Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Átírás

1 Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok stratégiáitól Feladat. Legye m pot adott a síko! Két játékos egymásutá összeköt bármely két még összekötetle potot egy ívvel úgy, hogy ez az ív egyetle korábbi ívet se metssze el. Az a játékos yer, aki behúzza az utolsó ívet. m = Megoldás. Ha, akkor a kezdő játékos a yerő. Legye m >. Ebbe az esetbe a következőt fogjuk felhaszáli: Euler-tétele. Legye m pot adott a síko és darab egymást em metsző ív, amelyek mid valamely két potot kötik össze, de em haladak át a visszamaradó m poto. Legye az így megadott sík l részre osztva. Ha bármely potból lehetséges eljuti bármely másik potba a megadott ívek meté, akkor következik, hogy m + l =. A játék végé ( m > ) egy olya térképet kapuk, amelye bármely két pot ívekből álló láccal va összekötve. A térkép mide része 3 ívvel va határolva, azaz = 3l. Eulertétele alapjá következik, hogy az szám, az ívek száma egy ilye térképe a következővel egyelő: 3( m ). De az ívek száma egy ilye térképe megegyezik a lépések számával a játékba. Így, ha m egy páratla (páros) szám és, akkor az első (második) játékos a yerő. m >. Rész SZIMMETRIA Itt olya matematikai játékokat foguk megézi, ahol a yerő játékos alapvetőe a szimmetria ötletét haszálja fel..1. Feladat. Egy kupacba 199 darab kő va. Két játékos vesz részt a következő játékba: egy lépésbe midkettejük csak olya számú követ vehet el, ami osztója az előző játékos által elvett kövek számáak. A kezdő játékos első lépésbe bármeyi követ elvehet, de em az összeset. Az a játékos yer, aki elveszi az utolsó követ. Megoldás. A kezdő játékos a yerő. Az első lépésébe 8 követ vesz el, és így 1984 = kő marad vissza. Ezutá megismétli a második játékos mide lépését. A második játékos csak 1,, 4 vagy 8 követ vehet el. Az is igaz, hogy 16 osztja az 1984-et. Ezért a lépések száma egy páros szám lesz (az első lépést leszámítva). Így a kezdő játékos fogja megtei az utolsó lépést.

2 1,,...,.. Feladat. Egy körö pot va beszámozva a következő módo:. Két játékos egymás utá összeköt két, azoos paritású potot egy húrral. Egyik húrak sicse közös potja egy már létező másik húrral (még a csúcspotjuk sem). Az a játékos veszít, akiek ics több lépése. Megoldás. A második játékos a yerő, ha = 4 k +. A kezdő játékos a yerő mide más esetbe. Tekitsük úgy, hogy a megadott potok egy szabályos -szög csúcsai. 1. Eset Legye = 4k. A kezdő játékos először berajzolja az első lépésébe a kör átmérőjét, és ezutá mide lépésébe az átmérőre szimmetrikusa követi a második játékos lépéseit.. Eset Legye = 4 k +. Ekkor a második játékos az első játékos mide lépését a kör középpotjára szimmetrikusa követi. Itt azt a legfotosabb felismeri, hogy az átlósa elletétes potok elletétes paritásúak. 3. Eset Legye = 4 k + 1. Ekkor a körö va két szomszédos páratla pot: az 1 és az. A kezdő játékos első lépésébe összeköti az 1 és 3 számozású potokat, és így tulajdoképpe átalakítja a játékot az ( 1) = 4 k + esetre, ahol a kezdő játékos a vesztes. 4. Eset Legye = 4 k + 3. A kezdő játékos az első lépésébe összeköti a k + 1 és k + 3 számozású potokat. Ezutá ha megpróbáljuk képzeletbe a visszamaradó 4 +1 k potot úgy mozgati, hogy egy szabályos ( 4 k +1) szöget alkosso, akkor az átlósa elletétes potok elletétes paritásúak leszek, és ebbe a játékba a második játékos a vesztes.

