,,,,,,,, a) Mivel egyelő a sorozat 04 -ik tagja? b) A sorozat háyadik tagja az szám? Logáver Lajos, Nagybáya 4. A síkba vegyük fel külöböző, az origóból iduló vektort, és képezzük ezekből az összes lehetséges külöböző vektorokból álló összeget. Tekitsük az eredeti vektorok és az így kapott összegvektorok végpotjaiak M halmazát. Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyre ez az vektor megadható úgy, hogy az M halmazból ki lehesse választai egy egyelő oldalú háromszög három csúcsát, és égy olya potot is, amelyek egy égyzet csúcsait alkotják? Róka Sádor, Nyíregyháza 7

8 FELADATOK X. OSZTÁLY. Adott a b pozitív valós szám. Oldd meg a valós számok halmazá a következő egyeletet:. Legye a, b R, amelyre logb x logx + b =. Becze Mihály, Bukarest * a b < és f : R R olya függvéy, 4 f( x + a) + = bármely x R eseté. f( x + b) Igazold, hogy az f függvéy em ijektív. Logáver Lajos, Nagybáya * 3. Adott a H = z z z + + = C z z halmaz. a) Igazold, hogy z = bármely z H eseté! b) Határozd meg a H halmaz elemeit! Bíró Béla, Sepsiszetgyörgy 4. Az ABC derékszögű háromszögbe CD az AB átfogóhoz tartozó magasság. A CD átmérőjű k kör a BC és AC befogókat redre az E és F potokba metszi. A k körhöz az E és F potokba húzott éritők az AC és BC egyeeseket az E illetve F potokba metszik. a) Bizoyítsd be, hogy EE FF. b) Bizoyítsd be, hogy E F = AC és EF = BC. Bíró Bálit, Eger 8

9 FELADATOK. Ha a = és XI. OSZTÁLY a = + ( k + k + ) a + k + mide k = természetes számra, határozd meg az ( a ) sorozat általáos tagját! Becze Mihály, Bukarest. Gergő karácsoyi hagulatba a következő rajzokat készítette: A feyőfák mid egységyi magasságúak és egyelő oldalú háromszögek egymásra tevésével képeztük. Mide háromszög felső csúcsa a fölötte lévő magasságáak a felezőpotja, és mide háromszög magassága a fölötte lévő magasságáak másfélszerese. Meyi a feyőfák területéek határértéke, ha a fákat alkotó háromszögek száma tart a végtelehez? Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy A, B M C, igazold hogy az A( A + B) B = B( B + A) A 3. Ha ( ) egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha (TrA + Tr B)( AB BA) = O. Becze Mihály, Bukarest 4. Adott az természetes szám és az E = {,, 3,, 04} halmaz. a) Igazold, hogy deta = 0. A M ( E) b) Igazold, hogy az { A M ( E) deta = 0} halmaz elemeiek száma páros! Logáver Lajos, Nagybáya 9

10 FELADATOK XII. OSZTÁLY. Adott a G = ( a + b, a + b) és a G = (,) itervallum, valamit az ( )( b) ( x + y) + a + b bxy + a b x + y x y =, x, y G xy b + + x y x y + = + + xy +, x, y G * műveletek, ahol a, b R, ( a > 0 ), N. Igazold, hogy : a) ( G, ) és ( G, ) Abel-féle csoport. b) ( G, ) ( G, ) és. Becze Mihály, Bukarest. Határozd meg azokat az f : R R folytoosa deriválható függvéyeket, amelyekre: f ( x) f( x) 3 = x + x, x R és f ( 0) = 0. x x + Kocziger Éva és Kovács Béla, Szatmárémeti R R egy olya 3. Adottak az a, x R valós számok és f : 0 primitívvel redelkező függvéy, amelyre f ( x0 ) = a. Számítsd ki az f függvéy primitív függvéyeit, ha az értelmezési tartomáy mide potja helyi miimumpotja f -ek. Logáver Lajos és Masta Eliza, Nagybáya 4. Határozd meg a 8 = egyelet összes valós megoldását! Becze Mihály, Bukarest és Kovács Béla, Szatmárémeti x x 3 x 0

11 FELADATOK II. FORDULÓ IX. OSZTÁLY. Oldd meg az egész számok halmazá a következő egyeletet: 3 x + x + 5 = y Kovács Béla, Szatmárémeti. Az ABCD trapézba AB CD, AB > CD, N AD úgy, hogy A az ND felezőpotja, C ( MB ) úgy, hogy BC = CM. Tudva, hogy AM NC, határozd meg a trapéz alapjaiak aráyát és az AM illetve NC hosszáak aráyát. Mátéfi Istvá, Marosvásárhely 3. Az a és b természetes számok relatív prímek és a, b. Igazold, hogy létezik olya N, amelyre ( a ) b. Becze Mihály, Bukarest és Szilágyi Judit, Kolozsvár 4. Az ABCD trapézba AB CD. Egy, az alapokkal párhuzamos d egyees az ( AC ) és ( ) metszi. Legye P ( AB) BD átlókat redre az E és F potokba, PE AD és Q ( DC ) FQ BC. Igazold, hogy a P, Q potok és az ( AC ) szakasz felezőpotja kollieárisak! Logáver Lajos, Nagybáya

12 FELADATOK 5. Jelölje I az ABC háromszögbe írt kör középpotját. Ha a BIC, BIA, CIA háromszögek valamelyike hasoló az ABC háromszöggel, akkor igazold, hogy az ABC háromszög szögeiek mértékei mértai haladváyt alkotak. Becze Mihály, Bukarest 6. Egy kosárba 04 alma található. Hófehérke mod egy 04 -él * kisebb k N számot. Hapci és Szudi a következő játékot játsszák: Hapci elvesz a kosárból legalább egy, de legtöbb k almát, majd Szudi megismétli az eljárást és folytatják, míg a kosárból az utolsó almát is elveszik. Az yer, aki az utolsó almát kiveszi a kosárból. Hófehérke tudja, hogy midkét törpe agyo jó játékos, és ha va yerő stratégiája, akkor meg is yeri a játékot. Mivel Szudiak agyo rossz apja volt, Hófehérke olya számot szerete modai, amellyel eki kedvez. Segíts Hófehérkéek megtaláli az összes ilye k számot. Szilágyi Judit, Kolozsvár és Mátéfi Istvá, Marosvásárhely

13 FELADATOK X. OSZTÁLY *. Legyeek a, N rögzített számok, valamit ( ) ( ) S = a + a a +. Igazold, hogy az S = x egyelet megoldása pozitív irracioális szám! Gotha Gütter, Nagybáya. 04. február 8-á egy matematika taár olya, yolc kérdésből álló feleletválasztós tesztet oldatott meg az osztályával, amelybe mide kérdés esetébe a lehetséges válaszok 0,,,4,8. Miutá összeszedte a dolgozatokat, elárulta, hogy a helyes válaszok sora:,0,,4,0,,0,8. Azt is elárulta ezúttal, hogy em csak a helyes megoldást adó diákok kapak tízest, haem azok a szerecsések is, akik ugya más sorredbe, de potosa ezeket a válaszokat jelölték meg helyeskét. Meyi a valószíűsége aak, hogy valaki véletleszerűe adott válaszok eseté szerecsés legye azap? Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy 3. Egy N oldalú kovex sokszöget egy rögzített csúcsából kiiduló két átlója három sokszögre oszt fel, melyek szögeiek összege redre S, S, S. Az N mely értékei eseté alkothat S, S és S számtai 3 3 haladváyt? Az N = 0 eseté határozd meg azokak a felbotásokak a számát, amelyekre a feti számtai haladváyba lévő S, S, S összegek közül a legagyobb a legkisebbek egész számú 3 többszöröse! Egyed Géza, Kézdivásárhely 4. Az ABCD paralelogrammába N a CD oldal felezőpotja és M a BC oldalak az a potja, amelyre BM = BC. Jelöljük P -vel az 5 AM és a BN egyeesek metszéspotját. Számítsd ki az ABP háromszög és a PNCM égyszög területéek az aráyát! Logáver Lajos, Nagybáya 3

