Bevezetés az algebrába komplex számok

Átírás

1 Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M december 6. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 1 / 41

2 A komplex számok rövid törtéete 1 A komplex számok rövid törtéete 2 3 Az algebra alaptétele 4 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 2 / 41

3 A komplex számok rövid törtéete A számfogalom bővülése pozitív egészek összeadás, szorzás a + x = b megoldhatósága egatív számok és 0 ax = b megoldhatósága racioális számok x 2 = 2 megoldása vaak em racioális számok is sorozatok határértékéek fogalma irracioális számok racioális + irracioális számok valós számok és mi va az x 2 = 1 egyelet megoldhatóságával? Szükség va további bővítésre? D Egy F testről azt modjuk, hogy algebrailag zárt, ha bármely em kostas F -beli együtthatós poliomak va F -be zérushelye. P Q és R tehát em zárt, mert x ek ics zérushelye e testekbe, de em zárt pl. Z 5 sem, mert az x poliomak Z 5 -be ics zérushelye. T Erst Steiitz, 1910) Mide F test beágyazható algebrailag zárt testbe, melyek közt létezik legszűkebb, ami F -et fixehagyó izomorfia erejéig egyértelmű. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 3 / 41

4 A komplex számok rövid törtéete Egy kis törtéelem Girolamo Cardao ( ) orvos, filozófus, matematikus 1538 körül értesül arról, hogy Scipioe del Ferro és Niccolò Tartaglia egymástól függetleül felfedezték az x 3 + px = q alakú harmadfokú egyelet megoldását 1545-be megírja Ars maga sive de regulis algebraicis című művét, bee a megoldóképlettel 1552-től kezdődőe Európa egyik leghíresebb orvosa a 60-as évek elejé elveszti két fiát (gyilkosságért halál, rablásért száműzetés) 1570-be Bologába bebörtözik, szabadulása utá Rómába költözik Scipioe del Ferro ( ) felfedezi a harmadfokú egyelet megoldásáak módját titokba tartja (kivétel Nave, Fiore) Niccolò Fotaa (1500? 1557) gúyevé Tartaglia (dadogó) (1511 Brescia, fracia dúlás) 1535: Fiore kihívja Tartagliát egy 15 apos verseyre (30 feladat, a vesztes a győztest és 29 barátját megvedégeli) felkészüléskor Tartaglia rájö a ehezebb típusú harmadfokú egyeletek megoldásáak módjára Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 4 / 41

5 A komplex számok rövid törtéete Egy kis törtéelem Cardao (kilátásba helyezve Tartaglia tüzérségi találmáyaiak pártfogót keres, titoktartás igérete mellett megszerzi a titkot) amikor Navétól megtudja, hogy del Ferro is ismerte e képleteket, felmetve érzi magát, és publikálja (a egyedfokú esetre is továbbfejlesztve az eredméyt) Tartaglia leírta megcsalatásáak törtéetét Miláóba Ferrari (Cardao taítváya) vitára hívja Tartagliát, aki a vitát elveszti, eek következtébe lehetőségeit (yilváos előadások) elveszíti Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 5 / 41

6 A komplex számok rövid törtéete A megoldóképlet egy speciális esetre Oldjuk meg az x 3 = bx + c egyeletet! A Tartaglia által talált képlet (eél később precízebb formába fogjuk tauli): x = 3 c ( ) 2 c Oldjuk meg a x 3 = 7x + 6 egyeletet! ( ) 3 b + 3 c 3 2 ( c 2 ( 6 ) 2 ( ) 6 x = ( = ( 9/2 + 1/2 ) = 1 3 = 3 ) 2 ( 9/2 1/2 ) 3 ( ) 3 b 3 ) 2 ( 7 3 3) Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 6 / 41