3 m.3. Feladat. Adott egy kiterjedésű, egységégyzetekből álló mező. A játékosok egy lépésbe egy tetszőleges egységégyzetet szíezhetek be a következő szabály szerit: em lehet kettőél több égyzetet beszíezi akármelyik olya égy darab égyzetből, amelyek két tetszőleges sor és két tetszőleges oszlop metszésébe helyezkedek el. Az a játékos veszít, akiek icse több lépése. Ki fog yeri egy becsületes játék eseté? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) 4 6 ; ii) 5 5 ; iii) ; iv). 4 7 m Megoldás. Az ii) esetbe, és mide egyéb esetbe, ahol az m és számok páratla számok, ott a kezdő játékos fog yeri. A következő szimmetrikus stratégiát kell követie: az elejé beszíezi a középpotba elhelyezkedő egységégyzetet, és ezutá a második játékos lépéseit követi szimmetrikusa. Amikor a mezőek legalább az egyik oldala páros oldal, akkor forgassuk el godolatba a mezőt úgy, hogy a sorok száma páros legye. A kezdő játékos mide lépése utá a második játékosak ugyaabba az oszlopba kell beszíezie egy egységégyzetet. A két sor, ahol a játékosok már beszíeztek, most már zárt. A második játékosak ezutá egy új fog kell beszíezie, a második játékos erre szité egy ugyaabba az oszlopba törtéő beszíezéssel válaszol, és további két sor zárt lett. De a sorok száma páros, és így a kezdő játékos em fog tudi többször lépi. A második játékos fog yeri. 3. Rész JÁTÉKOK POLINOMOKKAL Az ilye típusú játékokra az jellemző, hogy a poliomok együtthatóit kell speciálisa úgy megválasztauk, hogy aztá a poliom gyökei megfelelő tulajdoságúak legyeek. Ehhez a következő tételt szükséges felhaszáluk. Tétel. Ha az f ( x) függvéy folytoos az [ a,b] itervallumo és f( a) f( b) < 0 akkor létezik egy olya c pot, hogy f c =. () Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 f ( x) = x + a1x + ax + a3 = 0. Két játékos játssza a következő játékot az első játékos egy valós számot ír az egyelet egyik együtthatójáak a helyére, aztá a második játékos ugyaezt elvégzi egy másik együtthatóval. Végül a kezdő játékos ugyaeze módo megváltoztatja az utolsó együtthatót. A kezdő játékos a yerő, ha az egyeletek három külöböző valós gyöke va. Ellekező esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. A kezdő játékos yerheti meg a játékot a következő stratégiával: Az első lépése az, hogy úgy változtassa meg az a együtthatót, hogy 1+ a < 0 legye. Továbbá, a

4 második játékos lépése utá úgy választja meg az utolsó visszamaradó együtthatót, hogy a1 + a3 = 0 legye. Ekkor f () 1 = 1+ a1 + a + a3 < 0 és f ( 1) = 1+ a1 a + a3 > 0. A Tételt felhaszálva arra a következtetésre jutuk, hogy az f ( x) függvéyek három valós, 1, 1, 1, 1, itervallumoko. gyöke va redre a ( ) ( ) ( ) 3.. Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: x + x + = 0 amibe mide csillag egy valós együttható jelet. Két játékos a következő játékot játssza: A kezdő játékos kiválaszthat bármely három valós számot, és a második játékos elhelyezi őket a csillagok helyére, olya sorredbe, ahogy akarja. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott egyeletek két külöböző racioális gyöke va. Megoldás. A kezdő játékos lesz midig a yerő, ha úgy választ három külöböző a, b, c egész számot az együtthatókak, hogy a + b + c = 0. Ekkor az egyelet gyökei a következők leszek: c x 1 = 1, x =, ( c a ). a 3.3. Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 ( x) = x + a x + a x + a = 0 f 1 3. Két játékos egymás utá felcseréli az egyelet együtthatóit (em feltétleül az a1, a, a3 sorredbe) em ulla egész számokkal. A kezdő játékos a yerő, ha az f ( x) függvéyek va legalább két külöböző egész gyöke. A második játékos a yerő bármely más esetbe. Megoldás. A kezdő játékos a yerő, ha az első lépése a = 1 és a második lépése (harmadik lépés a játékba) a második játékos lépéséek elletettje. Így az f ( x) függvéy a következő kétféle módo fejezhető ki: 3 x + ax x a = ( x + x vagy 3 x ax x + a = ( x a)( x 1). f x függvéyek lesz két külöböző egész gyöke: + 1 és 1. Ezért az így kapott ( ) 3.4. Feladat. Adott az 4 3 f ( x) = x + a1x + ax + a3x + a4 = 0 egyelet. A játék a következő: az első játékos az egyik együtthatót lecseréli egy em ulla egész számra, aztá a második játékos választ em ulla egész számokat a maradék három együttható helyére. Ha az függvéyek va legalább kettő külöböző egész gyöke, f ( x) akkor a második játékos a yerő, ellekező esetbe a kezdő játékos fog yeri. Megoldás. A kezdő játékos a yerő, ha a4 = 1-t választja. Ekkor az 4 3 x + a1x + ax + a3x 1 = 0 egyelet egész gyökei már csak (+1)-gyel vagy (-1)-gyel lehetek egyelők. De ha ezek az függvéy gyökei, akkor f ( x)

5 ahoa a = 0 a és a, 1 + a + a3 = a a3 = 0, ami lehetetle a játék szabályai alapjá Feladat. Egy táblára fel va írva a következő egyelet: 3 f ( x) = x + x + x + = 0. A kezdő játékos mod egy valós számot és a második játékos elhelyezi ezt bármelyik csillag helyére. Ezutá a kezdő játékos megit mod egy valós számot, amit a második játékos elhelyez a visszamaradó két csillag egyikére. Végezetül a kezdő játékos az utolsó csillag helyére elhelyez egy valós számot. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott egyeletek három külöböző egész gyöke va. Bármely más esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. A kezdő játékosak va yerő stratégiája. Az első számak, amit mod, a 0-ak kell leie. 1. Eset Ha a második játékos a 0-t az utolsó csillag helyére teszi, akkor 3. Ezutá a kezdő játékos a -es számot választja, majd végül a -3- f ( x) = x + x + x at. Ekkor f ( x) = x( x 1)( x ) vagy f ( x) = x( x 1 )( x + 3).. Eset Ha a második játékos a 0-t az első csillag helyére teszi, akkor következik, hogy ( x) x + bx c. Ezutá a kezdő játékos a f = 3 + ( 345) c = = f() x = x x+ 345 x 345 és számot modja. Ha a második játékos ezt a számot b helyére teszi, akkor 0, és ha c helyére teszi, akkor a kezdő játékos a b számot választja. Így redre ( )( ) ( x) = ( x + 3 )( x + 4 )( x 5 ) f. 3. Eset Ha a második játékos a 0-t a második csillag helyére teszi, akkor következik, 3 3 hogy. Ezutá a kezdő játékos a következő számot modja: és ( x) = x + ax c f + ezutá a következő lépést választja: a = 7 vagy c f( x) = x+ 7 x 3 7 x 6 7 és ( )( )( ) = 6 ( )( )( ) f( x) = x 67 x+ 367 x Így redre Feladat. Két játékos egymás utá megváltoztatja a következő poliom együtthatóit egész számokra: ( ) 1000 P x = a0 + a1x + ax... + a1000x. A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott poliom midig ugyaayi maradékot ad 6-tal osztva mide egész x számra. Ellekező esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. Vegyük észre, hogy bármely k egész szám eseté a 6 osztja a következő 3 kifejezéseket: és k 4 k = k k 1 k k+ 1. Ezért, hogy a következő poliom k k = ( k 1) k( k + 1) ( ) ( ) 3 4 ( x) = ax + bx + cx dx Q +

6 mide k egész szám eseté osztható legye 6-tal, elegedő, hogy a következő feltételek teljesüljeek: a + c = 0 és b + d = 0. Egyesítsük a P( x) poliomba a tagokat az első hatváytól a egyedik hatváyig, az ötödik hatváytól a yolcadik hatváyig és így tovább. A végé azt kapjuk, hogy k ( ) = 49 4k P x = a0 + x fk ( x), k= 0 az f k ( x) függvéyekek általáos alakja ugyaaz, mit a Q ( x) függvéyé. Így a kezdő játékos a következő stratégiát választhatja: a 0 helyére a kívát maradékot teszi, és ezutá pedig mikor a második játékos kiválasztja az f k ( x) függvéy egyik együtthatóját, úgy kell válaszolia, hogy az együtthatók kielégítsék a megfelelő egyelőségeket: a + c = 0 és. b + d = 0 Az így kapott egész együtthatójú ( x) kiválasztott a 0 maradékot fogja adi 6-tal osztva. P poliom bármely x egész szám eseté a 3.7. Feladat. Adott a P ( x) = x + *x + *x *x + * x + 1 poliom. Két játékos egymás utá lecseréli a poliom csillagait egész számokra (általáosa - 9 lépés). A kezdő játékos a yerő, ha az így kapott poliomak icse valós gyöke. Ha a poliomak va legalább egy valós gyöke, akkor a második játékos yer. Lehetséges-e, hogy midig a második játékos yerje a kezdő játékos lépéseitől függetleül? Megoldás. A válasz: Ige, eki va yerő stratégiája, bárhogya is játszik a kezdő játékos! 