14 FELADATOK 5. Adottak az O és O középpotú R illetve r sugarú körök, OO > R + r. Az O poto áthaladó, O középpotú körhöz húzott éritő az O középpotú kört az A és B potokba metszi, az O poto áthaladó, O középpotú körhöz húzott éritő az O középpotú kört C és D potokba metszi. Igazold, hogy az A, B, C, D potok két párhuzamos egyeest határozak meg! Dávid Géza, Székelyudvarhely 6. Az a, a, sorozatot az a =, a = 43 és a + a + + a a = 5 rekurzióval értelmezzük (ahol ). + Bizoyítsd be, hogy a sorozat mide eleme egész szám! Róka Sádor, Nyíregyháza 4

15 FELADATOK XI. ÉS XII. OSZTÁLY. Adott az A = {,,3,...,5 } számhalmaz. Legfeebb háy elemű lehet az A halmaz azo H részhalmaza, melybe bármelyik két szám összege em osztható 3 -mal? Bíró Béla, Sepsiszetgyörgy. Igazold, hogy ha egy természetes számokból álló számtai haladváy első tagja köbszám, akkor végtele sok olya tagja va, ami szité köbszám. Becze Mihály, Bukarest 3. Az ABCD kovex égyszögbe az AB és CD oldalak em M AC egy tetszőleges pot és P AD úgy, hogy párhuzamosak. ( ) MP CD, Q BC úgy, hogy MQ AB. Határozd meg az M pot helyzetét, amelyre a PMQ háromszög területe maximális. Logáver Lajos, Nagybáya 4. Egy es mátrix elemei az { },,3,...,007 halmazból vaak úgy, hogy egy-egy sorba illetve egy-egy oszlopba ics két egyelő elem. Megváltoztathatjuk-e úgy éháy szám előjelét, hogy ha összeszorozzuk mide sorba, illetve mide oszlopba az elemeket, az így kapott 04 szám összege 0 legye? Csapó Hajalka, Csíkszereda és Pálhegyi Farkas László, Nagyvárad 5. Az ABC háromszögbe m( ABC ) = 45. Az A csúcsból húzott magasság, a B csúcsból húzott szögfelező és a C csúcsból húzott oldalfelező összefutók. Határozd meg a C szög mértékét! Csapó Hajalka, Csíkszereda és Dávid Géza, Székelyudvarhely 5

16 FELADATOK 6. Egy -től 6 -ig megszámozott 6 férőhelyes autóba 6 utasak kell beszálli a következő szabály szerit: az első utas egy tetszőleges helyre ül le az -edik utas, ha { },3,4,5,6, leül az -edik helyre ha ez üres. Ha em üres, akkor teszőleges helyet foglal el. Mi a valószíűsége aak, hogy a 6 -ik utas a 6 -ik helyre ül le? Kramer Alpár Vajk, Lisszabo, Portugália 6

17 I. FORDULÓ IX. osztály. Oldd meg az ( x + x + 4)( 6y + 4y + ) = 8xy, (, ) egyeletet! Első megoldás x x x ( ) = > 0, 7 x y R R 3 6y + 4y + = 4y + + > 0, 4 tehát az egyeletek csak akkor va megoldása, ha xy > 0. ( ) ( ) x + x + 4 = x x 4x + x = 4 x + x = = y y y y y y y y. Ha x > 0 és y > 0, akkor x + x + 4 6x, 6y + 4y + y, tehát ( )( ) x + x + 4 6y + 4y + 7xy > 8xy, ahoa M =. Ha x < 0 és y < 0, akkor y y y x x 4 x + +, tehát ( )( ) Az egyelőség feáll, ha x x 4 x + + = és + +, x + x + 4 6y + 4y + 8xy y y y + + =, vagyis ( ) és( 4 ) y + = 0, ahoa M, =. 4 Az egyelet megoldáshalmaza: M, = 4 Második megoldás x x x ( ) = > 0, x + = 0 3 6y + 4y + = 4y + + > 0, 4 tehát az egyeletek csak akkor va megoldása, ha xy > 0.

18 Ha x > 0 és y > 0, akkor összeszorozva a zárójeleket a következő egyelőséget kapjuk: 6x y + 6xy + 64y + 4yx + 8xy + 6y + x + x + 4 = 8xy, ahoa 6x y + 6xy + 64y + 4yx + 6y + x + x + 4 = 0, ics megoldás, mivel a baloldal pozitív. Ha x < 0 és y < 0 újból kiidulva, az eredeti egyelőségből kapjuk, hogy: ( ) ( ) x + x 4y + 4y = 8xy összeszorozva hogy ( x ) ( y ) x ( y ) y ( x ) = 0, következik, mivel mide tag agyobb vagy egyelő, ( x + ) ( 4y + ) = 0 mit ulla az összeg csak akkor ulla, ha x ( 4y + ) = 0, y ( x + ) = 0 4 ahoa ( x + ) = 0 és ( 4 ) y + = 0, tehát M, = Igazold, hogy az A ( ) osztható 396 -tal! Első megoldás ( ) ( ) = szám 4 4 = 4 4 = M 6 ( 3 3) ( 4 4) M 36 = 3 3 = 3 3 = M = M 36 k k k ( ) M 36 = = k = = = 3 8

19 = ( ) = ( ) = M 396 Második megoldás Az = 0 eseté A = 0, tehát osztható 396-tal Tudva, hogy 396 = 4 9 az adott szám ( + ) ( + + ) ( + + ) A = = M alakba írható, tehát A, N eseté. Ha A 3 ( 3 + = + 49) A 4, N eseté., páros A = = ( ) ( ) = , akkor osztható 9-cel + ( ) N eseté, ha 3 4 9, N. akkor Ezt a matematikai idukció módszerével igazoljuk. = eseté igaz. Tegyük fel hogy egy rögzített k eseté igaz az állítás vagyis k + 3k 4 9. k + 3 Igazoljuk, hogy 3k 7 9 3k 7 = 4 3k 4 + 9k k + 3 k + Valóba ( ) A 4, 9 és számok párokét relatív prímek, tehát A (4 9 ), N. 9

20 3. Adott a következő sorozat: ,,,,,,,,,,,,,,, a) Mivel egyelő a sorozat 04 -ik tagja? b) A sorozat háyadik tagja az szám? Megoldás. a) A sorozat tagjait csoportokra osztjuk. A k -adik * ( k N ) csoportba kerülek azok a tagok amelyekél a számláló és a evező összege k +. k k k A k-adik csoport tehát:,,,...,,. (k darab 3 k k szám) A tag helyét a csoportba a evező adja meg. Egy olya k természetes számot keresük amelyre: k ( k + ) ( k + ) ( k + ) 04 < = 04 < = 06. A keresett szám a 6, ezért a 04-edik elem a 63-as csoportba a = 6 -edik lesz, azaz 3 6. b) Aak a csoportak k a sorszáma, amelybe az 04 szám va: k = = 04. Az szám a csoport 00-edik 00 eleme. A 04-es csoport első eleméig = = 0709 tag va. Ezért az szám a = edik tagja a sorozatak. 0

21 4. A síkba vegyük fel külöböző, az origóból iduló vektort, és képezzük ezekből az összes lehetséges külöböző vektorokból álló összeget. Tekitsük az eredeti vektorok és az így kapott összegvektorok végpotjaiak M halmazát. Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyre ez az vektor megadható úgy, hogy az M halmazból ki lehesse választai egy egyelő oldalú háromszög három csúcsát, és égy olya potot is, amelyek egy égyzet csúcsait alkotják? Megoldás. = eseté a két vektor és az összegük végpotja összese 3 potot ad, ezekből em lehet egy égyzet csúcsait kiválasztai. Tehát 3. = 3 eseté va alkalmas kostrukció. A vektorokat a következőképpe vesszük fel: midhárom vektor azoos hosszúságú, a ésc vektorok szöge 90, a b az a vektorral 60 -os, a c - vel pedig 30 -os szöget alkot. Például egy megoldás az ábráak megfelelőe, koordiátákkal megadva: a = OA, b = OB, c = OC, ahol A( ; 0 ), B ( ; 3 ), C ( 0; ).

22 X. OSZTÁLY. Adott a b pozitív valós szám. Oldd meg a valós számok halmazá a log x log b x következő egyeletet: + b =. Megoldás. Létezési feltételek: x > 0, x, b. Jelölje t log t b log log x log log x x b b b = log b x. Akkor b = b = ( b ) = Így az adott egyelet ekvivales a következő egyelettel: t t + = t t + t t Ha t > 0, akkor + =. Az egyelőség akkor és csakis akkor áll fe, ha t = Tehát log x = következik, hogy x = b. b Ha t < 0, akkor t csak akkor értelmezett, ha t egész szám. Tehát t =, ahol egy em ulla természetes szám. Következik, hogy Ha = akkor + = + =. + = hamis. Ha > akkor + <, de < ami elletmodás. Tehát ebbe az esetbe ics megoldás. *. Legye a, b R, a b < és f : R R olya függvéy, 4 amelyre f( x + a) + = bármely x R eseté. f( x + b) Igazold, hogy az f függvéy em ijektív.