7 A komplex számok rövid törtéete Alkalmazások hidrodiamika, áramlások vizsgálata, Zsukov-féle száryprofil elektromosságta, jelfeldolgozás, villamosméröki tudomáyok lieáris redszerek, lieáris differeciálegyeletek megoldása relativitáselmélet, kvatummechaika fraktálok (Madelbrot-halmazok: ahol a z 0 = c, z = z c sorozat korlátos; Julia-halmazok) Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 7 / 41

8 A komplex számok rövid törtéete Fraktálok Madelbrot halmaz Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 8 / 41

9 1 A komplex számok rövid törtéete 2 3 Az algebra alaptétele 4 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december 6. 9 / 41

10 Komplex számok jelölés i = 1 imagiárius egység (imagiárius = em valódi) Defiíció (komplex szám algebrai alakja) Az a + bi, a, b R alakú kifejezéseket komplex számokak evezzük, ahol i az a szám, melyre i 2 = 1. A komplex számok halmazát C jelöli. Egy komplex szám több alakba is felírható, ezt az alakot algebrai alakak evezzük. Az a szám a z valós része, a b az imagiárius, jelölése: a = Re z, b = Im z (más szokásos jelölés: a = R(z), b = I(z)). Defiíció (kojugált) z = a ib, ahol z = a + ib Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

11 Komplex számok Im z 3i z = 2 + 3i 2i 1i Re z 1i 2i 3i z = 2 3i Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

12 Komplex számok Defiíció Az (a, b) vektor x-tegellyel bezárt szöge legye φ, hossza r. Ekkor a z = a + ib komplex szám felírható r(cos φ + i si φ) alakba is, hisz a = r cos φ, és b = r si φ. Ezt az alakot trigoometriai alakak, az r emegatív valóst a komplex szám abszolút értékéek, φ-t iráyszögéek, arkuszáak vagy argumetumáak evezzük: r = z, φ = arg z. Tétel A komplex számok algebrai alakja egyértelmű. Bizoyítás. a + bi = c + di a c = (d b)i. b d a c d b = i elletmodás; b = d a c = 0 a = c. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

13 Komplex számok Tétel (Kapcsolat az algebrai és trigoometriai alak közt) Ha z = a + bi = r(cos φ + i si φ), akkor a = r cos φ b = r si φ r = z = a 2 + b 2 = z z, (ugyais z z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 ) arctg( b a ) ha a > 0 arctg( b a ) + π ha a < 0 és b 0 arctg( b φ = arg(z) = a ) π ha a < 0 és b < 0 π 2 ha a = 0 és b > 0 π 2 ha a = 0 és b < 0 határozatla ha a = 0 és b = 0 ahol φ ( π, π]. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

14 Komplex számok π/2 3π/4 2π/ i π/3 π/4 5π/6 π/6 π i 0 2 2i 7π/6 5π/4 7π/4 11π/6 4π/3 5π/3 3π/2 Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

15 Műveletek algebrai alakkal Példa (2 + 3i) (3 i) = 1 + 4i (2 + 3i)(3 i) = i( i) + (3i) ( i) = 9 + 7i 1 = i i 2 + 3i = 3 + i (2 + 3i)(3 i) (3 + i)(3 i) = 9 + 7i 10 = i Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

16 Műveletek algebrai alakkal Példa (Alapműveletek algebrai alakkal) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i a + bi (a + bi)(c di) ac + bd bc ad = = c + di (c + di)(c di) c d 2 c 2 + d 2 i Tétel Alapműveletek algebrai alakba: összeadás, kivoás, szorzás algebrai kifejezéskét az i 2 = 1 helyettesítést haszálva; osztás a evező kojugáltjával való bővítéssel. C test (azaz C zárt az összeadás és szorzás műveletére, midkét művelet kommutatív és asszociatív, az összeadás ivertálható, a szorzás ivertálható a C {0} halmazo, a szorzás disztributív az összeadásra ézve). Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

17 Műveletek algebrai alakkal Tétel (Kojugált tulajdoságai) 1 z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 3 z 1 /z 2 = z 1 / z 2 4 z = z Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