9 csillagot kell megváltoztati 5 páratla hatváyhoz és 4 páros hatváyhoz tartozót. Ha a kezdő játékos egy páros (páratla) hatváy melletti kitevőt változtat meg, akkor a második játékosak egy páratla (páros) hatváy melletti együtthatót kell megváltoztatia. Így 7 lépés k utá két csillag marad hátra az x és legalább az egyike páratla szám, és a második játékos lépése következik. A hét lépés utá legye a következő a poliom: Két eset létezik: P P k l ( x) Q( x) + αx + βx =. i) k - páros szám, l - páratla szám. Ekkor: l x hatváyok mellett, ahol a k és l számokak () = Q() 1 + α + β, P( 1) = Q( 1) + α β, P( 1) + P( 1) = Q( 1) + Q( 1) + α. 1 A 1 [ 1 P 1 + P 1 = második játékosak a következőt kell választaia: α = Q () 1 + Q( ) játékos lépéseitől függetleül azt fogjuk kapi, hogy: ( ) ( ) 0 P () 1 = P( 1) = 0 és a P( x) P () 1 = P( 1), azaz P(1) P( 1) < 0 és ekkor a ( x) 1,1] ]. Ezért a kezdő. Így, vagy poliomak már va két valós gyöke: (+1) és (-1), vagy P poliomak legalább egy valós gyöke lesz a [ itervallumo, (lásd az ábrát eek a részek az elejé).

7 ii) k és l - páratla számok. Ekkor: P( 1) = Q( 1) α β, () () k l P = Q + α + β, l l k l ahoa: P( 1) P() Q( 1) Q() ( ) + = + + α. l Q( 1) + Q() A második játékosak ekkor a következőt kell választaia: α = k l. Ezért l a kezdő játékos utolsó lépésétől függetleül azt fogjuk kapi, hogy: P( 1) + P() = 0. Így, vagy P ( 1 ) = P( ) = 0 és a P ( x) poliomak va két valós gyöke: (-1) és (+), l vagy P( 1) = P() azaz P( 1) P() < 0 és a P ( x) poliomak lesz legalább egy valós gyöke a [ 1, itervallumo, (lásd az ábrát eek a részek az elejé). 4. Rész MINIMAX ] Ebbe a részbe olya játékokat foguk megézi, amibe mide játékos yereméye változtatható bizoyos számokkal, és ezek a számok a játékosok lépéseitől függeek, és midkét játékos öveli szereté a yereméyét. A játékokba a két játékos által megszerezhető yereméy összege kostas lesz, függetle a játékosoktól. A játékosok érdekei elletétesek, mivel ha az egyik játékos jutalma megő, akkor a másiké csökke Feladat. Egy fiú és egy láy eloszt egymás között 10 csomagot a következő módo: a fiú szétosztja őket két halomba és láy elviszi az egyik kupacot. Meyi csomagot vihet el a láy, illetve a fiú? Megoldás. Midkette potosa 5 csomagot fogak elvii. Ugyais a fiú em fogja őket két eltérő kupacba osztai, mert akkor a láy a agyobbat fogja elvii. A fiú érdeke az, hogy a láy részét olya kicsire állítsa be, ameyire csak lehet. Az ilye típusú stratégiákat hívjuk miimax stratégiáak. ( ) 1,, 3,..., Feladat. Az számokat felírtuk egy táblára. Két játékos egymás utá + ) a vagy ( jelet teszi mide szám elé. Mide még szabad szám elé rakható jel. A kezdő játékos a végé a lehető legkisebb abszolútértékű összeget akarja kapja, de a második játékos a lehető legagyobb abszolút értékű összeget akarja eléri. Mekkora értéket érhet el a második játékos? Megoldás. A második játékos által elérhető legagyobb összeg a 30. Most tekitsük a második játékos stratégiáját, hogy elérje a lehető legagyobb összeget. A számokat 10 párra osztjuk: ( 1, ), ( 3, 4),...,( 19, 0). A kezdő játékos mide lépésébe valamilye jelet fog tei mide párba a agyobb szám elé, a második játékos erre az elletétes jellel fog válaszoli a számpár másik tagjáál. Csak egyetle esetbe, mikor a kezdő játékos egy jelet tesz az utolsó számpár egyik tagja elé, akkor kell a második játékosak ugyaazt a jelet teie ugyaaak a számpárak a másik tagja elé. Nyilvávaló, hogy az így kapott összeg abszolútértéke em kevesebb, mit: = 30.