23 Megoldás. Keresük két olya valós x értéket amelyekre x + a = x + b x + a x b = 0. a b < = 4 ( a b) > 0, tehát a feti egyelet x és x 4 gyökei valósak és külöbözőek. x + a = x + b = z, k =,, z z k k k f( x + a) + = f( x + b) f z f z f( z ) + =, k =, k f( z ) ( ) = ( ) = 0, tehát létezik z z amelyekre f z = f z = f függvéy em ijektív ( ) ( ) Megjegyzés (Módosított szöveg) * Legye a, b R, 0 < a b < és f : ( 0, ) R egy olya 4 függvéy amelyre bármely x R eseté f ( x + a) + =. f ( x + b) Mutassuk ki, hogy az f függvéy em ijektív. Megoldás: Keresük két olya valós x értéket amelyekre x + a = x + b x x + a b = 0 0 < a b < = 4 ( a b) > 0, S = x + x = > 0, 4 P = x x = a b > 0 tehát a feti egyelet x és x gyökei valósak, külöbözőek és pozitívak x + a = x + b = z, k =,, z z k k k f( x + a) + = f( x + b) f( z ) f( z ) = = 0 létezik z z f z amelyekre ( ) f ( z ) f( z ) + =, k =, k f( z ) = = k k 3

24 * 3. Adott a H = z z z + + = C z z halmaz. a) Igazold, hogy z =, bármely z H eseté! b) Határozd meg a H halmaz elemeit! Megoldás z + z z + z, z, z C a) Ismeretes, hogy ( ) Ezt az egyelőtleséget kétszer alkalmazva a megadott egyelőség jobb oldalá álló összegre kapjuk, hogy: = z + z z z z z + z = () Hasolóa = z + + z = z () z z z z () és () ből z = b) Ha z H, akkor az a) alpot alapjá következik, hogy z =, vagyis z = cosα + isi α, ) α 0,π alakba keresedő. Így az adott egyelőség a következő képpe alakul: cosα + i siα =, vagyis cosα + i siα = Négyzetre emelés és összevoás utá a siα = 0, α 0,π ) egyelethez jutuk π 3π Eek az egyeletek a megoldáshalmaza: 0,, π,. Eze α z,, i, i halmaz felel meg értékekek a { } 4

25 4. Az ABC derékszögű háromszögbe CD az AB átfogóhoz tartozó magasság. A CD átmérőjű k kör a BC és AC befogókat redre az E és F potokba metszi. A k körhöz az E és F potokba húzott éritők az AC és BC egyeeseket az E illetve F potokba metszik. a) Bizoyítsd be, hogy EE FF. Megoldás b) Bizoyítsd be, hogy E F = AC és EF = BC. Legye a CD magasság és az EF szakasz metszéspotja K. A CD szakasz a k kör átmérője, ugyaakkor, mivel FCE = 90, a Thalésztétel megfordítása miatt az EF szakasz, mit átmérő fölé rajzolt körö rajta va a C pot, ez pedig csak úgy lehet ha a CD szakaszak és az EF szakaszak a Thalész-köre azoos. Ebből az is következik, hogy K a k kör középpotja, és a DECF égyszög téglalap. Mivel EF a k kör átmérője, ezért az FF és E E egyeesek az éritő tulajdosága miatt a k kör EF átmérőjére merőlegesek, tehát z FF és E E egyeesek párhuzamosak. Az ABC háromszög hegyesszögei α és β, amelyekre α + β = 90. Ebből azoal adódik, hogy ACD = FCD = FCK = β, illetve 5

26 mivel a fetiek szerit az FCK egyelőszárú, ezért CFK = CFE = β, és így az FEC háromszögbe CEF = α. Az FF éritő merőleges az EF szakaszra, ezért az EFF háromszög derékszögű, amelybe CEF = FEF = α, így EFF = β, tehát az EFF és az ABC háromszögek szögei redre megegyezek, ezért a két háromszög hasoló. Mivel CFE = β, ezért az E FE derékszögű háromszögbe EFE = β, és α + β = 90 miatt FE E = α, ezért az E FE és az ABC háromszögek szögeiek agysága is redre egyelő, azaz ez a két háromszög is hasoló. A szögek egyelősége alapjá az EFC és ABC is hasoló háromszögek. Az egymáshoz hasoló EFF és ABC, illetve EFC háromszögekbe a megfelelő szakaszok (például egy-egy oldal, és a hozzá tartozó magasságok) hosszáak aráya egyelő, ezért a CD = EF = m FE c jelöléssel: () = és FC = a. FC m m c c a c Az () összefüggésekből FE = FC = m = a, tehát a k m c m körhöz húzott két párhuzamos éritő a BC befogó egyeeséből valóba BC = FE = a hosszúságú szakaszt metsz ki. Az egymáshoz szité hasoló E FE és ABC, illetve EFC háromszögekbe a megfelelő szakaszok hosszáak aráya: E F c () = és EC = b. EC m m c c b c A () összefüggésekből E F = EC = m = b, tehát a k m c m körhöz húzott két párhuzamos éritő az AC befogó egyeeséből valóba AC = E F = b hosszúságú szakaszt metsz ki. 6

27 . Ha a = és XI. OSZTÁLY a = + k + k + a + mide + ( ) k k = természetes számra, határozd meg az ( a ) sorozat általáos tagját! Első megoldás Igazoljuk matematikai idukcióval, hogy a =! Látható, hogy = igaz, feltételezzük, hogy igaz -re, azaz a =! és igazoljuk, hogy igaz + -re is. a = ( k k ) a ( k k ) k! + k = = + + (( k ) k) k! k = k = k = = + + = + = + (( k + ) ( k + )! k k! ) = + k = = ( + ( + )( + )! ) = ( + )! + Második megoldás. A rekurzió alapjá ( ), + k k k = k = + a a = + ( k + k + ) a + ( k + k + ) a = ( + + ) a, ahoa ( ) ( ) + a ( ) a a = ( )( )... a =! + a = + + a, azaz = +, tehát + 7

28 . Gergő karácsoyi hagulatba a következő rajzokat készítette: A feyőfák mid egységyi magasságúak és egyelő oldalú háromszögekből állak. Mide háromszög felső csúcsa a fölötte lévő magasságáak a felezőpotja, és mide háromszög magassága a fölötte lévő magasságáak másfélszerese. Meyi a feyőfák területéek határértéke, ha a fákat alkotó háromszögek száma tart a végtelehez? Megoldás Legye x az darab háromszögből álló feyőfa legfelső háromszögéek magassága. Az alatta lévő háromszögek magasságai redre x, x,, x 4. Mivel mide fa egységyi magasságú, és a legfelsőt kivéve mide háromszög magasságáak harmada takarásba va, következik, hogy x 3 =, ahoa x = 3. Így a legfelső háromszög területe x 3 3 = = Az alatta lévő háromszög magassága 3 x, így a területe 9 t, de a 4 t terület -ed része takarásba va, ezért a második háromszög miatt a fa 9 területe 8 9 t = t értékkel ő. A harmadik háromszögből látszó 9 4 8

29 rész területe t t 9 = 4, és így tovább, a legalsó háromszögből látható terület t t 5 9 =. 4 Az háromszögből álló feyőfa területe T = t 5, azaz T = t. 5 5 Következik, hogy T = ( 3 ) 4 ( + ) T = limt = lim = , azaz. A keresett határérték pedig Ha A, B M ( ) C, igazold hogy az A( A + B) B = B( B + A) A egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha (TrA + Tr B)( AB BA) = O. Megoldás A Cayley-Hamilto tétel alapjá bármely A, B M ( ) = Tr det A B = AB TrA B deta A A A I A = Tr det AB = AB TrB AdetB B B B I B 5. C mátrix eseté A fetiek alapjá A A + B B = A B + AB = (TrA + Tr B) AB AdetB B deta ( ) Hasolóa 9