18 Műveletek trigoometriai alakkal Példa [2(cos π 3 + i si π 3 )][cos 7π 6 + i si 7π 6 ] = 2cos π 3 cos 7π 6 2 si π 3 si 7π 6 + 2[cos π 3 si 7π 6 + si π 3 cos 7π 6 ]i = 2 cos( π 3 + 7π 6 ) + 2 si( π 3 + 7π 6 )i = 2 cos 3π si 3π 2 i = 2i. Elleőrzés: (1 + 3i)( 3 2 i 2 ) = i 2 i i = 2i. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

19 Műveletek trigoometriai alakkal Állítás (Szorzás, osztás trigoometriai alakba) Legye z 1 = r 1 (cos φ 1 + i si φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i si φ 2 ). Ekkor Bizoyítás. z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i si(φ 1 + φ 2 )), z 1 = r 1 (cos(φ 1 φ 2 ) + i si(φ 1 φ 2 )) z 2 r 2 A szögek összegére voatkozó trigoometriai azoosságokkal: z 1 z 2 = r 1 (cos φ 1 + i si φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i si φ 2 ) = r 1 r 2 (cos φ 1 cos φ 2 si φ 1 si φ 2 + i(si φ 1 cos φ 2 + cos φ 1 si φ 2 )) = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i si(φ 1 + φ 2 )) Az osztásra hasolóa. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

20 Műveletek trigoometriai alakkal Tétel (Abszolút érték tulajdoságai) 1 z = z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 3 z 1 /z 2 = z 1 / z 2 4 z 1 + z 2 z 1 + z 2 (háromszög-egyelőtleség) Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

21 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Példa Számítsuk ki 0 1 ( 1 ) i értékét! Megoldás i trigoometriai alakja: cos π 3 + i si π 3. [cos π 3 +i si π 3 ]100 = cos 100π 3 +i si 100π 3 = cos 4π 3 +i si 4π 3 = i. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

22 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Példa Számítsuk ki ( 3 + i ) 9 értékét! Megoldás. 3 + i hossza = 2, trigoometriai alakja: 2(cos π 6 + i si π 6 ). [2(cos π 6 + i si π 6 )]9 = 2 9 (cos 9π 6 + i si 9π 6 ) = 512(cos 3π 2 + i si 3π 2 ) = 512i Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

23 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Defiíció Az 1 -edik gyökeit -edik egységgyökökek evezzük. Az 1 égyzetgyökei a komplexek körébe: 1 és 1. Az 1 harmadik gyökei: 1, i, i. Az 1 egyedik gyökei: 1, i, 1, i. Az 1 hatodik gyökei: 1, i, i, 1, i, i Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

24 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Példa Számítsuk ki a hatodik egységgyököket! Megoldás. Az 1 trigoometriai alakja 1 = 1(cos 0 + i si 0). Olya számokat keresük, melyek 6-odik hatváya 1, azaz olyaokat, melyekre r 6 (cos 6φ + i si 6φ) = 1(cos 0 + i si 0). Ie r = 1, és 6φ = 0, de mivel 0 ugyaaz a szög, mit 2π, 4π..., ezért 6φ = 2π, 6φ = 4π, 6φ = 6π, 6φ = 8π, 6φ = 10π is lehet! Ie φ = 0, π /3, 2π /3, π, 4π /3, 5π /3. A gyökök tehát: 1(cos 0 + i si 0) = 1, 1(cos π /3 + i si π /3) = i, 1(cos 2π /3 + i si 2π /3) = i, 1(cos π + i si π) = 1, 1(cos 4π /3 + i si 4π /3) = i, 1(cos 5π /3 + i si 5π /3) = i. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