8 Most be fogjuk bizoyítai, hogy a kezdő játékosak megva a lehetősége, hogy a második játékos összegét em többre, mit 30-re korlátozza. A visszamaradó számok közül a legagyobb elé elletétes előjelet kell teie, mit ami az összeg előjele abba a pillaatba (ha az összeg 0, akkor a kezdő játékos ( + ) jelet tesz). Tekitsük a játék egyik példáját és legye a k-lépés az utolsó lépés, amikor az összeg előjelet cserél (beleértve azokat a lépéseket is, amikor az összeg 0). Az első k 1 lépésbe yilvávalóa fel leszek haszálva a 0, 19, 18,..., 0 ( k 1) számok. Ekkor a lehetséges legagyobb abszolútértékű összeg a k-lépés utá: 0 ( k 1) + 0 k = 41 k. Ezutá a következő mide 10 k lépésbe az összeg miimum eggyel csökke, mivel az első játékos mide lépésbe az összeg abszolútértékét a visszamaradó számok közül a legagyobbal, m -mel csökketi, és a második játékos ezt em többel, mit m 1-gyel tudja öveli. Így a végső eredméy em lehet több, mit 41 k 10 k = 31 k. ( ) ( ) Rész NYERŐ STRATÉGIÁK Az alább következő feladatokba a játékosok egyikéek va yerő stratégiája Feladat. Adott egy 3 3 -as kiterjedésű táblázat és 9 egységyi kiterjedésű kártya. Mide kártyára a következő számok egyike va felírva: a 1 < a <... < a9. Két játékos egymás utá a még felhaszálatla kártyák egyikét a táblázat egyik még szabado lévő mezőjére helyezi. Miutá felhaszálták az összes kártyát, a kezdő játékos összeadja a legfelső és legalsó sorba lévő 6 számot, és a második játékos pedig összeadja a jobb és bal oldalo lévő oszlopokba található 6 számot. Az a játékos yer, akiek agyobb az összege. Megoldás. Vagy az első játékos yer, vagy dötetle a játszma. Ha a 1 + a9 > a + a8, akkor a kezdő játékos az a9 -et helyezi az 1-es mezőre, és a második lépésbe a -t vagy a1 -t tesz a -es vagy 3-as mezők egyikére. Ha a 1 + a9 < a + a8, akkor a kezdő játékos a1 -t tesz a -es mezőre és a második lépésbe a 9 -t vagy a8 -t tesz az 1-es vagy 4-es mezők valamelyikére. Ha a 1 + a9 = a + a8, akkor a kezdő játékos a fetebb leírt stratégiák egyikét haszálhatja. 1 3

9 Feladat. Adott egy oldalú kovex poliéder. A poliéder mide csúcsából potosa 3 darab él idul. Két játékos egymás utá felírja a evét az egyik szabad oldalra. Az a játékos yer, aki először írja fel a evét három olya oldalra, amik egy csúcsba találkozak. Megoldás. A kezdő játékos yer. Szükséges, hogy bebizoyítsuk az elejé, hogy létezik egy olya csúcs, ami em egy 3 háromszög. Legye mide oldal egy háromszög! Ekkor a poliéderek éle va, mivel mide csúcsból három él idul és mide él egyszerre két csúcshoz is tartozik. Csúcsok száma + Oldalak száma Élek száma =, azt Felhaszálva Euler tételét ( ) 3 kapjuk, hogy = +, azaz = 4, ami elletmodásba áll a játék feltételeivel. Így va egy olya oldal, hívjuk ezt A 1 -ek, ami em egy háromszög. Az első játékosak fel kell íria a evét A 1 -re. A kezdő játékosak a második lépésébe fel kell íria a evét az A oldalra, ami az A1 oldallal határos, valamit szité va közös éle az A3 és A4 szabad oldalakkal, amik szité A 1 mellett fekszeek (ez biztosa lehetséges, mivel a második játékos csak egy A 1 mellett elhelyezkedő oldalt tud felhaszáli). A harmadik lépése végé a kezdő játékos felhaszálhatja az A3 vagy A4 oldalak egyikét, azt, amelyiket a második játékos még em haszált fel. Így a kezdő játékos yer. 6. Rész SZÁMELMÉLET 6.1. Feladat. Két játékos egy p -jegyű számot ír fel az 1,, 3, 4, 5 számjegyek felhaszálásával. A kezdő játékos írja fel az első jegyet, a második írja fel a második jegyet, a kezdő játékos írja fel a harmadik jegyet és így tovább Ha a kapott szám osztható 9-cel, akkor a második játékos yer. Ellekező esetbe az első játékos yer. Megoldás. Jelöljük a kezdő játékos által felírt számjegyeket a következőkkel - a1, a,...,a p, a második játékos által felírt jegyeket pedig a b1,b,...,bp számokkal és legye S a + a a + b + b = 1 p 1 b p. 1. Eset Ha p = 3m, akkor a második játékos a yerő a következő stratégiával: bi = 6 a i, ekkor az összeg S = ( a1 + b1 ) + ( a + b ) ( a p + bp ) = 6 p = 18m, ami osztható 9-cel, azaz a kapott szám osztható 9-cel.. Eset Ha p = 3 m + 1 vagy p = 3 m +, akkor a kezdő játékos a yerő a következő stratégiával: a 1 = 3 és ezutá a i = 6 bi 1, ekkor az összeg S = a1 + ( a + b1 ) + ( a3 + b ) ( a p + bp 1) + bp = 3 + 6( p 1) + bp Ha p = 3 m + 1, akkor az S = 18 m + ( 3 + b p ) összeg em osztható 9-cel, mivel 3 + b p 4 és 8 között va.