30 ( ) B B + A A = B A + BA = (TrB + Tr A) BA B deta AdetB Tehát A( A + B) B B ( B + A) A = (TrA + Tr B)( AB BA), azaz az A( A + B) B = B( B + A) A egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha (TrA + Tr B)( AB BA) = O 4. Adott az természetes szám és az E = {,, 3,, 04} halmaz. a) Igazold, hogy deta = 0. A M ( E) b) Igazold, hogy { A M ( E) deta = 0} elemeiek száma páros. Megoldás a) Első megoldás Ha egy mátrix első két sora megegyezik, akkor aak determiása ulla. M M E azo mátrixok halmaza, amelyek első két sora Legye ( ) em azoos. Az M halmaz elemeit párosíthatjuk úgy, hogy mide mátrixhoz hozzáredeljük azt a mátrixot, amelyet az első két soráak felcserélésével kapuk. Ez a párosítás kölcsöös és egyértelmű. Az így kapott párok determiásai egymás elletettei, tehát a mátrizok összege ulla. Második megoldás. Először igazoljuk, hogy egy adott mátrix soraiak permutálásával kapott mátrixok determiásaiak összege ulla. Ehhez elegedő bizoyítai, hogy ugyaayi a páros illetve a páratla permutációk száma, ugyais eze mátrixok determiása azoos moduluszú és elletétes előjelű. Ezt a matematikai idukció módszerével igazoljuk. = eseté páros és páratla permutáció. = 3 eseté a permutációkat az előzőekből egy 3 -as beszúrásával képezzük: Ha első helyre szúrjuk be, akkor -vel ő az iverziók száma, így em változik a paritás, ha a második helyre, akkor -gyel ő az iverziók 30

31 száma, megváltozik a paritás, ha pedig a harmadik helyre, akkor em változik az iverziók száma, tehát a paritás sem. 3 páros, 3 3 páratla és 3 3 páros 3 3 páratla, 3 3 páros és 3 3 páratla 3 Látható, hogy az permutációból képezett páros permutációkak va páratla társuk az permutációkból képezett permutációk között és a páratlaokak páros társuk = 4 eseté a permutációkat az előzőekből egy 4 -es beszúrásával képezzük: Ha első helyre szúrjuk be, akkor 3-mal ő az iverziók száma, így megváltozik a paritás, ha a második helyre, akkor -vel ő az iverziók száma, em változik a paritás, ha a harmadik helyre, akkor -gyel ő az iverziók száma, így megváltozik a paritás, ha pedig a egyedik helyre, akkor em változik az iverziók száma, tehát a paritás sem. Például: páratla, páros, páratla, páros 3 4 Így mide permutációból két páros és két páratla permutációt geeráluk, azaz megegyezik a páros és páratla permutációk száma. Az 5-ös beszúrásakor páros permutációból geeráluk három páros és két páratla permutációt, páratla permutációból pedig három páratla és két páros permutációt, de mivel a egyedredű permutációk eseté megegyezik a páros és páratla permutációk száma, következik, hogy az így geerált ötödredűek eseté is megegyezik. A matematikai idukciós lépés a fetiekhez hasoló. 3

32 Ha a -edredű permutációkra igaz, hogy megegyezik a páros és páratla permutációk száma, akkor mide permutációból a + beszúrásával + új permutációt kapuk, páros permutációból darab páratla és + darab párosat, páros permutációból pedig darab páros és + darab páratla permutációt. Így mivel a a - edredű permutációk eseté megegyezik a páros és páratla permutációk száma, következik, hogy az így geerált + -edredűek eseté is megegyezik. Ha a + -edredű permutációkra igaz, hogy megegyezik a páros és páratla permutációk száma, akkor mide permutációból a + beszúrásával + darab permutációt kapuk, amelyekből + páros és + páratla, tehát ebbe az esetbe is megegyezik a páros és páratla permutációk száma. Ha egy M E -es mátrixak ics két azoos sora, akkor az ( ) halmazba összese! olya mátrix va, amelyekek ugyaezek a soraik (más-más sorredbe), ezek determiásai azoos moduluszúak, fele egatív, fele pedig pozitív (ameyibe em mid ulla), így összegük ulla. Ha egy mátrixak két sora azoos, akkor determiása ulla. Tehát az összes determiás összege ulla. b) Összese 04 eleme va az ( ) M E halmazak, a fetiek alapjá a egatív és pozitív determiású mátrixok száma megegyezik, tehát összese a em ulla determiásúak száma páros. Így a ulla determiású mátrixok száma is páros. 3

33 XII. OSZTÁLY = a + b a + b és (, ). Adott a G (, ) az G = itervallum, valamit ( )( b) ( x + y ) + a + b bxy + a b x + y x y =, x, y G xy b + + x y és x y + = + + xy műveletek, ahol ( ) * Igazold, hogy : Megoldás + a, b R, a > 0, N. a) ( G, ) és (, ) b) ( G, ) ( G, )., x, y G G Abel-féle csoport. a) Tekitsük a G = (, ) itervallumot és az műveletet. Ismert, hogy ( G, ) Abel-féle csoport. Az f : G G, f ( x ) ax b f ( x y) = f ( x ) f ( y), x, y G. = + függvéy bijektív és A ( ) x + y x y = + xy g : G G, g x = x + függvéy bijektiv és g ( x y) = g ( x ) g ( y), x, y G Következik, hogy ( G, ) és (, ) b) g f G G. G Abel-féle csoport. : függvéy bijektiv és csoportmorfizmus, következik, hogy ( G, ) ( G, ). 33

34 . Határozd meg azokat az f : függvéyeket, amelyekre: f ( 0) = 0. R R folytoosa deriválható f ( x) f( x) x x + Megoldás. Kiszámítjuk a determiást: ( x + ) f ' ( x ) xf ( x ) = x ( x + ) Osztuk ( x + ) el : ' ( ) ( ) 3 = x + x f x f x = x x + Az egyelőség bal oldalá közös evezőre hozuk ( x + ) f ' ( x ) xf ( x ) x + Osztuk ismét ( x + ) = x el: x, x ( + ) ' ( ) ( ) ( x + ) R és x f x xf x x = x + Most az egyelőség bal oldalá egy törtfüggvéy deriváltja szerepel: f ( x ) x = x + x + f ( x ) És a jobb oldalo is: = l ( x + ) x + Ha két folytoosa deriválható függvéy deriváltjai egyelőek, akkor ezek a függvéyek csak egy álladóba külöbözek egymástól. ( ) f x = l ( x + ) + C x + Legye most 0 x =, következik, hogy ( ) f 0 = C C = 0 A keresett függvéy pedig: f : R R, f ( x ) = ( x + ) l ( x + ) 34

35 3. Adottak az a, x R valós számok és f : R R egy olya 0 primitívvel redelkező függvéy, amelyre f ( x0 ) = a. Számítsd ki az f függvéy primitív függvéyeit, ha az értelmezési tartomáy mide potja helyi miimumpotja f -ek. Megoldás A feltétel alapjá f ( x ) f ( y), x V és f y ( y) f ( x ), y Vx. Ebből következik az, hogy f ( x ) = f ( y), x, y V V. Következik, x y hogy az f függvéy itervallumoko álladó. Ha f primitívvel redelkezik, akkor Darboux tulajdosága va. Ez csak akkor lehetséges, ha f álladó R e. ( ) ( ) f x = a f x = a x R 0, és ( ), f x dx = ax + C x R 4. Határozd meg a valós megoldását! Megoldás 8 = egyelet összes 4 x x 3 x Az egyeletet = 0 alakba írjuk. 4 Legye a =, b x =, c 7 x 3 x =, ekkor 3abc = 8 és 4 az egyelet alakja: a + b + c 3abc = 0 ami ekvivales x x 3 x ( a b c)( a b c ab ac bc) = 0 ( a + b + c) ( a b) + ( b c) + ( c a) = 0 Két esetet külöböztetük meg : () a = b = c, ami em lehetséges x x () a + b + c = = 0 35

36 f x = + 7 folytoosa deriválható függvéy, x x Az ( ) ( ) x x 7 l7 l ( ) f x = x x x x f x = 0 7 l7 l = 0 7 l7 = l x 7 7l = 4 l7 Az f ( x ) = 0 egyeletek egyetle zérus helye va, következik, hogy az f ( x ) = 0 egyeletek legtöbb két zérus helye lehet. Észre lehet vei, hogy f ( ) = 0 és ( ) 0 egyelet megoldásai az és. f =, tehát az adott f x = + 7 függvéy grafikus képe. x x Az ( ) 36