25 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Defiíció (Komplex -edik gyökvoás) Ha z C és N +, akkor z = {w C : w = z}, azaz a z komplex szám komplex -edik gyöké azo w számok halmazát értjük, melyekre w = z. (Ez külöbözik a valós -edik gyök fogalmától!) Állítás (Hatváyozás, gyökvoás trigoometriai alakba) Legye z = r(cos φ + i si φ). Ekkor z 1 = r 1 (cos( φ) + i si( φ)) = r 1 (cos φ i si φ) z = (r(cos φ + i si φ)) = r (cos φ + i si φ), Z ( ) φ + 2kπ φ + 2kπ z = r cos + i si, N +, k = 0, 1,..., 1, ahol a komplex, a valós -edik gyökvoás művelete, és k végigfuthat bármely más mod teljes maradékredszer mide elemé. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

26 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Példa (Gyökvoás egységgyökkel való szorzással) i 3 Megoldás. z = 1 + i 3 = 2(cos π 3 + i si π 3 ) ( z = 2, arg(z) = π 3. Az összes gyök meghatározásához elegedő egy gyök kiszámítása, és aak megszorzása az 5-ödik egységgyökökkel (miért?). Egy gyök: 5 2(cos π 15 + i si π 15 ) Az összes gyök: 5 2(cos π 15 + i si π 2kπ 15 )(cos 5 + i si 2kπ 5 ), ahol k = 0, 1,..., 4. Azaz 5 2(cos( π kπ 5 ) + i si( π kπ 5 ), k = 0, 1,..., 4. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

27 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Defiíció (Primitív -edik egységgyök) Legye ε C és N +. Azt modjuk, hogy ε primitív -edik egységgyök, ha ε = 1, de ics olya 0 < k <, hogy ε k = 1. Példa Válasszuk ki a 6-odik egységgyökök közül a primitíveket! Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

28 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Tétel Legye ε C egy primitív -edik egységgyök ( N + ) és legye k Z. ε k potosa akkor lesz primitív -edik egységgyök, ha (k, ) = 1. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy valamely m N + egészre (ε k ) m = ε km = 1. Ekkor, mivel ε primitív -edik egységgyök, km, ugyais ha em vola, akkor maradékosa osztva -el kapjuk, hogy km = q + r, ahol 0 < r <. Ekkor viszot 1 = ε km = ε q ε r = ε r, ami elletmod aak, hogy ε primitív -edik egységgyök. Ha (k, ) = 1, akkor m, tehát ε k primitív -edik egységgyök. Ha (k, ) = d > 1, akkor (ε k ) /d = (ε ) k/d = 1, ami d < miatt azt jeleti, hogy ε k em primitív -edik egységgyök. Következméy A primitív -edik egységgyökök száma φ(). Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

29 Hatváyozás, gyökvoás, egységgyökök Tétel Egy ε egységgyök potosa akkor primitív -edik egységgyök, ha hatváyaikét mide -edik egységgyök megkapható. Tétel Az -edik egységgyökök összege 0, szorzata ( 1) +1. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

30 Az algebra alaptétele 1 A komplex számok rövid törtéete 2 3 Az algebra alaptétele 4 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

31 Az algebra alaptétele Tétel (Algebra alaptétele) Mide komplex-együtthatós -edfokú ( 1) poliomak va komplex gyöke. Tétel (Algebra alaptétele változat) C algebrailag zárt test. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

32 Az algebra alaptétele Tétel (Algebra alaptétele változat) Mide komplex-együtthatós -edfokú ( 1) poliomak a gyököket multiplicitással számolva potosa gyöke va. Azaz mide komplex-együtthatós poliom lieáris téyezők szorzatára botható: az a x + + a 1 x + a 0, a 0, a 0, a 1,..., a C egyelethez létezek olya c 1, c 2,..., c C számok, hogy a x + + a 1 x + a 0 = a (x c 1 )(x c 2 )... (x c ), és ez a felbotás a téyezők sorredjétől eltekitve egyértelmű. Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