10 Aalóg módo, ha p = 3 m +, akkor az S = 18 m bp összeg em osztható 9-cel, mivel b p 1 és 5 között va. 6.. Feladat. Két játékos egy p -jegyű számot ír fel a 6, 7, 8, 9 számjegyek felhaszálásával. A kezdő játékos írja fel az első számjegyet, a második játékos a másodikat, a kezdő játékos a harmadikat, és így tovább Ha az így kapott szám osztható 9- cel, akkor a második játékos yer. Ellekező esetbe a kezdő játékos yer. Megoldás. 1. Eset Hap = 3, akkor a második játékos yer. A kezdő játékos mide lépése utá egy olya számjegyet ír, ami a kezdő játékos által előtte felírt számjeggyel összeadva 6-os maradékot ad 9-cel osztva. (6 utá a második játékos 9-et ír, a további ilye számpárok pedig:,, ) p = 3 +. Eset Legye 1. Ekkor a kezdő játékos yer. A kezdő játékos lépése bármi lehet 9 kivételével. Ezutá a második játékos mide lépése utá egy olya számjegyet ír fel, ami a második játékos által előtte felírt számjeggyel összeadva 6-os maradékot ad 9-cel osztva. A kezdő játékos ilye stratégiája eseté a számjegyek összege az első és utolsó számjegy kivételével osztható lesz 9-cel. De az első számjegy em 9, és így az összes számjegy összege em osztható 9-cel. 3. Eset Ha p = 3 +, akkor a kezdő játékosak va yerő stratégiája a következő módo: a kezdő játékos első lépése a 9-es számjegy. Ezutá a második játékos mide lépését az utolsó kivételével hasoló módo válaszolja meg, mit a. Esetbe. Ha a második játékos lépése, ami az utolsó előtt va, em 9, akkor a kezdő játékos a 9-et választja. Ezzel a stratégiával a számjegyek összege az első élkül és az utolsó 3 élkül osztható 9-cel. A égy redkívüli számjegy között pedig legalább egy va, ami külöböző 9-től. Így eze 4 számjegy összege em osztható 9-cel és ugyaez igaz az összes számjegyre is Feladat. Néháy játékos, akik egy kör alakú asztal mellett ülek, az óramutató járásával megegyező iráyba vaak számozva. Az első játékosak eggyel több eurója va, mit a másodikak, a másodikak eggyel több, mit a harmadikak, és így tovább, mide játékosak eggyel több eurója va, mit a rákövetkezőek. Az első játékos egy eurót ad a második játékosak, a második játékos eurót ad a harmadikak, és így tovább, mide játékos eggyel több eurót ad a rákövetkezőek, mit ameyit ő kapott. A játék addig folytatódik, amíg lehetséges. A játék végé kiderül, hogy az egyik játékosak égyszer ayi eurója va, mit a szomszédjai egyikéek. Háya vaak a játékosok, és háy eurója volt a játék elejé a legszegéyebbek? Megoldás. Legye a játékosok száma és legye közülük a legszegéyebbek (például az. játékosak) x eurója a legelejé. A játék szabályai szerit az első kör utá a játékosokak (a számozásuk szerit) x +, x + 3,..., x + 1, x, x 1 eurója va. Ezutá a játék x körö keresztül folytatódik, amíg az. játékosak elfogy az x eurója. Ekkor a játék végé a játékosokak redre x + ( x + 1 )( 1),, 3,...,, 1, 0 eurója va. Mivel az 0, 1,,..., számok egymást követő természetes számok, ezért csak az első játékosak lehet 4-szer ayi péze, mit az egyik szomszédjáak. De a szomszédjai a. és. játékosok. Mivel az utolsó játékosak 0 eurója va a játék végé, ezért a feltételek alapjá a következő egyeletet kapjuk: x + ( x + 1)( 1) = 4( ), azaz x = = 3.