37 II. FORDULÓ IX. OSZTÁLY. Oldd meg az egész számok halmazá a következő egyeletet: 3 x + x + 5 = y Első megoldás 3 A x + x kifejezést x(x + ) alakba írva, az x = 3k, x = 3k +, 3 x = 3k + eseteket vizsgálva megállapítjuk, hogy a x + x kifejezés midig osztható 3 - mal, ezért az egyelőség bal oldaláak 3 mal való osztási maradéka midig. A jobb oldalo pedig egy égyzetszám va, amiek 3 - mal való osztási maradéka em lehet. Következik, hogy az egyeletek ics egész megoldása. Második megoldás ( ) x + x + 5 = 3x + x x x 3 3 ( )( ) ( ) 3 x x 5 3 x x = x x + x maradéka midig. + + hárommal való osztási y hárommal való osztási maradéka 0 vagy. Tehát az egyeletek ics egész megoldása.. Az ABCD trapézba AB CD, AB > CD, N AD úgy, hogy A az ND felezőpotja, C ( MB ) úgy, hogy BC = CM. Tudva, hogy AM NC, határozzuk meg a trapéz alapjaiak aráyát és az AM illetve NC hosszáak aráyát. 37

38 Első megoldás ADC háromszögbe, N AD, AN = ND, k CN = CA + CD, ahoa CN = CA CD k + k + ABC háromszögbe, M BC, CM = MB, 3 k 3 AM = AC + AB, ahoa AM = AC AB. k + k + AB CD α R úgy, hogy AB = α DC AM NC k R úgy, hogy CN = k AM,ahoa 3 α CA CD = k AC DC 3k = 4 k = tehát 3 AB 3 k α 3 = DC = és AM 3 CN = 4 α = Második megoldás: Jelölje P az AM és DC metszéspotját. A feltételek alapjá A felezőpotja az ND -ak és AP NC akkor P felezőpotja a DC - ek. 38

39 De PC AB akkor MPC ~ MAB (a hasolóság alaptétele alapjá), PC MC PM tehát = = =. AB MB AM 3 DC Így AB = 3. NC Másrészt NDC -be AP középvoal akkor AP = AP és AMB -be AM = 3, tehát NC 4 AM = 3 3. Az a és b természetes számok relatív prímek és a, b. Igazold, hogy létezik olya N, amelyre ( a ) b. Megoldás Tekitsük az 0 b a, a, a,, a számok b -vel való osztási maradékait. Ez b + darab számot eredméyez, de b-vel való osztási maradék csak b darab va, így a skatulyaelv alapjá k a a-ak ugyaaz a b-vel való osztási maradéka. k m Így ( a a ) b m ( ) m k m. a ( a ) b és ( ) m < k b szám, amelyre m a és a, b =, következik, hogy k m a, b =, ezért ( a ) b, tehát, ha -el jelöljük a k m számot, akkor a b, és mivel m < k következik, hogy Az ABCD trapézba AB CD. Egy, az alapokkal párhuzamos d egyees az ( AC ) és ( ) metszi. Legye P ( AB) Igazold, hogy a, kollieárisak! BD átlókat redre az E és F potokba, PE AD és Q ( DC ), P Q potok és az ( ) FQ BC. AC szakasz felezőpotja 39

40 Megoldás Legye d AD = { G}, d BC = { H } alapjá: d DC GE = AG () DC AD d DC FH = BH () DC BC AB d DC AG = BH (3) AD BC. A hasolóság alaptétele (), (), (3) alapjá GE = FH GE = FH DC DC APEG, FHCQ paralelogrammák AP = GE = FH = QC AP = QC APCQ égyszög paralelogramma AC és PQ átlók felezik egymást. Tehát a, AC szakasz felezőpotja kollieárisak. P Q potok és az ( ) 5. Jelölje I az ABC háromszögbe írt kör középpotját. Ha a BIC, BIA, CIA háromszögek valamelyike hasoló az ABC háromszöggel, akkor az ABC háromszög szögeiek mértékei mértai haladváyt alkotak. 40

41 Megoldás: akkor m ( IBC ˆ ) m ( BAC ˆ ) ( ˆ ) = m ( ABC ˆ ) és m ( BCI ˆ ) = m ( ACB ˆ ) ahoa Tegyük fel, hogy BIC ~ ABC m BIC ACB ˆ m = m ACB Ha CIA ~ ABC ( ˆ ) elletmodás. akkor m ( ACI ˆ ) = m ( CAB ˆ ), ( ˆ ) = m ( ABC ˆ ) és m ( CAI ˆ ) m ( ACB ˆ ) m CIA ACB ˆ m = m BAC ( ˆ ) BAC ˆ m = m BAC 4 Ha BIA ~ ABC ( ˆ ) BAC ˆ =, = ahoa és m m ( BCA ˆ = ) elletmodás. akkor m ( ABI ˆ ) = m ( CAB ˆ ), ( ˆ ) = m ( ABC ˆ ) és m ( BAI ˆ ) m ( ACB ˆ ) m BIA ABC ˆ m = m BAC ˆ ( ˆ BAC m BCA) = m ( ˆ ). Tehát ( ˆ ), tehát = ahoa ; m ( BIA ˆ ) m ( ABC ˆ ) ABC ˆ m BCA = m 4 és = és 4

42 ˆ ( ˆ ABC m BAC ) = m akkor m ( BCA ˆ ), m ( BAC ˆ ) és m ( ABC ˆ ) mértai haladváyt alkotak. 6. Egy kosárba 04 alma található. Hófehérke mod egy 04 -él * kisebb k N számot. Hapci és Szudi a következő játékot játsszák: Hapci elvesz a kosárból legalább egy, de legtöbb k almát, majd Szudi megismétli az eljárást és folytatják, míg a kosárból az utolsó almát is elveszik. Az yer, aki az utolsó almát kiveszi a kosárból. Hófehérke tudja, hogy midkét törpe agyo jó játékos, és ha va yerő stratégiája, akkor meg is yeri a játékot. Mivel Szudiak agyo rossz apja volt, Hófehérke olya számot szerete modai, amellyel eki kedvez. Segíts Hófehérkéek megtaláli az összes ilye k számot. Megoldás. Ha valamelyik törpéek sikerült eléri azt, hogy k+ alma maradjo a kosárba miutá ő választott, akkor ő fog yeri, hisze a kosárba legkevesebb egy, legtöbb k alma marad, miutá a másik választ, így ő kiveheti a kosárból az összes megmaradt almát. Tehát a 0 alma yerő pozíciót lehet helyettesítei a k+ yerő pozícióval. Ezt a godolatmeetet folytatva, aki először eléri az m k + pozíciót, az yer. ( ) Ha a játék em m ( k ) + darab almával idul, ezt az első játékos elérheti, ha először 04-ek k+-gyel való osztási maradékával m k + darab egyelő számú almát vesz ki a kosárból. Viszot, ha ( ) almával idul a játék, akkor bármeyit is vesz el Hapci, Szudi érheti m k + pozíciót. Tehát Szudi csak akkor yerhet el először az ( ) biztosa, ha a 04 szám k + -ek többszöröse. Mivel 04 = 9 53, ezért 04 osztói:,, 9, 53, 76, 06, 007, 04. Így k lehetséges értékei redre:, 8, 5, 75, 05, 006, 03. 4

43 X. osztály *. Legyeek a, N rögzített számok, valamit ( ) ( ) S = a + a a +. Igazold, hogy az S = x egyelet megoldása pozitív irracioális szám. Megoldás ( + ) ( + )( a + ) x x x S = ( + ) a + = = a x =. ( )( ) Ha (,0) x x úgy, hogy S = : köye belátható, hogy ez lehetetle, mert x < és S 3. Ha x Q \ N úgy, hogy + x p q = és ( ) p N \ { 0,}, ( ) N úgy, hogy S = x * akkor p, q ( q > ) x p p, q =. Tehát S = S =. Mivel q p, q = és q >, következik, hogy p N. S N, tehát feltételezésük em teljesülhet. Ha x N úgy, hogy S = x akkor két eset lehetséges: Ha páros, akkor + páratla ( + 3), Ha páratla, akkor a+ páratla ( a ) ( )( a ) q + 3. Tehát az + + szorzat prímtéyezői között va legalább egy páratla szám. Azoba x + prímtéyezői csak ketteseket tartalmazak. a x = egyelet em teljesülhet, azaz Következik, hogy ( )( ) feltételezésük hamis. Mivel az előző három esetbe elletmodáshoz jutottuk és az S = x egyeletek va valós megoldása, következik, hogy x pozitív, irracioális szám. 43