33 Az algebra alaptétele Állítás Mide a, b, c C (a 0) eseté az az 2 + bz + c poliom a(z z 1 )(z z 2 ) alakra hozható, ahol (a komplex gyökvoás jelével) Bizoyítás. z 1,2 = b + b 2 4ac. 2a (z z 1 )(z z 2 ) ( = a z b + ) ( b 2 4ac z b ) b 2 4ac 2a 2a ( ( b + D = a z 2 z + b ) D + b + D b ) D 2a 2a 2a 2a ( = a z 2 z 2b 2a + 4ac ) 4a 2 = az 2 + bz + c Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

34 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok 1 A komplex számok rövid törtéete 2 3 Az algebra alaptétele 4 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

35 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Defiíció (Biomiális együttható) ( ) ( 1)... ( k + 1) = k k =! k!( k)!,, k N 0, k. k! = 1 2 (k 1) k, 0! = 1 ( 1)... ( k + 1) A képlet értelmezhető valós eseté is: ( ) k = ( 1 2 ) ( 3 2 ) = Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

36 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Állítás (A biomiális együttható alaptulajdoságai) 1. bizoyítás. ( ) ( + k ( ) ( ) = = 1 0 ( ) ( ) = k k ) ( ) + 1 = k + 1 k + 1 ( 1)... ( k + 1) k ( 1)... ( k + 1)[(k + 1) + ( k)] (k + 1) ( 1)... ( k) (k + 1) = = ( + 1)... ( k + 1) (k + 1) Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

37 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Pascal-háromszög ( 0 ( 0) 1 ) ( 1 ( 0 1) 2 ) ( 2 ) ( 2 ( 0 1 2) 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

38 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok Tétel (Biomiális tétel) Tetszőleges valós vagy komplex a és b számokra és N 0 természetes számra (a + b) = a + a 1 b + ( 1) a 2 b b = 2 k=0 ( ) a k b k. k Mivel a bizoyítás csak az a és b közti összeadás és szorzás műveleti tulajdoságait haszálja, ezért a tétel bármely egységelemes kommutatív gyűrű a és b elemére is igaz. Speciálisa a = 1, b = x helyettesítéssel: ( ) (1 + x) = x = k=0 ( 1 ( ) x k. k ) x 1 + ( 2 ) x ( 1 ) x 1 + ( ) x Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

39 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok P 2 = (1 + 1) = P 0 = (1 1) = k=0 k=0 ( k ) ( 1) k ( k ) P (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = 1 + 3i 3 i = 2 + 2i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P (1 + i) = i k = + i i +... k k=0 Másrészt (1 + i) = ( ( 2) cos π 4 + i si π ) 4 A két eredméy összehasolításából: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 2) cos π ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 2) si π Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

40 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok 1. Bizoyítás: teljes idukcióval. = 0: 1 = 1 + 1: (a + b) +1 = ( ( ) a k b k) (a + b) k k=0 ( ) ( ) = a +1 k b k + a k b k+1 k k k=0 k=0 ( ) ( ) ( ) = a +1 + a b ab 0 1 ( ) ( ) ( ) + a b ab + b ( ) ( ) ( ) ( ) = a +1 + a b ab + b Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41

41 Biomiális tétel, kombiatorikai alapfeladatok 2. Bizoyítás a biomiális együtthatók additív tulajdoságára. + 1 elem közül megjelölük egyet. Háyféleképp választhatuk ki közülük k + 1-et. Egyrészt ( +1 k+1). Másrészt ( ( k) -féleképp úgy, hogy köztük va a megjelölt elem, és k+1) -féleképp úgy, hogy ics köztük! Tehát ( +1 ( k+1) = ) ( k + k+1). 2. Bizoyítás a biomiális tételre kombiatorikai leszámlálással. Számítsuk ki, hogy az (a + b)(a + b)... (a + b) szorzatba mi a k b k együtthatója. Háyféleképp választható ki az darab (a + b) téyezőből k darab b és k darab a? Összese ( k). Wettl Ferec Bevezetés az algebrába komplex számok december / 41