11 Ezért a 7 osztója, és így csak 1 vagy 7 lehet. De ha = 1, akkor azt kapjuk, hogy x < 0, ami lehetetle. Így = 7 és x =, azaz 7 játékos va az asztal körül és közülük a legszegéyebbek eurója volt a játék elejé. Megjegyzés. A feti érvelés azzal a feltételezéssel készült, hogy x 0, de köye látható, hogyha x = 0, akkor a feladatba leírt szituáció lehetetle lee. motoros 6.4. Feladat. k motorosak ( k 1) ( i 1,,..., k = ) a teljes távolság A-ból B -be kell utazia. Az első apo az M i 1 részét tette meg, ahol i egy pozitív egész i szám. A második apo a visszamaradó út 1 részét tette meg, ahol m i egy pozitív egész m i szám. A harmadik apo a második ap utá visszamaradó távolság 1 részét tette meg, a i 1 egyedik apo pedig a harmadik ap utá visszamaradó távolság részét tette meg. Az m i ( m i, i ) ( ) és m j, j természetes számokból álló számpárok külöbözők, ha i j,( i, j =1,,..., k ). A egyedik ap végé kiderült, hogy az összes M i motoros potosa az út m 3 részét tette meg A és B között. 4 i) Keressük meg a legagyobb lehetséges pozitív k számot; ii) Melyik M i motoros lesz a győztes a feti feltételek szeriti verseybe, ha az i, i számok m i i szorzatáak a lehető legagyobbak kell leie? Megoldás. Jelöljük az S -sel az A és B közötti távolságot. Az első apo az M i motoros 1 i S A második apo utat tett meg, és a visszamaradó távolság: 1 1 S S = S 1 i. i 1 1 S m 1 i i S S S i m 1 = i 1 i 1 i m i utat tett meg, és a visszamaradó távolság: 1. Hasolóa folytatva arra jutuk, hogy a egyedik ap végé visszamaradó távolság: Így a következő egyeletet kapjuk: S i mi.

12 m 1 S = S i m i 1 i 1 1 = 0 i 4 mii ( mi 1)( i 1) 1 1 =+ vagy = m i i. mi 1, i 1 ezért következik, hogy ( mi 1)( i 1) 1 = +, azaz m i = +. mii i mi egy egész szám, ezért i, azaz ( )( ) Mivel De mivel, ahoa -ek osztójáak kell leie. Felhaszálva, hogy az i számok szité pozitív egészek, azt kapjuk, hogy i vagy 3 vagy 4. Ekkor i vagy 4, vagy 3 redre. Így csak két megoldást kapuk: az M 1 motorost az ( m 1,1 ) = ( 3, 4) számokkal és az M motorost az ( m, ) = ( 4, 3) számokkal. Így i) a legagyobb lehetséges pozitív k szám a k =. ii) ilye verseybe icse győztes, mivel: m 1 1= m = 34 = 43 = 1. m 1,, 3,..., Feladat. Adottak az számok. Két játékos egymásutá letöröl egy számot, amíg két szám marad. Ha ezek összege osztható 5-tel, akkor a kezdő játékos yer. Ellekező esetbe a második játékos yer. Ki fog yeri becsületes játék eseté? Megoldás. Sokkal megfelelőbb, ha em a megadott számokkal, haem az 5-tel való osztási maradékaikkal dolgozuk. Ezek a maradékok: 5 darab 0, 5 darab 4-es, 5 darab 3-as, 6 darab 1-es és 6 darab -es. A kezdő játékos a yerő. A kezdő játékos első lépése az, hogy letörölje az 1-es számot. Ezutá olya maradékú számokat kell letörölie, hogy második játékos által letörölt és az általa letörölt számok maradékaiak összege együtt 5-öt adjaak. Még potosabba: i) ha a második játékos lépései a következők: 1,, 3, 4, akkor az első játékos lépései 4, 3,, 1; ii) ha a második játékos lépése 0, akkor a kezdő játékos lépése, és ezutá a második játékos mide 0 lépése utá szité 0 lesz a válaszlépése. Ezt a stratégiát haszálva a játék végé visszamaradó két szám maradékai a következők lehetek: 0, 0 vagy, 3 