44 . 04. február 8-á egy matematika taár olya, yolc kérdésből álló feleletválasztós tesztet oldatott meg az osztályával, amelybe mide kérdés esetébe a lehetséges válaszok 0,,,4,8. Miutá összeszedte a dolgozatokat, elárulta, hogy a helyes válaszok sora:,0,,4,0,,0,8. Azt is elárulta ezúttal, hogy em csak a helyes megoldást adó diákok kapak tízest, haem azok a szerecsések is, akik ugya más sorredbe, de potosa ezeket a válaszokat jelölték meg helyeskét. Meyi a valószíűsége aak, hogy valaki véletleszerűe adott válaszok eseté szerecsés legye azap? Megoldás 8 A lehetséges esetek száma 8 kérdés és 5 lehetséges válasz eseté 5. Az,4,8 elhelyezésére = 336 lehetőség va. A megmaradt öt helyre a két -es elhelyezésére 0 lehetőség va. A megmaradt helyekre 0 -kat teszük A kedvező esetek száma A szerecsések száma 3360 = A keresett valószíűség P = Egy N oldalú kovex sokszöget egy rögzített csúcsából kiiduló két átlója három sokszögre oszt fel, melyek szögeiek összege redre S, S, S. Az N mely értékei eseté alkothat S, S és S számtai 3 3 haladváyt? Az N = 0 eseté határozd meg azokak a felbotásokak a számát, amelyekre a feti számtai haladváyba lévő S, S, S összegek közül a legagyobb a legkisebbek egész számú 3 többszöröse! Megoldás Az N oldalú kovex sokszög (N-) darab háromszögre botható fel. Legye S k darab háromszögből álló sokszög. * * Vagyis S = k 80, k N, S = p 80, p N S = [( N ) k p] S, S, S S = S + S 3p = N N = 3p Belátható, hogy mide N = 3p + alakú szám eseté, ahol felbotás megvalósítható, például úgy, hogy * p N a 44

45 S3 Ha N = 0 p = 33 S r = S, r Z, de r 0 3 S = > * r N S S k r S 66 k 66 S k k 3 * = = = N 66 k k D. Tehát k 66 {,,3,6,,,33 }. Mide k {,,3,6,, } érték eseté hat lehetséges felbotás va, a k = 33 esetbe egy lehetséges felbotás va, tehát összese 37 lehetséges felbotás va. 4. Az ABCD paralelogrammába N a CD oldal felezőpotja és M a BC oldalak az a potja, amelyre BM = BC. Jelöljük P -vel az 5 AM és a BN egyeesek metszéspotját. Számítsd ki az ABP háromszög és a PNCM égyszög területéek az aráyát. Megoldás. Meghúzzuk az NQ BC, Q ( AB), szakaszt, mely az AM -et R -be metszi. RQ középvoal az ABM háromszögbe, tehát BM BC QR = = és 5 4 RN = BC. A BPM és az NPR háromszögek hasolóságából 5 5 következik, hogy BP = BN, PM = RP és AP = AM T ABP T ABM = 6 T BPM T BNC T BNC = =

46 3 T PNCM T BNC = 5 5 T ABP T ABM 6 5 AB BM sib = = = T PNCM 3 6 BC CN sic T BNC 5 AB BC = = 6 3 BC AB 5. Adottak az O és O középpotú R illetve r sugarú körök, OO > R + r. Az O poto áthaladó, O középpotú körhöz húzott éritő az O középpotú kört az A és B potokba metszi, az O poto áthaladó, O középpotú körhöz húzott éritő az O középpotú kört C és D potokba metszi. Igazold, hogy az A, B, C, D potok két párhuzamos egyeest határozak meg! Megoldás Az AB a C ( O, r ) kört N -be, a CD a (, ) C O R kört M -be ériti és P az AB és CD egyeesek metszéspotja. Mivel O M O M és 46

47 O N O N következik, hogy az MO P és az NO P háromszögek hasolóak, tehát MO B = NOC. Ie mivel MO B és az NOC háromszögek egyelő szárúak, következik, hogy az O MB = O NC, ahoa azt kapjuk, hogy ezek pószögei a BMP = CNP. Az előbbiekből azt kapjuk, hogy a PMB és PNC háromszögek PB MB R R AB hasolóak, ahoa következik, hogy = = = =, PC NC r r CD ahoa Thalész tétele alapjá kapjuk, hogy BC AD. A bizoyítás más esetekbe is hasolóa végezhető el. 6. Az a, a, sorozatot az a =, a = 43 és a + a + + a a = 5 rekurzióval értelmezzük (ahol ). + Bizoyítsuk be, hogy a sorozat mide eleme egész szám! Első megoldás a = 5 7 = 360, ez is egész szám. 3 a + a + + a Ha 4, akkor a = 5 és a a + a + + a = 5 miatt a = a + a = a 5. 47

48 Azaz 4 eseté ( ) ( ) a ( ) ( ) 3, ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a = 360 = = ezzel beláttuk az állítást. Második megoldás: Nézzük a sorozat elemeiből képzett összegeket, az S = a + a + + a összegeket. Ha belátjuk, hogy az S számok egész számok, akkor a sorozat elemei is egészek. S S a + a + + a =, S = 44 és a = + 5S S =, azaz S = S. miatt Így eseté S ( ) ( ) ( ) = S = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( + 5) ( + 4) ( + 3) ( + ) ( + ) 5 Eek a törtek az értéke egész szám, hisze a számlálóba öt egymást követő egész szám szorzatát látjuk, és ezek egyike osztható 5-tel. Ezzel beláttuk az állítást 48

49 XI. és XII. osztály. Adott az A = {,,3,...,5 } számhalmaz. Legfeebb háy elemű lehet az A halmaz azo H részhalmaza, melybe bármelyik két szám összege em osztható 3 -mal? Első megoldás Az {,5 }, {,4 }, { 3,3 },... {,4 } kételemű részhalmazokak legfeebb egyik-egyik eleme szerepelhet a H részhalmazba. (Mert eze elempárokba szereplő számok összege mid 6, ami osztható 3- mal). Így H -ak legfeebb 5 = 3 eleme lehet. Ez a 3-as elemszám el is érhető. Pl. H = {,4,3,,5,0,7,8,9,6,,4,3 } részhalmaz teljesíti a feladat feltételeit, azaz bármely két eleméek összege em osztható 3 - mal. A bizoyításba felhaszáljuk a következő állítást: Két egész szám összege potosa akkor osztható 3 -mal, ha a 3 -mal való osztási maradékaik összege is osztható 3 -mal. Így az előbbi H részhalmazból vett számok 3 -mal való osztási maradékaiak { 0,,3,5,7,9, } H = halmazába bármely két (em m feltétleül külöböző, kivétel a 0 maradék esete) maradék összege em osztható 3 -mal, ezért a H részhalmazbeli számpárok összegei sem oszthatók 3 -mal 49

50 Második megoldás Szerkesszük egy gráfot, amelyek csúcsai az A halmaz elemei, két csúcsot él köt össze, ha em lehetek egyszerre bee a H halmazba, azaz összegük osztható 3 -mal Bármely két em élszomszédos szám bee lehet egyszerre a H halmazba, tehát mide összefüggő kompoes, amely 4 csúcsú kör két szemközti csúcsába szereplő szám bee lehet a H halmazba viszot egyikből sem lehet kettőél több csúcs a halmazba, a 3 -as is bee lehet, tehát a H halmaz maximum 6 + = 3 elemet tartalmazhat. Igazold, hogy ha egy természetes számokból álló számtai haladváy első tagja köbszám, akkor végtele sok olya tagja va, ami köbszám. Első megoldás. Legye számokat, amelyekre a a 3 = l. 3 = k, szerkesztük olya és l 50

51 3 3 Ehheza a = l k = ( l k)( l + lk + k ) Ha r a számtai haladváy álladó külöbsége, akkor 3 3 ( ) r l k ( l k)( l lk k ) = = + +. Az l és értékeit úgy választjuk meg, hogy l k = pr és l + lk + k =, ahol p * p N, ekkor l = k + pr és = + ( + + ) = + ( ) eseté az p l lk k p k kpr p r a köbszám lesz p Második megoldás * N eseté. Tehát végtele sok ilye tag va. Ha a 3 = k, akkor ( ) k r k 3k r 3k r r + = = ( ) 3 = a + r k + k r + r = a 3k + 3k r + r + 3. Az ABCD kovex égyszögbe az AB és CD oldalak em M AC egy tetszőleges pot és P AD úgy, párhuzamosak. ( ) hogy MP CD, Q BC úgy, hogy MQ AB. Határozd meg az M pot helyzetét, amelyre a PMQ háromszög területe maximális. Megoldás 5

52 MP MQ si( PMQ) T PMQ = MP DC és MQ AB si( PMQ) = si( CD, AB), ami álladó. T PMQ akkor maximális, ha a MP MQ szorzat a legagyobb. MP DC MP CD = AM ; MQ AB MQ AC AB = CM CA MP MQ AM CM = CD AB AC AC CD AB MP MQ = AM CM AC MP MQ szorzat a legagyobb ha az AM MC szorzat a lehető legagyobb AM + MC = AC = álladó, a legagyobb területet akkor kapjuk, ha AM = MC, M az AC átló felezőpotja 4. Egy es mátrix elemei az { },,3,...,007 halmazból vaak úgy, hogy egy-egy sorba illetve egy-egy oszlopba ics két egyelő elem. Megváltoztathatjuk-e úgy éháy szám előjelét, hogy ha összeszorozzuk mide sorba, illetve mide oszlopba az elemeket, az így kapott 04 szám összege 0 legye? Első megoldás. Mielőtt megváltoztaták a számok előjelét mide sorba és mide oszlopba az elemek szorzata 007! Egy szám előjeléek megváltoztatásakor egy oszlopba és egy sorba megváltozik a számok szorzatáak előjele. Így a 04 szorzat közül mide ilye előjelváltáskor két szorzat előjele változik meg, azaz mide lépésbe a egatív és a pozitív szorzatok száma is páros. 5

53 Az összeg abba az esetbe 0, ha 007 darab 007! és ha 007 darab 007! szerepel, ami a fetiek alapjá em lehetséges Második megoldás. A feltételek alapjá bármilye előjel változtatás eseté mide sorba és mide oszlopba az elemek szorzata ± 007! Ezek összege abba az esetbe 0, ha 007 darab 007! és ha 007 darab 007! szerepel, ugyaakkor a 04 darab szám szorzata egyelő a mátrix elemei szorzatáak égyzetével, viszot 007 darab 007! és ha 007 darab 007! szorzata egatív szám, így em lehetséges az előjelek megválasztása úgy, hogy az összeg 0 legye. 5. Az ABC háromszögbe m( ABC ) = 45. Az A csúcsból húzott magasság, a B csúcsból húzott szögfelező és a C csúcsból húzott oldalfelező összefutók. Határozd meg a C szög mértékét! Első megoldás Legyeek AD, BE és CF az A csúcsból húzott magasság, a B csúcsból húzott szögfelező és a C csúcsból húzott oldalfelező, K pedig az összefutási pot. (Ez belső pot, mert a szögfelező és az oldalfelező belső evezetes voalak, így az AD magasság is belső voal) 53

54 BD CE AF BD EA Céva tétele alapjá =, következik, hogy =, DC EA FB DC CE tehát ED AB Tehát ABE BED, ugyaakkor ABE EBD, tehát BED egyelőszárú háromszög, azaz BD = ED Az ABD háromszög egyelőszárú és derékszögű, tehát BD = AD Az előbbiek alapjá AD = DE és m ( ADE ) m ( BAD ) = 45, így az ADE háromszögbe m ( DAE ) = = 67,5 és m C = = DAC háromszögből ( ) 90 67, 5, 5 Második megoldás. Legyeek AD, BE és CF az A csúcsból húzott magasság, a B csúcsból húzott szögfelező és a C csúcsból húzott oldalfelező, K pedig az összefutási pot. (Ez belső pot, mert a szögfelező és az oldalfelező belső evezetes voalak, így az AD magasság is belső voal) BD CE AF BD EA Céva tétele alapjá =, tehát = DC EA FB DC CE Másrészt a szögfelező tétele alapjá EA = c. Ugyaakkor CE a BD tgc =, tehát c tgb = a tgc. DC tgb A sziusz tételt felhaszálva következik, hogy sic R sic = R sia, tehát sia = cosc. cos C Mivel D belső pot, következik, hogy C hegyesszög, tehát ( C ) sia = si 90, de A 90 C, mert B 90, tehát A + 90 C = 80. Tehát A C = 90 és A + C = 35, ahoa C =,5 54

55 Harmadik megoldás Legyeek AD, BE és CF az A csúcsból húzott magasság, a B csúcsból húzott szögfelező és a C csúcsból húzott oldalfelező, K pedig az összefutási pot. Ez belső pot, mert a szögfelező és az oldalfelező belső evezetes voalak, így az AD magasság is belső voal, tehát C hegyesszög. Haszáljuk a következő jelöléseket: AB = a, AC = c,bc = b,bd = u,dc = v, AE = x, EC = y, mivel ABD háromszög egyelő szárú és derékszögű következik, hogy AD = u. ac A szögfelező tételéből: x = a + b, bc y = a + b és x a = y b Ceva tételéből: x v a v = =, de u + v = b, ie kifejezve az y u b u ab u értékét, kapjuk, hogy u = = a a + b, az utóbbi egyelőségből a kifejezve a b értékét, kapjuk, hogy b = = a + a. Ie pedig v = b a = a + a 55

56 AD Számítsuk ki a C szög tagesét: tgc = = =. DC a + a 45 Mivel tg =, következik, hogy a C szög mértéke,5 6. Egy -től 6 -ig megszámozott 6 férőhelyes autóba 6 utasak kell beszálli a következő szabály szerit: az első utas egy tetszőleges helyre ül le az -edik utas, ha {,3,4,5,6 }, leül az -edik helyre ha ez üres. Ha em üres, akkor teszőleges helyet foglal el. Mi a valószíűsége aak, hogy a 6 -ik utas a 6 -ik helyre ül le? Megoldás. Jelöljük T val a lehetséges esetek számát k utas és k hely eseté. k A 6-ik utas vagy az vagy a 6-ik helyre ülhet le. Ha i {,3,4,5 } eseté az i -edik hely üres lee, amikor a 6-ik utas beszáll, akkor ez azt jeleteé, hogy az i -edik utas em foglalta el az i - edik helyet, amikor beszállt, ez viszot elletmod a szabályak. Ez azt jeleti, hogy az első 5 utas vagy az első 5 helyet vagy az utolsó 5 helyet foglalhatja el beszálláskor. Ha a hatodik utas a hatodik helyre ül, akkor az első öt utas az első öt helyet T féle képpe foglalhatja el. 5 Ha a hatodik utas az első helyet foglalja el, akkor az első 5 utas szité T féle képpe foglalhatja el a helyeket (Az -es ülés szerepét átveszi a 5 6-os ülés). Tehát T = T. 6 5 Hasolóa T = T, T T =, A kedvező esetek száma T = 6 5 T 3 a = T és T =. Tehát T = 3 6 Aak a valószíűsége, hogy a 6-ik utas a 6-ik helyre ül le 6 P = = 3 56

57 TANÁROK NÉVSORA A VERSENYEN RÉSZTVEVŐ TANÁROK NÉVSORA Báthori Éva Băruță Cristia-Aa-Maria Betuker Eikő Biró Zoltá Burcică Adrea Deák Éva Gaskó Gabriella Gáspár Mária György Gabriella Jakab Medvéssy Aliz Kovács Lajos Lakatos Imre Miklós Melida Nagy Örs Oláh Ilkei Árpád PállR. Olga Péter Adrás Polcz Zita Simo Jáos Takács Attila Jáos Tamási Csaba Turdea Katali Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita Salamo Erő Elméleti Líceum, Gyergyószetmiklós Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Nagykárolyi Elméleti Líceum, Nagykároly Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Apáczai Csere Jáos Elméleti Líceum, Kolozsvár Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Matei Általáos Iskola, Beszterce Zajzoi Rab Istvá Elméleti Líceum, Négyfalu Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Baróti Szabó Dávid Szakközépiskola, Barót Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Csíki Gergely Főgimázium, Arad Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémet Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Leövey Klára Elméleti Líceum, Máramarossziget Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Silvaia Főgimázium, Zilah 57