vagy 1, Feladat. Adott egy körö doboz. A dobozok egyikébe két kő va egy fehér és egy fekete. A többi doboz üres. Két játékos egymás utá mozgatja a köveket az első az óramutató járásával megegyező iráyba mozgatja a fehér követ egy vagy két dobozo keresztül, a második játékos a fekete követ mozgatja elletétes iráyba szité egy vagy két dobozo keresztül. Az a játékos yer, aki a saját kövét a másik játékos kövét is tartalmazó dobozba teszi. Ki fog yeri egy becsületes játék eseté? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) =13; ii) = 14 ; iii) = 15 ; iv) egy tetszőleges természetes szám. Ötlet. Fotos, hogy észrevegyük, hogy: a) ha 4 üres doboz va a kövek között, akkor ez egy csapda az a játékos, akiek lépie ekkor, az fog veszítei; b) ha 3 üres doboz va a kövek között, akkor ez egy átjáró a kövek át fogak haladi a következő lépésbe

13 egymáso, aélkül, hogy harcoláak. Haszáljuk a következőt: = 5 k + s, ( s = 0, 1,, 3, 4) Feladat. Egy termék ára euró. Két áruház-igazgató játszik. Midegyikük megöveli a termék árát egy lépésébe -kal, ahol egy természetes szám, [ ) m 1,100, de úgy, hogy a övekedés egész számú euró legye. Az a játékos veszít, akiek icse több lépése. Melyik igazgató fog veszítei? A következő eseteket vegyük fotolóra: i) ; ii) ; iii) természetes szám. m % =1000 = 880 = 600 ; iv) m k = ; v) egy tetszőleges k s Válasz. A második játékos fog yeri, ha = m 5, ahol m 10 p q,, = + (1, 3, 7,9) p egy tetszőleges természetes szám, és a k és s természetes számok oszthatók 3-mal. Mide egyéb esetbe a kezdő játékos a yerő. 7. Rész APPENDIX 7.1. Feladat. Egy keguru ugrál az x 0, y 0 iráyba az Oxy koordiáta-síko a következő módo: az ( x, y) potból a keguru az ( x + 1, y 1) vagy ( x 5, y + 7) potba ugorhat, de em ugorhat olya potra, amiek va egatív előjelű koordiátája. Mely kezdőpotokból em juthat el a keguru olya potba, amiek az Ox ( x, y) y koordiátasík O középpottól való távolsága agyobb, mit 1000 egység. Rajzoljuk meg az ilye x, y potok T halmazát és számítsuk ki a T halmaz F területét! Válasz.. A halmaz a következő: egy lépcső-szerű háromszög a lépcső potjai élkül: T ( x, y) F =15 T ( x, y) {( x = k + α, 0 y < 5 k, k = 0, 1,, 3, 4; 0 α 1)\ [] x + [] y 4, x 0, y 0 }, ( ) \ ( x = k, 5 k < y < 6 k, k = 1,, 3, 4, 5 )} { x az egészrész-függvéy, azaz ha a feti esetbe ha x =,...,egy emegatív tizedes x = egy természetes szám. [] tört alakú számjegy, akkor [] 7.. Feladat. Egy játékautomata a következő módo működik: miutá bedobuk 5 cetet, az automata megszorozza 3-mal az adott számot, és miutá bedobuk cetet, az automata 4-et ad az adott számhoz. i) Miimálisa háy cet szükséges ahhoz, hogy eljussuk az 1-es számtól az =1979 -ig a megadott automata segítségével? ii) Háy cet szükséges miimálisa, ha = 005? Ötlet. Hátulról kell eliduluk -től 1-ig! ahol

14 i) A miimálisa szükséges cetek száma: 37 = Lásd az alábbi sorozatot! Feladat. Válasszuk ki darab külöböző természetes számot az 1 és 3 számok között (ezeket is beleértve) úgy, hogy bármely két kiválasztott szám átlaga e legye bee a kiválasztott számok halmazába! Ötlet. Haszáljuk matematikai idukciót -re! A kiválasztott számok halmaza: a = 1, a =, a = 7, a = 8,..., a, a = a a = a + 3,..., a = a