58 DIÁKOK NÉVSORA XX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY A VERSENYEN RÉSZTVEVŐ DIÁKOK NÉVSORA Aszalos Szilvia Erzsébet Baja Zsolt Barabás Attila Becze Zsolt Bold Barbara- Biaca Cseke Alpár Csukás Bálit Damokos Kiga Darlati I. Huor Deméy Adrea Beradett Demeter Huor Egri Szabolcs Fogarasi Levete Fogel Péter Forró László Gegő Csege Halmágyi Rube Hammas Attila Hegedűs Erwi Tibor Horváth Abigél Iloa Judit Jakab Emőke Boglárka Kádár Attila Keéz Aa Boglárka Keresztes Levete Kézdi Örs Sebestyé Kis Balázs Kocsis Julia Hedwig Kovács Ferecz Kovács Péter Lakatos Agéla Lovász Botod György Lukács Áro Zsolt Medgyesi Attila Nagy-Galaczi Tamás Oláh Eveli IX. OSZTÁLY Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Csíki Gergely Főgimázium, Arad Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Aray Jáos Elméleti Líceum, Szalota Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Adrei Mureșau Főgimázium, Beszterce Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Brassai Sámuel Elméleti Líceum, Kolozsvár Kölcsey Ferec Elméleti Líceum, Szatmárémet Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Csíki Gergely Főgimázium, Arad Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita Baróti Szabó Dávid Szakközépiskola, Barót Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Csíki Gergely Főgimázium, Arad Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Nagykárolyi Elméleti Líceum, Nagykároly Silvaia Főgimázium, Zilah Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár 58

59 DIÁKOK NÉVSORA Péterfi Orsolya Portik Attila Puskás Bajkó Kamil Sárga Agéla Schefler Bara Stelczer Britta Sütő Boglárka Szabó Áges Szőcs Mariaa Talpă Diaa Takó-Gábor Tihamér Tőtős György Trimfa Ego Veress Szilárd Veres-Vitályos Álmos Vitus Regia Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémet Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Református Kollégium, Kézdivásárhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Silvaia Főgimázium, Zilah Baróti Szabó Dávid Szakközépiskola, Barót Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy 59

60 DIÁKOK NÉVSORA XX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Baka-Bálit Áro Batiz Orsolya Berta Biaka Bod Réka Barbara Boldizsár Zoltá Boros Zoltá Burcica Cristia-Daiel Burus Edre Cara Alessio Dudas Norbert Élthes Zoltá Zsombor Füstös Áges Gábor Csaba László Gál Krisztia Gergely Attila Gombos Kriszta Gyéresi Ibolya Kreszcecia Hegedüs Huor Kovács Yvoe Juhász Dóra Kiss Gergely Kovács Ádám Kovács Ákos Kovacs Béla Kovács Gyula Kovács Ivett Kovács Levete Kovács Patrik Lukács Róbert Magdó Sádor Magos Zsolt Márkos Zsolt Máthé Orsolya Miklós Botod Moldova Balázs Molár Szilárd Móré Zsejke Nagy Attila Levete Olteá-Péter Boróka Osztiá Pálma Rozália Pallai Dorottya Papp Adrea Kiga Rab Zsolt Roszpapa Dávid Schefler Gergő Sisa Richárd Sütő Ágosto Szép Márto X. OSZTÁLY Jáos Zsigmod Uitárius Kollégium, Kolozsvár Apáczai Csere Jáos Elméleti Líceum, Kolozsvár Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Mikes Keleme Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémet Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Csíki Gergely Főgimázium, Arad Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Református Kollégium, Kézdivásárhely Silvaia Főgimázium, Zilah Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Csíki Gergely Főgimázium, Arad Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita Leövey Klára Elméleti Líceum, Máramarossziget Aray Jáos Elméleti Líceum, Szalota Lórátffy Zsuzsaa Református Gimázium, Nagyvárad Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Kölcsey Ferec Elméleti Líceum, Szatmárémet Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Zajzoi Rab Istvá Elméleti Líceum, Négyfalu Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Mikes Keleme Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Leövey Klára Elméleti Líceum, Máramarossziget Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémet Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémet Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémet Csíki Gergely Főgimázium, Arad Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémet 60

61 DIÁKOK NÉVSORA Baricz Aita Beilad Arold Biró Eikő Bocz Péter Csala Huor Csutak Balazs Domokos Kamilla Ecsedi Flóra-Rebeka Erősdi Zakariás Farkas Eszter Füsüs Bettia Juliáa Gagyi Mátyás Gotha Gütter Gyarmathy Tímea Heidehoffer Erhard Horváth Ilka Horvay Balázs Ieesca Rolad Imre Lajos Juhos Attila Kocz Botod Kopacz Aikó Kovács Péter Róbert Kucsvá Zsolt Lazar Jáos Lőriczi Norbert Marthi Adrea Mester Attila Nagy Dáiel Nagy Imola Nagy Istvá Nagy László Nagy Lilla Pál Tamás Pap S. Ervi Istva Simo Ádám Sólyom Gellért Szabó Izabella Szász Apolka Székely Attila Tókos Dezső Tóth Ákos Adrás Vass Péter Veres Kicső XI. OSZTÁLY Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Nagykárolyi Elméleti Líceum, Nagykároly Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Orbá Balázs Elméleti Líceum, Székelykeresztúr Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Kölcsey Ferec Elméleti Líceum, Szatmárémet Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Nagykárolyi Elméleti Líceum, Nagykároly Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Salamo Erő Elméleti Líceum, Gyergyószetmiklós Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Kölcsey Ferec Elméleti Líceum, Szatmárémet Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Silvaia Főgimázium, Zilah Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Adrei Mureșau Főgimázium, Beszterce Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Csíki Gergely Főgimázium, Arad Baróti Szabó Dávid Szakközépiskola, Barót Salamo Erő Elméleti Líceum, Gyergyószetmiklós Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Nagykárolyi Elméleti Líceum, Nagykároly Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely 6

62 DIÁKOK NÉVSORA XX. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Borbély Ador Buidi Thomas Imre Cyrille Csáki Tamás Csegzi Gergely Dávid Márk Tamás Farkas Pál Kristóf Forgács Ákos Gál Béi Gulyás Beatrix Hegedüs Zsófia Kálmá Noémi Ildikó Kari Tamás Katoa Boglárka Keleme Szabolcs Kolumbá Atal György Látzky Aa Léva Norbert Lorezovici Zsombor Mag Istvá Magdó Dorottya Makkai Haa Borbála Megyesfalvi Botod Rétyi Dorottya Szász Tamás Csaba Székely Lórád Norbert Szilágyi Ottó Tamási Tímea Tóth Melida Veres Mirjám XII. OSZTÁLY Salamo Erő Elméleti Líceum, Gyergyószetmiklós Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Orbá Balázs Elméleti Líceum, Székelykeresztúr Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszetgyörgy Csíki Gergely Főgimázium, Arad Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Nagykárolyi Elméleti Líceum, Nagykároly Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Tamási Áro Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Báthory Istvá Elméleti Líceum, Kolozsvár Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Ady Edre Elméleti Líceum, Nagyvárad Márto Áro Elméleti Líceum, Csíkszereda Áprily Lajos Főgimázium, Brassó Horváth Jáos Elméleti Líceum, Margita 6

63 TÁMOGATÓK TÁMOGATÓINK Városi Szíház Képzőművészeti Múzeum Petőfi fi-teleki Múzeum, Koltó Limes Com KFT Biro Tech Eesis yomda Floare de Colţ Pazió Colegiul Tehic "C.D. Neiţescu" Baia Mare Petőfi Sádor Általáos Iskola, Koltó A Véső Ágosto vezette Képzőművészeti Egyesület Desig: Mészáros Julka Bertóti Johaa Altă Opţiue Maravet KFT Coquett Kultúrális programok: A Németh László Elméleti Líceum kórusa A Schöherr Gyula Törtéelmi kör tácosai Koltói Somfa Néptácegyüttes Berea Zeekar és Csíki Árpád Torpedó Mares Haa Nicolae Iorga Általáos Iskola Hosszúmezői Általáos Iskola A Németh László Elméleti Líceum XII. A, X.C, XI.C, IX.B, VII. osztályaiak szülői közössége Sporttevékeység: Jakab Ferec 63